Escola Básica e Secundária de Alfandega da Fé

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1 Escola Básica e Secundária de Alfandega da Fé Prova de Avaliação MACS - 11.º B Em todas as respostas, indique todos os cálculos e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não for pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato. Sempre que, na resolução de um problema, recorrer à calculadora, apresente todos os elementos recolhidos na sua utilização. Mais precisamente, sempre que recorrer: às capacidades gráficas da calculadora, apresente o(s) gráfico(s) obtido(s), bem como as coordenadas dos pontos relevantes para a resolução do problema proposto (por exemplo, coordenadas de pontos de intersecção de gráficos, máximos ou mínimos). a uma tabela obtida na calculadora, apresente todas as linhas da tabela relevantes para a resolução do problema proposto. as estatísticas obtidas na calculadora (por exemplo, média, desvio padrão, coeficiente de correlação, declive ou ordenada na origem de uma reta de regressão), apresente a(s) lista(s) que introduziu na calculadora para as obter. A prova inclui um formulário em anexo. As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova. 1. A Transmontes, uma empresa de transporte de mercadorias, tem um contrato com uma fábrica de calçado, com sede em Vila Real. Todas as semanas, a empresa de transporte carrega o camião na fábrica e vai fazer a distribuição por todos os postos de venda nas cidades indicadas no grafo seguinte. A cada aresta do grafo, que representa um trajeto direto que liga duas cidades, está associado um valor que indica a distância, em km, entre duas cidades Depois de fazer a distribuição do calçado por todos os pontos de venda, passando por cada cidade uma única vez, Soraia Carrapeta, camionista da Transmontes, terá de regressar à sede, em Vila Real. Determine o número de quilómetros de um circuito de Hamilton que satisfaça o objetivo de Soraia Carrapeta. 1 Prova de Avaliação: MACS 11º B 31 de maio de 2013 Professor: Carlos Manuel Lourenço

2 1.2. Com o atual contrato a transportadora recebe 800 euros por semana, mas as despesas com o camião e a motorista são de 60 cêntimos por quilómetro. O Diretor de Publicidade da fábrica de calçado decidiu propor um novo contrato à empresa de transporte: se o camião fizesse publicidade à marca de calçado, receberia 1,10 euros por quilómetro, mas os primeiros 100 quilómetros, de cada semana, seriam gratuitos. O dono da Transmontes está indeciso, não sabendo se deve ou não aceitar a proposta. Escreva uma pequena composição onde indique: o número de quilómetros que o camião irá fazer semanalmente se passar por todas as cidades uma única vez. o lucro semanal da empresa transmontes com o atual contrato. o lucro semanal da empresa transmontes, caso aceite o novo contrato. Se a proposta do Diretor de Publicidade é lucrativa para Transmontes. 2. Soraia Carrapeta reparou que uma das caixas de ferramentas, onde só coloca parafusos, contém 5 parafusos defeituosos e 5 não defeituosos. Extraem-se 2 parafusos sem reposição. Considere a variável aleatória X número de parafusos defeituosos. No gráfico seguinte reproduz-se a função de probabilidade da variável aleatória X Determine a probabilidade de retirar dessa caixa de ferramentas, pelo menos 1 parafuso defeituoso. Apresente o resultado na forma de fração irredutível Determine, em média, o número de parafusos defeituosos que se retiram da caixa quando se realiza a experiência. 3. Uma nova equipa de gestão da fábrica de calçado concluiu que 30 % dos seus funcionários não tinham as características necessárias para serem considerados competentes e 70 % eram competentes. Para tal foi elaborado um teste que foi aplicado aos funcionários da fábrica. Verificou-se que: 90 % dos funcionários considerados competentes passaram no teste. 20 % dos funcionários considerados não competentes também passaram. Com base nos resultados obtidos foi feita a seleção dos funcionários. Sabendo que um funcionário passou no teste, calcule a probabilidade de ele ser considerado competente. Apresente o resultado em percentagem, arredondado às unidades. 2 Prova de Avaliação: MACS 11º B 31 de maio de 2013 Professor: Carlos Manuel Lourenço

3 4. A capacidade máxima de produção da fábrica de calçado é de pares de sapatos mensais. A fábrica está em crise e tem feito despedimentos, sendo a produção mensal atual de pares de sapatos. A nova equipa de gestão apresentou um plano de recuperação que prevê um aumento na produção de 500 pares de sapatos por mês. O plano estabelece outros parâmetros: É considerada ultrapassada a crise, quando a produção mensal atingir pelo menos 45 % da capacidade máxima de produção. Desde que a produção mensal atinja 80 % da capacidade máxima de produção, há necessidade de criar mais 20 postos de trabalho. O plano de recuperação será implementado no início de Julho de Determine ao fim de quantos meses está previsto que: 4.1. a crise esteja ultrapassada a fábrica admita novos funcionários. 5. Está prevista a contratação de um designer para a fábrica de calçado. A nova equipa de gestão recolheu informação sobre os vencimentos de designers europeus. A partir da informação obtida, concluiu-se que no grupo de designers incluídos no estudo, o valor do vencimento mensal individual auferido, em euros, seguia, aproximadamente, a N 2400, 300, de média 2400 e desvio padrão 300. distribuição normal, Admita que se seleciona, ao acaso, um elemento do referido grupo de designers. Será mais provável que o valor do seu vencimento mensal individual seja inferior a euros ou que seja superior a euros? Justifique, quantificando o valor das probabilidades dos respetivos acontecimentos. 6. Para obter dados sobre a evolução do desemprego em Portugal, o INE (Instituto Nacional de Estatística) recolheu, na cidade de Vila Real, uma amostra aleatória constituída por pessoas na idade ativa. Nas entrevistas efetuadas, constatou-se que 340 dessas pessoas responderam não ter emprego Construa um intervalo de confiança a 95 % para a proporção média de pessoas desempregadas na referida cidade. Apresente os extremos do intervalo arredondados às centésimas Interprete o resultado obtido em 6.1, no contexto do problema Pretende-se reduzir para metade a amplitude do intervalo de confiança obtido na alínea 6.1., mantendo o mesmo grau de confiança e a mesma proporção média de pessoas desempregadas. Calcule a dimensão adequada para a amostra nessas condições. 3 Prova de Avaliação: MACS 11º B 31 de maio de 2013 Professor: Carlos Manuel Lourenço

4 7. Um administrador da nova equipa de gestão da fábrica de calçado cancelou uma viagem a uma região do Continente Africano por causa da evolução de uma doença epidémica que se verifica nessa região, desde o início de No início desse ano, o total da população dessa região era de pessoas. Com base nos estudos efetuados, considerou-se que, nessa região, o número total de pessoas, da população inicial, que foram contagiadas pela doença, desde o início do ano de 2012 até ao instante t, é dado, aproximadamente, por: F t para 0 t 60. 0, 27t e A variável t representa o tempo, em semanas, decorrido desde o início do ano de De acordo com o modelo apresentado, o número de pessoas contagiadas duplicou num intervalo de poucas semanas, passando de para Determine a duração desse intervalo de tempo. Apresente o resultado em semanas arredondadas às unidades Determine o número aproximado de pessoas dessa região que não foram infetadas pela doença. FIM Questão Cotação Prova de Avaliação: MACS 11º B 31 de maio de 2013 Professor: Carlos Manuel Lourenço

5 Formulário Modelos de Grafos Condição necessária e suficiente para que um grafo conexo admita circuitos de Euler: Um grafo conexo admite circuitos de Euler se e só se todos os seus vértices forem de grau par. Probabilidades Teorema da Probabilidade Total e Regra de Bayes Modelo Normal 5 Prova de Avaliação: MACS 11º B 31 de maio de 2013 Professor: Carlos Manuel Lourenço

6 6 Prova de Avaliação: MACS 11º B 31 de maio de 2013 Professor: Carlos Manuel Lourenço

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