Aula 16: Análise de Aderência e Associação

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1 Aula 16: Análise de Aderência e Associação Professor: José Luiz Padilha da Silva jlpadilha@ufpr.br Departamento de Estatística Universidade Federal do Paraná Curitiba, 2018 José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 1 / 16

2 Sumário 1 Introdução 2 Teste de Aderência 3 Teste de Homogeneidade 4 Teste de Independência José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 2 / 16

3 Introdução Introdução Considere o problema de vericar a associação entre duas variáveis qualitativas X e Y. Suponha que a variável X seja classicada em r categorias e a variável Y seja classicada em s categorias. Os dados podem ser resumidos em tabelas de dupla entrada (ou de contingência) em que aparecerão as frequências de indivíduos que pertencem simultaneamente a categorias de uma e outra variável. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 3 / 16

4 Introdução Notação para Tabela de Contingência José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 4 / 16

5 Introdução Hipótese de Independência Sob a hipótese de que as variáveis X e Y não sejam associadas (comumente dizemos independentes), temos que n i1 n.1 = n i2 n.2 =... = n is n.s, i = 1, 2,..., r ou ainda n ij = n i., i = 1, 2,..., r, j = 1, 2,..., s n.j n de onde se deduz, nalmente, que n ij = n i.n.j, i = 1, 2,..., r, j = 1, 2,..., s n Portanto, sob a hipótese de independência, segue que, em termos de frequências relativas, podemos escrever f ij = f i. f.j. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 5 / 16

6 Introdução Estatística Qui-quadrado Podemos avaliar a associação entre X e Y por meio da estatística qui-quadrado de Pearson, dada por: χ 2 = r s (n ij nij )2, i=1 j=1 n ij em que nij denota o valor esperado sob a hipótese nula de que as duas v.a. não são associadas. Tal estatística deve ser pequena se a hipótese H 0 de não associação for verdadeira, e grande, caso contrário. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 6 / 16

7 Teste de Aderência Teste de Aderência Temos uma população P e queremos vericar se ela segue uma distribuição especicada P 0, isto é, queremos testar a hipótese H 0 : P = P 0. Aqui, o teste comparará o número de casos ocorridos em caselas especicadas, com o número esperado de casos nelas, quando a hipótese H 0 for verdadeira. A variável X pode ser qualitativa ou quantitativa (agrupada em classes). José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 7 / 16

8 Teste de Aderência Exemplo 1 Um dado é lançado 300 vezes e queremos saber se o dado é honesto, isto é, se a probabilidade de ocorrência de qualquer face é 1/6. Queremos testar a hipótese H 0 : p 1 = p 2 =... = p 6 = 1/6, e, que pi = P(face i), i = 1, 2,..., 6. Isso equivale a dizer que P 0 segue uma distribuição uniforme discreta. A seguir os resultados. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 8 / 16

9 Teste de Aderência Exemplo 1 Se H 0 for verdadeira esperamos 50 casos em cada casela. Calculando a estatística de teste, obtemos: χ 2 obs = (43 50) (41 50)2 50 = 8, 56. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 9 / 16

10 Teste de Aderência Exemplo 1 Sob H 0 esta estatística segue uma distribuição qui-quadrado com cinco graus de liberdade. Consultando a tabela, com α = 0, 05 e 5 graus de liberdade, encontramos o valor crítico χ 2 c = 11, 0705, que é maior do que χ 2 obs = 8, 56, logo, não rejeitamos H 0. Ou seja, há evidências de que o dado seja honesto. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 10 / 16

11 Teste de Homogeneidade Exemplo 2 Uma prova básica de Estatística foi aplicada a 100 alunos de Ciências Humanas e a 100 alunos de Ciências Biológicas. As notas são classicadas segundo os graus A, B, C, D e E (em que D signica que o aluno não recebe créditos e E indica que o aluno foi reprovado). Os resultados estão na tabela a seguir. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 11 / 16

12 Teste de Homogeneidade Exemplo 2 Queremos testar se as distribuições das notas, para as diversas classes, são as mesmas para os dois grupos de alunos. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 12 / 16

13 Teste de Homogeneidade Exemplo 2 Considerando P 1 como a população de alunos de Ciências Humanas e P 2 a dos alunos de Ciências Biológicas, nosso objetivo é testar a hipótese H 0 : P 1 = P 2. A tabela a seguir mostra os valores esperados sob a hipótese nula. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 13 / 16

14 Teste de Homogeneidade Exemplo 1 Obtemos: χ 2 obs = (15 11, 5)2 11, (15 16) (17 16)2 16 = 9, 09. Sob H 0 esta estatística segue uma distribuição qui-quadrado com quatro graus de liberdade. Consultando a tabela, com α = 0, 05 e 4 graus de liberdade, encontramos o valor crítico χ 2 c = 9, 4877, que leva à não rejeição de H 0. Ou seja, a distribuição das notas é a mesma para as duas populações. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 14 / 16

15 Teste de Independência Exemplo 3 Uma companhia de seguros analisou a frequência com que segurados (1.000 homens e mulheres) usaram hospitais. A hipótese a testar é que o uso de hospital independe do sexo do segurado. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 15 / 16

16 Teste de Independência Exemplo 3 Para estes dados, obtemos: χ 2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 obs = = 11, Sob H 0 temos distribuição qui-quadrado com dois graus de liberdade. Consultando a tabela, com α = 0, 01 e 4 graus de liberdade, encontramos o valor crítico χ 2 c = 6, 6349, que leva à rejeição de H 0. Concluímos então o uso do hospital depende do sexo do segurado. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 16 / 16