BAC011 - ESTATÍSTICA ANÁLISE DE VARIÂNCIA. Análise de Variância ANOVA. Prof. Dr. Emerson José de Paiva

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1 BAC011 - ESTATÍSTICA Análise de Variância ANÁLISE DE VARIÂNCIA 1

2 A é utilizada para se verificar a influência de certos fatores sobre uma resposta de interesse. Testa-se como os diversos fatores exercem influência sobre uma determinada característica de qualidade; Quando dois níveis de um fator geram respostas médias estatisticamente iguais, o fator não influencia a resposta; Ao contrário, a resposta média em um nível específico é estatisticamente diferente das demais, o fator é significativo. Modelo Matemático para um experimento de 2 fatores (A e B), em dois níveis codificados (+1, -1): Y ijk = μ + A i + B j + (AB) ij +ε ijk 2

3 Y ijk = μ + A i + B j + (AB) ij +ε ijk i = número de níveis do fator A (i=1,2,3,...,a); j = número de níveis do fator B (j=1,2,3,...,b); k = número de réplicas de cada combinação de fatores (k=1,2,3,...,k); Y ijk = ijk-ésima observação obtida no experimento; = parâmetro comum a todos os tratamentos, denominado média geral ; A i = efeito do i-ésimo tratamento do Fator A; B j = efeito do j-ésimo tratamento do Fator B; (AB) ij = efeito da ij-ésima interação AB entre os fatores; ijk = erro aleatório. 3

4 Considere o seguinte experimento formado por dois fatores de interesse (Temperatura e Pressão), em dois níveis cada um (40ºC e 60ºC, 25 e 35 PSI), com quatro réplicas:. 4

5 Cada um dos boxplots representa a variabilidade dentro de cada um dos dois níveis; A diferença entre as médias denota a variação entre os fatores; A variação dentro é também chamada de Erro; Dividindo-se a Variação Entre pela Variação Dentro obtêm-se a Estatística de teste F (Fisher-Snedecor); Comparando-se ao F-crítico (nível de significância e graus de liberdade) possibilita a aceitação ou rejeição da hipótese nula, acerca da igualdade entre as médias. 5

6 Avaliar a significância do efeitos dos níveis de um tratamento A, e um tratamento B: Testa-se a hipótese de igualdade entre as respostas médias obtidas com os níveis dos dois fatores; Deve-se determinar se existe interação entre os dois tratamentos. Para os dois tratamentos, a aceitação de H 0 significa que os efeitos na resposta, obtidos com os dois níveis dos fatores A e B, são iguais; A hipótese alternativa evidencia que os tratamentos são diferentes; Na interação, a aceitação de H 0 indica que a interação não é significativa. 6

7 A curva característica para a Estatística de Teste F, possibilita que tenhamos uma visão mais clara da posição de F 0 em relação ao F crítico e, assim, tomarmos uma decisão acerca da aceitação de H 0. 7

8 O quadro a seguir expressa genericamente um arranjo geral de dois tratamentos (Fatores). Ressalta-se que cada Fator A pode possuir a níveis, que cada Fator B pode possuir b níveis e, ainda, que um determinado tratamento pode possuir n réplicas (observações). 8

9 Um arranjo geral poderia ser construído como sugere o quadro a seguir, com as correspondentes formulações para seus elementos: 9

10 A partir de arranjos aritméticos desses somatórios, pode-se escrever a SOMA DE QUADRADOS TOTAL a partir do seguinte modelo: Dessa maneira, a Soma de Quadrados Total, que pode ser dividida em: Soma de quadrados devido ao tratamento de linha (Fator A), SQ A ; Soma de quadrados devido ao tratamento de coluna (Fator B), SQ B ; Soma de quadrados devido a interação entre A e B, SQ AB ; Soma de quadrados devido ao erro experimental, SQ E. SQ T = SQ A + SQ B + SQ AB + SQ E 10

11 Descrição Formulação 2 Soma de Quadrados Total (SQ T ) SQ T = y ijk Soma de quadrados devido ao tratamento de linha Fator A (SQ A ) Soma de quadrados devido ao tratamento de coluna Fator B (SQ B ) Soma de quadrados devido a interação entre A e B (SQ AB ) Soma de quadrados devido ao erro experimental (SQ E ) SQ AB = 1 n a b n i=1 j=1 k=1 a SQ A = 1 bn SQ B = 1 an a i=1 b j=1 y2 ij i=1 b j=1 2 y i 2 y j y 2 abn y 2 abn y 2 abn y 2 abn SQ A SQ B SQ E = SQ T SQ AB SQ A SQ B 11

12 Para efeitos de simplificação, a Soma de Quadrados referente à interação pode ser dividida, calculando-se, primeiramente, a soma de quadrados entre os totais das células ab, chamada de Soma de Quadrados Parcial, e, em seguida, SQ AB, como apresentado a seguir: Descrição Soma de Quadrados Parciais (SQ P ) Soma de quadrados devido a interação entre A e B (SQ AB ) Formulação SQ P = 1 n a i=1 b j=1 y2 ij y 2 abn SQ AB = SQ P SQ A SQ B 12

13 Para o exemplo, obtêm-se os seguintes resultados: 13

14 A Média Quadrática é o quociente entre a soma de quadrados e o número de graus de liberdade, associados, respectivamente, a cada fonte de variação. Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Libertade Média Quadrática F 0 ou F calculado Fator A SQ A a 1 MQ A = SQ A a 1 Fator B SQ B b 1 MQ B = SQ B b 1 Interação SQ AB (a 1)(b 1) MQ AB = SQ AB (a 1)(b 1) F 0 = MQ A MQ E F 0 = MQ B MQ E F 0 = MQ AB MQ E Erro SQ E ab(n 1) MQ E = Total SQ T abn 1 SQ E ab(n 1) 14

15 Assim, pode-se compor a seguinte tabela de ANÁLISE DE VARIÂNCIA (procure avaliar os Tratamentos, ou Fatores, individualmente): Rejeita-se H 0, ou seja, os efeitos na resposta, obtidos com os dois níveis dos fatores A e B, são distintos. Aceita-se H 0, ou seja, a interação não é estatisticamente significativa. 15

16 A tabela abaixo apresenta os resultados da realizada pelo Minitab: O Valor-P (P-Value) fornece a mesma conclusão obtida anteriormente. Ele é a probabilidade de se obter um valor da estatística amostral de teste no mínimo tão extremo como o que resulta dos dados amostrais, na suposição de a hipótese nula ser verdadeira. Para o exemplo, P = 0,015 e 0,002, respectivamente, valor bem menor que o nível de significância do teste. Portanto, Valor-P menor que o nível de significância, rejeita-se H 0. Para a interação, P = 0,182, bem acima do nível de significância, indica que a interação entre os tratamentos A e B não é estatisticamente significativa. 16

17 TWO-WAY Ex. 1: An engineer suspects that the surface finish of metal parts is influenced by paint used and the drying time. Using a 5% significance level, test the influence of these two factors as also its interaction. 17

18 TWO-WAY Drying Time (min) Paint Total (yi..) Total: (y.j.) (y ) 18

19 TWO-WAY Ex.2: Am experiment describes na investigation about the effect of glass type and phosphor type on the brigtness of a television tube. The response is the current (ma) necessary to obtain a specified brightness level. Using a 5% significance level, test the influence of these two factors as also its interaction. 19