Aula 2: Resumo de Dados

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1 Aula 2: Resumo de Dados Professor: José Luiz Padilha da Silva Departamento de Estatística Universidade Federal do Paraná Curitiba, 2018 José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 1 / 48

2 Sumário 1 Resumo de Dados Tipos de Variáveis 2 Distribuição de Frequências 3 Grácos Grácos para Variáveis Qualitativas Grácos para Variáveis Quantitativas 4 Ramo e Folhas José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 2 / 48

3 Resumo de Dados Tipos de Variáveis Exemplo 2.1 Um pesquisador está interessado em fazer um levantamento sobre alguns aspectos socioeconômicos dos empregados da seção de orçamentos da Companhia MB. Usando informações obtidas do departamento de pessoal, ele elaborou uma tabela com os dados (planilha de dados). Planilhas são matrizes de dados: cada linha da matriz corresponde a uma unidade de investigação (por exemplo, unidade amostral), e cada coluna representa uma variável, que corresponde à realização de uma característica. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 3 / 48

4 Resumo de Dados Tipos de Variáveis José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 4 / 48

5 Resumo de Dados Tipos de Variáveis Exemplo 2.1 Observamos que o pesquisador colheu informações sobre seis variáveis: Variável Estado civil Grau de instrução Número de lhos Salário Idade Região de procedência Representação X Y Z S U V José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 5 / 48

6 Resumo de Dados Tipos de Variáveis Tipos de Variáveis Algumas variáveis, como sexo, educação, estado civil, apresentam como possíveis realizações uma qualidade (ou atributo). Outras, como número de lhos, salário, idade, apresentam como possíveis realizações números resultantes de uma contagem ou mensuração. As variáveis do primeiro tipo são chamadas qualitativas, e as do segundo grupo, quantitativas. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 6 / 48

7 Resumo de Dados Tipos de Variáveis Tipos de Variáveis Dentre as variáveis qualitativas, ainda podemos fazer uma distinção entre dois tipos: nominal, para a qual não existe nenhuma ordenação nas possíveis realizações; ordinal, para a qual existe uma ordem nos seus resultados. No exemplo, a região de procedência é uma variável nominal, enquanto grau de instrução é uma variável ordinal. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 7 / 48

8 Resumo de Dados Tipos de Variáveis Tipos de Variáveis As variáveis quantitativas podem ser classicadas como: discretas, cujos possíveis valores formam um conjunto nito ou enumerável de números, e que resultam, frequentemente, de uma contagem; contínuas, cujos possíveis valores pertencem a um intervalo de números reais e que resultam de uma mensuração. No exemplo, quais variáveis podem ser classicadas como quantitativas? José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 8 / 48

9 Resumo de Dados Tipos de Variáveis Tipos de Variáveis José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 9 / 48

10 Resumo de Dados Tipos de Variáveis Tipos de Variáveis Para cada tipo de variável existem técnicas apropriadas para resumir as informações, daí a vantagem de usar uma tipologia de identicação como a da gura anterior. Em algumas situações podem-se atribuir valores numéricos à uma variável qualitativa e proceder como se ela fosse quantitativa... A chamada variável dicotômica é um desses casos. No exemplo, a variável estado civil estaria nesta situação. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 10 / 48

11 Distribuição de Frequências Distribuição de Frequências Quando se estuda uma variável, o maior interesse do pesquisador é conhecer o comportamento dessa variável, analisando a ocorrência de suas possíveis realizações. Veremos como se dispor de um conjunto de realizações, para se ter uma ideia global sobre elas, ou seja, de sua distribuição. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 11 / 48

12 Distribuição de Frequências Exemplo 2.2 José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 12 / 48

13 Exemplo 2.2 Distribuição de Frequências Usaremos a notação: n i para indicar a frequência (absoluta) de cada classe, ou categoria, da variável; f i = n i /n para indicar a proporção (ou frequência relativa) de cada classe; n para indicar o número total de observações. As proporções são muito úteis para comparar resultados de duas pesquisas distintas. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 13 / 48

14 Distribuição de Frequências Exemplo 2.3 José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 14 / 48

15 Distribuição de Frequências Exemplo 2.3 Não podemos comparar diretamente as colunas das frequências das Tabelas 2.2 e 2.3, pois os totais de empregados são diferentes nos dois casos. Mas podemos comparar as porcentagens, pois reduzimos as frequências a um mesmo total (no caso 100). A construção da tabela de frequências para variáveis contínuas requer certo cuidado. Para a variável salário, vamos agrupar os dados em faixas. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 15 / 48

16 Distribuição de Frequências Exemplo 2.3 José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 16 / 48

17 Exemplo 2.3 Distribuição de Frequências Procedendo-se deste modo há perda de informação. Por exemplo, não sabemos quais são os oito salários da classe de 12 a 16. A escolha dos intervalos é arbitrária e a familiaridade do pesquisador com os dados é que lhe indicará quantas e quais classes devem ser usadas: com poucas classes perde-se informação; com muitas classes o objetivo de resumir os dados ca prejudicado. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 17 / 48

18 Distribuição de Frequências Escalas de Medida A seguir descrevemos outros possíveis critérios para classicar variáveis, em função da escala adotada. Observe a similaridade com a classicação apresentada anteriormente. Existem quatro escalas de medidas que podem ser consideradas. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 18 / 48

19 Escala nominal Distribuição de Frequências Somente podemos armar que uma medida é diferente ou não da outra. Usada para categorizar indivíduos de uma população. Ex: Sexo. Associamos as letras M (masculino) e F (feminino) ou 1 (masculino) e 2 (feminino). Não podemos realizar operações aritméticas. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 19 / 48

20 Escala ordinal Distribuição de Frequências. Podemos dizer que uma medida é diferente e maior que outra. As categorias são ordenadas e a ordem dos numerais associados ordena as categorias. Ex: Classe socieconômica, que pode ser baixa (1 ou X ), média (2 ou Y ), e alta (3 ou Z ). Transformações que preservam a ordem não alteram a estrutura. No exemplo, podemos representar as categorias por 1, 10 e 100 ou A, L e Z. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 20 / 48

21 Escala intervalar Distribuição de Frequências Podemos dizer que uma medida é diferente, maior e quanto maior que outra. Necessitamos de uma origem arbitrária e de uma escala de medida. Ex: considere a temperatura na escala Fahrenheit, em que a origem é 0 o F e a unidade é 1 o F. Transformações que preservam a estrutura são do tipo y = ax + b, a > 0. A transformação y = 5/9(x 32) transforma graus Fahrenheit em centígrados. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 21 / 48

22 Escala razão Distribuição de Frequências Podemos dizer que uma medida é diferente, maior, quanto maior e quantas vezes a outra. A diferença com a escala intervalar é que agora existe um zero absoluto. Ex: altura de um indivíduo, em cm. Um indivíduo com 190 cm tem duas vezes a altura de um com 95 cm e essa relação continua a valer se usarmos 1m como unidade. A estrutura não é alterada por transformações da forma y = cx. Por exemplo, y = x/100 transforma cm em m. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 22 / 48

23 Distribuição de Frequências Escalas de Medida Para as variáveis abaixo, indique a escala de medida usualmente adotada para resumir os dados em tabelas de frequências: (a) Salários de empregados de uma indústria. (b) Opinião de consumidores sobre determinado produto. (c) Número de respostas certas de alunos num teste de dez itens. (d) Temperatura diária da cidade de Manaus. (e) Porcentagem da receita de municípios aplicada em educação. (f) Opinião dos empregados da companhia MB sobre a realização ou não de cursos obrigatórios de treinamento. (g) QI de um indivíduo. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 23 / 48

24 Grácos Grácos A representação gráca da distribuição de uma variável tem a vantagem de, rápida e concisamente, informar sobre sua variabilidade. Existem vários grácos que podem ser utilizados e abordaremos aqui os mais simples para variáveis quantitativas. Posteriormente, voltaremos a este assunto, em conexão com medidas associadas à distribuição de uma variável. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 24 / 48

25 Grácos Grácos para Variáveis Qualitativas Gráco em Barras O gráco em barras consiste em construir retângulos ou barras, em que uma das dimensões é proporcional à magnitude a ser representada (n i ou f i ),sendo a outra arbitrária, porém igual para todas as barras. Essas barras são dispostas paralelamente umas às outras, horizontal ou verticalmente. Exemplo 2.4: Considere a variável Y: grau de instrução, representada na gura a seguir. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 25 / 48

26 Grácos Grácos para Variáveis Qualitativas Gráco em Barras José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 26 / 48

27 Grácos Grácos para Variáveis Qualitativas Gráco em Setores Já o gráco de composição em setores, sendo em forma de pizza o mais conhecido,destina-se a representar a composição, usualmente em porcentagem, de partes de um todo. Consiste num círculo de raio arbitrário, representando o todo, dividido em setores, que correspondem às partes de maneira proporcional. A seguir temos este gráco para a variável Y. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 27 / 48

28 Grácos Grácos para Variáveis Qualitativas Gráco em Setores José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 28 / 48

29 Grácos Grácos para Variáveis Quantitativas Grácos para Variáveis Quantitativas Para variáveis quantitativas podemos considerar uma variedade maior de representações grácas. Exemplo 2.5: Considere a distribuição da variável Z, número de lhos dos empregados casados da seção de orçamentos da Companhia MB. A seguir temos as frequências e porcentagens, e um gráco em barras. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 29 / 48

30 Grácos Grácos para Variáveis Quantitativas José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 30 / 48

31 Grácos Grácos para Variáveis Quantitativas Grácos para Variáveis Quantitativas José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 31 / 48

32 Grácos Grácos para Variáveis Quantitativas Grácos de Dispersão Unidimensional Na Figura 2.5 temos um gráco de dispersão unidimensional: Em (a) os valores são representados por pontos ao longo da reta (provida de uma escala). Valores repetidos são acompanhados por um número que indica as repetições. Em (b) os valores repetidos são empilhados, um em cima do outro. Em (c) é representado o ponto mais alto da pilha. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 32 / 48

33 Grácos Grácos para Variáveis Quantitativas Grácos de Dispersão Unidimensional José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 33 / 48

34 Grácos Grácos para Variáveis Quantitativas Variáveis Contínuas Exemplo 2.6: Queremos representar gracamente a distribuição da variável S, salário dos empregados. Vamos aproximar a variável contínua por uma variável discreta, assumindo que todos os salários em determinada classe são iguais ao ponto médio desta classe. A Tabela 2.4 fornece a distribuição de frequências de S e a Tabela 2.6 contém os pontos médios das classes. O gráco é mostrado na sequência. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 34 / 48

35 Grácos Grácos para Variáveis Quantitativas José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 35 / 48

36 Grácos Grácos para Variáveis Quantitativas José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 36 / 48

37 Grácos Grácos para Variáveis Quantitativas José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 37 / 48

38 Grácos Grácos para Variáveis Quantitativas Grácos para Variáveis Quantitativas O artifício usado acima para representar uma variável contínua faz com que se perca muito das informações nela contidas. Uma alternativa a ser usada nestes casos é o gráco conhecido como histograma. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 38 / 48

39 Grácos Grácos para Variáveis Quantitativas Histograma O histograma é um gráco de barras contíguas, com as bases proporcionais aos intervalos das classes e a área de cada retângulo proporcional à respectiva frequência. Pode-se usar tanto a frequência absoluta, n i, como a relativa, f i. Indiquemos a amplitude do i-ésimo intervalo por i. Para que a área do retângulo respectivo seja proporcional a f i, a sua altura deve ser proporcional a f i / i (ou a n i / i ), que é chamada densidade de frequência da i-ésima classe. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 39 / 48

40 Grácos Grácos para Variáveis Quantitativas Histograma Quanto mais dados tivermos em cada classe, mais alto deve ser o retângulo. Com essa convenção, a área total do histograma será igual a um. Quando os intervalos das classes forem todos iguais a, a densidade de frequência da i-ésima classe passa a ser f i / (ou ni/ ). É claro que marcar no eixo das ordenadas os valores n i, f i, n i / ou f i / leva a obter histogramas com a mesma forma; somente as áreas é que serão diferentes. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 40 / 48

41 Grácos Grácos para Variáveis Quantitativas José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 41 / 48

42 Grácos Grácos para Variáveis Quantitativas Histograma Do mesmo modo que usamos um artifício para representar uma variável contínua como uma variável discreta, podemos usar um artifício para construir um histograma para variáveis discretas. A Figura 2.8 é um exemplo de como caria o histograma da variável Z, número de lhos dos empregados casados da seção de orçamentos da Companhia MB, segundo os dados da Tabela 2.5. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 42 / 48

43 Grácos Grácos para Variáveis Quantitativas José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 43 / 48

44 Ramo e Folhas Ramo e Folhas Tanto o histograma como os grácos em barras dão uma ideia da forma da distribuição da variável sob consideração. Mas a forma da distribuição é tão importante quanto estas medidas. Por exemplo, saber que a renda per capita de um país é de tantos dólares pode ser um dado interessante, mas saber como esta renda se distribui é mais importante. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 44 / 48

45 Ramo e Folhas Ramo e Folhas Um procedimento alternativo para resumir um conjunto de valores, com o objetivo de se obter uma ideia da forma de sua distribuição, é o ramo-e-folhas. Uma vantagem deste diagrama sobre o histograma é que não perdemos (ou perdemos pouca) informação sobre os dados em si. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 45 / 48

46 Ramo e Folhas Exemplo 2.8 Na Figura 2.9 construímos o ramo-e-folhas dos salários de 36 empregados da Companhia MB (Tabela 2.1). Não existe uma regra xa para construir o ramo-e-folhas, masa ideia básica é dividir cada observação em duas partes: a primeira (o ramo) é colocada à esquerda de uma linha vertical, a segunda (a folha) é colocada à direita. Assim, para os salários 4, 00 e 4, 56, o 4 é o ramo e 00 e 56 são as folhas. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 46 / 48

47 Ramo e Folhas José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 47 / 48

48 Ramo e Folhas Exemplo 2.8 Algumas informações que se obtêm deste ramo-e-folhas são: (a) Há um destaque grande para o valor 23, 30. (b) Os demais valores estão razoavelmente concentrados entre 4, 00 e 19, 40. (c) Um valor mais ou menos típico para este conjunto de dados poderia ser, por exemplo, 10, 00. (d) Há uma leve assimetria em direção aos valores grandes; a suposição de que estes dados possam ser considerados como amostra de uma população com distribuição simétrica, em forma de sino (a chamada distribuição normal), pode ser questionada. José Luiz Padilha da Silva (UFPR) ce003 - Estatística II 48 / 48