PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES (continuação)

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1 UFPE - Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Estatística Disciplina: ET-406 Estatística Econômica Professor: Waldemar A. de Santa Cruz Oliveira Júnior PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES (continuação) Distribuição Gama Uma VA X tem distribuição gama com parâmetros α 0 e β > 0 se sua densidade é dada por { 1 α 1 e /β, X > 0, f( α, β) = Γ(α)β α 0, caso contrário. Em que Γ(α) = 0 e α 1 d, α > 0 é denominada função gama. A função gama é uma espécie de generalização da função fatorial, no sentido que Γ(α) = (α 1)Γ(α 1), com α > 1. Assim, se α for um número inteiro temos eatamente a função fatorial, Γ(α) = (α 1)!. Outro fato relevante desta função é que pode-se provar que Γ(1/2) = π. A notação utilizada quando X tem distribuição gama com parâmetros α e β é X Gama(α, β). Se α 1, o gráco da densidade gama tem o formato do gráco esquerdo da gura abaio. Caso contrário tem o formato do gráco da direita. 1

2 Densidade da Gamma densidade densidade Seu valor esperado é E[X] = αβ, enquanto sua variância é Var[X] = αβ 2. Distribuição t de Student Sejam Z N(0, 1) e X χ 2 (n), com Z e X independentes, então, a VA, tem densidade dada por f(t n) = T = Z X/n, Γ((n + 1)/2) Γ(n/2) nπ (1 + t2 /n) (n+1)/2, com t R. Neste caso dizemos que T tem um distribuição t de Student com n graus de liberdade. E usamos a seguinte notação, T t (n). 2

3 O gráco abaio representa a densidade de uma VA t de Student. Este gráco é muito semelhante com o gráco da densidade normal padrão, porém, este tem caldas mais pesadas. t Student n=10 f() O valor esperado dessa variável é E[Y ] = 0 e a sua variância é Var[T ] = n n 2 Ȧ densidade t de Student também está tabelada em diversos livros de estatística. Por eemplo, no livro do Bussab temos que para diversos graus de liberdades e diversos α's estão associados valores de T. A gura abaio mostra parte desta tabela 3

4 Da gura acima concluímos que se T é uma VA com densidade t de Student com 10 graus de liberdade, temos que P ( 0, 879 T 0, 879) = 0, 6. Para entender melhor esta probabilidade veja a gura abaio e obsreve que n = 10, α = 0, 4 e t α = 0, 879 Área Hachurada = P(X< t α )+P(X>t α )=α f() 1 α α/2 α/2 t α t α Assim, usando a simetria desta distribuição determine: a) P (0 T 0, 879) b) P (T 0, 879) c) P (T 0, 879) Esta densidade é muito utilizada na construção de intervalos de conança e testes de hipóteses para a média de uma população normal com variância desconhecida. Distribuição F de Snedecor Considere U e V duas VA's independentes e distribuídas segundo uma qui-quadrado com n 1 e n 2 graus de liberdade, respectivamente. Então, a VA W = U/n 1 V/n 2, 4

5 tem densidade dada por f(w n 1, n 2 ) = Γ((n 1 + n 2 )/2) Γ(n 1 /2)Γ(n 2 /2) ( ) n1 /2 n1 n 2 w (n 1 2)/2) (1 + n 1 w/n 2 ) (n 1+n 2 )/2, com w > 0. Dizemos que a VA W tem distribuição F de Snedecor (ou apenas F) com n 1 e n 2 graus de liberdade. E usamos a notação W F (n 1, n 2 ). Um eemplo do gráco de uma densidade F pode ser visto na gura abaio F de Snedecor com (10,2) graus de liberdade f() Pode-se mostrar que E[W ] = n 2 n 2 2 e Var[W ] = 2n2 2 (n 1+n 2 2) n 1 (n 2 2) 2 (n 2 4). 5

6 As tabelas da F se baseiam na probabilidade da VA ser maior que um determinado valor, como mostra a gura abaio Área Hachurada = P(X>f α )=α f() 1 α f α α A densidade da F é determinada por dois parâmetros n 1 e n 2, então, para cada α teremos uma tabela associando diversos graus de liberdade a um valor f α. Por eemplo, na gura abaio temos a tabela para α = 5% O círculo em preto está marcando o valor 19,40. P (F (10,2) > 19, 40) = 0, 05. Isto quer dizer que 6

7 Uma propiedade interessante da densidade F é F (n 1, n 2 ) = 1 F (n 2, n 1 ). Assim, suponha que queremos encontrar f, tal que, P (F (10,2) f) = 0, 05. Então, usaremos a tabela da F e esta última propriedade. P ( F (10,2) f ) = P Portanto, 1 f P ( 1 > 1 ) F (10,2) f = P ( F (2,10) > 4, 10 ) = 0, 05 Veja o círculo em vermelho na tabela = 4, 10 logo f = 0, Ou seja, ( F (10,2) 1 ) = P ( F (10,2) 0, 2439 ) = 0, 05. 4, 10 Eemplo: Calcule as probabilidades a) P (0, 2439 F (10,2) 19, 40) b) P (F (10,2) 0, 2439) c) P (F (10,2) 19, 40) Uma aplicação desta VA está na comparação da variância de duas populações normais. Ou seja, dadas duas populações normais podemos construir um teste de hipóteses para testar se essas populações têm a mesma variância. Referência Bibliográca: Bussab, W. O. & Morettin, P. A. (2002), Estatística Básica, 5a Edição, Editora: Saraiva. Meyer, P. (1969), Probabilidade: Aplicações à Estatística. Ao Livro Técnico. Morettin, L. G. (2009), Estatística Básica: Probabilidade e Inferência, Volume Único, Pearson Education. 7