Estatística Experimental
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- Thalita Álvaro
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1 Estatística Experimental Prof. Dr. Evandro Bona paginapessoal.utfpr.edu.br/ebona
2 Bibliografia Recomendada Barros Neto, B.; Scarminio, I. S.; Bruns, R. E. Como Fazer Experimentos. 4ª ed., Porto Alegre: Bookman, 2010, 413p. Montgomery, D. C. Design and Analysis of Experiments. 7 th ed., New York: Wiley, 2008, 656p. Box, G. E. P.; Hunter, J. S.; Hunter, W. G. Statistics for Experimenters. 2 nd ed., New York: Wiley, 2005, 633p. Cornell, J. A. Experiments with mixtures. 3 rd ed., New York: Wiley, 2002, 650p.
3 Chamar o especialista em estatística depois que o experimento foi feito pode ser o mesmo que pedir a ele para fazer um exame post-mortem. Talvez ele consiga dizer de que foi que o experimento morreu. (Fisher)
4 Limitações da Estatística: 1 o ) Toda a informação está contida nos dados. A conclusão, no máximo, terá a qualidade dos dados que a geraram. Se os dados forem iniciados ou coletados inadequadamente, qualquer conclusão que deles advenham está comprometida. A estatística não serve para corrigir erros grosseiros ou técnica defeituosa 2 o ) A Estatística apenas auxilia o pesquisador, mas não dispensa o espírito científico crítico e cético, nem o conhecimento profundo do processo em estudo.
5 Variáveis Independentes: Fatores a serem estudados ou avaliados num processo (que podem ser controladas) Ex.: Formulação, temperatura, ph, agitação, aeração, tempo de residência, vazão... Variáveis Dependentes: Resposta desejada (determinada experimentalmente) Ex.: Rendimento, produtividade, índice de expansão, atributos sensoriais, fator de pureza, atividade enzimática...
6 Construção de Modelos Fator 1 Resposta 1 SISTEMA Fator k Resposta j
7 Estabelecer objetivos Variáveis envolvidas nos experimentos. Faixa de variação das variáveis selecionadas. Níveis escolhidos para as variáveis. Variável de resposta. Planejamento experimental. Objetivos diferentes precisarão de planejamentos diferentes.
8 Experimentos Planejamento Experimental Objetivo Análise dos Resultados Modelo???
9 Princípios Básicos de um Planejamento de Experimentos Replicação (Repetição) Obtenção do erro experimental Obtenção de estimativas mais precisas Aleatoridade Distribuição equiprovável de outros fatores Blocagem Aumenta a precisão do experimento eliminando a influência de fatores conhecidos
10 Planejamento Fatorial 2 k Utiliza k fatores analisados em 2 níveis Fornece o menor número de experimentos para um fatorial completo São largamente usados em experimentos de varredura Podem ser ampliados para formar um planejamento mais sofisticado A análise dos resultados é relativamente simples e permite avaliar a influência de um fator sobre outro (interações)
11 Exemplo 1 Planejamento 2 3 : Planta piloto (Box, Hunter e Hunter,1987) Dois fatores quantitativos (concentração e temperatura) Um fator qualitativo (tipo de catalisador) A resposta (variável dependente) é o rendimento Temperatura (ºC) ( ) (+) Concentração (%) ( ) (+) Catalisador ( ) (+) A B
12 Variáveis Codificadas Fornecem resultados mais fáceis de serem interpretados. São adimensionais. Os efeitos são calculados com a mesma precisão. Permite avaliar a importância relativa de cada fator.
13 Exemplo 1 Matriz de Planejamento Experimento 1 Temperatura (ºC) Concentração (%) Catalisador ( ) 20 ( ) A ( ) (+) 20 ( ) A ( ) ( ) 40 (+) A ( ) (+) 40 (+) A ( ) ( ) 20 ( ) B (+) (+) 20 ( ) B (+) ( ) 40 (+) B (+) (+) 40 (+) B (+)
14 Exemplo 1 Cálculo dos Efeitos Principais T (ºC) C (%) K R (g)
15 Exemplo 1 Cálculo dos Efeitos Principais efeito T , efeito C 4 5, efeito K 1,5 4
16 Interpretação Geométrica dos Efeitos
17 Exemplo 1 Cálculo dos Efeitos de Interação T C K TC TK CK TCK R
18 Exemplo 1 Cálculo dos Efeitos de Interação efeito TC 1, efeito TK 10, efeito CK 4 0, efeito TCK 4 0,5
19 Efeitos
20 Estimativa do Erro Experimental É necessária a realização de repetições autênticas. As repetições devem ser aleatorizadas também. As repetições devem refletir a variabilidade do processo em toda a faixa de estudo.
21 Estimativa do Erro Experimental Standard Design: 2**(3-0) design Run Repetição T C K Rendimento , , , , , , , , , , , , , , , ,00
22 Estimativa do Erro Experimental Factor Mean/Interc. (1)T (2)C (3)K 1 by 2 1 by 3 2 by 3 1*2*3 Effect Estimates; Var.:R; R-sqr=,97629; Adj:,95554 (Matriz de 2**(3-0) design; MS Residual=8, DV: R Effect Std.Err. t(8) 2 p -95,% +95,% s 2 s 2,306 Cnf.Limt Cnf.Limt 64, , ,86322 N 0, N 62, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,76118
23 Análise por meio de gráficos normais 3,0 2,5 2,0 1,5 (1)T,99,95 1,0 0,5 0,0-0,5 1*2*3 2by3 1by2 (3)K 1by3,75,55,35 Expected Normal Value -1,0-1,5-2,0-2,5 (2)C -3, Interactions - Main effects and other effects Standardized Effects (t-values),15,05,01
24 Factor M ean/interc. (1)T (2)C (3)K 1 by 2 1 by 3 2 by 3 1*2*3 Factor Mean/Interc. (1)T (2)C (3)K 1 by 3 Effect Estim ates; Var.:R; R-sqr=,97629; A dj:,95554 (M atriz de plane 64, , , , , , , , , , , , , ,5000-5, , , , , , , , , , , , , ,0000 2**(3-0) design; M S Residual=8, DV: R Effect Std.E rr. t(8) p -95,% +95,% Coeff. Cnf.Lim t Cnf.Lim t 1, , , , , , ,7500 1, , , , , , ,7500 0, , , , , , ,0000 0, , , , , , ,2500 Effect Estimates; Var.:R; R-sqr=,97258; A dj:,96261 (Matriz de plan 2**(3-0) design; MS Residual=6, DV: R Effect Std.E rr. t(11) p -95,% +95,% Coeff. Cnf.Limt Cnf.Limt 64, , , , , , ,250 23, , , , , , ,500-5, , , , , , ,500 1, , , , , , ,750 10, , , , , , ,000
25 Factor Mean/Interc. (1)T (2)C (3)K 1 by 3 Effect Estimates; Var.:R; R-sqr=,97258; A dj:,96261 (Matriz de plan 2**(3-0) design; MS Residual=6, DV: R Effect Std.E rr. t(11) p -95,% +95,% Coeff. Cnf.Limt Cnf.Limt 64, , , , , , ,250 23, , , , , , ,500-5, , , , , , ,500 1, , , , , , ,750 10, , , , , , ,000 Factor Mean/Interc. (1)T (2)C 1 by 3 Effect Estimates; Var.:R; R-sqr=,96925; A dj:,96156 (Matriz de plane 64, , , , , , , , , , , , , ,5000-5, , , , , , , , , , , , , ,0000 2**(3-0) design; MS Residual=6, DV: R Effect Std.E rr. t(12) p -95,% +95,% Coeff. Cnf.Limt Cnf.Limt
26 Efeito Linear R , 64 1, C R R , 1, 55 K , 1, T
27 Interação 1 48, ,5 K - 8,5 11, T
28 Modelo Estatístico ŷ b0 b1 x1 b2 x2 b3 x3 b12 x1x 2 b13 x1x 3 b23 x2x3 b123 x1x 2x3 Com a codificação, cada coeficiente passa a corresponder sempre à variação de duas unidades do fator correspondente, já que o nível do fator varia de -1 para +1. Considerando apenas os efeitos significativos o nosso modelo seria: x yˆ 64, 25 11,50 x 2,50x 5,00x x T C 2 T C 30 x
29 Modelo Estatístico A diferença entre os valores observados e previstos pelo modelo é chamada resíduo. As diferenças aparecem sempre que empregamos um modelo com um número de parâmetros inferior ao número total de observações. Analisar ao resíduos é fundamental para podermos avaliar o grau de ajuste de um modelo às observações. Num modelo bem ajustado, o comportamento dos resíduos não deve ser incompatível com o que esperaríamos dos erros aleatórios.
30 Análise de Variância - ANOVA É baseada na decomposição algébrica dos desvios das respostas observadas em relação à resposta média global. y ŷ y y yˆ yˆ y y y
31 Análise de Variância - ANOVA Fonte de Variação SQ GL QM F calc F tab Regressão 2 p SQ reg /GL QM reg /QM res (ver tab.) yˆ y y ŷ 2 Resíduo n - p SQ res /GL Total 2 n - 1 y y R SQ 2 reg SQ total
32 Análise de Variância - ANOVA ANOV A; Var.:R; R-sqr=,97629; A dj:,95554 (Matriz 2**(3-0) design; MS Residual=8, DV: R Factor SS df MS F p (1)T 2116, , ,5000 0, (2)C 100, ,000 12,5000 0, (3)K 9, ,000 1,1250 0, by 2 9, ,000 1,1250 0, by 3 400, ,000 50,0000 0, by 3 0, ,000 0,0000 1, *2*3 1, ,000 0,1250 0, Error Total SS 64, , ,000
33 Análise de Variância - ANOVA ANOV A; Var.:R; R-sqr=,96925; A dj:,96156 (M 2**(3-0) design; M S Residual=6, DV: R Factor SS df MS F p (1)T (2)C 1 by 3 Error Total SS 2116, , ,9277 0, , ,000 14,4578 0, , ,000 57,8313 0, , , ,00015
34 ANOVA Falta de Ajuste e Erro Puro A soma quadrática residual deixada pelo modelo pode ser decomposta em duas partes: uma causada pelos erros aleatórios, e a outra devida à falta de ajuste do modelo. A média quadrática devida ao erro puro, que não depende do modelo, é uma estimativa da variância. A média quadrática devida à falta de ajuste também estima a variância se o modelo for adequado, isto é, se não houver falta de ajuste.
35 ANOVA Falta de Ajuste e Erro Puro ANOV A; Var.:R; R-sqr=,96925; A dj:,96156 (Matriz de planejamento in E xe 2**(3-0) design; MS P ure Error=8, DV: R Factor SS df MS F p (1)T (2)C 1 by 3 Lack of Fit Pure Error Total SS 2116, , ,5000 0, , ,000 12,5000 0, , ,000 50,0000 0, , ,750 0,5937 0, , , ,00015 ANOV A; Var.:R; R-sqr=,96925; A dj:,96156 (M 2**(3-0) design; MS Residual=6, DV: R Factor SS df MS F p (1)T (2)C 1 by 3 Error Total SS 2116, , ,9277 0, , ,000 14,4578 0, , ,000 57,8313 0, , , ,00015
36 Análise de Variância - ANOVA Fonte de Variação SQ GL QM F calc F tab (5%) Regressão ,0722 3,49 Resíduo ,9167 Total Fonte de Variação SQ GL QM F calc p Regressão ,0722 < 0, Resíduo ,9167 Total
37 Gráfico Normal - Resíduos 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0-0,5,99,95,75,55,35 Expected Normal Value -1,0-1,5-2,0-2,5-3, Residual,15,05,01
38 Observado vs. Previsto Predicted Values Observed Values
39
40 C 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4-0,6-0,8-1,0-1,2-1,2-1,0-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 T
41 Exemplo 2 Fatorial 2 4 : Aumento da taxa de filtração durante a produção de um produto químico em um reator pressurizado (Montgomery, 2005). Variáveis independentes: temperatura (A), pressão (B), concentração de formaldeído (C) e velocidade de agitação (D).
42 Matriz do planejamento Standard Run Design: 2**(4-0) design (Spreadsheet in Fatorial A B C D Taxa de Filtração , , , , , , , , , , , , , , , ,00
43 Estimativa dos efeitos Factor Mean/Interc. (1)A (2)B (3)C (4)D 1 by 2 1 by 3 1 by 4 2 by 3 2 by 4 3 by 4 1*2*3 1*2*4 1*3*4 2*3*4 Effect Estimates; Var.:T axa de Filtração; R-sqr=,99868; Adj:,98021 (Design: 2**(4-0) design (S preadsh 2**(4-0) design; MS Residual=7,5625 DV: Taxa de Filtração Effect Std.E rr. t(1) p -95,% +95,% Coeff. Std.E rr. -95,% +95,% Cnf.Limt Cnf.Limt Coeff. Cnf.Limt Cnf.Limt 70,0625 0, ,9091 0, , , , , , , ,6250 1, ,7273 0, , , , , , , ,1250 1, ,2727 0, , , , , , , ,8750 1, ,1818 0, , , , , , , ,6250 1, ,6364 0, , , , , , , ,1250 1, ,0909 0, , , , , ,6730 8, ,1250 1, ,1818 0, ,5960-0, , , ,7980-0, ,6250 1, ,0909 0, , , , , , , ,3750 1, ,7273 0, , , , , ,5480 9, ,3750 1, ,2727 0, , , , , ,9230 8, ,1250 1, ,8182 0, , , , , ,2980 8, ,8750 1, ,3636 0, , , , , ,7980 9, ,1250 1, ,0000 0, , , , , , , ,6250 1, ,1818 0, , , , , ,5480 7, ,6250 1, ,9091 0, , , , , ,0480 7,42302
44 Gráfico Normal dos Efeitos Expected Normal Value 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0-0,5-1,0-1,5-2,0-2,5 1by3 1*2*4 (2)B 1by2 1*2*3 2by3 2by4 3by4 1*3*4 2*3*4-3, (3)C (4)D 1by4 - Interactions - Main effects and other effects Standardized Effects (t-values) (1)A,99,95,75,55,35,15,05,01
45 Modelo reduzido Factor Mean/Interc. (1)A (3)C (4)D 1 by 3 1 by 4 Effect Estimates; Var.:T axa de Filtração; R-sqr=,96595; Adj:,94893 (Design: 2**(4-0) design (S preads 2**(4-0) design; MS Residual=19,5125 DV: Taxa de Filtração Effect Std.E rr. t(10) p -95,% +95,% Coeff. Std.E rr. -95,% +95,% Cnf.Limt Cnf.Limt Coeff. Cnf.Limt Cnf.Limt 70,0625 1, , , , , , , , , ,6250 2, , , , , , , , , ,8750 2, , , , ,7962 4, , ,4769 7, ,6250 2, , , , ,5462 7, , ,8519 9, ,1250 2, , , , ,2038-9, , ,5231-6, ,6250 2, , , , ,5462 8, , , ,77309 ANOV A; Var.:T axa de Filtração; R-sqr=,96595; Adj:,94893 (sem ponto centr 2**(4-0) design; MS Residual=19,5125 DV: Taxa de Filtração Factor SS df MS F p (1)A (3)C (4)D 1 by 3 1 by 4 Error Total SS 1870, ,563 95, , , ,062 19, , , ,562 43, , , ,063 67, , , ,563 56, , , , ,93715
46 Matriz do planejamento Standard Run Design: 2**(4-0) design (Spreadsheet in Fatorial A B C D Taxa de Filtração , , , , , , , , , , , , , , , ,00
47 Estimativa dos efeitos Factor Mean/Interc. (1)A (2)C (3)D 1 by 2 1 by 3 2 by 3 1*2*3 Effect Estimates; Var.:T axa de Filtração; R-sqr=,96868; Adj:, **(3-0) design; MS Residual=22,4375 DV: Taxa de Filtração Effect Std.E rr. t(8) p -95,% +95,% Coeff. Std.E rr. -95,% +95,% Cnf.Limt Cnf.Limt Coeff. Cnf.Limt Cnf.Limt 70,0625 1, , , , , , , , , ,6250 2, , , , , , , , , ,8750 2, , , , ,3366 4, , ,2067 7, ,6250 2, , , , ,0866 7, , , , ,1250 2, , , , ,6634-9, , ,7933-6, ,6250 2, , , , ,0866 8, , , , ,1250 2, , , ,5866 4,3366-0, , ,2933 2, ,6250 2, , , ,0866 3,8366-0, , ,5433 1,91828 Factor Mean/Interc. (1)A (2)C (3)D 1 by 2 1 by 3 Effect Estimates; Var.:T axa de Filtração; R-sqr=,96595; Adj:, **(3-0) design; MS Residual=19,5125 DV: Taxa de Filtração Effect Std.E rr. t(10) p -95,% +95,% Coeff. Std.E rr. -95,% +95,% Cnf.Limt Cnf.Limt Coeff. Cnf.Limt Cnf.Limt 70,0625 1, , , , , , , , , ,6250 2, , , , , , , , , ,8750 2, , , , ,7962 4, , ,4769 7, ,6250 2, , , , ,5462 7, , ,8519 9, ,1250 2, , , , ,2038-9, , ,5231-6, ,6250 2, , , , ,5462 8, , , ,77309
48 Análise de Variância ANOVA; Var.:T axa de Filtração; R-sqr=,96595; Adj:,9489 2**(3-0) design; MS Pure Error=22,4375 DV: Taxa de Filtração Factor SS df MS F p (1)A (2)C (3)D 1 by 2 1 by 3 Lack of Fit Pure Error Total SS 1870, ,563 83, , , ,062 17, , , ,562 38, , , ,063 58, , , ,563 49, , , ,812 0, , , , ,93715 ANOV A; Var.:T axa de Filtração; R-sqr=,96595; Adj:,9489 2**(3-0) design; M S Residual=19,5125 DV: Taxa de Filtração Factor SS df MS F p (1)A (2)C (3)D 1 by 2 1 by 3 Error Total SS 1870, ,563 95, , , ,062 19, , , ,562 43, , , ,063 67, , , ,563 56, , , , ,93715
49 Gráfico Normal dos Resíduos 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0-0,5,99,95,75,55,35 Expected Normal Value -1,0-1,5-2,0-2,5-3, Residual,15,05,01
50 Predicted Values Observed Values
51 1,2 D = +1 C 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4-0,6-0,8-1,0-1,2-1,2-1,0-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 A
52 1,2 A = +1 D 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4-0,6-0,8-1,0-1,2-1,2-1,0-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 C
53 Pontos Centrais em Fatoriais 2 k Os modelos obtidos através de planejamentos fatoriais são lineares ou ligeiramente curvos (interações). k k k 0 i i ij i j i 1 i 1 j i y x x x É possível avaliar a existência de curvatura através da adição de pontos centrais. Se os pontos centrais forem repetidos é possível se obter uma estimativa do erro experimental.
54 Matriz do planejamento Standard Run Design: 2**(4-0) design A B C D Taxa de Filtração , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00
55 Análise da Curvatura Factor Mean/Interc. Curvatr. (1)A (3)C (4)D 1 by 3 1 by 4 Effect Estimates; Var.:T axa de Filtração; R-sqr=,95782; Adj:, **(4-0) design; MS Residual=18,75962 DV: Taxa de Filtração Effect Std.E rr. t(13) p -95,% +95,% Coeff. Std.E rr. -95,% +95,% Cnf.Limt Cnf.Limt Coeff. Cnf.Limt Cnf.Limt 70,0625 1, , , , , , , , , ,3750 4, , , , ,8365 0, , ,5433 5, ,6250 2, , , , , , , , , ,8750 2, , , , ,5535 4, , ,5982 7, ,6250 2, , , , ,3035 7, , ,9732 9, ,1250 2, , , , ,4465-9, , ,4018-6, ,6250 2, , , , ,3035 8, , , , **(4-0) design; MS Residual=18,75962 DV: Taxa de Filtração Factor SS df MS F p Curvatr. 1, ,512 0, , (1)A 1870, ,562 99, , (3)C 390, ,062 20, , (4)D 855, ,562 45, , by 3 1 by , ,063 70, , , ,563 58, , Error Total SS 243, , ,760
56 Exemplo 3 Fatorial 2 3 com ponto central: El-Aouar, A. A.; Azoubel, P. M.; Barbosa Jr., J. L.; Murr, F. E. X. Influence of the osmotic agent on the osmotic dehydration of papaya (Carica papaya L.). Journal of Food Engineering, v.75, p , Variáveis independentes: temperatura (T), concentração de sacarose (C) e tempo de imersão (t). Temperatura (ºC) ( ) (+) Concentração (%) ( ) (+) Tempo ( ) (+) Montar o planejamento com três pontos centrais e fazer a análise dos dados!!!
57 Refazer os dados descodificados!!!
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Bibliografia Recomendada Barros Neto, B.; Scarminio, I. S.; Bruns, R. E. Como Fazer Experimentos. Montgomery, D. C. Design and Analysis of Experiments. Box, G. E. P.; Hunter, J. S.; Hunter, W. G. Statistics
Planejamentos Fatoriais Fracionários
Planejamentos Fatoriais Fracionários O número de ensaios realizados para se fazer um planejamento fatorial 2 k completo aumenta rapidamente com o número de fatores investigados (k). k Efeitos Interações
Análise de Regressão
Análise de Regressão Nos planejamentos fatoriais os fatores são estudados em dois níveis. Modelo Linear MAIS INFORMAÇÕES!!! Níveis Intermediários Planejamentos Fatoriais com dois níveis são uma etapa inicial!!!
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