Delineamento em Blocos ao Acaso

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1 Costa, S.C. 1 Universidade Estadual de Londrina Departamento de Estatística Delineamento em Blocos ao Acaso Silvano Cesar da Costa Londrina - Paraná

2 Costa, S.C. 2 Delineamento em Blocos Casualizados Experimento em blocos casualizados são aqueles que levam em consideração os 3 princípios básicos da experimentação, sendo que o controle local é feito na sua forma mais simples e é chamado de blocos. Sempre que não houver homogeneidade das condições experimentais, deve-se utilizar o princípio do controle local, estabelecendo, então, subambientes homogêneos (blocos) e instalando, em cada um deles, todos os tratamentos, igualmente repetidos. Como cada bloco deve receber todos os tratamentos uma só vez, diz-se que blocos são repetições. Se receber mais de uma vez cada tratamento, diz-se experimentos em blocos casualizados com repetições dentro de blocos. O delineamento em blocos casualizados é mais eciente que o inteiramente ao acaso e, essa eciência depende da uniformidade das parcelas de cada bloco, podendo, inclusive, haver diferenças bem acentuadas de um bloco para outro.

3 Costa, S.C. 3

4 Costa, S.C. 4 Modelo estatístico Suponha a tratamentos que serão comparados e b blocos. Suponha ainda que há uma observação por tratamento em cada bloco e a ordem em que os tratamentos são atribuídos a cada um dos blocos é determinado aleatoriamente. Os dados seriam da forma: Bloco 1 Bloco 2 Bloco b y 11 y 12 y 1b y 21 y 22 y 2b y 31 y y 3b... y a1 y a2 y ab

5 Costa, S.C. 5 O modelo estatístico para este delineamento é: y ij = µ + τ i + β j + ϵ ij, { i = 1, 2,..., a j = 1, 2,..., b (1) em que: a) µ é a média geral (ou uma constante); b) y ij é o valor observado na parcela que recebeu o i-ésimo tratamento no j-ésimo bloco; c) τ i é um parâmetro que representa o i-ésimo efeito de tratamento; d) β j é um parâmetro que representa o j-ésimo efeito de bloco; e) ϵ ij é um componente do erro aleatório, associado ao j-ésimo bloco e i-ésimo tratamento, tal que ϵ ij NID(0, σ 2 ).

6 Costa, S.C. 6 Considere a estimação dos parâmetros do modelo (1), usando o método de mínimos quadrados. A função de mínimos quadrados é: L = [y ij µ τ i β j ] 2. Derivando-se L em relação aos parâmetros (µ, τ i e β j ) tem-se: L µ = 2 L τ i = 2 L β j = 2 [y ij ˆµ ˆτ i ˆβ ] j ( 1) = 0 [y ij ˆµ ˆτ i ˆβ ] j ( 1) = 0 [y ij ˆµ ˆτ i ˆβ ] j ( 1) = 0 e igualando-se os resultados a zero e aplicando os somatórios, obtém-se o chamado sistema de equações normais:

7 Costa, S.C. 7 y ij = abˆµ + bˆτ 1 + bˆτ bˆτ a + a ˆβ 1 + a ˆβ a ˆβ b y 1j = bˆµ + bˆτ 1 + ˆβ 1 + ˆβ ˆβ b y 2j = bˆµ + bˆτ 2 + ˆβ 1 + ˆβ ˆβ b... y aj = bˆµ + bˆτ a + ˆβ 1 + ˆβ ˆβ b y i1 = aˆµ + ˆτ 1 + ˆτ ˆτ a + a ˆβ 1 y i2 = aˆµ + ˆτ 1 + ˆτ ˆτ a + a ˆβ 2... y ib = aˆµ + ˆτ 1 + ˆτ ˆτ a + a ˆβ b......

8 Costa, S.C. 8 que pode ser resumido como: y ij = abˆµ + b ˆτ i + a y ij = bˆµ + bˆτ i + y ij = aˆµ + ˆβ j ˆτ i + a ˆβ j ˆβ j cujo sistema só tem solução, se impusermos as restrições ˆτ i = 0 e ˆβ j = 0.

9 Costa, S.C. 9 E os resultados são: y ij = abˆµ y ij = bˆµ + bˆτ i i = 1, 2,..., a y ij = aˆµ + a ˆβ j j = 1, 2,..., b Os estimadores de mínimos quadrados para µ, τ i e β j, são dados por: ˆµ = ȳ.. ; (2) ˆτ i = ȳ i. ȳ.. i = 1, 2,..., a; (3) ˆβ j = ȳ.j ȳ.. j = 1, 2,..., b; (4)

10 Costa, S.C. 10 A redução na soma de quadrados devido ao ajuste do modelo (1) é dada por: R(µ, τ, β) = ˆµ y + ˆτ i y i + ˆβ j y j (5) Substituindo-se as estimativas obtidas pelas equações de 2 a 4, na equação 5 e, após manipulação algébrica, tem-se: R(µ, τ, β) = ˆµ y + R(µ, τ, β) = = ȳ y + ˆτ i y i + ˆβ j y j (ȳ i. ȳ.. ) y i + y 2 i b + y 2 j a y2 ab (ȳ.j ȳ.. ) y j (6) com a + b 1 graus de liberdade. A variabilidade restante não levada em

11 Costa, S.C. 11 conta pelo modelo é a chamada soma de quadrados de resíduos, dada por: SQRes = yij 2 R(µ, τ, β) (7) Substituindo-se a equação 6 em 7, obtém-se: SQRes = yij 2 y 2 i b y 2 j a + y2 ab com (a 1)(b 1) graus de liberdade. Para testar a hipótese H 0 : τ i = 0, o modelo reduzido é: y ij = µ + β j + ϵ ij que é uma análise de variância no delineamento inteiramente casualizado. Por analogia com a equação de modelos com um fator, tem-se: R(µ, β) = y 2 j a

12 Costa, S.C. 12 que tem b graus de liberdade. Portanto, a soma de quadrados devido a τ i, após ajustar para µ e β j é: R(τ µ, β) = R(µ, τ, β) R(µ, β) (8) = yi 2 b + y 2 j a y2 ab y 2 j a (9) R(τ µ, β) = y 2 i b y2 ab (10) que é a soma de quadrados de tratamentos, com a 1 graus de liberdade. A soma de quadrados de blocos é obtida ajustando-se o modelo reduzido: y ij = µ + τ i + ϵ ij que é, também, uma análise de variância no delineamento inteiramente casualizado. Novamente, por analogia com a equação com um fator, a redução

13 Costa, S.C. 13 na soma de quadrados para o ajuste desse modelo é: R(µ, τ) = com a graus de liberdade. Assim, a soma de quadrados para blocos β j, após ajustar para µ e τ i é: y 2 i b R(β µ, τ) = R(µ, τ, β) R(µ, τ) = yi 2 b + y 2 j a y2 ab R(β µ, τ) = y 2 j a y2 ab que é a soma de quadrados de blocos, com a 1 graus de liberdade. y 2 i b

14 Costa, S.C. 14 Pode-se resumir as somas de quadrados da seguinte forma: SQT otal = n y 2 ij y2 ab SQT rat = y 2 i b y2 ab SQBlocos = y 2 j a y2 ab SQRes = SQT otal SQT rat SQBlocos Os cálculos são usualmente apresentados em uma tabela de variância, tal como a Tabela 1.

15 Costa, S.C. 15 Tabela 1: Quadro da análise de variância para delineamento em blocos casualizados. C.V. S.Q. gl Q.M. F calc F tab Pr(> F) Tratamentos SQT rat a 1 SQT rat a 1 QMT rat QMRes F α;a 1,(a 1)(b 1) Blocos SQBlocos b 1 SQBlocos b 1 Resíduo SQRes (a 1)(b 1) SQRes (a 1)(b 1) Total SQT otal ab 1

16 Costa, S.C. 16 Exemplo: Com a nalidade de estudar os efeitos da administração de raízes e tubérculos, como suplementação de inverno na alimentação de vacas em lactação, considerou-se um experimento em blocos casualizados com 4 tipos de suplementos (tratamentos) e 5 raças (blocos). As produções médias diárias de leite (kg) são apresentadas na Tabela 2.

17 Costa, S.C. 17 Tabela 2: Valores de produção de leite (kg). Tratamentos Blocos Sem Batata Totais Mandioca Araruta suplementação Doce Gir 6,4 10,9 12,0 11,2 40,5 Holandesa 6,2 11,6 10,9 11,6 40,3 Jersey 6,2 11,4 11,5 10,9 40,0 Nelore 7,1 10,4 11,1 12,1 40,7 Guzerá 6,6 12,4 11,8 10,1 40,9 5 y ij 32,5 56,7 57,3 55,9 202,4 5 yij 2 211,81 645,25 657,51 627, ,8

18 Costa, S.C. 18 Antes de se proceder à análise de variância, pode-se utilizar o gráco de caixas para exploração dos dados e, também, vericar se as exigências do modelo estão satisfeitas. A Figura 1 apresenta o gráco de caixas (box plot) para cada nível da variável produção de leite. Note que há uma forte evidência de que a produção de leite pode estar relacionada com a suplementação alimentar.

19 Costa, S.C x x x 10 Quilos x 6 Sem Suplemento Mandioca Araruta Batata Doce Tratamentos Figura 1: Produção de leite (kg) levando-se em conta o complemento alimentar.

20 Costa, S.C. 20 Homogeneidade de variâncias: A aplicação do teste de Bartlett é: Bartlett test of homogeneity of variances data: prod and Trat Bartlett's K-squared = , df = 3, p-value = Normalidade dos resíduos: Usa-se o teste de Shapiro-Wilk, cujo resultado é: Shapiro-Wilk normality test data: res W = , p-value = Teste de Aditividade de Tukey: Aplica-se para vericar se os efeitos principais são aditivos. Usa-se o pacote asbio: require(asbio) tukey.add.test(prod, Trat, Blocos) cujas hipóteses testadas são: H 0 : os efeitos são aditivos H 1 : os efeitos não são aditivos

21 Costa, S.C. 21 e os resultados são: Tukey's one df test for additivity data: Trat and Blocos on prod F = , num.df = 1, denom.df = 11, p-value = mostrando que os efeitos principais são aditivos. Logo, os pressupostos para a análise de variância foram vericados, ou seja, os dados apresentam homogeneidade de variâncias, têm distribuição que não difere da normal e os efeitos principais são aditivos. Pode-se, portanto, aplicar a metodologia discutida aos dados apresentados na Tabela 2, tem-se:

22 Costa, S.C. 22 SQT otal = y 2 ij y2 ab SQT otal = 93, 512 = ( 6, , , 1 2) (202, 4)2 4 5 SQT rat = y 2 i b y2 ab = 1 5 SQT rat = 87, 560 [ 55, , , , 5 2] (202, 4)2 4 5

23 Costa, S.C. 23 SQBlocos = y 2 j a y2 ab = 1 4 [ 40, , , , , 9 2] (202, 4)2 4 5 SQBlocos = 0, 122 SQRes = SQT otal SQT rat SQBlocos SQRes = 5, 83 = 93, , 560 0, 122 e substituindo-se esses resultados na Tabela 1, obtém-se a análise de variância no delineamento em blocos ao acaso, apresentada na Tabela 3.

24 Costa, S.C. 24 Tabela 3: Análise de variância no delineamento em blocos casualizados. Causa de variação S.Q. g.l. Q.M. F calc F tab Pr(>F) Blocos 0, ,030 0,0628 3,2592 ns 0,9918 Tratamentos 87, ,187 60,0755 3,4903 1,689e-07 Resíduos 5, ,486 Como F calc > 3, 49, rejeita-se H 0, ou seja, pelo menos um dos tratamentos difere dos demais.

25 Costa, S.C. 25 Como pelo menos uma das médias dos tratamentos difere, é necessário aplicar o teste de Tukey para se determinar qual o tratamento que difere dos demais. Assim, aplicando-se a fórmula: = q QMRes r (11) tem-se = 4, , = 1, kg.

26 Costa, S.C. 26 Construindo-se a tabela das médias ordenadas em ordem decrescente, tem-se: Médias (kg) Araruta (AR) 11,46 a Mandioca (MA) 11,34 a Batata Doce (BD) 11,18 a Sem Suplemento (SS) 6,50 b em que letras iguais indicam médias semelhantes. Concluí-se que quando não se usa suplemento alimentar, a média de produção de leite reduz signicativamente. As diferenças entre as médias de tratamentos podem ser visualizadas na Figura 2

27 Costa, S.C % family wise confidence level BD S M S A S M BD A BD A M Differences in mean levels of Trat Figura 2: Comparação das diferenças entre tratamentos pelo Teste de Tukey.

28 Costa, S.C. 28 Para obter o teste de Tukey diretamente do R, os comandos são: summary(anava.bl = aov(prod ~ Blocos + Trat)) TukeyHSD(anava.bl, "Trat", ordered = TRUE) plot(tukeyhsd(anava.bl, "Trat"), col='blue', las=1)

29 Costa, S.C. 29 Exercício - Inteiramente Casualizado Experimentos realizados com aves (pintainhos) são baratos, relativamente homogêneos e de fácil manejo. Os fatores de variação a controlar são: linhagem, sexo e instalações e a unidade experimental tem, em geral, de 8 a 10 aves. Considerando que as condições experimentais são homogêneas, realizou-se um experimento no delineamento inteiramente casualizado para comparação de quatro tipos de rações. Os dados são apresentados na Tabela 4.

30 Costa, S.C. 30 Tabela 4: Peso (kg) das parcelas (10 aves) ao nal do experimento. Ração A Ração B Ração C Ração D 20,00 17,44 19,20 18,74 23,40 19,42 23,26 16,18 22,40 20,32 23,14 18,48 20,68 18,24 20,32 18,94 21,26 19,42 18,18 20,00 18,80 Pede-se: a) Determine as médias e variâncias para cada tratamento; b) Verique se a pressuposição de homogeneidade de variância é atendida; c) Enuncie as hipóteses e proceda à análise de variância; d) Caso haja signicância dos tratamentos, aplique o teste de Tukey;

31 Costa, S.C. 31 Exercício - Blocos Casualizado Em um experimento com poedeiras, os fatores a controlar são: raça ou linhagem; nível e estágio da produção de ovos; peso do corpo e instalações. O número de poedeiras comumente empregado por parcela é de 4 a 8. Assim, num experimento simulado de alimentação de poedeiras, utilizou-se cinco tratamentos e quatro repetições por bloco. A constituição dos blocos foi levando em consideração os pesos das poedeiras. Portanto, num bloco colocou-se as melhores poedeiras, noutro as de segunda escolha e assim por diante. Na Tabela 5 são apresentados os números médios de ovos por poedeira, durante o período total de postura, nos diferentes tratamentos e blocos.

32 Costa, S.C. 32 Tabela 5: blocos. Número médio de ovos por ave nos respectivos tratamentos e Tratamentos Bloco I Bloco II Bloco III Bloco IV Total A 202,5 200,4 180,9 190,3 774,1 B 220,3 215,4 219,6 210,5 865,8 C 210,7 205,6 200,4 190,8 807,5 D 230,4 225,6 215,7 220,1 891,8 E 200,0 194,1 180,7 190,0 764,6 Total 1.063, ,1 997, , ,8 Pede-se: a) Determine as médias e variâncias para cada tratamento; b) Verique se a pressuposição de homogeneidade de variância é atendida; c) Enuncie as hipóteses e proceda à análise de variância; d) Caso haja signicância dos tratamentos, aplique o teste de Tukey;