Testes de Aderência Testes de Independência Testes de Homogeneidade

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1 Testes de Aderência Testes de Independência Testes de Homogeneidade 1

2 1. Testes de Aderência Objetivo: Testar a adequabilidade de um modelo probabilístico a um conjunto de dados observados Exemplo 1: Genética Equilíbrio Hardy-Weinberg Aa Aa AA Aa aa Probabilidades: (Modelo teórico) ¼ ½ ¼ 3 categorias: AA, Aa, aa

3 Em uma certa população, 100 descendentes foram estudados, fornecendo a tabela a seguir: Genótipo AA Aa aa Freqüência Observada Objetivo: Verificar se o modelo genético proposto é adequado para essa população 3

4 Se o modelo Hardy-Weinberg for adequado, a freqüência esperada de descendentes para o genótipo AA, dentre os 100 indivíduos, pode ser calculada por: 100 P(AA) Da mesma forma, temos para o genótipo Aa, E para o genótipo aa, 100 P(Aa) P(aa)

5 Podemos expandir a tabela de freqüências dada anteriormente: Genótipo AA Aa aa Freqüência Observada Freqüência Esperada Podemos afirmar que os valores observados estão suficientemente próximos dos valores esperados, de tal forma que o modelo Hardy- Weinberg é adequado a esta população? 5

6 1. Testes de Aderência Metodologia Considere uma tabela de freqüências com resultados: k categorias de Categorias 1 3 Freqüência Observada O 1 O O 3 k O k n em que O i é o total de indivíduos observados na categoria i, i = 1,...,k. 6

7 Seja p i a probabilidade associada à categoria i, i=1,...,k. O objetivo do teste de aderência é testar as hipóteses H : p 1 = p o1,..., p k = p ok A : existe pelo menos uma diferença sendo p oi a probabilidade associada à categoria i, i = 1,...,k, calculada através do modelo probabilístico de interesse. Se E i é o total de indivíduos esperados na categoria i quando a hipótese H é verdadeira, então: E n p, i 1,, k i oi 7

8 Expandindo a tabela de freqüências original, temos Categorias 1 3 Freqüência Observada O 1 O O 3 Freqüência Esperada E 1 E E 3 k O k n E k n Quantificação da distância entre as colunas de freqüências: i k 1 ( Oi Ei ) E i 8

9 i k 1 ( Oi Ei ) E i Estatística do teste de aderência. Supondo H verdadeira, ( O E ) k i i q i 1 Ei ~, aproximadamente, sendo que q = k 1 representa o número de graus de liberdade. Em outras palavras, se H é verdadeira, a v.a. tem distribuição aproximada qui-quadrado com q graus de liberdade. Obs.: Este resultado é válido para n grande e para E 5, i 1,, k. i 9

10 Regra de decisão: Pode ser baseada no nível descritivo P, neste caso P P( ), q obs obs em que é o valor calculado, a partir dos dados, usando a expressão apresentada para. Graficamente: P obs Se, para fixado, obtemos P, rejeitamos a hipótese H. 10

11 Exemplo (continuação): Genética Equilíbrio Hardy-Weinberg: Hipóteses: H: O modelo proposto é adequado a esta situação A: O modelo não é adequado a esta situação De forma equivalente, podemos escrever: H: P(AA) = ¼ e P(Aa) = ½ e P(aa) = ¼ A: ao menos uma das igualdades não se verifica A tabela seguinte apresenta os valores observados e esperados (calculados anteriormente). 11

12 Genótipo AA Aa aa O i E i Cálculo do valor da estatística do teste ( k = 3): obs 3 1 0,04 (Oi Ei Ei) 0,50 (6 0,64 Usando a distribuição de qui-quadrado com q = k-1 = graus de liberdade,. P P( 1,18) 0, ) 1,18. Conclusão: Seja = 0,05. Como P = 0,5543 > 0,05, não rejeitamos a hipótese H, isto é, essa população segue o equilíbrio Hardy- Weinberg. ( ) (9 5 5) 1

13 O cálculo do nível descritivo P pode ser feito no MINITAB, através dos comandos: MTB > cdf 1.18 k1; SUBC> chisquare. MTB > let k = 1 - k1 MTB > print k Data Display K MTB > Nível descritivo 13

14 Exemplo : Deseja-se verificar se o número de acidentes em uma estrada muda conforme o dia da semana. O número de acidentes observado para cada dia de uma semana escolhida aleatoriamente foram: Dia da semana Seg Ter Qua Qui Sex Sab Dom No. de acidentes O que pode ser dito? 14

15 Hipóteses a serem testadas: H: O número de acidentes não muda conforme o dia da semana; A: Pelo menos um dos dias tem número diferente dos demais. Se p i representa a probabilidade de ocorrência de acidentes no i-ésimo dia da semana, H: p i = 1/7 para todo I = 1,, 7 A: p i 1/7 para pelo menos um valor de i. de acidentes na semana: n =140. Logo, se H for verdadeira, E i = 140 x 1/7 = 0, i = 1,,7. 15

16 Dia da semana Seg Ter Qua Qui Sex Sab Dom No. de acidentes observados (O i ) No. esperado de acidentes (E i ) Cálculo da estatística de qui-quadrado: obs 7 1 (Oi Ei Ei) (0 0 0) (10 0 0) (10 0 0) (15 0 0) (30 0 0) (0 0 0) (35 0 0) 7,50. 16

17 Neste caso, temos ~ 6, aproximadamente. O nível descritivo é dado por P P( 6 7,50) e pode ser obtido no MINITAB conforme indicado a seguir: MTB > cdf 7.50 k1; SUBC> chisquare 6. MTB > let k = 1 - k1 MTB > print k Data Display K Logo, para = 0,05, segue que P = 0,001 < e assim rejeitamos H, e concluímos que o número de acidentes não é o mesmo em todos os dias da semana. 17

18 . Testes de Independência Objetivo: Verificar se existe independência entre duas variáveis medidas nas mesmas unidades experimentais. Exemplo 3: Deseja-se verificar se existe dependência entre a renda e o número de filhos em famílias de uma cidade. 50 famílias escolhidas ao acaso forneceram a tabela a seguir: Renda (R$) 0 Número de filhos 1 + de menos de a ou mais

19 Em geral, os dados referem-se a mensurações de duas características (A e B) feitas em n unidades experimentais, que são apresentadas conforme a seguinte tabela: A B B 1 A 1 n 11 B n 1 A n 1 n 1 B s n s n 1s n s n A r n r1 n r n rs n r n 1 n n s n Hipóteses a serem testadas H: A e B são variáveis independentes Teste de independência: A: As variáveis A e B não são independentes 19

20 Quantas observações devemos ter em cada casela se A e B forem independentes? Se A e B forem independentes, temos que, para todos os possíveis (A i e B j ): P(A i B j ) = P(A i ) P(B j ) i = 1,,, r e j = 1,,,s. Logo, o número esperado de observações com as características (A i e B j ) entre as n observações sob a hipótese de independência, é dado por E n p n p p n ij ij i j sendo p ij a proporção de observações com as características (A i e B j ). Assim, E ij n i n n j n n i n n j O processo deve ser repetido para todas as caselas (ij). 0

21 Distância entre os valores observados e os valores esperados sob a suposição de independância: i s 1 j r 1 ( O ij E ij E ij ) Estatística do teste de independência em que O ij = n ij representa o total de observações na casela ( ij ). Supondo H verdadeira, ( O E ) r s ij ij ~ q i 1 j 1 Eij sendo q = ( r 1) ( s 1 ) graus de liberdade. 1

22 Regra de decisão: Pode ser baseada no nível descritivo P, neste caso P P( ) q obs em que do teste. obs é o valor calculado, a partir dos dados, para a estatística Graficamente: P Se, para fixado obtemos P, rejeitamos a hipótese de independência. obs

23 Exemplo (continuação): Estudo da dependência entre renda e o número de filhos 50 famílias foram escolhidas ao acaso Hipóteses H: O número de filhos e a renda são independentes A: Existe dependência entre o número de filhos e a renda Renda (R$) 0 Número de filhos 1 + de menos de a ou mais Exemplo do cálculo dos valores esperados sob H (independência): Número esperado de famílias sem filhos e renda menor que R$ 000: E 11 5,

24 Tabela de valores observados e esperados (entre parênteses) Renda (R$) 0 1 Número de filhos + de menos de (5,9) 7(37,80) 50(38,34) 43(3,94) a (14,40) 30(1,00) 1(1,30) 8(18,30) ou mais 8(7,68) 13(11,0) 9(11,36) 10(9,76) filho e renda de R$ 000 a R$ 5000: E ,00 E Lembre-se: ij n i ou + filhos e renda de R$ 5000 ou mais: n n j E ,76 4

25 Cálculo da estatística de qui-quadrado: quadrado: Renda (R$) 0 1 Número de filhos + de menos de (5,9) 7(37,80) 50(38,34) 43(3,94) a (14,40) 30(1,00) 1(1,30) 8(18,30) ou mais 8(7,68) 13(11,0) 9(11,36) 10(9,76) obs 15 5,9 5 14,40 8 7, ,80 5,9 14,40 7,68 37, , , ,34 1 1,30 1,00 11,0 38,34 1,30 1 1, , , ,30 1,30 11,36 3,94 18, ,76 9,76 36,6 5

26 Determinação do número de graus de liberdade: Categorias de renda: r = 3 Categorias de nº de filhos: s = 4 q = (r 1) (s 1) = 3 = 6 ~ 6 Logo, e, supondo = 0,05, P P( 6 36,6) 0,000 Como P = 0,000 < 0,05, rejeitamos a independência entre número de filhos e renda familiar. Os cálculos podem ser feitos diretamente no MINITAB: Stat Tables Chi-Square test 6

27 Saída do MINITAB: Chi-Square Test Expected counts are printed below observed counts C1 C C3 C ,9 37,80 38,34 3, ,40 1,00 1,30 18, ,68 11,0 11,36 9, Chi-Sq = 4, , , ,07 + 7, , , , , ,89 + 0, ,006 = 36,61 DF = 6, P-Value = 0,000 7

28 Exemplo 4: 137 indivíduos adultos classificados segundo a pressão sangüínea (mm Hg) e o nível de colesterol (mg/100cm 3 ). Verificar se existe independência entre essas variáveis. Colesterol < 17 Pressão 17a 166 >166 < a > H: Pressão sangüínea e nível de colesterol são independentes; A: Nível de colesterol e pressão sangüínea são variáveis dependentes. 8

29 Saída do MINITAB: Chi-Square Test Expected counts are printed below observed counts C1 C C ,9 181,4 9, ,86 404,80 65, ,85 144,78 3, Chi-Sq = 4,45 + 0, ,81 + 0, , , ,6 + 0, ,967 = 13,550 DF = 4, P-Value = 0,009 Rejeitamos a independência entre pressão sangüínea e nível de colesterol ( = 0,05). 9

30 3. Teste de Homogeneidade Objetivo: Verificar se uma variável aleatória se comporta de modo similar, ou homogêneo, em várias subpopulações. Exemplo 5: A reação ao tratamento por quimioterapia está sendo estudada em quatro grupos de pacientes com câncer. Deseja-se investigar se todos os tipos reagem da mesma maneira. Uma amostra de pacientes de cada grupo foi escolhida ao acaso e classificou-se a reação em três categorias: Câncer Pouca Média Reação Alta Tipo I Tipo II Tipo IIII Tipo IV

31 Apesar da realização do teste ser semelhante a do Teste de Independência, uma distinção importante se refere à forma como as amostras são coletadas. No teste de homogeneidade fixamos o tamanho da amostra em cada uma das subpopulações e selecionamos uma amostra dentro de cada uma. Subpopulação valores da variável da linha 1 O 11 O 1... n 1 O 1 O... n da coluna geral Hipóteses a serem testadas Teste de homogeneidade: H: o comportamento da variável é homogêneo nas subpopulações A: o comportamento da variável não é homogêneo nas subpopulações 31

32 Valores esperados (supondo homogeneidade entre as populações) e i, j n i total da total coluna geral j O total da linha ni indica o tamanho da amostra da subpopulação i e o quociente, total da coluna j dividido pelo total geral, representa a proporção de ocorrências do valor da variável correspondente à coluna j. Caso haja homogeneidade de comportamento da variável, esperamos que essa proporção seja a mesma em todas as subpopulações. 3

33 Distância entre os valores observados e os valores esperados sob a suposição de independância: i s 1 j r 1 ( O ij E ij E ij ) Estatística do teste de homogeneidade Supondo H verdadeira, ( O E ) r s ij ij ~ q i 1 j 1 Eij sendo q = ( r 1) ( s 1 ) graus de liberdade. 33

34 Saída do MINITAB Expected counts are printed below observed counts Pouca Média Alta ,75 35,50 18, ,75 35,50 18, ,90 4,60, ,60 8,40 15, Chi-Sq = 0,60 + 0, , ,80 + 1, , , ,008 +, , ,45 + 0,067 = 17,173 DF = 6, P-Value = 0,009 34

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