Teste Qui-quadrado. Comparando proporções Verificando a hipótese de associação entre variáveis qualitativas

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1 Teste Qui-quadrado Comparando proporções Verificando a hipótese de associação entre variáveis qualitativas

2 Exemplo Inicial: Igualdade de Proporções A administração de um hospital deseja verificar se luvas de três marcas (A, B e C) são homogêneas quanto à permeabilidade a vírus. Para isto, realizou um experimento, no qual 40 luvas da marca A, 40 luvas da marca B e 300 luvas da marca C foram submetidas à tensão. Durante os testes, 151 luvas da marca A (6.9%), 134 luvas da marca B (55.8%) e 177 luvas da marca C (40.0%) deixaram passar vírus quando submetidas à tensão. Os dados do experimento apresentam evidências estatísticas suficientes contra a hipótese de que as três marcas possuem a mesma permeabilidade? H 0 : P A = P B = P C = P H a : ao menos uma das permeabilidades é diferente das outras

3 Teste de Igualdade de Proporções (mais de uma população) Tabela de valores observados Marca da luva A B C Deixou passar vírus quando submetida à tensão? Sim Não Tabela de Classificação Cruzada

4 Construção do Teste H 0 : P A = P B = P C = P H a : ao menos uma das permeabilidades é diferente das outras Marca da luva Deixou passar vírus quando submetida à tensão? Sim Não A B C P ˆ = Estimativa de P, a permeabilidade comum

5 Construção do Teste Se H 0 (P A = P B = P C = P) é verdadeira: quantas luvas que deixam passar o vírus deveríamos esperar dentre as luvas da marca A? E dentre as luvas da marca B? E da marca C? Marca da luva A B Deixou passar vírus quando submetida à tensão? Sim Não 151 (40x46/780=14.15) ( =97.85) (40x46/780=14.15) ( =97.85) C (300x46/780=177.70) ( =1.30) P ˆ = Valores esperados sob H 0

6 Construção do Teste Note que os valores esperados sob H 0 são calculados como uma função simples dos totais de linha, coluna e do total geral Valor Esperado da casela = (total de linha) (total de coluna) (total geral) Marca da luva Deixou passar vírus quando submetida à tensão? Sim Não A 151 (40x46/780=14.15) (40x318/780=97.85) 40 B (40x46/780=14.15) (40x318/780=97.85) 40 C (300x46/780=177.70) (300x318/780=1.30)

7 Construção do Teste Marca da luva A B C Tabela de Valores Observados (esperados sob H 0 entre parênteses) Deixou passar vírus quando submetida à tensão? Sim 151 (14.15) 134 (14.15) 177 (177.70) 46 Não 89 (97.85) 106 (97.85) 13 (1.30) Estatística de Teste = Observado Esperado sob H 0

8 Construção do Teste Tabela de Valores Observados (esperados sob H 0 entre parênteses) Marca da luva A B C Deixou passar vírus quando submetida à tensão? Sim 151 (14.15) 134 (14.15) 177 (177.70) (1.30) Estatística de Teste = ( ) ( ) Não 89 (97.85) 106 (97.85) 318 ( ) ( ) ( ) ( )

9 Construção do Teste Tabela de Valores Observados (esperados sob H 0 entre parênteses) Marca da luva A B C Deixou passar vírus quando submetida à tensão? Sim 151 (14.15) 134 (14.15) 177 (177.70) 46 Não 89 (97.85) 106 (97.85) 13 (1.30) Estatística de Teste = X =.50 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

10 Valores críticos para X O valor de X é grande ou pequeno? Valores de Referência para X Distribuição de Probabilidade de X Distribuição Qui-quadrado χ gl 5 g.l. 10 g.l. 0

11

12 Graus de Liberdade para o Teste Qui-Quadrado No caso do teste Qui-quadrado, os graus de liberdade da distribuição de referência equivalem ao número de caselas livres na tabela Exemplo: Tabela x A B Marca da luva Deixou passar vírus quando submetida à tensão? Sim Não G.L. = (número de linhas -1) x (número de colunas -1)

13 Voltando ao exemplo inicial. Tabela 3 x G.l. = (3-1) x (-1) = x 1 = O valor da estatística X deve ser comparado aos valores de distribuição Qui-quadrado com graus de liberdade. Se α = 0.05, α RR : X > χ 0.05 ; χ α ;gl Percentil que deixa uma área de α=0.05 acima dele na distribuição Qui-quadrado com graus de liberdade (linha, coluna do 0.05)

14

15 Voltando ao exemplo inicial. RR : X > O valor da estatística observado de X foi.50. Como esse valor não pertence à região de valores críticos do teste qui-quadrado, a distância entre os valores observados e os valores esperados sob H 0 foi considerada pequena. Assim, o experimento não mostrou evidências estatísticas suficientes para a rejeição da hipótese de que as permeabilidades das luvas das três marcas sejam iguais, a 5% de significância.

16 Se rejeitarmos a hipótese da homogeneidade das permeabilidades usando os dados deste experimento. Qual será o risco de estarmos cometendo o erro tipo I? Valor P = P[ obter um valor de X ainda mais extremo do que o valor observado ] Valor P = P[χ gl > X obs ] Valor P X obs

17 Voltando ao exemplo inicial. Valor P = P[χ gl >.50] Na linha da Tabela Qui-quadrado, não existe o valor.50. Valor P = P[χ gl >.50] > Conclusão: Os dados do experimento não mostraram evidências estatísticas suficientes para a rejeição da hipótese de que as permeabilidades das luvas das três marcas sejam iguais (valor P > 0.10).

18 Teste Qui-quadrado para homogeneidade de proporções H 0 : As proporções de sucesso são homogêneas para todas as populações H a : Ao menos uma população tem proporção de sucesso diferente das demais Onde : N c é o número total de caselas da tabela X obs N c = i= 1 ( O E ) i E i i O i é o valor observado na caselai, i=1,,, N c E i é o valor esperado na caselai. E i = (total de linha) (total de coluna) (total geral) Valor P = P[χ gl > X obs ], onde g.l. = (l-1) x (c-1)

19 Estatística X simplificada para o caso da Tabela x Marca da luva Deixou passar vírus quando submetida à tensão? Sim Não A 151 a 89 b 40 (a+b) B 134 c 106 d 40 (c+d) 85 (a+c) 195 (b+d) 480 N X = N ( ad bc) ( a + b)( a + c)( b + d)( c + d)

20 Resolvendo o exemplo apenas com luvas A e B. A B Marca da luva Deixou passar vírus quando submetida à tensão? Sim 151 a 134 c 85 (a+c) Não 89 b 106 d 195 (b+d) 40 (a+b) 40 (c+d) 480 N X 480( ) = = (40)(85)(195)(40).49

21 Teste Qui-quadrado de independência Um número arbitrário N de indivíduos são classificados segundo duas variáveis qualitativas (variável A e variável B) Variável A Variável B B 1 B... B m A 1 A A 3 A n N

22 Exemplo: associação entre grupo sanguíneo e presença de uma característica de interesse Grupo Sangüíneo A B AB O Tabela de Classificação Cruzada Presente Característica Ausente [Reis e Reis, 000]

23 H 0 : H A : Variável A não está associada à Variável B (A e B são independentes) Variável A está associada à Variável B (A e B não são independentes) Onde : N c é o número total de caselas da tabela X obs N c = i= 1 ( O E ) i E i i O i é o valor observado na caselai, i=1,,, N c E i é o valor esperado na caselai. E i = (total de linha) (total de coluna) (total geral) Valor P = P[χ gl > X obs ], onde g.l. = (l-1) x (c-1)

24 Associação entre toxoplasmose e acidente de trânsito em pessoas com sangue Rh negativo [Flerg et al, 009]

25 H 0 : H A : acidente automobilístico NÃO está associado à presença de toxoplasmose em pessoas com Rh negativo acidente automobilístico está associado à presença de toxoplasmose em pessoas com Rh negativo Toxoplasma Acidente? Não Sim Não Sim X 71( ) = = (181)(696)(5)(540) 4.9 Valor P = P[χ 1 > 4.9]

26 4.9 (0.05 < Valor P < 0.05) Ao nível de 5% de significância, há evidências estatísticas suficientes a favor da hipótese de associação entre acidente automobilístico e presença de toxoplasmose em pessoas com sangue Rh negativo (0.05 < Valor P < 0.05).

27 Associação entre toxoplasmose e acidente de trânsito em pessoas com sangue Rh positivo Increased incidence of traffic accidents in Toxoplasma-infected military drivers and protective effect RhD molecule revealed by a large-scale prospective cohort study

28 H 0 : H A : acidente automobilístico NÃO está associado à presença de toxoplasmose em pessoas com Rh positivo acidente automobilístico está associado à presença de toxoplasmose em pessoas com Rh positivo Toxoplasma Acidente? Não Sim Não Sim X 3169( ) = = (460)(709)(3083)(86) 0.1 Valor P = P[χ 1 > 0.1]

29 0.1 (0.10 < Valor P < 0.90) Para pessoas com sangue Rh positivo, os dados amostrais não fornecem evidências estatísticas suficientes contra a hipótese de independência entre acidente automobilístico e presença de toxoplasmose (Valor P > 0.10).

30 Associação entre variáveis qualitativas Amostras Dependentes Exemplo inicial Em um estudo sobre tipos sanguíneos de casais, gostaria-se de verificar se existe associação entre o fator Rh do sangue das esposas e dos esposos. Para isto, 100 casais foram classificados quanto ao fator Rh dos esposos e das esposas. Esposa Esposo Rh+ Rh - Rh+ a r a+r Rh- s b s+b a+s r+b 100

31 Teste Qui-quadrado de McNemar H 0 : não há associação entre o fator Rh dos membros do casal H a : não há associação entre o fator Rh dos membros do casal Esposa Esposo Rh+ Rh - Rh+ a r a+r Rh- s b s+b a+s r+b 100 Número de pares concordantes: a e b Número de pares discordantes: r e s X ( r s ) 1 = ( r + s) McNemar tem distribuição χ 1

32 Associação Positiva Perfeita Esposa Esposo Rh+ Rh - Rh Rh X McNemar ( ) = = = (0 + 0) 0 Valor P = P[ χ 1 > ] = 0 Conclusão: rejeitar a hipótese de independência entre o fator Rh dos casais

33 Não Associação Perfeita Esposa Esposo Rh+ Rh - Rh Rh X McNemar ( ) = = = (4 + 4) Valor P = P[ χ 1 > 0.008] > 0.95 Conclusão: não rejeitar a hipótese de independência entre o fator Rh dos casais

34 Amostras Dependentes Um estudo investiga a associação entre infarto do miocárdio e a presença de diabetes entre os índios navajos americanos (Coulehan et al, 1986) Índios com episódios de infarto do miocárdio foram emparelhados com índios sem a doença (144 pares). Cada elemento do par foi investigado quanto à presença de diabetes. Diabético Não-Diabético Sem infarto Com Infarto Diabético Nao-Diabético X = McNemar 7.55 (valor-p < 0.01) [Coulehan et al,1986]

35 Próxima aula Como medir a associação entre duas variáveis qualitativas Risco Relativo e Razão de Chances

36 Para aprender Exercícios da Seção 1

37 Referências Bibliográficas Coulehan et al (1986) Acute Myocardial Infarction Among Navajo Indians, , American Journal of Public Health, pp Flegr et al. (009) Increased incidence of traffic accidents in Toxoplasma-infected military drivers and protective effect RhD molecule revealed by a large-scale prospective cohort study, BMC Infectious Diseases, vol. 9, n. 7. Reis, E. A.; Reis, I.A. (000) Exercícios Resolvidos em Introdução à Bioestatística, Relatório Técnico do Departamento de Estatística da UFMG. Disponível em:

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