Prova Final de Estatística I

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1 Curso: ESCOLA DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS DE SÃO PAULO FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS Graduação Data: Junho / 2011 Professores: Prova Final de Estatística I Felipe Zambaldi, Francisco Aranha, Nelson Barth Nome do Aluno Assinatura Nome do Professor Turma Instruções: É proibida a consulta a quaisquer materiais. É proibido o intercâmbio de quaisquer informações ou materiais entre os alunos. Não soltar o grampo das folhas. Se você precisar se ausentar da sala, a prova deverá ser encerrada e entregue. Calculadoras são permitidas. São proibidos computadores, celulares, smartphones e quaisquer outros equipamentos que permitam comunicação (os alunos devem colocar esses itens na parte da frente da sala de prova). A prova deverá ser respondida no cartão de leitura ótica: deverão ser entregues ao professor: o cartão de leitura ótica e as folhas de prova; o cartão de leitura ótica deve ser preenchido com caneta esferográfica preta ou azul; NÃO RASURAR; seu código (que consta do topo do cartão) deve ser assinalado na área apropriada; confira se seu código está correto nas folhas de provas; assinalar uma e somente uma alternativa por questão; controle seu tempo e reserve os 10 últimos minutos para preencher o quadro de respostas.

2 Q1. As notas na prova final de estatística no Massachussets Institute of Technology tem distribuição normal com média 6 e desvio-padrão 2. A probabilidade de que um aluno seja reprovado (nota inferior a 5) é aproximadamente: a) 0 b) 20% c) 80% d) 70% e) 30% Q2. Uma empresa de cartões de crédito desenvolveu um novo programa de premiação destinado a 5% dos clientes, a saber, aqueles com os maiores gastos em Assim, determinou-se que os clientes que gastaram mais do que R$ 7.000,00 seriam premiados. Os gastos dos clientes seguem uma distribuição normal com média R$ 4.000,00. Qual é o desvio padrão do valor das contas? a) aproximadamente R$ b) aproximadamente R$ c) aproximadamente R$ d) aproximadamente R$ e) faltam informações para que o desvio-padrão possa ser determinado Q3. O tempo de espera X (em minutos) em uma fila de atendimento segue uma distribuição exponencial, cuja Função Densidade de Probabilidade está representada abaixo. A probabilidade de passar menos de 9 minutos na fila está: 0,05 a) entre 0% e 15% b) entre 15% e 30% c) entre 45% e 60% d) entre 30% e 45% e) acima de 60% Q4. Na questão Q3, a probabilidade de passar mais tempo na fila do que a média + 1 desvio-padrão é aproximadamente igual a (não use Chebyshev): a) 86,5% b) 13,5% c) c) 15,9% d) 34,1% e) 65,9% Q5. Se, de uma população muito grande, retirarmos inúmeras amostras com 1000 observações cada, então a variância da média amostral será dada por Var(X) / Por quê? Assinale a melhor alternativa. a) Ao retirarmos dessa população várias amostras independentes, a média amostral terá uma distribuição aproximadamente normal (pelo Teorema do Limite Central). Demonstra-se ainda que a variância da média amostral será igual à variância da população dividida por n, onde n é o tamanho da amostra.

3 b) Ao retirarmos dessa população várias amostras independentes, as médias amostrais terão a mesma distribuição que a população (pelo Teorema do Limite Central). Demonstra-se ainda que a variância das médias amostrais será n-1 vezes menor que a variância da população, onde n é o tamanho da amostra. Como n é grande, o uso de n-1 ou n gera pouca diferença. c) Ao retirarmos dessa população várias amostras independentes, a variância em cada amostra tenderá a zero conforme se aumenta o número de amostras (pelo Teorema do Limite Central). Como estamos lidando com 1000 amostras sem repetição, então segue que a variância da média amostral será um milésimo da variância da população (desde que haja a independência). d) Ao retirarmos dessa população várias amostras independentes, a média amostral terá uma distribuição aproximadamente normal (pelo Teorema do Limite Central). Demonstra-se ainda que o desvio-padrão da média amostral será igual ao desvio-padrão da população dividido por n, onde n é o número de amostras. e) Ao retirarmos dessa população várias amostras independentes, a média amostral terá uma distribuição aproximadamente normal (pelo Teorema do Limite Central). Demonstra-se ainda que a variância da média amostral será n vezes menor que a variância da população, onde n é o número de amostras retiradas da população. Q6. A FGV está estudando a compra de lâmpadas para os projetores. Para verificar se a lâmpada se comporta segundo as especificações, isto é, se ela dura horas, foram realizados testes de duração de várias lâmpadas. Nestes testes, o tempo até a cada lâmpada queimar foi registrado, formando uma amostra de tempos. Considere as seguintes afirmações: I) quanto maior for o tamanho da amostra, menor a variabilidade da média amostral; II) quanto maior for o tamanho da amostra, maior a variabilidade da média amostral; III) quanto maior for o tamanho da amostra, mais próxima de horas estará a média amostral; IV) quanto maior for o tamanho da amostra, menor será a margem de erro; V) quanto mais longe a média amostral estiver de horas, mais evidência haverá de que o interruptor não atende às especificações. Assinale a alternativa certa: a) As afirmações I, III e IV estão sempre corretas. b) As afirmações II, III, IV e V estão sempre corretas. c) As afirmações II, IV e V estão sempre corretas. d) A afirmação III é a única que está sempre correta. e) As afirmações I, IV e V estão sempre corretas. Q7. Uma loja planejou vender, em média, 100 ipads por dia, com um desvio-padrão de 10 aparelhos e distribuição normal. O departamento de compras decidiu confirmar se as vendas estão ocorrendo conforme o planejado, pois suspeita que, com a crise financeira, elas tenham caído. Para decidir se reduz suas encomendas ou não, observou as vendas de 10 dias, considerando-as observações independentes. Assumindo = 10%, realizou então um teste da hipótese H 0 : venda diária média = 100 aparelhos contra H a : venda diária média < 100 aparelhos. Assinale a melhor alternativa: a) Se o valor-p do teste der 6%, então não haverá indícios de queda nas vendas. b) Se o valor-p do teste der 6%, então haverá indícios de queda nas vendas. c) Se a região de rejeição incluir a média de vendas nos 10 dias observados, então deve-se rejeitar a hipótese alternativa. d) Se a região de rejeição não incluir a média de vendas dos 10 dias observados, então deve-se aceitar a hipótese alternativa. e) Se a região de rejeição incluir o valor-p do teste, deve-se reduzir as encomendas (ressalvando-se que existe 10% de probabilidade de subestimação das vendas).

4 Q8. Uma empresa de importação e exportação trabalha com a informação de que em média seus executivos fazem 15 viagens internacionais por ano, com desvio-padrão de 6 viagens. Como há dúvidas sobre essa média (para mais ou para menos), determinou-se uma amostra aleatória de 36 executivos e verificou-se que, nessa amostra, em média os executivos fizeram 12 viagens em um ano. Sendo X: número de viagens anuais de um executivo e fazendo um teste de hipótese com H 0 : = 15 e H A : 15, utilizando-se = 5%, conclui-se que: a) Z = 3 e Zcrítico = 1,65. Não se rejeita H 0. b) Z = 3 e Zcrítico = 1,65. Rejeita-se H 0. c) Z = 3 e Zcrítico = 1,96. Rejeita-se H 0. d) Z = 3 e Zcrítico = 1,96. Não se rejeita H 0. e) Z > 3 e Zcrítico = 1,65. Rejeita-se H 0. Q9. Se X e Y são variáveis independentes, então (assinale a alternativa correta): a) Var(2X-2Y) = 4.Var(X) + 4.Var(Y) b) Var(2X-2Y) = 4.Var(X) - 4.Var(Y) c) Var(2X+2Y) = 2.Var(X) + 2.Var(Y) d) Var(X+Y) 2 = Var(X 2 ) + Var(Y 2 ) e) Var(X+Y) 2 = 2.Var(X) + 2.Var(Y) Q10. Duas ações da Bovespa têm correlação igual a 0,4. A variância do retorno diário da ação 1 é 1,21 e a variância do retorno diário da ação 2 é 1,44. Calcule a variância de uma carteira com 20% da ação 1 e 80% da ação 2. a) aproximadamente 1,30 b) aproximadamente -0,09 c) aproximadamente 0,75 d) aproximadamente 0,64 e) aproximadamente 0,80 Q11. Uma indústria alimentícia produz chocolate em barra. Com relação à produção de 2010, o peso médio do conteúdo da barra é de 250g e o desvio-padrão desse peso é de 5g (distribuição normal). Foi coletada uma amostra de 25 barras e calculou-se o peso médio dessa amostra. I. De todas as barras de chocolate produzidas por esta indústria, 95% delas terão peso dentro do intervalo com 95% de confiança para a média. II. O intervalo de 99% de confiança com base nessa amostra será mais largo do que um intervalo de 95% de confiança. III. Se, a partir de muitas amostras de 25 barras de chocolate, construirmos intervalos de 95% de confiança, todos os intervalos com certeza incluirão o valor do peso médio da respectiva amostra. IV. Se, a partir de muitas amostras de 25 barras de chocolate, construirmos intervalos de 95% de confiança, estes com certeza incluirão o valor de 250 g mencionado no enunciado. a) As afirmativas I e III estão corretas. b) As afirmativas I e IV estão corretas. c) As afirmativas II e III estão corretas. d) As afirmativas I, III e IV estão corretas. e) As afirmativas II, III e IV estão corretas.

5 Q12. Deseja-se estimar a quantidade média de horas mensais de uso do Facebook pelos paulistas. No planejamento da pesquisa, deseja-se estimar esta média com margem de erro de 0,5 horas, e 99% de confiança. Admita que o desvio-padrão do número de horas é 3. Qual deve ser, aproximadamente, o tamanho da amostra? (escolha a alternativa que mais se aproxime) a. 195 entrevistados b. 16 entrevistados c. 239 entrevistados d. 14 entrevistados e. 152 entrevistados Q13. O seguinte teste de hipóteses sobre uma população foi feito: H 0 : μ 100; H A : μ > 100. A média amostral encontrada foi 105 e o valor-p obtido no teste foi 0,01. Isto significa que: a) a probabilidade de a média populacional ser diferente de 105 é 0,01; b) se H 0 for falsa, a probabilidade de se observar uma média amostral maior que 105 é 0,01; c) a probabilidade de a média populacional ser maior que 100 é 0,01; d) se H 0 for verdadeira, a probabilidade de se observar uma média amostral maior que 105 é 0,01; e) a probabilidade de a média populacional ser menor que 100 é 0,01. Q14. (McClave) A quantidade de dinheiro arrecadada na lanchonete de uma universidade foi anotada diariamente nos últimos 5 anos. Suponha que a média populacional seja 2500 e o desvio-padrão populacional seja 400. A distribuição da quantidade de dinheiro arrecadada é assimétrica devido a dias em que há jogos na universidade. Suponha que 100 dias desses 5 anos foram selecionados aleatoriamente e a média amostral foi calculada. Qual das alternativas abaixo descreve a distribuição de probabilidade dessa média amostral? a) Aproximadamente normal com média 2500 e desvio-padrão 400 b) Aproximadamente normal com média 2500 e desvio-padrão 4 c) Aproximadamente normal com média 2500 e desvio-padrão 40 d) Assimétrica com média 2500 e desvio-padrão 400 e) Assimétrica com média 2500 e desvio-padrão 40 Q15. Com relação a testes de hipóteses, assinale a alternativa verdadeira: a) A Estatística da Amostra é o ponto que marca a mudança entre a decisão entre rejeitar e não rejeitar a hipótese nula. b) O Valor-p do teste é o ponto que marca a mudança entre a decisão entre rejeitar e não rejeitar a hipótese nula. c) O Valor Crítico é o ponto que marca a mudança entre a decisão entre rejeitar e não rejeitar a hipótese nula. d) O Valor-p é sempre maior que a região crítica em testes unicaudais. e) O Valor-p é sempre maior que a região crítica em testes bicaudais. Q16. Acredita-se que os atrasos de um trem seguem uma distribuição contínua, com formato aproximadamente triangular, com média de 0 minutos. Se o trem adianta, entende-se que houve atraso negativo. Assim, acredita-se que, em média, o trem nem atrasa nem adianta. Um técnico em trens suspeita dessa média 0 e quer fazer um teste bicaudal: Ho: μ=0 e Ha: μ 0. Anotou os atrasos (e adiantamentos) de uma amostra aleatória simples de 100 chegadas do trem. Nesses 100 trens, a média de atraso foi de 1 minuto. Sabe-se que o desvio-padrão dos atrasos do trem é de 10 minutos. O valor-p do teste é aproximadamente: a) Impossível calcular, visto que a média amostral tem erro-padrão desconhecido

6 b) Impossível calcular, visto que os atrasos não seguem uma distribuição normal c) 5% d) 16% e) 32% Q17. Na Atividade Monitorada II, vocês puderam verificar que: a) quanto maior for o número de amostras simuladas, maior será a precisão do estimador da média populacional μ; b) a precisão do estimador da média populacional μ independe do tamanho da amostra de tickets, visto que há independência na amostragem; c) quanto maior for o tamanho da amostra de tickets, maior será a precisão do estimador da média populacional μ; d) a variância de uma amostra diminui conforme aumenta o tamanho dessa amostra; e) a variância de uma amostra aumenta conforme aumenta o tamanho dessa amostra. Distribuição Normal Z X Distribuição Exponencial Folha de Consulta 0 x0 P( X x ) e EX ( ) Variáveis aleatórias bidimensionais Var ax by a Var X b Var Y abcov X Y 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ; ) Cov( X; Y) Corr( X; Y) X Y E( ax by) ae( X ) be( Y) Distribuição amostral da média X 2 ~ N; n EX ( ) DP( X ) X n Teste de hipótese sobre a média de uma população X X Z X n Intervalo de confiança IC[ ; %] x E; x E 2 2 z E z 2 2 n n 2 E

7 Distribuição normal padronizada A tabela indica P (0 z z 0 ) z 0 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0754 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1737 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2020 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2191 0,2224 0,6 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549 0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2882 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3290 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3414 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4358 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4430 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4485 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4700 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4762 0,4767 2,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4865 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4980 0,4980 0,4981 2,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990