Modelo Binomial. 1º semestre de Gabarito 2. Distribuição Binomial ME323

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1 Exercício 01 Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso. Seja X o número de moradores que têm alergia. p: probabilidade de um indivíduo, selecionado ao acaso, ter alergia; p=0,2. X ~b (13; 0,20), ou seja, a variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n = 13 e p = 0,20, com função de probabilidade dada por: n P(X=k) = k k n-k p (1-p), k=0, 1,..., n Assim, a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia é dada por: P(X 4) = P(X=4) + P(X=5) + + P(X=13) = 0, , ,0000 = 0,2526 ou P(X 4) = 1 - P(X 3) = 1 (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3))= 0,2526 Exercício 02 Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que: (a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho? Seja X o número de alunos que fizeram cursinho p: probabilidade de um aluno, selecionado ao acaso, ter feito cursinho; p = 0,75. X ~b (16; 0,75), ou seja, a variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n = 16 e p = 0,75. Assim, a probabilidade de que pelo menos 12 tenham feito cursinho é dada por: Página 1 de 5

2 P(X 12) = P(X=12) + P(X=13) + P(X=14) + P(X=15) + P(X=16) = 0,2252+0,2079+0, ,0535+0,0100= 0,6302 (b) No máximo 13 tenham feito cursinho? Utilizando a função de distribuição apresentada no item (a) temos, P(X 13) = P(X=0) + P(X =1) + + P(X=13) = 0, ,2079 = 0,8029 ou P(X 13) = 1 - P(X 14) = 1 (P(X =14) + P(X =15) + P(X =16) = 0,8029 (c) (0,5) Exatamente 12 tenham feito cursinho? Utilizando a função de probabilidade apresentada no item (a) temos, P(X =12) = 0,2252 (d) Em um grupo de 80 alunos selecionados ao acaso, qual é o número esperado de alunos que fizeram cursinho? E a variância? Y: número de alunos que fizeram cursinho entre os 80 selecionados Y~B(80; 0,75) O número esperado de alunos que fizeram cursinho é dado por: μ = E(X) = n*p = 80 * 0,75 = 60 A variância é dada por: σ 2 = Var(x) = n * p * (1-p) = 15 Exercício 03 Admita que, respectivamente, 90% e 80% dos indivíduos das populações A e B sejam alfabetizados. Se 12 pessoas da população A e 10 da população B forem selecionadas ao acaso, qual é a probabilidade de que pelo menos uma não seja alfabetizada? Que suposições você fez para responder a esta questão? Considere, D: as 12 pessoas selecionadas da popualção A são alfabetizadas. E: as 10 pessoas selecionadas da popualção B são alfabetizadas. F: pelo menos uma pessoa entre as 22 selecionadas não é alfabetizada. P(F) = 1 P(F c ) = 1 P(D E) = 1 P(D)*P(E) eventos independentes Página 2 de 5

3 Cálculo da probabilidade de D: Seja X: número de pessoas alfabetizadas entre as 12 selecionadas da população A. X~b(12; 0,9) P(D) = P ( X = 12) = 0,90 (1 0,90) = 0,9 = 0, Cálculo da probabilidade de E: Seja Y: número de pessoas alfabetizadas entre as 10 selecionadas da população B. Y~b(10; 0,8) P(E)= P ( Y = 10) = 0,80 (1 0,80) = 0,8 = 0, Portanto, P(que pelo menos uma pessoa não seja alfabetizada) = P(F) =1 (0,2824*0,1074) = 0,9697. Para responder esta questão supões-se que: a) As duas populações são bem grandes; b) Os processos de seleção de pessoas das populações A e B são independentes Exercício 04 Um agricultor cultiva laranjas e também produz mudas para vender. Após alguns meses a muda pode ser atacada por fungos com probabilidade 0,02 e, nesse caso, ela tem probabilidade 0,5 de ser recuperável. O custo de cada muda produzida é R$ 1,20, que será acrescido de mais R$ 0,50 se precisar ser recuperada. As irrecuperáveis são descartadas. Sabendo que cada muda é vendida a R$ 3,50, encontre a distribuição da variável aleatória lucro por muda produzida. Seja L: lucro por muda produzida L = 3,50 1, 20 = 2,30 3,50 1, 70 = 1,80 0 1,20 = 1,20, muda sem ataque, muda atacada e recuperada muda atacada e descartada O diagrama de árvores (ou árvore de probabilidades), será Página 3 de 5

4 0,02 A 0,50 0,50 R D P(L=1,80) = 0,02*0,50 = 0,01 P(L=-1,20) = 0,02*0,50 = 0,01 0,98 S P(L=2,30) = 0,98 Assim, a distribuição da variável aleatória lucro por muda produzida é dada por: l -1,20 1,80 2,30 P(L=l) 0,01 0,01 0,98 (a) Qual é o lucro médio por muda produzida? O lucro médio por muda produzida é dado por: E(L)= -1,20*P(L=l -1,20 ) + 1,80*P(L=l 1,80 ) + 2,30*P(L=l 2,30 ) = -1,20*0,01+1,80*0,01+2,30* 0,98 = = 2,26 Assim, o lucro médio por muda produzida é de R$2,26. (b) Em uma plantação de mudas, qual é o lucro esperado? 10000*E(L) = * 2,26 = Assim, em uma plantação de mudas, o lucro esperado é R$22600,00 Página 4 de 5

5 (c) Em um lote de 50 mudas, qual é a probabilidade de que pelo menos 45 sejam aproveitáveis? Seja X o número de mudas aproveitáveis. p: probabilidade de uma muda, selecionada ao acaso, ser aproveitável; p=0,99 X ~b (50;0,99), ou seja, a variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n=50 e p=0,99. Assim, a probabilidade de que pelo menos 45 sejam aproveitáveis é dada por: P(X 45) = P(X=45) + P(X=46) + P(X=47) + P(X=48) + P(X=49) + P(X=50) = =0, , , , , , % Página 5 de 5