Função bayesiana em R para o problema de Behrens-Fisher multivariado

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1 Função bayesiana em R para o problema de Behrens-Fisher multivariado Patrícia de Siqueira Ramos 1 2 Daniel Furtado Ferreira 3 1 Introdução Um dos problemas mais comuns na Estatística aplicada é o de comparar as médias de duas populações se a razão entre suas variâncias for desconhecida e diferente de 1 e se as populações forem normais, que é denominado problema de Behrens-Fisher. No caso univariado, aproximações para a estatística t foram utilizadas e, no caso multivariado, esse problema ocorre quando há necessidade de comparar dois vetores de médias normais sendo as covariâncias populacionais heterogêneas e desconhecidas. Neste caso, a maior parte das soluções busca ajustar os graus de liberdade para obter uma melhor aproximação qui-quadrado ou T 2 de Hotelling [1]. Há soluções bayesianas propostas por alguns autores nos casos uni e multivariado, sendo pouco numerosas para o segundo caso. Além disso, não há muitas opções implementadas em programas estatísticos para realizar comparações entre vetores de médias. O objetivo deste trabalho foi criar uma função em R que aplique de maneira simples e apresente de forma objetiva o resultado do teste bayesiano implementado por [5] para o problema de Behrens-Fisher. A solução foi considerada vantajosa pelos autores que analisaram seu desempenho em relação às taxas de erro tipo I e poder. Utilizou-se um exemplo em que se compararam as médias de variáveis usadas para calcular o IDH de países da América do Sul e da África, testando-se a hipótese de igualdade desses vetores de médias para três variáveis. 2 Material e métodos A função para aplicar o teste bayesiano de [5] foi criada utilizando o programa R [4]. A solução bayesiana proposta pelos autores para o problema de Behrens-Fisher é baseada na complexa proposta analítica de [2]. O desempenho dessa solução foi avaliado pelos autores em relação às taxas de erro tipo I e poder, mostrando-se vantajosa em relação ao seu principal concorrente frequentista. Essa solução é descrita a seguir. Sejam Y 11,..., Y 1n1 e Y 21,..., Y 2n2 amostras aleatórias independentes de tamanhos n 1 e n 2 obtidas de duas populações normais p-variadas N p (µ 1,Σ 1 ) 1 ICEx/UNIFAL-MG. patricia.ramos@unifal-mg.edu.br 2 Agradecimento à FAPEMIG pelo apoio financeiro. 3 DEX - UFLA. danielff@ufla.br 1

2 e N p (µ 2,Σ 2 ), respectivamente, em que µ i é o vetor de médias p 1 e Σ i a matriz de covariâncias p p da i-ésima população, i = 1, 2. Para caracterizar o problema de Behrens-Fisher, as matrizes Σ 1 e Σ 2 são diferentes e desconhecidas. Para a realização de inferências sobre o vetor resultante da diferença dos vetores de médias populacionais δ = µ 1 µ 2, foi proposto um teste bayesiano para se testar a hipótese nula H 0 : δ = δ 0 = δ 01 δ 02. δ 0p. (1) Para a construção do teste, utilizou-se o procedimento descrito em [2]. Inicialmente, foram obtidos os vetores de médias amostrais e as matrizes de somas de quadrados e produtos por em que i = 1, 2. Ȳ i = 1 n i n i Y i j, e V i = n i (Y i j Ȳ i )(Y i j Ȳ i ), (2) Foi utilizada uma distribuição a priori conjugada para µ i e Σ i, conforme apresentado em [2], em que µ i Σ i N p (a i,σ i /q i ) e Σ i Wp 1 (R i,r i ), sendo Wp 1 a distribuição Wishart invertida com dimensão p. Nesse caso, a i, q i, R i e r i são hiperparâmetros. Fazendo a i = 0, q i 0 e R i 0 (p p), então, a distribuição a posteriori de µ i é T p (Ȳ i,v i /[n i (n i + r i 2p)],n i + r i 2p), em que T p (A,ν) é uma distribuição p-dimensional t multivariada com parâmetro de covariação A e graus de liberdade ν. A informação necessária para se estabelecer o valor do hiperparâmetro r i estava contida em p e n i, expressa como uma função de p/n i. Portanto, o valor de r i foi definido empiricamente por que varia entre p e 2p 1. ( ) ( ) p 3 p n i r i = (2p 1), (3) 2p 1 No trabalho de [5], os autores utilizaram uma função de δ = µ 1 µ 2 e de Ȳ 1 Ȳ 2 e obtiveram sua distribuição a posteriori computacionalmente por meio de simulação Monte Carlo. Essa estratégia foi diferente da adotada por [2], que obtiveram uma distribuição analítica dessa função e calcularam seus quantis a posteriori por meio de métodos numéricos, utilizando a distribuição exata e algumas aproximações. Essa função é dada pela forma quadrática q = (δ d) V 1 p (δ d), (4) em que d = Ȳ 1 Ȳ 2, δ = µ 1 µ 2 e V p (V pooled) é uma combinação linear das matrizes V 1 e V 2 dada por V p = (n 1 1)V 1 + (n 2 1)V 2. (5) n 1 + n 2 2 2

3 Como a função de distribuição de Q a posteriori obtida por [2] é muito complexa e envolve uma série infinita, a proposta de [5] foi obtê-la computacionalmente. Assim, dadas as amostras multivariadas das duas populações normais, foram estimadas as médias (Ȳ i ) e as matrizes de somas de quadrados e produtos (V i ) utilizando (2), i = 1,2. Utilizando-se Ȳ i como média da distribuição a posteriori de µ i, uma T p, simularam-se amostras aleatórias de tamanho N. Sendo µ i j a j-ésima observação p-variada dessa distribuição a posteriori correspondente à i-ésima população, com j = 1, 2,..., N e i = 1, 2, foi obtida a quantidade q j = (µ 1 j µ 2 j d) V 1 p (µ 1 j µ 2 j d). (6) O valor esperado de µ 1 j µ 2 j d é o vetor nulo p 1. Assim, a distribuição de q j corresponde à distribuição sob a hipótese nula de igualdade das médias populacionais. Para se aplicar o teste da hipótese nula H 0 : δ = δ 0, foi obtido o valor da quantidade q c = (d δ 0 ) V 1 p (d δ 0 ). (7) O valor da probabilidade empírica, denotado por credibilidade empírica C, usado como evidência para decidir se a hipótese nula deve ou não ser rejeitada foi obtido por C = N I(q c q j ), (8) N em que I(q c q j ) é a função indicadora tal que I(q c q j ) = 1 se q j supera o valor original q c ou 0, caso contrário e o valor de N considerado foi de Utilizou-se uma distribuição a priori conjugada para o vetor de médias populacionais (µ i ) e para a matriz de covariâncias (Σ i ), obtendo-se uma distribuição a posteriori t multivariada para µ i, para i = 1, 2. A função criada, denominada AplicaTB(), foi programada para realizar o teste bayesiano de comparação de dois vetores de médias. Como exemplo de uso foram utilizados dados da ONU sobre o Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) adaptados de [3] e referem-se a n 1 = 9 amostras de países da América do Sul e n 2 = 14 da África com três variáveis desses países (p = 3), sendo elas: IDH, expectativa de vida ao nascer (em anos) e tempo médio de escolaridade (em anos). Os dados se encontram na Tabela 1. A função AplicaTB() criada apresenta parâmetros que devem ser fornecidos pelo usuário: N - número de amostras a posteriori, sendo o padrão N = 2.000; Y 1 e Y 2 - matrizes de dados em que as linhas representem cada unidade amostral e as colunas cada variável medida; delta0 - vetor a ser testado, geralmente de que a diferença entre os vetores de médias é zero; c.nominal - valor da credibilidade nominal a ser usada, sendo o padrão 0,05. Essa função verifica as pressuposições do problema de Behrens-Fisher, ou seja, os vetores de dados devem ser normais e deve haver heterogeneidade das matrizes de covariâncias. O teste 3

4 Tabela 1: Dados sobre IDH de 9 países da América do Sul (grupo 1) e 14 da África (grupo 2) sendo as variáveis: IDH, Exp (expectativa de vida ao nascer em anos) e Esc (tempo médio de escolaridade em anos). Grupo País IDH Exp Esc Grupo País IDH Exp Esc 1 Brasil 0,718 73,5 7,2 2 Mauritânia 0,453 58,6 3,7 1 Guiana 0,633 69,9 8,0 2 Niger 0,295 54,7 1,4 1 Colômbia 0,710 73,7 7,3 2 Chade 0,328 49,6 1,5 1 Equador 0,720 75,6 7,6 2 Senegal 0,459 59,3 4,5 1 Peru 0,725 74,0 8,7 2 Costa do Marfim 0,400 55,4 3,3 1 Bolívia 0,663 66,6 9,2 2 Gana 0,541 64,2 7,1 1 Paraguai 0,665 72,5 7,7 2 Togo 0,435 57,1 5,3 1 Uruguai 0,783 77,0 8,5 2 Moçambique 0,322 50,2 1,2 1 Argentina 0,797 75,9 9,3 2 Camarões 0,433 61,1 2,8 Namíbia 0,625 62,5 7,4 2 Marrocos 0,582 72,2 4,4 2 Congo 0,533 57,4 5,9 2 Tunísia 0,698 74,5 6,5 2 Tanzânia 0,466 58,2 5,1 FONTE: ONU, 2011, relatório de desenvolvimento humano. de normalidade multivariada aplicado é o Shapiro-Wilk implementado no R e o teste de Bartlett multivariado, descrito em [1], é usado para verificar a heterogeneidade. Se essas pressuposições forem atendidas, o teste prossegue, porém, se não forem, uma mensagem é escrita na tela indicando que os resultados da comparação dos vetores não serão confiáveis. A função requer que dois pacotes sejam carregados e isso é feito automaticamente pela função: library(mvtnorm) para gerar amostras a posteriori multivariadas normais e mvnormtest para realizar o teste de normalidade. A função calcula os vetores de médias amostrais (Ȳ 1 e Ȳ 2 ) e as matrizes de somas de quadrados e produtos (V 1 e V 2 ), além do vetor das diferenças entre as médias amostrais (d) e da matriz V p. São geradas as N amostras para o conjunto de dados, os valores das diferenças δ são obtidos e os valores da quantidade q j são calculados pela expressão (6). Ordenam-se os valores de q j e obtém-se o quantil. O valor de q c é calculado de acordo com a expressão (7). Se este valor superar o valor do quantil obtido, conclui-se que os vetores de médias diferem, pelo TB, com credibilidade de 0,90, 0,95 ou 0,99. 3 Resultados e discussões Um exemplo de uso da função é AplicaTB(N,AS,AF,n1,n2,delta0,c.nominal), sendo AS e AF os vetores com as variáveis dos países da América do Sul e da África. A saída obtida é composta por: quantil - o quantil obtido, qc - quantidade necessária para o teste da hipótese nula, c.nominal - credibilidade nominal adotada e c.value - valor da credibilidade empírica, além de uma mensagem indicando se as médias podem ser consideradas iguais ou diferentes, dependendo do c.nominal adotado. A saída obtida para o exemplo pode ser vista na Figura 1. É possível constatar que as médias entre os países da América do Sul e da África diferem em 4

5 relação às variáveis incluídas usando uma credibilidade de 0,1. Figura 1: Conclusão do teste de comparação dos vetores de médias, os quantis obtidos e os valores das credibilidades para o exemplo de IDH dos países. 4 Conclusões A função AplicaTB() verificou as pressuposições do problema de Behrens-Fisher, retornou os quantis obtidos, os valores das credibilidades empírica e nominal, além da conclusão sobre o teste de igualdade dos vetores de médias de forma rápida, clara e eficiente, mesmo para usuários que não sejam estatísticos. A intenção é, futuramente, criar um pacote para o programa R que utilize diferentes soluções para o problema de Behrens-Fisher, inclusive a apresentada neste trabalho. Referências [1] FERREIRA, D. F. Estatística Multivariada. Lavras: UFLA [2] JOHNSON, R. A.; WEERAHANDI, S. A Bayesian solution to the multivariate Behrens- Fisher Problem. Journal of the American Statistical Association. v. 83, n. 401, p , [3] ONU. Relatório de desenvolvimento humano. Disponível em: Acesso em: 09 dez [4] R Development Core Team. R: A language and enviroment for statistical computing. Vienna, Austria: R Foundation for Statistical Computing Disponível em: Acesso: 01 de dezembro de [5] RAMOS, P. S.; FERREIRA, D. F. A Bayesian solution to the multivariate Behrens-Fisher problem Computational Statistics & Data Analysis. v. 54, p ,