Modelos de Distribuições

Transcrição

1 Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica 11/06/019 07:14 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Capítulo IV Modelos de Distribuições Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica 1

2 IV Modelos de Distribuições Introdução Distribuições teóricas discretas Distribuições teóricas contínuas IV Modelos de Distribuições Introdução Distribuições teóricas discretas Distribuições teóricas contínuas

3 4.1 Introdução Existem variáveis aleatórias que têm uma função de distribuição pertencente a uma classe de distribuições teóricas. As distribuições teóricas, como o próprio nome indica, foram submetidas a estudos prévios e têm propriedades conhecidas; portanto, podem servir como modelo em determinadas situações em que a distribuição esteja identificada, poupando tempo na análise do problema estudado. 4.1 Introdução As distribuições teóricas que aqui serão estudadas são: Caso discreto - Distribuição binomial - Distribuição hipergeométrica - Distribuição de Poisson Caso contínuo - Distribuição uniforme - Distribuição exponencial - Distribuição normal - Distribuição qui-quadrado - Distribuição t de Student - Distribuição F 3

4 IV Modelos de Distribuições Introdução Distribuições teóricas discretas Distribuições teóricas contínuas 4. Distribuições Teóricas Discretas Prova de Bernoulli A prova de Bernoulli é uma experiência aleatória que serve de base a várias distribuições teóricas (distribuição binomial, distribuição binomial negativa e distribuição geométrica). Consideremos uma experiência aleatória na qual existem apenas dois acontecimentos em que estamos interessados: o acontecimento A que será designado por sucesso e o acontecimento contrário, A, que será designado por falha. O sucesso ocorre com probabilidade p, e o insucesso com probabilidade q = 1 p. 4

5 4. Distribuições Teóricas Discretas Prova de Bernoulli O espaço de resultados está assim particionado em dois acontecimentos S = { A, A } em que: A = sucesso A = falha P( A ) P( A ) = p = q = 1 p A uma experiência aleatória com estas características dá-se o nome de prova de Bernoulli. 4. Distribuições Teóricas Discretas Prova de Bernoulli Principais características: Média : = 1 0 x i f ( x i ) = 0 q + 1 p = p Variância : = E ( x ) = i E( X ) = = 1 0 x i = p p f ( x i ) = 0 q + 1 = p( 1 p ) = pq p p = 5

6 4. Distribuições Teóricas Discretas Prova de Bernoulli Sucessão de provas de Bernoulli: Defini-se como o processo caracterizado por repetidas provas que têm lugar nas seguintes condições: 1. Cada prova resultem em somente dois resultados possíveis, designados como sucesso e falha.. A probabilidade de um sucesso em cada prova, designada por p, permaneça constante. A probabilidade de falha designa-se por q = 1 p. 3. As provas sejam independentes, isto é, os resultados obtidos numa sequência de provas não influenciam os resultados da(s) provas(s) subsequente(s). 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição binomial Trata-se de uma distribuição de probabilidade adequada aos experimentos que apresentam apenas dois resultados: sucesso ou falha. Este modelo fundamenta-se nas seguintes hipóteses: - H1. n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas; - H. cada prova admite apenas dois resultados sucesso ou falha; - H3. a probabilidade de sucesso é p e de falha é 1 p = q. 6

7 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição binomial Considerando-se uma sucessão de n provas de Bernoulli, a variável aleatória que representa o número de sucessos obtidos nessas n provas de Bernoulli tem distribuição binomial. A variável aleatória X, que é igual ao número de provas que resultam em um sucesso, tem uma distribuição binomial com parâmetros p e n em que 0 < p < 1 e n = {1,, 3,..., n}. A função de probabilidade de X é n x n f ( x ) = p q x x, x = 0,1,,...,n 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição binomial É assim chamada (binomial), pois variando X (número de vezes do sucesso) obtemos os termos correspondentes do desenvolvimento do binômio (q + p) n. Com efeito, n n n 1 n( n 1 ) n n ( q + p ) = q + nq p + q p p =! n! n 0 n! n 1 0 = q p + q p + 0!( n 0 )! 1!( n 1 )! Generalizando, tem-se: n! n!0! q 0 p n f ( x ) n! = x!( n q x )! n x p x n = p q x x n x 7

8 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição binomial Principais características: - De acordo com as hipóteses, observa-se que X é a soma de n variáveis do tipo Bernoulli, daí Média : E( X ) = n = np Variância : Var( X ) = n = npq 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição binomial Exemplo: Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter uma certa molécula rara. Considere que as amostras sejam independentes em relação à presença da molécula rara. Encontre a probabilidade de que, nas próximas 18 amostras, exatamente contenham a molécula rara. - Seja X = número de amostras de ar que contenham a molécula rara nas próximas amostras analisadas (sucessos); então, X é a variável aleatória binomial com p = 0,1 e n = 18. Assim, n f ( x ) = p x x q n x 18 P( X = ) = (0,1 ) (0,9 ) 16 = 0,84 8

9 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição binomial Exemplo: Determine a probabilidade de que no mínimo 4 amostras contenham a molécula rara. - Neste caso, a probabilidade requerida é P( X x 18 x 4 ) = ( 0,1 ) ( 0,9 ) = x= 4 x 3 18 x 18 x = 1 ( 0,1 ) ( 0,9 ) = x= 0 x = 1 ( 0, , ,84 + 0,168 ) = = 0, Distribuições Teóricas Discretas Distribuição binomial Exemplo: Determine a probabilidade de que o número de amostras que contenham a molécula rara esteja entre 3 e 6. - Neste caso, a probabilidade requerida é P( x 18 x X 6 ) = ( 0,1 ) ( 0,9 ) = x= 3 x = 0, , ,0 + 0,005 = = 0,65 9

10 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição hipergeométrica Suponhamos que temos um conjunto de N elementos e que M destes elementos têm uma certa característica em que estamos interessados (sucesso); logo os outros N-M elementos não têm essa característica. Ao retirarmos n elementos do conjunto inicial de N elementos (retirar de forma aleatória e sem reposição probabilidade do sucesso não constante) consideremos X a variável aleatória que representa o número de elementos que são retirados e que têm a característica em que estamos interessados. A variável aleatória definida nas condições anteriores tem distribuição hipergeométrica com parâmetros N, M e n. 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição hipergeométrica A probabilidade da variável aleatória assumir o valor x é dada por: M N M x n x P( X = x ) = b( x, N,M,n ) = N n com x = máx0,n ( N M ),...,minn, M Demonstra-se que se a variável aleatória X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros N, M e n, então: M E( X ) = n N M N M N n Var( X ) = n N N N 1 10

11 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição hipergeométrica Exemplo: Na produção de 1000 parafusos em uma máquina A foi observado que 100 apresentam algum tipo de defeito. Como vão ser utilizados 10 parafusos de cada vez, determine a probabilidade de todos serem perfeitos. - Neste caso, N = 1000, M = 100 e n = 10, a probabilidade requerida, portanto, será: P ( X = 0 ) = = = 0, Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson (que deve o seu nome ao físico francês Simon Poisson) está associada a um grande conjunto de situações práticas cujos alguns exemplos são os seguintes: - Número de mensagens que chegam em um servidor no intervalo de uma hora. - Número de partículas defeituosas em um cm 3 de volume de um certo líquido. - Número de defeitos em um metro de comprimento, de um fio produzido por uma máquina têxtil. 11

12 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson Todos os exemplos apresentados têm uma característica comum: a variável aleatória em estudo representa o número de ocorrências de um certo evento ao longo de um intervalo (tempo, comprimento, área ou volume). Os valores que a variável aleatória pode assumir são valores inteiros não negativos: 0, 1,..., n, Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson Outras características que identicam uma distribuição de Poisson são: - O número de ocorrências em intervalos não sobrepostos são variáveis independentes. - A probabilidade de um certo número de ocorrências se verificar é a mesma para intervalos da mesma dimensão; isto é, a probabilidade depende apenas da amplitude do intervalo e não da posição em que se situa nesse intervalo. - As ocorrências do fenômeno descrito verificam-se uma a uma e nunca em grupos. 1

13 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson Para encontrar a expressão que dá a probabilidade de x sucessos num intervalo t, algumas hipóteses precisam ser admitidas: H1. P(X = 1, t) = λ t (ou seja, a probabilidade de um sucesso num intervalo t é proporcional à amplitude do intervalo). H. P(X > 1, t) = 0. H3. P (X 0, t) = 1 λ H4. As ocorrências de sucessos em intervalos são independentes. Tem-se que t = t/n, logo P(X = 1, t) = λt/n. 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson Para encontrar a expressão que dá P(X,t), ou seja, a probabilidade de X sucessos no intervalo t, pode-se calcular o limite de uma distribuição binomial com parâmetros n e t/n. Assim: P( x,t ) n t = lim x x n x ( t ) = P( x,t ) = e x! x t 1 n t n x = 13

14 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson Se o número médio de ocorrências no intervalo em estudo for λ > 0, a variável aleatória X, que é igual aonúmero de ocorrências no intervalo, terá uma distribuição de Poisson, com parâmetro λ, sendo a função de distribuição de X dada por Características: x ( t ) f ( x ) = x! e t, x = 0,1,,... Média : Variância: E( X ) = t Var( X ) = t 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson Exemplo: Mensagens chegam a um servidor de computadores de acordo com a distribuição de Poisson, com uma taxa média de 10 por hora. a) Qual a probabilidade de 3 mensagens chegarem em 1 hora? b) Qual a probabilidade de 6 mensagens chegarem em 30 minutos? 14

15 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson Exemplo: a) Seja X a representação do número de mensagens em 1 hora. Então E(X) = 10 mensagens e E( x ) = t = 10 x ( t ) f ( x ) = x! e t ( 101 ) P( X = 3 ) = 3! ( 10 ) = 3! = 0, e 101 b) Seja X a representação do número de mensagens em 30 minutos (0,5 hora). Então E(X) = 10.0,5 = 5 mensagens e x ( t ) f ( x ) = x! e t ( 100,5 ) P( X = 6 ) = 6! 6 e 100,5 3 ( 5 ) = 6! 6 e 10 e 5 = 0,146 IV Modelos de Distribuições Introdução Distribuições teóricas discretas Distribuições teóricas contínuas 15

16 Distribuição uniforme A distribuição uniforme é a mais simples distribuição contínua; entretanto, é uma das mais importantes e utilizadas dentro da teoria de probabilidade. Tem uma importante característica a qual a probabilidade de acontecer um fenômeno de mesmo comprimento é a mesma. Consideremos uma variável aleatória contínua, cujos valores podem ocorrer dentro dum intervalo limitado (aberto ou fechado) [a,b]. Se quaisquer dois subintervalos de igual amplitude têm a mesma probabilidade, então a variável aleatória tem distribuição uniforme. Distribuição uniforme Diz-se que a variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme no intervalo [a,b] se a sua função de densidade de probabilidade for dada por: f ( 1 x ) = b a 0 a x b paraoutros valoresde x 16

17 Distribuição uniforme Os parâmetros caracterizadores desta distribuição são a e b, que satisfazem a condição < a < b < +. Sua função de distribuição cumulativa F(x) é dada por: 0 x a F( x ) = b a 1 x a a x b x b Características: Se a variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo [a,b] então: a + b E( X ) = ( b a ) Var( X ) = 1, Distribuição uniforme Exemplo: A ocorrência de panes em qualquer ponto de uma rede telefônica de7 km foi modelada por uma distribuição uniforme no intervalo [0,7]. Qual é a probabilidade de que uma pane venha a ocorrer nos primeiros 800 metros? E qual a probabilidade de que ocorra nos 3 km centrais da rede? f ( x ) = 1 b 1 = = a 7 0 P( a x b ) = f ( x )dx b a 1 7, para 0 x 7 ( a ) P( 0 x 0,8 ) = ( b ) P( x 5 ) = 1 x dx = ,8 0 1 x dx = ,8 0 0,8 = = 0, = = 0,

18 Distribuição uniforme Exemplo: Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta (0,). Qual a probabilidade de que este ponto esteja entre 1 e 1,5? - Seja X a representação da variável escolher um ponto de (0,). A função densidade de probabilidade de X é dada por: Então: 1 1 f ( x ) = = = 0,5 b a 0 P( a x b ) = para 0 x P( 1 x 1,5 ) = b a 1,5 1, f ( x )dx 0,5dx = 0,5 Distribuição Exponencial A distribuição exponencial está intimamente ligada à distribuição de Poisson. Se o número de ocorrências de um certo acontecimento segue uma distribuição de Poisson, a medida de espaço entre duas ocorrências consecutivas ou a medida de espaço até à primeira ocorrência segue uma distribuição exponencial. A distribuição de probabilidade de um intervalo entre dois sucessos consecutivos de uma lei de Poisson é a distribuição exponencial. A distribuição exponencial é também usualmente utilizada na descrição do tempo de vida de aparelhos, de organismos etc. (lei de falhas exponencial). 18

19 Distribuição Exponencial Sua função densidade de probabilidadea é dada por f ( x ) = λe λx parax 0 onde λ é o parâmetro caracterizador da distribuição, sendo λ > 0. Características: Média : Variância : E( X ) Var( X ) 1 = 1 = Distribuição Exponencial O gráfico de f(x) é dado por: f(x) λ 0 x Função distribuição cumulativa: F( x ) = 0 F( x ) = x 0 λe, λx dx = 1 e para x 0 para x 0 λx, 19

20 Distribuição Exponencial Conhecida a função distribuição cumulativa de x, pode-se facilmente determinar P( X x ) = 1 F( x ) = 1 x 0 0 x 1 e = 0 0 e f(x) λ e -λx o 0 x o x Distribuição Exponencial Exemplo: Os defeitos de um tecido seguem a distribuição de Poisson com média de um defeito a cada 400 m de tecido. Qual a probabilidade de que o intervalo entre dois defeitos consecutivos seja: a) No mínimo de 1000 m; b) Entre 800 e 1000 m. Calcule a média e a variância. 0

21 Distribuição Exponencial Exemplo: - Sabe-se que na distribuição de Poisson E(x) = λt, então: E( x ) a ) P( x 1defeito 1 / 400defeito = t = = = 400m 1m 1000) = e x = e = 0,081 ou 8,1% defeito/ m b ) P( 800 x 1000) = P( x = e ) P( x 1000) = e = 0,053 ou 5,3% Distribuição Exponencial Exemplo: Média : Variância: 1 1 E( X ) = = = 400 m Var( X ) 1 = = 1 m ( 1 400) =

22 É a mais importante distribuição de probabilidade, sendo aplicada em inúmeros fenômenos e utilizada para o desenvolvimento teórico da estatística. A grande maioria das variáveis aleatórias contínuas que descrevem processos físicos ou características humanas seguem uma distribuição normal. Algumas vezes, as variáveis aleatórias não seguem uma distribuição normal, mas aproximam-se muito desta. Por outro lado, a distribuição normal desempenha um papel crucial na inferência estatística. É também conhecida como distribuição de Gauss, Laplace ou Laplace-Gauss Seja X uma variável aleatória contínua, X terá uma distribuição normal se f ( x ) = σ 1 e π ( x μ ) σ para x onde μ e σ são os parâmetros caracterizadores da distribuição. Se a variável aleatória X tem distribuição normal então: E( X ), = e Var( X ) = A notação N(μ,σ ) é frequentemente usada para denotar uma distribuição normal, com média μ e variância σ.

23 Quando se utiliza a distribuição normal na forma como se apresenta, para o cálculo das probabilidades, surgem dois problemas: - A integração de f(x) fica difícultada, pois para o cálculo é necessário o desenvolvimento da função em série; - A elaboração de uma tabela de probabilidades única inexiste, pois como f(x) depende de dois parâmetros, isto acarreta um grande trabalho para tabelar essas propriedades considerando-se as várias combinações de μ e σ. Esses problemas podem ser contornados por meio de uma mudança de variável, obtendo-se, assim, a distribuição normal padronizada ou reduzida. Distribuição normal padrão: - Seja Z uma variável aleatória talque: Z i = X i em que X é uma variável normal de média μ e variância σ. 3

24 Distribuição normal padrão: - A média e a variância de Z serão: E( Z ) Var( Z ) X 1 = E = X 1 = Var = E( X ) = E( X ) E( ) = Var( X ) = Var( X ) = = - Logo, a função densidade de probabilidade será: z 1 ( z ) = e, z - Como a média de Z é 0 e a variância 1, as probabilidades podem ser facilmente calculadas e tabeladas. = 0 Propriedades da distribuição normal 1. f(x) é simétrica em relação à média x = μ, ou φ(z) é simétrica em relação a z = 0. f(x) φ(z) μ 0 4

25 Propriedades da distribuição normal. f(x) possui um máximo para x = μ, ou φ(z) possui um máximo para z = 0. φ(z) 0,39 Propriedades da distribuição normal 3. f(x) tende a zero quando x tende para ±, o mesmo acontecendo com φ(z) quando z tende para ± ; isto é, x ou z são assíntotas de f(x) ou φ(z). 5

26 Propriedades da distribuição normal 4. f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem μ + σ e μ σ, da mesma forma φ(z) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem +1 e 1. μ-σ μ+σ Propriedades da distribuição normal 5. Em ambas as funções 99,99% dos valores da variável pertencem ao intervalo [μ - 4σ, μ + 4σ]. 6

27 Propriedades da distribuição normal 6. Na figura (a) estão representadas duas distribuições que têm o mesmo valor médio (μ 1 = μ ), mas diferentes desvios padrões (σ 1 < σ ). Na figura (b) estão representadas duas distribuições que têm o mesmo desvio padrão, mas médias diferentes. (a) 1 (b) Propriedades da distribuição normal 6. Alguns resultados úteis relativos à distribuição normal, são sumarizados na figura abaixo. Para qualquer variável aleatória normal, P( X + ) = 0,687 P( X + ) = 0,9545 P( 3 X + 3 ) = 0,9975 7

28 Propriedades da distribuição normal - Pelo fato de 0,9975 da probabilidade de uma distribuição normal estar dentro do intervalo (μ - 3σ, μ + 3σ), 6σ é frequentemente referida como a largura de uma distribuição normal. - A integração numérica pode ser usada para mostrar que a área sob a função densidade de probabilidade normal de < x < é igual a 1. Uso da tabela de distribuição normal padrão - Existem vários tipos de tabelas que oferecem as áreas (probabilidades) sob a curva normal padrão. - Essa tabela fornece a área sob a curva normal padrão entre z = - atéo valor de z considerado, ou seja, P(Z z). z 8

29 Uso da tabela de distribuição normal padrão - O uso da tabela para encontrar, por exemplo, P(Z 1,53) é ilustrado na figura abaixo: P(Z 1,53) = Φ (1,53) = área sombreada 1,53 z ,01 0,0 0, ,09 0 0, , , , , ,1 0, , , , , ,5 0, , , , , ,9 0, , , , , Uso da tabela de distribuição normal padrão - Definição: A função Φ(z) = P(Z z) é usada para denotar uma probabilidade proveniente da tabela anterior. Ela é chamada de função distribuição cumulativa de uma variável aleatória normal padrão. - Uma tabela é requerida porque a determinação da probabilidade pelos métodos elementares é complexa. 9

30 Uso da tabela de distribuição normal padrão - Outros exemplos: Uso da tabela de distribuição normal padrão - Exemplos: Os seguintes cálculos são mostrados de forma diagramática na figura a seguir. 1 ) P( Z 1,6 ) = 1 P( Z 1,6 ) = 1 0,89616 = 0,

31 Uso da tabela de distribuição normal padrão ) P( Z 0,86 ) = 0, ) P( Z 1,37 ) = P( Z 1,37 ) = 0,91465 Uso da tabela de distribuição normal padrão 4 ) P( 1,5 Z 0,37 ) = P( Z = 0, ,10565 = = 0, ,37 ) P( Z 1,5 ) = 31

32 Uso da tabela de distribuição normal padrão 5 ) P( Z P( Z P( Z P( Z 4,6 ) 3,99 ) = 0, ,6 ) 0,0003 4,6 ) 0 P( Z 3,99 ) Uso da tabela de distribuição normal padrão 6 ) P( Z z ) = 0,05 Da tabela : P( Z P( Z z ) = 0,95 0,95 ) z = 1,65 ( valor mais próximo ). 3

33 Uso da tabela de distribuição normal padrão 7 ) P( z Z z ) = 0,99 Por simetria, a área em cada extremidade da distribuição é igual a ( 1 0,99 ) / = 0,005. O valor de z corresponde a probabilidade de 0,995 na tabela. A probabilidade mais próxima desse valor na tabela é 0,99506, quando z,58. Cálculo das probabilidades para uma variável aleatória normal padrão arbitrária - Todas as distribuições normais estão relacionadas algebricamente e a tabela da distribuição normal padrão pode ser usada para encontrar as probabilidades associadas com uma variável aleatória normal arbitrária usando a transformação Z i = X i onde X é a variável aleatória normal de média μ e variância σ. 33

34 Cálculo das probabilidades para uma variável aleatória normal padrão arbitrária - Exemplo: Suponha que as medidas de corrente em um segmento de fio elétrico sigam a distribuição normal, com uma média de 10 miliamperes e uma variância de 4 miliamperes (desvio padrão de miliamperes). Qual a probabilidade de a medida exceder 13 miliamperes? Cálculo das probabilidades para uma variável aleatória normal padrão arbitrária - Seja X a representação da corrente em miliamperes. A probabilidade requerida pode ser representada por P(X > 13). Usando a transformação de variável tem-se: Logo, P( X X Z = = = 1,5 13) = P( Z 1,5 ) = 1 P( Z 1,5 ) = 1 0,93319 = 0, /06/019 08:03 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições 34

35 Distribuição qui-quadrado Trata-se de um modelo de distribuição contínua muito importante para a teoria da inferência estatística. Seja X 1, X,..., X n, como uma amostra aleatória de uma distribuição normal, com média µ e variância σ desconhecidas. A grandeza ( n 1 ) S = tem uma distribuição qui-quadrado, com n-1 graus de liberdade, abreviada como ou. n 1 Entendendo a ideia de graus de liberdade (Retirado e adaptado de parte do texto assinado por Rafael Guariento no site UFRJ): Imagine o seguinte: z + x + y = 10, se x é fixada, z e y são livres pra variar e ainda assim se conseguiria obter um resultado 10, por exemplo, x = 0, z pode ser 5 e y 5, z pode ser 8 e y, etc. Mas se z e x forem fixadas, agora y não é mais livre pra variar e o resultado ser 10, perde-se graus de liberdade. A estimativa 10 acaba ficando muito dependente da amostragem (tendo apenas 3 observações). 11/06/019 08:46 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições 35

36 Se fossem 10 observações e se fixasse z e x, y e outras poderiam ser livres pra variar, a dependência da amostragem diminuiria. Por isso que quanto menos graus de liberdade se tem, mais restritivo vai sendo pra se achar uma diferença significativa. As estimativas vão ficando cada vez mais dependentes umas das outras, o que faz com que o resultado possa ser muito dependente da amostragem, e aí se penaliza a inferência de alguma forma. 11/06/019 08:54 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições Grau de liberdade, em estatística, é determinado pelo número de observações na amostra e o número de parâmetros no modelo estudado. Aumentar o tamanho amostral fornece mais informações sobre a população e, desta forma, aumenta os graus de liberdade em seus dados. 11/06/019 08:58 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições 36

37 Distribuição qui-quadrado Em geral, a função densidade de probabilidade de uma variável qui-quadrado é dada abaixo, em que k é o número de graus de liberdade e Γ(k/) é a função gama: f ( x ) = k / 1 ( k / ) Pode-se demonstrar que a média de uma distribuição qui-quadrado é igual ao número de graus de liberdade, e que a variância é igual ao dobro do número de graus de liberdade: E Var ( k / ) 1 = ( ) = = ( ) = e /, ( m ) = 0 e x x m 1 dx Distribuição qui-quadrado A forma da curva que descreve a função densidade varia conforme o valor do grau de liberdade (valor do parâmetro φ): 37

38 Distribuição qui-quadrado Uso da tabela de distribuição qui-quadrado - A distribuição qui-quadrado está tabelada. A tabela fornece a abscissa da distribuição para diversas áreas (probabilidades) da cauda à direita. Assim: Distribuição qui-quadrado Uso da tabela de distribuição qui-quadrado - Exemplo 01: Admita φ = 9 e α = 5%. Entra-se na 1ª coluna com φ = 9, e na 1ª linha com α = 0,05; na intersecção dessas obtém-se o número 16,9. φ = 9 α = 5% 16,9 38

39 Distribuição qui-quadrado Uso da tabela de distribuição qui-quadrado - Exemplo 0: Considere uma distribuição qui-quadrado com parâmetro 18. Encontre: (a) a média, a variância e o desvio padrão; (b) a mediana; (c) o 1º quartil e (d) o 90º percentil. a) A média, a variância e o desvio padrão: ( 18 ( ( 18 ) = = ) = = 36 ) = = 36 = 6 Distribuição qui-quadrado Uso da tabela de distribuição qui-quadrado - Exemplo 0: b) A mediana 39

40 Distribuição qui-quadrado Uso da tabela de distribuição qui-quadrado - Exemplo 0: c) O 1º quartil Distribuição qui-quadrado Uso da tabela de distribuição qui-quadrado - Exemplo 0: d) O 90º percentil 40

41 Distribuição t de Student Trata-se de um modelo de distribuição contínua que se assemelha à distribuição normal padrão, N(0,1). É utilizada para inferências estatísticas, particularmente, quando se tem amostras com tamanhos inferiores a 30 elementos (Fonseca & Martins, 1996). Considere X 1, X 1,..., X n como uma amostra aleatória para uma distribuição normal com média e variância desconhecidas. A grandeza, X T = S / n tem uma distribuição t, com n - 1 graus de liberdade. Distribuição t de Student A função densidade de probabilidade t é dada abaixo, sendo k o número de graus de liberdade: [(k + 1 ) / 1 ( x ) = x ( k+ 1 ) / k ( k / ) [( x / k ) + 1] f Como visto, a distribuição t também possui um parâmetro denominado grau de liberdade (k = φ = n - 1), e é simétrica em relação à sua média. A média dessa distribuição é zero, e sua variância é dada por: Var t = ( t ) = ( ) 41

42 Distribuição t de Student Gráfico da distribuição t de Student (para φ = 4): Observa-se que para valores de φ < 30 a distribuição t apresenta maior dispersão do que a normal padrão N(0,1), já que o desvio padrão, nesses casos, é maior do que 1, que é o desvio padrão da distribuição normal padrão. Distribuição t de Student Exemplo: - Para φ = 4 tem-se: 4 ( t 4 ) = = 1, Para φ = 35 tem-se: 35 ( t 35 ) = = 1, Para φ = 60 tem-se: 60 ( t 60 ) = = 1,0 60 4

43 Distribuição t de Student Uso da tabela de distribuição t de Student - Trata-se de uma tabela unicaudal. Assim: 1 α α Encontra-se na tabela Distribuição t de Student Uso da tabela de distribuição t de Student - Procedimento de uso da tabela: 43

44 Distribuição t de Student Exemplo: Considere uma distribuição t com parâmetro igual a 18. Encontre: (a) a média, a variância e o desvio padrão; (b) a mediana; (c) o 1º quartil e (d) o 95º percentil. a) A média, a variância e o desvio padrão: Média : ( t 18 Variância : ( t Desvio padrão: ) = ) = = 1,13 18 ( t 18 ) = 1,13 = 1,06 Distribuição t de Student Exemplo: b) A mediana Md(t 18 ) : Md = c) O 1º quatil Q 1 : d) O 95º percentil P 95 : 44

45 Distribuição F de Snedecor Trata-se de um modelo de distribuição contínua também útil para inferências estatísticas. A distribuição F é a razão entre duas variáveis aleatórias independentes com distribuições qui-quadrado. Assim, uma distribuição F com υ (pronuncia-se upsilon) graus de liberdade no numerador e ν (pronuncia-se ni) graus de liberdade no denominador é expressa por: F(, ) = = Distribuição F de Snedecor Sejam W e Y variáveis aleatórias independentes qui-quadrado, com υ e ν graus de liberdade, respectivamente. Então a razão W / F = Y / tem a função densidade de probabilidade + / ( / ) 1 f ( x ) = ( + ) 1 x x e é dita seguir a distribuição F com υ graus de liberdade no numerador e ν graus de liberdade no denominador, geralmente abreviada com F υ,ν. x 45

46 Distribuição F de Snedecor A função F possui dois parâmetros: o grau de liberdade do numerador e o grau de liberdade do denominador, que são denominados, comumente, por υ e ν ou φ 1 e φ. A média, a variância e a moda dessa distribuição são dadas por: Média : Variância : Moda : = ( 1 + ) ( 4)( ) = 1 Distribuição F de Snedecor Formas de gráficos da distribuição F : 46

47 Distribuição F de Snedecor Uso da tabela de distribuição F - A tabela fornece as abscissas que deixam α na cauda à direita, dados os parâmetros φ 1 e φ. Distribuição F de Snedecor Uso da tabela de distribuição F - Para se encontrar o valor da abscissa F 1-α (u,v) utiliza-se a fórmula: 1 F1,u,v = F - Exemplo: Admita uma distribuição F com u = 9, v = 5 e α = 5, determine as abscissas.,v,u 47

48 IV Modelos de Distribuições FIM 48