Métodos Estatísticos Aplicados à Economia II (GET00118) Variáveis Aleatórias Bidimensionais

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1 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Métodos Estatísticos Aplicados à Economia II (GET8) Variáveis Aleatórias Bidimensionais Ana Maria Lima de Farias Departamento de Estatística Agosto 5

2 Sumário Variáveis Aleatórias Bidimensionais Discretas. Introdução Distribuições conjuntas Distribuições marginais Distribuições condicionais Definições Vetor aleatório bidimensional discreto Função de probabilidade Distribuições marginais Distribuições condicionais Esperança condicional Independência de variáveis aleatórias Funções de variáveis aleatórias Covariância Propriedades da covariância Interpretação da covariância Independência e covariância de variáveis aleatórias Coeficiente de correlação Eercícios propostos Vetores Aleatórios Contínuos 3 i

3 ii SUMÁRIO. Definição Função densidade conjunta Densidades marginais Distribuições e esperanças condicionais Independência de variáveis aleatórias contínuas Funções de variáveis aleatórias contínuas Esperança de funções de variáveis aleatórias Covariância e correlação Um eemplo global A distribuição t de Student Tabela da t-student Eercícios propostos A distribuição normal bidimensional Eercícios propostos A Tabela da t Student 5 B Funções de variáveis aleatórias contínuas 53 B. Funções inversíveis C A distribuição normal bidimensional 57 C. Função de densidade C. Densidades Marginais C.3 Covariância e Correlação C.4 Distribuições Condicionais

4 Capítulo Variáveis Aleatórias Bidimensionais Discretas. Introdução Em muitas situações, é comum que um eperimento aleatório gere mais de uma variável de interesse e, quase sempre, o interesse estará em estudar o comportamento simultâneo de ou mais variáveis, em busca de relações, associações. Torna-se necessário, então, conhecer o comportamento probabilístico conjunto de tais variáveis. EXEMPLO. Famílias com 3 filhos Consideremos um estudo da composição de famílias com 3 filhos quanto ao seo das crianças (Morettin & Bussab). Podemos definir as seguintes variáveis: X { número de meninos se o filho é homem Y caso contrário Z número de vezes que houve variação de seo entre nascimentos consecutivos Suponhamos que a probabilidade de nascer homem ou mulher seja igual a, ou seja, que todas as composições de família tenham a mesma probabilidade. Então, os possíveis resultados e os valores das variáveis são os apresentados na tabela a seguir:

5 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS Evento X Y Z P HHH 3 /8 HHM /8 HMH /8 MHH /8 HMM /8 MHM /8 MMH /8 MMM /8 A partir desses resultados obtemos as seguintes distribuições de probabilidades para as variáveis aleatórias X, Y, Z: X: 3 P(X ) /8 3/8 3/8 /8 E(X) 3 E(X ) 3 Var(X) 3 4 Y : y P(Y y) / / E(Y ) E(Y ) Var(Y ) 4 Z: z P(Z z) /4 / /4 E(Z) E(Z ) 3 Var(Z).. Distribuições conjuntas Vamos analisar agora a distribuição conjunta de dessas variáveis, ou seja, queremos analisar, por eemplo, a probabilidade de X ser igual a e Y ser igual a, simultaneamente. Vamos calcular essas probabilidades e apresentá-las em forma de tabela de dupla entrada. (X, Y ): X p Y (y) 3 Y /8 /8 /8 / /8 /8 /8 / p X () /8 3/8 3/8 /8 (X, Z): X 3 p Z (z) /8 /8 /8 Z /8 /8 4/8 /8 /8 /8 p X () /8 3/8 3/8 /8

6 .. INTRODUÇÃO 3 (Y, Z): Z p Y (y) Y /8 /8 /8 4/8 /8 /8 /8 4/8 p Z (z) /8 4/8 /8 Analisando simultaneamente as três variáveis, temos: (, y, ) P(X, Y y, Z z) (,, ) /8 (,, ) /8 (,, ) /8 (,, ) /8 (,, ) /8 (,, ) /8 (,, ) /8 (3,, ) /8.. Distribuições marginais A partir da distribuição conjunta de (X, Y ), como podemos obter a distribuição de X? E de Y? Note que, em termos dessa distribuição conjunta, o evento {X } pode ser escrito como: {X } {X Y } {X Y } e como estes são eventos mutuamente eclusivos, resulta Analogamente, P(X ) P(X, Y ) + P(X, Y ) P(X ) P(X, Y ) + P(X, Y ) P(X ) P(X, Y ) + P(X, Y ) P(X 3) P(X 3, Y ) + P(X 3, Y ) Para a distribuição de Y temos: P(Y ) P(X, Y ) + P(X, Y ) + P(X, Y ) + P(X 3, Y ) P(Y ) P(X, Y ) + P(X, Y ) + P(X, Y ) + P(X 3, Y ) De maneira análoga, podemos obter a distribuição de Y a partir da distribuição conjunta de (Y, Z), por eemplo e, obviamente, obteremos o mesmo resultado.

7 4 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS..3 Distribuições condicionais A partir da distribuição conjunta de (X, Y ) pode-se obter a distribuição condicional de X, ou seja, a probabilidade condicional de cada valor de X, condicionada a um determinado valor de Y. Aplicando a definição de probabilidade condicional, temos que: P(X Y ) P(X, Y ) P(Y ) /8 / 4 X Y : P(X Y ) P(X Y ) P(X, Y ) P(Y ) P(X, Y ) P(Y ) /8 / /8 / 4 P(X 3 Y ) Logo, a distribuição condicional de X dado que Y é: X Y : P(X 3, Y ) P(Y ) 3 p /4 / /4 / Sendo uma distribuição de probabilidades, podemos calcular sua esperança e sua variância: E(X Y ) P(X Y ) E(X Y ) P(X Y ) Var(X Y ) E(X Y ) [E(X Y )] 3 Analogamente, obtém-se a distribuição de X dado que Y ou a distribuição de Y dado que X, por eemplo: P(X, Y ) P(Y X ) /8 P(X ) /8 Y X : P(X, Y ) P(Y X ) P(X ) /8 Y X : y p E(Y X ) E(Y X ) Var(Y X ) ou então: Y X : P(Y X ) P(Y X ) P(X, Y ) P(X ) P(X, Y ) P(X ) /8 3/8 3 /8 3/8 3

8 .. DEFINIÇÕES 5 Y X : y p /3 /3 E(Y X ) 3 E(Y X ) 3 Var(Y X ) 9 A seguir vamos formalizar os conceitos apresentados através do eemplo acima.. Definições.. Vetor aleatório bidimensional discreto Um vetor aleatório bidimensional é uma função bivariada que associa, a cada ponto de um espaço amostral Ω, um par de números reais (, y). Se a imagem de tal função é um conjunto enumerável de pontos em R, então o vetor é dito um vetor discreto. Veja a Figura.. Ω (X, Y ) yj i Figura. Definição de vetor aleatório discreto No nível deste curso, podemos pensar que um vetor aleatório bidimensional discreto é um vetor formado por duas variáveis aleatórias discretas definidas no mesmo espaço amostral. De forma análoga, podemos definir um vetor aleatório k dimensional discreto como sendo um vetor formado por k variáveis aleatórias discretas definidas no mesmo espaço amostral... Função de probabilidade Seja (X, Y ) um vetor aleatório discreto assumindo os valores ( i, y j ), i, j,,.... A função de probabilidade conjunta é a função que associa a cada ponto ( i, y j ) a sua respectiva

9 6 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS probabilidade: p( i, y j ) P(X i, Y y j ) (Veja a Figura.). Note que, do aioma P(Ω), resulta que P(X i, Y y j ) i j Ω (X, Y ) yj p (i, yj) i Figura. Definição de função de probabilidade conjunta k ) e Para vetories k dimensionais, a função de probabilidade é P(X, X,..., X k... P(X, X,..., X k k ) k..3 Distribuições marginais Seja (X, Y ) um vetor aleatório discreto com distribuição conjunta p( i, y j ). Para não sobrecarregar a notação, vamos denotar essa distribuição conjunta por p(, y), devendo ficar claro que (, y) representa um par qualquer de valores do vetor (X, Y ). A distribuição marginal de X é definida como: P(X ) y p(, y) y P(X, Y y) (.) Analogamente, a distribuição marginal de Y é definida como P(Y y) p(, y) P(X, Y y) y (.) Em geral, se (X, X,..., X k ) é um vetor aleatório k dimensional P(X i i ) P ( ) X,..., X i i, X i+ i+,..., X k k (.3) i i+ k

10 .. DEFINIÇÕES 7..4 Distribuições condicionais Seja (X, Y ) um vetor aleatório discreto com distribuição conjunta p(, y). A distribuição condicional de X dado Y y é definida como: P(X Y y) P(X, Y y) P(Y y) Analogamente define-se a distribuição condicional de Y dado X como P(Y y X ) P(X, Y y) P(X ) (.4) y (.5) Note que eiste uma distribuição condicional de X para cada valor y e uma distribuição condicional de Y para cada valor. Assim, se X assumir n valores distintos e Y m valores distintos, teremos ao todo n + m distribuições condicionais...5 Esperança condicional Para cada uma das distribuições condicionais, podemos calcular a respectiva esperança condicional: E X (X Y y) E Y (Y X ) y P(X Y y) (.6) y P( Y y X ) (.7) Os subscritos X e Y nas definições acima, embora desnecessários, serão usados aqui para enfatizar a dependência em X e Y de cada uma das esperanças. Note que o subscrito X indica que a variável aleatória é X e, portanto, estamos calculando a média (ou esperança) dos valores ; Y está fia no valor y. Observação análoga vale para o subscrito Y. Note que, para cada valor y de Y temos um valor diferente de E(X Y y) e para cada valor de X, temos um valor diferente de E(Y X ). Sendo assim, podemos definir uma função g que associa, a cada valor y de Y, o valor g(y) E(X Y y) e outra função h que associa a cada valor de X, o valor h() E(Y X ), ou seja, g : y g(y) E X (X Y y) h : h() E Y (Y X ) Como X e Y são variáveis aleatórias, resulta que essas funções definem novas variáveis aleatórias g(y ) e h(x) e suas esperanças podem também ser calculadas. Para lembrar a dependência em cada uma das variáveis, vamos denotar essas esperanças por E Y [g(y )] e E X [h(x)], que são calculadas como E Y [g(y )] y g(y) P(Y y) (.8) E X [h(x)] h() P(X ) (.9)

11 8 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS Para deiar clara a definição das funções g e h, vamos estabelecer a seguinte notação: g(y ) E X (X Y ) h(x) E Y (Y X) Usando a definição da esperança condicional dada em.6, temos que: E Y [g(y )] E Y [E X (X Y )] y g(y) P(Y y) y y y y E X (X Y y) P(Y y) P( X Y y) P(Y y) P(X, Y y) P(Y y) P(Y y) P(X, Y y) y P(X, Y y) P(X ) E(X) Nas duas últimas linhas usamos a definição da distribuição marginal de Y. Analogamente, por (.7), resulta que E X [h(x)] E X [E Y (Y X)] h() P(X ) y y E(Y X ) P(X ) y P( Y y X ) P(X ) y P(X, Y y) y P(X ) P(X ) y y P(X, Y y) y y P(X, Y y) y P(Y y) E(Y ) Resumindo: E Y [E X (X Y )] E (X) (.) E X [E Y (Y X)] E (Y ) (.)

12 .. DEFINIÇÕES 9 EXEMPLO. Famílias com 3 filhos (continuação) Vamos continuar com o Eemplo., calculando as distribuições condicionais de Y dado X i e suas esperanças: Y X : y p E Y (Y X ) Y X : y p /3 /3 E Y (Y X ) 3 Y X : y p /3 /3 E Y (Y X ) 3 Y X 3: y p E Y (Y X 3) Os valores possíveis de h(x) E Y (Y X) são, 3, 3 e e esses valores ocorrem quando X, X, X ou X 3 respectivamente. Logo, as probabilidades de ocorrência de cada um deles são eatamente as probabilidades de X assumir os seus valores, isto é, temos a seguinte distribuição: h(x) E Y (Y X) : e /3 /3 p /8 3/8 3/8 /8 A esperança dessa distribuição é E X [h(x)] E X [E Y (X Y )] E(Y ) Para a distribuição condicional de X dado Y, temos os seguintes resultados: X Y : 3 p /8 4/8 /8 E X (X Y ) X Y : 3 p /8 4/8 /8 E X (X Y ) e para a variável aleatória g(y ) E X (X Y ) temos a seguinte função de probabilidade: e p / / e E[g(Y )] E Y [E X (X Y )] + 3 E(X)

13 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS.3 Independência de variáveis aleatórias Consideremos a distribuição conjunta de (Y, Z) do Eemplo., reproduzida a seguir: Z p Y (y) Y /8 /8 /8 4/8 /8 /8 /8 4/8 p Z (z) /4 /4 /4 Como as duas linhas da distribuição conjunta são iguais, resulta que P(Z z Y ) P(Z z Y ) z Além disso, temos também que P(Z z Y y) P(Z z) y, z Em analogia com a definição de independência de eventos aleatórios, esse fato nos leva à definição de variáveis aleatórias independentes. No caso de eventos, a definição de independência P(A B) P(A) tinha que considerar eventos B tais que P(B), mas ela também levava a uma definição mais geral: os eventos A e B são independentes se P(A B) P(A) P(B). Analogamente, vamos definir variáveis aleatórias independentes da seguinte forma. DEFINIÇÃO Independência de variáveis aleatórias discretas Seja (X, Y ) um vetor aleatório discreto com distribuição conjunta p(, y) P(X, Y y). Dizemos que X e Y são independentes se e somente se P(X, Y y) P(X ) P(Y y), y ou seja, a distribuição conjunta é o produto das distribuições marginais. Note que a condição acima tem que valer para todo par possível de valores (, y). EXEMPLO.3 Famílias com 3 filhos (continuação) X e Y não são independentes porque: P(X, Y ) 8 P(X ) P(Y ) 8

14 .4. FUNÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS X e Z não são independentes porque: P(X, Z ) 8 P(X ) P(Z ) 8 8 Y e Z são independentes porque: P(Y, Z ) 8 P(Y ) P(Z ) 8 P(Y, Z ) 4 P(Y ) P(Z ) P(Y, Z ) 8 P(Y ) P(Z ) 4 P(Y, Z ) 8 P(Y ) P(Z ) 8 P(Y, Z ) 4 P(Y ) P(Z ) P(Y, Z ) 8 P(Y ) P(Z ) 4.4 Funções de variáveis aleatórias Muitas vezes, conhecida a distribuição conjunta de (X, Y ), estaremos interessados em estudar a distribuição de uma variável aleatória definida como uma função f(x, Y ). Lidaremos aqui com funções reais, isto é, f : R R e uma atenção especial será dada às combinações lineares, ou seja, funções do tipo f(x, Y ) ax + by, com a e b números reais quaisquer. EXEMPLO.4 Famílias com 3 filhos (continuação) Para o Eemplo., considere a seguinte função: f (X, Y ) X + Y cujos valores e probabilidades estão a seguir: X Y P(X, Y y) f (X, Y ) X + Y /8 /8 / /8 /8 5 3 /8

15 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS Então, a esperança de X + Y ( ) E X + Y é f (, ) P (X, Y ) + f (, ) P (X, Y ) + +f (3, ) P (X 3, Y ) f (, y) P (X, Y y) y O resultado apresentado neste eemplo se generaliza para qualquer função de R em R, conforme o seguinte teorema. TEOREMA. Seja (X, Y ) um vetor aleatório discreto com função de probabilidade conjunta P(X, Y y). Seja h : R R uma função real tal que cada par (, y) é levado a h (, y). Então E [h (X, Y )] h ( ) ( ) i, y j P X i, Y y j i j Lembre-se que há um resultado análogo para variáveis unidimensionais, que foi utilizado em (.8) e (.9) no estudo de esperança condicional. Um caso particular importante é abordado a seguir. TEOREMA. Seja (X, Y ) um vetor aleatório discreto com função de probabilidade conjunta P(X, Y y). Seja h : R R uma função real tal que h (, y) + y. Então E (X + Y ) E(X) + E(Y ) (Esperança da soma é a soma das esperanças) Demonstração Usando o teorema anterior, temos que E (X + Y ) ( + y) P (X, Y y) y P (X, Y y) + y P (X, Y y) + y y y P (X, Y y) y y P (X, Y y) P (X ) + y y P (Y y) E(X) + E(Y )

16 .5. COVARIÂNCIA 3 Dos resultados já vistos, segue o resultado mais geral: TEOREMA.3 Sejam X, X,..., X n variáveis aleatórias discretas com distribuição conjunta p(,,..., n ). Então: E (a X + a X + + a n X n ) a E(X ) + a E(X ) + + a n E(X n ) (.) Usando definições e propriedades da esperança e da variância, vamos estudar a variância da soma de duas variáveis aleatórias. Var(X + Y ) E[(X + Y ) E(X + Y )] E[X + Y E(X) E(Y )] E[X E(X) + Y E(Y )] E[X E(X)] + E[Y E(Y )] + E[X E(X)][Y E(Y )] Var(X) + Var(Y ) + E[X E(X)][Y E(Y )] Então, na variância da soma, aparece um termo envolvendo a esperança do produto dos desvios em torno das médias. Esse termo define a covariância de duas variáveis aleatórias. Note que as variáveis X X E(X) e Y Y E(Y ) são variáveis aleatórias ambas com média zero, isto é, E(X ) E(Y )..5 Covariância DEFINIÇÃO Covariância A covariância entre duas variáveis aleatórias X e Y é definida por Cov(X, Y ) E [X E(X)] [Y E(Y )] (.3) Substituindo essa definição na epressão da variância da soma de duas variáveis aleatórias obtém-se o RESULTADO. A variância da soma de duas v.a. é dada por Var(X + Y ) Var(X) + Var(Y ) + Cov(X, Y ) (.4)

17 4 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS Uma forma alternativa de cálculo da covariância resulta de E [X E(X)] [Y E(Y )] E[XY X E(Y ) Y E(X) + E(X) E(Y )] E(XY ) E[X E(Y )] E[Y E(X)] + E(X) E(Y ) E(XY ) E(Y ) E(X) E(X) E(Y ) + E(X) E(Y ) Aqui usamos que E(kX) k E(X) e também que E(k) k. Lembre-se que a esperança é um número! Logo, Cov(X, Y ) E(XY ) E(X) E(Y ) (.5) que pode ser lido como a covariância é a esperança do produto menos o produto das esperanças..5. Propriedades da covariância Vamos usar as seguintes propriedades já vistas para a esperança para demonstrar propriedades análogas da covariância: E(X + b) E(X) + b E(aX) a E(X) E(aX + b) a E(X) + b. Cov(aX + b, cy + d) ac Cov(X, Y ) De fato: Cov(aX + b, cy + d) E [(ax + b) E (ax + b) [(cy + d) E (cy + d)] E[aX + b a E(X) b][cy + d c E(Y ) d] E[aX a E(X)][cY c E(Y )] E{a[X E(X)]c[Y E(XY )]} ac E[X E(X)](Y E(Y )] ac Cov(X, Y ). Cov(X + Y, Z + W ) Cov(X, Z) + Cov(X, W ) + Cov(Y, Z) + Cov(Y, W ) De fato: Cov(X + Y, Z + W ) E(X + Y )(Z + W ) E(X + Y ) E(Z + W ) E(XZ + XW + Y Z + Y W ) [E(X) + E(Y )] [E(Z) + E(W )] E(XZ) + E(XW ) + E(Y Z) + E(Y W ) E(X) E(Z) E(X) E(W ) E(Y ) E(Z) E(Y ) E(W ) [E(XZ) E(X) E(Z)] + [E(XW ) E(X) E(W )] + + [E(Y Z) E(Y ) E(Z)] + [E(Y W ) E(Y ) E(W )] Cov(X, Z) + Cov(X, W ) + Cov(Y, Z) + Cov(Y, W )

18 .5. COVARIÂNCIA 5 3. Dos resultados anteriores, segue que Var(X Y ) Var(X) + Var(Y ) Cov(X, Y ) De fato: Var(X Y ) V ar[x + ( Y )] Var(X) + Var(Y ) + Cov[X, ( Y )] Var(X) + Var(Y ) + ( ) Cov(X, Y ) V ar(x) + Var(Y ) Cov(X, Y ).5. Interpretação da covariância No estudo da estatística descritiva, dados dois conjuntos de dados,..., n e y,..., y n referentes a duas variáveis de interesse X e Y, definimos a covariância entre X e Y como Cov(X, Y ) n n ( i )(y i y) i No conteto de variáveis aleatórias, a média é calculada como uma média ponderada pelas probabilidades; assim, temos uma total analogia entre as definições de covariância nos dois contetos. Foi visto também que a covariância é uma medida de associação linear entre as variáveis. Construindo um diagrama de dispersão para as variáveis, se eistir uma associação linear crescente, os pontos (, y) tenderão a se concentrar nos primeiro e terceiro quadrantes, onde o produto das coordenadas é positivo. Se eistir uma associação linear decrescente, os pontos se concentrarão no segundo e quarto quadrantes, onde o produto é negativo. O fato de se tomar E[X E(X)][Y E(Y )], e não E(XY ), garante que estamos sempre trabalhando com variáveis centradas em (, ) e não em (E(X), E(Y ))..5.3 Independência e covariância de variáveis aleatórias Da definição de independência de variáveis aleatórias, resulta o seguinte fato: se X e Y são variáveis aleatórias independentes, qualquer conhecimento sobre Y não nos dá informação sobre X. Usando essa interpretação, mais a interpretação do conceito de covariância, é de se esperar que a covariância entre variáveis independentes seja nula (se elas são independentes, não deverá eistir qualquer associação entre elas, muito menos uma associação linear). Vamos ver um resultado geral que trata dessa relação. RESULTADO. Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então Cov(X, Y ). Demonstração Se X e Y são independentes, então P(X, Y y) P(X ) P(Y y). Mas nesse caso,

19 6 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS E(XY ) y P(X, Y y) y P(X ) y P(Y y) E(X) E(Y ) y y P(X ) P(Y y) y Logo, Cov(X, Y ) E(XY ) E(X) E(Y ). Note que a recíproca desse resultado não é verdadeira, isto é, covariância nula não significa independência entre as variáveis. Esse resultado pode ser visto intuitivamente a partir da interpretação de covariância: covariância nula significa ausência de associação linear. Nada impede que eista outro tipo de associação entre as variáveis, o que caracterizaria a falta de independência entre elas. Como eemplo, consideremos a seguinte de distribuição de probabilidade conjunta: Para essa distribuição temos: X p Y (y) 3/ 3/ / /5 Y / / / /5 3 4/ / 3/ /5 p X () /5 /4 7/ E(X) E(Y ) E(XY ) E(X) E(Y ) Logo, Cov(X, Y ) E(XY ) E(X) E(Y ) mas X e Y não são independentes porque, por eemplo: P(X, Y ) 3 P(X ) P(Y ) Coeficiente de correlação Como visto, a covariância é uma medida de associação linear entre duas variáveis, com valores grandes positivos indicando uma forte associação linear crescente e valores

20 .6. COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO 7 negativos, uma associação linear decrescente. Mas como saber o que é grande? Por eemplo, suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias que representem grandezas, ambas medidas em milhares de reais e suponha, também, que haja uma forte associação linear crescente entre ambas. Pois bem, se transformarmos essas variáveis de modo que elas representem os mesmos fenômenos, mas agora em reais, a covariância ficará multiplicada por 6, já que cada uma das variáveis originais fica multiplicada por 3. Esse fato ocorre porque a covariância depende da unidade de medida de cada uma das variáveis envolvidas. Para contornar esse fato, em vez de trabalharmos com as variáveis originais, podemos trabalhar com as variáveis padronizadas, o que dá origem ao coeficientes de correlação. DEFINIÇÃO Coeficiente de Correlação O coeficiente de correlação entre duas variáveis aleatórias X e Y é a covariância entre as variáveis padronizadas, ou seja, ( ) ( ) X E(X) Y E(Y ) Corr(X, Y ) E Cov(X, Y ) σ X σ Y σ X σ Y onde σ X e σ Y são os desvios-padrão de X e Y respectivamente. A propriedade fundamental do coeficiente de correlação é dada no seguinte teorema: TEOREMA.4 Dadas duas variáveis aleatórias X e Y com esperança, variância e covariância finitas, então Corr(X, Y ) Demonstração Sejam X X E(X) σ X Y Y E(Y ) σ Y as variáveis padronizadas. Das propriedades de esperança e variância, sabemos que E (X ) E (Y ) e Var (X ) Var (Y ). Sabemos também que a variância de qualquer variável aleatória é não-negativa. Em particular, Var (X + Y ) Var (X ) + Var (Y ) + Cov (X, Y ) + + Cov (X, Y ) Cov (X, Y )

21 8 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS Analogamente, Var (X Y ) Var (X ) + Var (Y ) Cov (X, Y ) + Cov (X, Y ) Cov (X, Y ) Temos, então, que Cov (X, Y ) Mas Cov (X, Y ) Corr(X, Y ), o que completa a demonstração. EXEMPLO.5 Associação linear perfeita (a) Consideremos o caso em que Corr (X, Y ). Então, Cov (X, Y ) e, portanto Var (X Y ) Var(X ) + Var(Y ) Cov(X, Y ) + Mas Var(X Y ) significa que X Y é uma constante, isto é, X E(X) Y E(Y ) k σ X σ Y X E(X) Y E(Y ) + k σ X σ Y X E(X) σ X Y σ X E(Y ) + σ X k σ Y σ Y X σ [ X Y + E(X) σ ] X E(Y ) + σ X k σ Y σ Y ( ) σx X Y + k σ Y em que k E(X) σ X E(Y ) + σ X k. Isso significa que eiste uma associação linear σ Y crescente perfeita entre X e Y : note que o coeficiente angular é σ X >. σ Y (b) Analogamente, se Corr(X, Y ), então Cov (X, Y ) e Var (X + Y ) Var(X ) + Var(Y ) + Cov(X, Y ) + + ( ) o que significa que X + Y é uma constante, isto é, X E(X) + Y E(Y ) k σ X σ Y X E(X) Y E(Y ) + k σ X σ Y X E(X) σ X Y + σ X E(Y ) + σ X k σ Y σ Y X σ [ X Y + E(X) + σ ] X E(Y ) + σ X k σ Y σ Y ( X σ ) X Y + k σ Y

22 .6. COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO 9 em que k E(X) + σ X E(Y ) + σ X k. Isso significa que eiste uma associação linear σ Y decrescente perfeita entre X e Y : note que o coeficiente angular é σ X <. σ Y EXEMPLO.6 Sejam X, Y variáveis aleatórias discretas com a seguinte distribuição conjunta: X Y,,3,,,, (a) Obtenha as distribuições marginais de X e Y. (b) Calcule E(X), Var(X), E(Y ), Var(Y ), Cov(X, Y ). (c) Obtenha as distribuições condicionais de X Y e X Y e para cada uma delas calcule a esperança e a variância. (d) Defina as seguintes variáveis aleatórias: h(y ) E(X Y ) e g(y ) Var(X Y ). Calcule i. E Y [h(y )] E Y [E X (X Y )] ii. Var Y [h(y )] Var Y [E X (X Y )] iii. E Y [g(y )] E Y [Var X (X Y )]. iv. Verifique que E Y [h(y )] E Y [E X (X Y )] E(X) e Var(X) E Y [Var X (X Y )] + Var Y [E X (X Y )]. Solução (a) X P(Y y) Y,,3,,6,,,,4 P(X ),,4,4 (b) E(X), 4 +, 4, E(X ), 4 +, 4, Var(X),, 56

23 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS E(Y ), 4, 4 E(Y ), 4, 4 Var(Y ), 4, 4, 4 E(XY ), +,, 5 Cov(X, Y ), 5,, 4, (c) P(X Y ) P(X Y ), /, 6 6, /, 4 4, 3/, 6 3 6, /, 4 4, /, 6 6, /, 4 4 E(X Y ) E(X Y ) Var(X Y ) ( ) E(X Y ) E(X Y ) Var(X Y ) 9 ( ) (d) 7 h P[h(Y ) h], 6, 4 E[h(Y )], , 4 5 4, E(X) E[h (Y )], 6 ( 7 6 ) +, 4 ( ) Var[h(Y )] g 36 6 P[g(Y ) g], 6, 4 E[g(Y )], 6 7 +, E[Var(X Y )] + Var[E(X Y )] , 56 Var(X) 5

24 .7. EXERCÍCIOS PROPOSTOS.7 Eercícios propostos. A tabela abaio dá a distribuição conjunta de X e Y : X Y 3,,,,,,3,,, (a) Determine as distribuições marginais de X e Y. (b) Calcule a esperança e a variância de cada uma das variáveis X e Y. (Resp.:, ;, 76;, 9;, 49) (c) Verifique se X e Y são independentes, justificando sua resposta. (Resp.: Não) (d) Calcule P(X Y ) e P(Y X 3). (Resp.: /3; /5) (e) Calcule P(X ) e P(X, Y ). (Resp.:, 5;, ) (f) Calcule a covariância e a correlação entre X e Y. (Resp.:, ;, 966). Sejam X e Y variáveis aleatórias com E(X) E(Y ) e Var(X) Var(Y ). Prove que Corr(U, V ), onde U X + Y e V X Y. 3. Um aluno faz um teste de múltipla escolha com 4 questões do tipo Verdadeiro-Falso. Suponha que o aluno esteja chutando todas as questões, uma vez que ele não estudou a matéria da prova. Defina as seguintes variáveis aleatórias: X número de acertos entre as duas primeiras questões da prova Y número de acertos entre as duas últimas questões da prova X número de acertos entre as três primeiras questões da prova Y número de acertos entre as três últimas questões da prova (a) Construa uma tabela com o espaço amostral associado a este eperimento, listando todas as possibilidades de acerto e os valores de X, Y, X, Y e suas probabilidades. (b) Construa a função de distribuição conjunta de (X, Y ) com as respectivas marginais. (c) Construa a função de distribuição conjunta de (X, Y ) com as respectivas marginais. (d) Verfique se X e Y são independentes. (Resp.: Sim) (e) Verfique se X e Y são independentes. (Resp.: Não) (f) Por que já era de se esperar as diferenças observadas em (d) e (e)? (g) Calcule a covariância entre X e Y. (Resp.: ) (h) Calcule a covariância entre X e Y. (Resp.: 5/6) (i) Calcule as seguintes distribuições condicionais com suas esperanças condicionais: (j) Calcule E [E (X Y )]. X Y X Y X Y X Y 3

25 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS 4. Uma moeda honesta é lançada 4 vezes. Seja X o número de caras nos primeiros lançamentos e seja Y o número de caras nos 3 últimos lançamentos. (a) Liste todos os elementos do espaço amostral deste eperimento, epsecificando os valores de X e Y. (b) Construa a função de distribuição conjunta de X e Y. (c) Calcule E(X), E(Y ), Var(X), Var(Y ) (d) Calcule Cov(X, Y ) e Corr(X, Y ). (e) Se Z X + Y, calcule E(Z) e Var(Z) (f) Se W X Y, calcule E(W ) e Var(W ).

26 Capítulo Vetores Aleatórios Contínuos. Definição Como no caso discreto, vamos definir um vetor aleatório k dimensional contínuo como um vetor formado por k variáveis aleatórias contínuas definidas no mesmo espaço amostral. O enfoque deste curso será nos vetores aleatórios bidimensionais.. Função densidade conjunta Seja (X, Y ) um vetor aleatório contínuo. A densidade conjunta f(, y) é uma função que satisfaz as seguintes propriedades:. f(, y). + + f(, y)ddy 3. P(a X b, c Y d) d c b a f(, y)ddy Para deiar claro o cálculo de integrais duplas, note o seguinte: d b c a f(, y)ddy d c b [ ] b f(, y)d dy a [ ] d f(, y)dy d a c Na primeira linha, estamos integrando, primeiro, em relação a, mantendo y fio e, por último, integramos em relação a y. Na segunda linha, inverte-se a ordem: primeiro, 3

27 4 CAPÍTULO. VETORES ALEATÓRIOS CONTÍNUOS integramos em relação a y, mantendo fio, e depois integramos em relação a. O que se pode ver é que a ordem de integração não é importante, ou seja, obtemos o mesmo resultado. No entanto, dependendo da região de integração, uma das maneiras pode ser mais simples que a outra. É fundamental esboçar a região de integração. EXEMPLO. Função constante Considere a seguinte função: f(, y) { y caso contrário Vamos mostrar que f(, y) realmente define uma função densidade para, em seguida, calcular P(X /, Y /). Solução Para desenhar a região de integração, note, primeiramente, que tanto quanto y são menores que. Isso restringe a região a um quadrado. Mas há mais uma condição: y. Traçando a diagonal y nesse quadrado, a região de definição é a parte superior, conforme ilustrado pela parte sombreada na Figura.. De forma análoga, na Figura. a região sombreada representa o evento ( X, Y ). Figura. Domínio de definição de f(, y) - Eemplo. Figura. Região de integração: P(X, Y ) Eemplo. Vamos mostrar que f é uma função densidade. Obviamente, f(, y). Resta mostrar que a integral ao longo da região de definição da função densidade é. O ponto principal no cálculo de integrais duplas é definir corretamente os limites de integração. Observe a Figura.3: na região de definição, para cada y fio no intervalo [, ], o valor de varia de até y veja que o segmento de reta para um y fio vai desde o eio vertical ( ) até encontrar a reta y. Seguindo essa estrutura de variação das variáveis, vamos integrar primeiro em relação a, com y fio, e depois, integramos em relação a y: [ f(, y)d ] dy.

28 .. FUNÇÃO DENSIDADE CONJUNTA 5 Figura.3 Variação de para um y fio Eemplo. Figura.4 Variação de y para um fio Eemplo. f(, y)ddy [ y ] d dy [] y dy ydy y Dessa forma, estão satisfeitas as condições e f(, y) realmente define uma função densidade. Poderíamos ter invertido a ordem de integração; veja a Figura.4. Para cada fio no intervalo [, ], y varia de até o segmento vertical correspondente a fio vai desde a reta y até a reta horizontal y. Isso nos dá que: f(, y)ddy [ ] dy d ( )d ( Para o cálculo de P(X /, Y /), temos que considerar a região de integração sombreada na Figura.. P(X /, Y /) / [ y ] d dy / ydy y / 4 A interpretação geométrica da integral dupla é que ela representa o volume sob a região de definição. Um erro comum é achar que a área da região de definição tem que ser. Note nesse eemplo que a região de definição é um triângulo de área. EXEMPLO. Seja (X, Y ) um vetor aleatório com função densidade conjunta dada por { f(, y) 8( y) < < ; < y < caso contrário

29 6 CAPÍTULO. VETORES ALEATÓRIOS CONTÍNUOS Mostre que f(, y) realmente define uma densidade conjunta. (Morettin & Bussab) Solução Como >, o sinal de f(, y) é determinado pelo termo y. Para que f(, y), temos que ter y, ou equivalentemente y, condição que é satisfeita no domínio de definição de f. Para mostrar que f(, y)ddy vamos analisar o domínio de definição de f, ilustrado como a parte sombreada da Figura.5. Figura.5 Domínio de definição de f(, y) - Eemplo. Figura.6 Variação de y para um fio Eemplo. Nesse domínio, para cada valor de, y varia de a +. Veja a Figura.6. Logo, f(, y)ddy ( y)dyd 8 ( y)dyd ) ( y y + d ) [( 3 3 ( d ( ) )] d Logo, f(, y) é uma função de densidade. Note que, nesse eemplo, a inversão da ordem de integração é mais trabalhosa, pois temos que considerar dois casos, conforme ilustrado na Figura.7: (i) < y < com variando de y a (segmento superior em azul) e (ii) < y <, com variando de y a (segmento inferior em vermelho):

30 .3. DENSIDADES MARGINAIS 7 Figura.7 Variação de para um y fio < y < e < y < Eemplo. O cálculo da integral é o seguinte: y ( y)ddy + 8 [ 3 4 y ] dy + 8 y [( 8 4 y ) ( y 3 4 ( 3 y 4 y3 4 + y3 6 [ y 3 y 8 y ( ) 4 [ 3 y ( y)ddy 8 ] 4 y 8 )] 4 y3 dy + 6 ) dy + y 4 ] + 4 dy y [( 8 4 y 4 ( 3 y 4 + y3 4 + y3 6 [ y 3 y ) ( y ) ( y3 ) dy y 4 ] 4 4 y3 6 )] dy.3 Densidades marginais As densidades marginais de X e Y são: f X () f Y (y) f(, y)dy (.) f(, y)d

31 8 CAPÍTULO. VETORES ALEATÓRIOS CONTÍNUOS Nessa definição, integrar em relação a uma variável equivale a deiar que essa variável assuma todos os seus possíveis valores. Assim, observe que, ao calcular a densidade de X para um valor específico, isto é, calcular f X (), deiamos y varrer todos os seus possíveis valores (integrando em relação a y dy). Analogamente, ao calcular a densidade de Y para um valor específico y, isto é, calcular f Y (y), deiamos varrer todos os seus possíveis valores (integrando em relação a d). EXEMPLO.3 Função constante (continuação) Vamos calcular as densidades marginais para o Eemplo.. Analisando a Figura.3, podemos ver que, para y [, ], varia de a y. Logo, y f Y (y) f(, y)d d y y Note que, como função de y, f Y (y) é uma função linear. Deste resultado podemos ver que E(Y ) yydy y3 3 3 Pela Figura.4, para cada [, ], y varia de até. Logo, f X () f(, y)dy que é também uma função linear de. Podemos ver que dy y ( ) E(X) [( )] d ) ( Na Figura.8 ilustram-se essas densidades marginais e seus valores esperados. Figura.8 Densidades marginais Eemplo.

32 .3. DENSIDADES MARGINAIS 9 EXEMPLO.4 Continuação do Eemplo. Vamos calcular as densidades marginais para o Eemplo.. Analisando a Figura.6, podemos ver que, para (, ), y varia de a +. Logo, para (, ) f X () ( y)dy 8 ) [( ( 3 3 ( y)dy 8 )] ) ( y y + Então, f X () 3 4 < < caso contrário e daí resulta que E(X) 3 4 d Para calcularmos f Y (y), teremos que considerar as duas partes do domínio de definição de y : (, ) e [, ), conforme ilustrado na Figura.7. Para y (, ), varia de y a (segmento inferior vermelho). Logo, f Y (y) y 8 ( y)d 8 y( y)d ( ) y y [( ) )] y ( y3 3 y3 ( y3 y + 8 ) ( ) 5y 3 y + 6 < y < 3 48 Para y [, ), varia de y a (segmento superior azul). Logo, f Y (y) y 8 ( y)d ( y)d ( ) 3 8 y 8 3 y y [( ) ( )] 8 y y 3 y3 ( 8 6 y3 y + 8 ) ( ) y 3 y + 6 y < 3 48 Resumindo:

33 3 CAPÍTULO. VETORES ALEATÓRIOS CONTÍNUOS f Y (y) ( 5y 3 y + 6 ) < y < 48 ( y 3 y + 6 ) y < 48 Resulta que E(Y ) yf Y (y)dy y ( ) 5y 3 y + 6 dy + y ( ) y 3 y + 6 dy (y 5 4y 3 + 8y ) 48 + ( ) y y3 + 8y { [ ( ) 5 4( ) 3 + 8( ) ]} + ( ) ( ) Na Figura.9 ilustram-se essas densidades marginais e seus valores esperados. Figura.9 Densidades marginais Eemplo..4 Distribuições e esperanças condicionais Por definição, temos que f(, y) f X y ( y) f Y (y) Note que, para cada y temos uma densidade condicional diferente. Analogamente, f Y (y ) f(, y) f X () (.) (.3)

34 .4. DISTRIBUIÇÕES E ESPERANÇAS CONDICIONAIS 3 e para cada temos uma densidade condicional diferente. Como no caso discreto, definem-se as seguintes esperanças condicionais: E X (X Y y) E Y (Y X ) f X y ( y)d y f Y (y )dy y f(, y) d (.4) f Y (y) f(, y) dy (.5) f X () Note que, para cada valor y de Y temos um valor diferente de E X (X Y y) e para cada valor de X, temos um valor diferente de E Y (Y X ). Assim, aqui também podemos definir uma função g que associa, a cada valor y de Y, o valor E X (X Y y) e outra função h que associa a cada valor de X, o valor E Y (Y X ), ou seja, g : y g(y) E X (X Y y) h : h() E Y (Y X ) Como X e Y são variáveis aleatórias, essas funções definem novas variáveis aleatórias g(y ) e h(x) cujas esperanças são calculadas como E Y [g(y )] g(y)f Y (y)dy (.6) E X [h(x)] h()f X ()d (.7) Como no caso discreto, vamos estabelecer a notação g(y ) E X (X Y ) h(x) E Y (Y X) Usando a definição de esperança condicional dada em (.4), temos que E Y [g(y )] E Y [E X (X Y )] g(y)f Y (y)dy E X (X Y y)f Y (y)dy ( ) f(, y) f Y (y) d f Y (y)dy f(, y)ddy ( ) f(, y)dy d f X ()d E(X) Nas duas últimas linhas usamos a definição da distribuição marginal de Y.

35 3 CAPÍTULO. VETORES ALEATÓRIOS CONTÍNUOS Analogamente, por (.5), resulta que E X [h(x)] E X [E Y (Y X)] h()f X ()d E Y (Y X )f X ()d ( ) f(, y) y f X () dy f X ()d y f(, y)dyd ( ) y f(, y)d dy y f Y (y)dy E(Y ) Como no caso discreto: E Y [E X (X Y )] E(X) E X [E Y (Y X)] E(Y ) EXEMPLO.5 Função constante continuação do Eemplo.3) Vamos calcular as distribuições condicionais para o Eemplo. usando as marginais calculadas no Eemplo.3. (a) Distribuição condicional de X dado Y y Vimos que, dado y, pode variar no intervalo [, y]. Temos que f X y ( y) f(, y) f Y (y) y y y Note que essa é uma função de, isto é, dado y, estamos calculando a distribuição condicional de X; podemos ver que essa é uma função constante (não depende de ), o que caracteriza uma densidade uniforme no intervalo [, y]. A esperança condicional de X dado Y y é y E(X Y y) f X Y ( y)d y d y y ( ) y y y g(y) Então, como função de y, E(X Y y) é uma função linear. Esse resultado segue diretamente do fato da distribuição condicional de X dado Y y ser uma uniforme em [, y]. Como g(y) E X (X Y y) é uma função de y, segue que g(y ) E X (X Y ) é uma variável aleatória e, portanto, podemos calcular sua esperança: E Y [g(y )] E Y [E X (X Y )] g(y)f Y (y)dy y y dy y dy 3 E(X)

36 .4. DISTRIBUIÇÕES E ESPERANÇAS CONDICIONAIS 33 (b) Distribuição condicional de Y dado X Dado, vimos que y pode variar de até. f Y (y ) f(, y) f X () ( ) que também é uma densidade uniforme no intervalo [, ]. A esperança condicional de Y dado X e E(Y X ) y f Y (y )dy y dy + ( )( + ) h() ( ) y novamente, obtendo a média da distribuição uniforme correspondente. y ( ) ( ) Como h() E Y (Y X ) é uma função de, segue que h(x) E Y (Y X) é uma variável aleatória e, portanto, podemos calcular sua esperança: E X [h(x)] E X [E Y (Y X)] h()f X ()d ( ) + [( )]d ( )d ) ( E(Y ) EXEMPLO.6 Continuação do Eemplo. Vamos calcular as distribuições condicionais para o Eemplo. usando as marginais calculadas no Eemplo.4. (a) Distribuição condicional de Y dado X Vimos no Eemplo.4 que, dado, y pode variar no intervalo [, ]. Temos que f(, y) ( y) f Y (y X ) 8 f X () 3 ( ) y y 4 Note que essa é uma função linear de y e, portanto, E Y (Y X ) y f Y (Y X y ( ) y dy ( y ) y dy ( y y 3 ) 3 [( 3 ) ( ( ) ( ) 3 )] 3 3 [( ( 3) + 3)] 3 h()

37 34 CAPÍTULO. VETORES ALEATÓRIOS CONTÍNUOS Como h() E Y (Y X ) é uma função de, segue que h(x) E Y (Y X) é uma variável aleatória e, portanto, podemos calcular sua esperança: E X [h(x)] E X [E Y (Y X)] d h()f X ()d E(Y ) (b) Distribuição condicional de X dado Y y Dada a natureza das densidades envolvidas, não calcularemos essa distribuição condicional, uma vez que as integrais se tornam mais difíceis, fugindo do objetivo do curso..5 Independência de variáveis aleatórias contínuas A definição de independência de variáveis aleatórias contínuas é análoga à definição no caso discreto: DEFINIÇÃO Independência de variáveis aleatórias contínuas Seja (X, Y ) um vetor aleatório contínuo com função densidade conjunta f(, y). Sejam f X () e f Y (y) as densidades marginais de X e Y, respectivamente. Então, diz-se que X e Y são variáveis aleatórias independentes se f(, y) f X ()f Y (y), y ou seja, a densidade conjunta é o produto das densidades marginais para todo par (, y) no domínio de definição. EXEMPLO.7 Sejam X, Y variáveis aleatórias com densidade conjunta dada por f(, y) 4y, < < ; < y < Vamos verificar se X e Y são independentes. Na Figura. ilustra-se o domínio de definição de f. É interessante observar que, para qualquer, y varia de a e, reciprocamente, para qualquer y, também varia de a, ou seja, os limites de variação de ambas as variáveis não dependem uma da outra.

38 .6. FUNÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 35 Figura. Domínio de definição f(, y) Eemplo.7 Além disso, podemos escrever a densidade conjunta como f(, y) 4y ()(y) ou seja, conseguimos fatorar a densidade conjunta em dua partes, uma dependendo apenas de e outra apenas de y. Temos fortes indícios da independência de X e Y. Para confirmar, vamos calcular as marginais: f X () f Y (y) 4y dy 4 y 4y d 4y < < y < y < Como antecipado, isso demonstra que X e Y são independentes..6 Funções de variáveis aleatórias contínuas Assim como no caso discreto, conhecida a densidade conjunta de (X, Y ), podemos ter interesse em estudar a densidade de uma variável aleatória definida como uma função h(x, Y ), em que h é uma função real, isto é, h : R R e novamente uma atenção especial será dada às combinações lineares, ou seja, funções do tipo h(x, Y ) ax + by, com a e b números reais quaisquer..6. Esperança de funções de variáveis aleatórias TEOREMA.

39 36 CAPÍTULO. VETORES ALEATÓRIOS CONTÍNUOS Sejam X, Y variáveis aleatórias contínuas com densidade conjunta f(, y) e seja h : R R uma função qualquer. Então E [h(x, Y )] h(, y) f(, y)ddy TEOREMA. Sejam X, Y variáveis aleatórias contínuas com densidade conjunta f(, y) e seja h : R R uma função definida por h(x, Y ) ax + by com a e b números reais quaisquer. Então E [h(x, Y )] a E(X) + b E(Y ).7 Covariância e correlação As definições de covariância e correlação são as mesmas vistas para o caso discreto Cov(X, Y ) E [X E(X)] [Y E(Y )] E(XY ) E(X) E(Y ) ( ) ( ) X E(X) Y E(Y ) Corr(X, Y ) E σ X σ Y Cov(X, Y ) σ X σ Y valendo todas as propriedades vistas anteriormente para o caso discreto..8 Um eemplo global Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com as seguinte função de densidade conjunta: c < y <, y < f(, y) caso contrário (a) Faça um gráfico ilustrando o domínio de definição de X e Y. (b) Calcule o valor da constante c. (c) Calcule as marginais de X e Y, mostrando que realmente definem uma função de densidade. (d) Calcule E(X), E(Y ), V ar(x), V ar(y ). (e) Calcule a distribuição condicional f X Y ( y). (f) Calcule a esperança condicional E(X Y y) - essa esperança é uma função de y! (g) Use os resultados anteriores para mostrar que E[E(X Y )] E(X).

40 .8. UM EXEMPLO GLOBAL 37 (h) Calcule a distribuição condicional f Y X (y ) (i) Calcule a esperança condicional E(Y X ) - essa esperança é uma função de! (j) Use os resultados anteriores para mostrar que E[E(Y X)] E(Y ). (k) Calcule Cov(X, Y ) e Corr(X, Y ). Solução (a) Na Figura. ilustram-se as regiões < y < (abaio da reta y ) e y < (à esquerda da reta y ). Como y >, a região de interseção, ou seja, a região de definição corresponde à área sombreada. Figura. Domínio de definição de f(, y) do Eemplo Global Para achar o ponto de interseção das duas retas, basta eplicitar as condições e resolver o sistema: { y y Substitutindo a primeira equação na segunda, obtemos que y y y y /. Como neste ponto de interseção y, concluimos que o ponto de interseção é o ponto (/; /), conforme ilustrado no gráfico acima. (b) Como f(, y), temos que ter c >. A segunda condição é R f(, y)ddy onde R é o domínio de variação de X e Y. Analisando a Figura., vemos que, para cada y no intervalo (; /), a abcissa varia de y a y (são as retas que definem R). Note que começamos fiando y e depois olhamos a variação de ; isso implica na

41 38 CAPÍTULO. VETORES ALEATÓRIOS CONTÍNUOS seguinte ordem de integração: / / / ( ) y cd dy y / ( ) y d dy c y ( ) y dy / [ y c ( y) y ] dy c ( y)dy ( c y y ) / c 4 c 8 c c 8 O mesmo resultado é obtido invertendo-se a ordem de integração. A diferença é que temos que quebrar o domínio de variação de em partes: < / e / < <. Para (; /], vemos na Figura. que < y < e para (/; ), < y <. Então, temos / ( ) ( ) f(, y)ddy cdy d + cdy d R / / ( c c d + c 4 + ( c c 3 ) dy d + / ) / / ( ) c dy d c( )d c 3 3 ( c 8 4) c / + c + c 8c 3c + c 4 ) (c c 3 3 / 3c 4 c 8 Resulta, então, que 8 < y <, y < f(, y) caso contrário (c) As marginais de X e Y são dadas, respectivamente, por Marginal de Y f X () R f(, y)dy f Y (y) R f(, y)d Como visto no item anterior, para cada y fio no intervalo (; /), varia de y a y. Logo, f Y (y) y y 8d 4 y 4( y) 4y 4 8y + 4y 4y y ou seja: f Y (y) 4( y) < y < / (.8) Note que é fundamental eplicitar o domínio de variação de y, de acordo com a região conjunta!

42 .8. UM EXEMPLO GLOBAL 39 Marginal de X Para a marginal de X, novamente temos que quebrar o domínio de variação nos intervalos (; /] e (/; ). Para (; /], vemos na Figura. que < y < e, neste caso, f X () Para (/; ), < y <, e assim Logo, f X () 8dy 8 8dy 8 dy 8 dy 8( ) 8 < / f X () 8( ) / < < (d) Temos que usar as marginais de X e Y e as definições de esperança e variância. E(Y ) E(X) f X ()d / / 4 / / ( 8 8 d / 4 ) / / ( 6 / ) 8( )d / 4 y yf Y (y)dy / 8 y3 3 / / y4( y)dy / ( 4y 8y ) dy (.9) E(X ) f X ()d / / 8 / / 8 d / 5 5 ) 8 5 ( 6 / / ( 3 / ) 8( )d

43 4 CAPÍTULO. VETORES ALEATÓRIOS CONTÍNUOS Logo, Logo, E(Y ) Var(X) 3 8 ( 7 / 4 y3 3 y f Y (y)dy / 8 y4 4 Var(Y ) 4 / ) / y 4( y)dy / ( 4y 8y 3) dy ( ) (e) Note que f X y ( y) é uma função de ; para cada y (; /), temos uma distribuição condicional diferente f X y ( y) f(, y) f Y (y) 8 4( y) y < < (f) Note que E(X Y y) é uma função de y! Para cada y, vimos que varia de y a y; logo E(X Y y) y ( ) f X y ( y)d y y d 3 y y 3 y [ 3( y) ( y) 3 y 3] ( 3y + 3y y 3) h(y) 3( y) (g) O problema pede para calcular E[E(X Y )] E[h(Y )] : / ( 3y + 3y y 3) E[E(X Y )] h(y)f Y (y)dy 4( y)dy 3( y) 8 / ( 3y + 3y y 3) dy 3 8 ) (y 3 y 3 + y3 y4 / 4 8 ( ) 6 8 ( 3 8 ) E(X) (h) Note que f Y (y ) é uma função de y; para cada (; ), temos uma distribuição condicional diferente. Mas aqui f X () é definida por duas epressões diferentes, uma para cada um dos intervalos (; /] e (/; ). Logo, a condicional f Y (y ) também será definida por duas epressões. Para (; /] f Y (y ) f(, y) f X () 8 8

44 .8. UM EXEMPLO GLOBAL 4 Para (/; ) f Y (y ) f(, y) f X () 8 8( ) Logo, f Y (y ) < y < /; < / < y < /; / < < (i) Note que E(Y X ) é uma função de! Por definição, E(Y X ) yf Y X (y )dy Como a densidade é definida por duas epressões, o mesmo ocorrerá com E(Y X ). Para (; /], vimos que y varia de até ; logo E(Y X ) y dy y Para (/; ), vimos que y varia de até ; logo E(Y X ) y dy y Logo E(Y X ) h() < / / < < (j) Como E(Y X ) h(), segue que

45 4 CAPÍTULO. VETORES ALEATÓRIOS CONTÍNUOS E[E(Y X] E[h(X)] h()f X ()d) / / 4 /.8 d d / / / ( ) d ( + 3 )d 8( )d ( ) / [( ) ( )] 4 6 [ ( )] 64 [ ] 64 [ ] E(Y ) (k) Temos que

46 .9. A DISTRIBUIÇÃO T DE STUDENT 43 Logo, E(XY ) / / / / / yf X,Y (, y)ddy ( ) y y8d dy y ( ) y y d dy y ( ) 3 y y dy 3 y [ y ( y) 3 y 3] dy ( y 3y + 3y y 3) dy [ y 3 y y4 5 y5 8 ( ] / 3 ) Cov(X, Y ) Corr(X, Y ) , A distribuição t de Student Sejam Z N(; ) e Y χ (n) variáveis aleatórias independentes. Então, a densidade da variável aleatória U Z Y /n é dada por f U (u) Γ ( ) n+ nπ Γ ( ) n ) n+ ( + u n (.)

47 44 CAPÍTULO. VETORES ALEATÓRIOS CONTÍNUOS Essa é a densidade t de Student, obtida por William Gosset ( ), que trabalhava na Cervejaria Guinness na Irlanda. Como a cervejaria não permitia a publicação de resultados de pesquisa obtidos por seus funcionários, Gosset publicou, sob o pseudônimo de Student, o artigo The Probable Error of a Mean na revista Biometrika (vol. 6, no. ). (Obs.: No Apêndice B apresenta-se a obtenção de tal densidade a partir de transformações de variáveis aleatórias.) Essa epressão, certamente, é assustadora! Mas eis uma boa notícia: não precisaremos dela para calcular probabilidades! No entanto, é interessante notar duas características básicas dessa epressão: o argumento u da função aparece elevado ao quadrado e f U depende apenas do número de graus de liberdade da qui-quadrado e, portanto, o parâmetro desta distribuição é, também, o número de graus de liberdade. Da primeira observação resulta o fato de que f U é simétrica em torno de zero, ou seja f U (u) f U ( u). Da segunda observação resulta que cada número de graus de liberdade dá origem a uma distribuição t diferente. No entanto, pela simetria da curva, todas as distribuições t têm média. Além disso, o gráfico da função de densidade da t também tem forma de sino, como a distribuição normal. Nas Figuras. a.5 comparam-se as distribuições t (em vermelho) com ν,,, 3 com a distribuição normal padrão. Nos dois gráficos superiores (ν, ) fica mais nítido o fato de a distribuição t ter maior dispersão (consequência do fato de substituirmos σ pela sua estimativa s). Nos dois gráficos inferiores (ν, 3), o que chama a atenção é a quase coincidência da densidade t com a densidade N(; ). Esse é um resultado importante: à medida que o número de graus de liberdade aumenta, a distribuição t de Student aproima-se da N(; ). A variância da distribuição t com ν graus de liberdade é igual a ν ν (ν > ) e podemos ver que essa variância converge a, que é a variância da N(; ), quando ν. Figura. Comparação das distribuições N(, ) e t() Figura.3 Comparação das distribuições N(, ) e t()

48 .9. A DISTRIBUIÇÃO T DE STUDENT 45 Figura.4 Comparação das distribuições N(, ) e t() Figura.5 Comparação das distribuições N(, ) e t(3) A seguir, apresentam-se as propriedades da densidade t Student. DEFINIÇÃO Densidade t Student Sejam Z N(; ) e Y χ (n) variáveis aleatórias independentes. Se T Z Y /n então T tem distribuição t de Student com n graus de libedade (T t n ) e sua função de densidade é dada por Ttem-se que f T (t) Γ ( ) n+ nπ Γ ( ) n ) n+ ( + t n E(t n ) < t < Var(t n ) n n se n >.9. Tabela da t-student Ao contrário da distribuição normal, não eiste uma relação entre as diferentes distribuições t; assim, seria necessária uma tabela para cada valor de ν. Os programas computacionais de estatística calculam probabilidades associadas a qualquer distribuição t, mas nos livros didáticos é comum apresentar uma tabela com os valores críticos de diferentes distribuições t. A razão para isso é que a maioria das aplicações da distribuição t envolve a construção de intervalos de confiança ou de testes de hipóteses. Nessas aplicações, nosso interesse está no valor crítico associado a um nível de

49 46 CAPÍTULO. VETORES ALEATÓRIOS CONTÍNUOS significância α que, como visto, é o valor da abscissa que deia probabilidade (área) α acima dela. Vamos representar por t ν;α o valor crítico da distribuição t(ν). Veja a Figura.6. Figura.6 Valor crítico t(ν, α) da distribuição t(ν) A Tabela 3, apresentada no Apêndice, é uma apresentação usual dos valores críticos da distribuição t. Cada linha corresponde a um número diferente de graus de liberdade e cada coluna corresponde a uma área α na cauda superior. No corpo da tabela temos a abscissa t α que deia a área α acima dela, ou seja: P(t(ν) > t ν,α ) α Vamos ver, agora, eemplos de utilização da Tabela 3. EXEMPLO.8 Valores críticos da t (a) Na distribuição t(5) encontre a abscissa t 5;,5. (b) Na distribuição t(3) encontre a abscissa t tal que P( t(3) > t), 5. (c) Na distribuição t() encontre a abscissa t tal que P( t() t), 9. Solução (a) Como o número de graus de liberdade é 5, temos de nos concentrar na linha correspondente a gl 5. A abscissa t,5 deia área,5 acima dela; logo, t 5;,5, 753. (b) Usando as propriedades da função módulo, temos a seguinte equivalência: P( t(3) > t), 5 P(t(3) < t) + P(t(3) > t), 5

50 .. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 47 Pela simetria da densidade t, P(t(3) < t) P(t(3) > t). Substituindo: P(t(3) > t) + P(t(3) > t), 5 P(t(3) > t), 5 t, 69 Esse último valor foi encontrado na Tabela 3, consultando-se a linha correspondente a 3 graus de liberdade e coluna correspondente à área superior de,5. Veja a Figura.7. (c) Das propriedades da função módulo e da simetria da densidade t resultam as seguintes equivalências. Veja a Figura.8. P( t() t), 9 P( t t() t), 9 P( t t() < ) + P( t() t), 9 P( t() t), 9 P( t() t), 45 P(t() > t), 5 t, 78 Figura.7 P( t(3) > t), 5 Figura.8 P( t(5) t), 9. Eercícios propostos. Seja (X, Y ) um vetor aleatório cuja função de densidade é constante na região A R definida por A {(, y); < y < ; + y < }. Determine (a) a função de densidade conjunta de X e Y. (b) as marginais f X e f Y (c) E(X), E(Y ), V ar(x), V ar(y ) (d) P(X <, 5; Y >, 5) (e) P(X + Y > /)