UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA 4 a LISTA DE EXERCÍCIOS GBQ12 Professor: Ednaldo Carvalho Guimarães AMOSTRAGEM

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1 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA 4 a LISTA DE EXERCÍCIOS GBQ12 Professor: Ednaldo Carvalho Guimarães AMOSTRAGEM 1) Um pesquisador está interessado em saber o tempo médio que estudantes de uma determinada universidade dedicam aos estudos. Ele tem a informação que, do total de estudantes, 5000 estão matriculados na área de exatas e destes 65% são do sexo masculino; 4000 são da área de humanas com 55% do sexo feminino e 2000 da área biomédicas com 50% de cada sexo. Ele decidiu que vai usar uma amostra de 10% da população. Proponha um plano amostral para essa pesquisa. 2) Se em uma amostragem sistemática o pesquisador selecionou os elementos relacionados abaixo para fazer parte da amostra, qual é o tamanho da população estudada? 15 o 36 o 57 o 78 o 99 o 120 o 141 o 162 o 183 o 204 o 3) Sugira um plano amostral para realizar uma pesquisa sobre o número de residentes nos domicílios de Uberlândia. 4) Uma cidade turística tem 32 hotéis de três estrelas. Pretende-se conhecer o custo médio da diária para apartamento de casal. Os valores populacionais consistem nos seguintes preços diários (em dólares): 25, 20, 35, 21, 22, 24, 25, 30, 38, 24, 20, 20, 25, 20, 19, 25, 23, 20, 24, 28, 24, 24, 22, 28, 26, 23, 25, 22, 27, 25, 23. Que tipo de amostragem você sugere para este estudo? Se a amostra for composta por 5 hoteis, determinar o custo médio da diária, utilizando como base o tipo de amostragem sugerido por você. 5) Uma empresa tem 3414 empregados repartidos nos seguintes departamentos: Administração 914 Transporte 348 Produção 1401 Outros 751 Deseja-se extrair uma amostra entre os empregados para verificar o grau de satisfação em relação à qualidade da comida servida no refeitório. Diga como a amostragem seria realizada considerando uma amostra de 20 % da população. 6) Suponha que, para certa pesquisa, a população de interesse consiste dos proprietários de automóveis de Minas Gerais. Como você sugeriria a amostragem? 7) Um grupo industrial deseja determinar a reação do público à rotulagem dos produtos. Numa parte da cidade, há 40 quarteirões, com 10 casa por quarteirão. Suponha que se queira selecionar aleatoriamente 10 casas. Como proceder? 8) Os empregados de uma firma têm etiquetas de identificação numeradas consecutivamente de 101 a 873. Deve-se escolher um comitê de segurança de 10 pessoas, selecionadas aleatoriamente. Como fazer a seleção do comitê.

2 2 9) Os dados abaixo referem-se ao tempo de execução (minutos) de uma certa tarefa quando foram observados os desempenhos de 51 funcionários, em três diferentes turnos. Turno I Turno II Turno III Extrair uma amostra de tamanho 9. 10) Descreva como se faz uma amostragem sistemática de 35 elementos a partir de uma população ordenada, formada por 2590 elementos. DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 1) Determinar as seguintes probabilidades pela normal padronizada (área limitada pela curva) a) P(0<z<2,33) b) P(-1,62 < z < 0) c) P(-1,46 < z < 2,57) d) P(z > -0,75) e) P( z< -3,0) f) P(z < 1,96) 2) Use a tabela de Z para determinar os seguintes valores de k. a) P(Z<k) = 0,025 b) P(Z<k) = 0,9082 c) P(Z>k) = 0,0495 d) P(Z>k) = 0,8289 e) P(-1,00< Z < k) = 0,8205 3) Obter os seguintes valores da distribuição t de Student: a) P (t < a) = 0,10 com 11 g.l. b) P ( t > a) = 0,99 com 12 g.l. c) P (t > a) = 0,05 com 20 g.l. a) P (t < a) = 0,15 com 13 g.l. b) P( -1,721 < t< a) =0,925 com 21 g. l. c) P(t < 1,363) = K com 11 g.l. d) P(t > -0,941) = K com 4 g. l. e) P(t > 2,602) = K com 15 g. l. 4) Obter os seguintes valores da distribuição de χ 2 : a) P (χ 2 > a) = 0,99 com 13 g.l. b) P (χ 2 > a) = 0,05 com 10 g.l. c) P(χ 2 < a) = 0,90 com 5 g. l.

3 3 d) P(χ 2 > a) = 0,10 com 15 g. l. e) P (2,17< χ 2 < a) = 0,90 com 7 g.l. f) P (0,22 < χ 2 < 9,35) = k com 3 g.l. g) P(χ 2 >1,0636) = K com 4 g.l. h) P(χ 2 < 18,4753) = K com 7 g.l. 5) Obter os seguintes valores da distribuição F de Snedecor: a) P(F > a) = 0,025 com v 1 = 11 e v 2 = 13 g.l. b) P(F < a) = 0,95 com n 1 = 10 e n 2 = 15 g.l. c) P(F > a) = 0,01 com v 1 = 10 e v 2 = 10 g.l. d) P(F > 7,59) = k com v 1 = 3 e v 2 = 8 g.l. e) P(F > 4,01) = k com v 1 = 6 e v 2 = 4 g.l. g) P(F< 3,5) = k com v 1 = 7 e v 2 = 8 g. l. Intervalos de Confiança 1. Deseja-se estipular limites da concentração (g/kg) de uma determinada substância em certo produto. O fabricante seleciona uma amostra de tamanho 36 desse produto e avalia a concentração da substância. A análise descritiva revelou média de 250 g/kg e desvio padrão de 50 g/kg. a) Construa um Intervalo de Confiança de 95% para a média populacional. b) Construa um IC de 90% para a média populacional. c) Compare a e b e comente d) Para um erro de estimativa da média de no máximo 10 g/kg e com confiança de 95%, dimensione uma nova amostra para inferências futuras sobre a substância. e) Construa um IC de 95% para a variância populacional. 2. Em uma pesquisa sobre a poluição da água, obteve-se os seguintes índices de oxigênio dissolvido (mg/100 ml): 2,88 2,53 2,75 2,96 2,45 2,33 2,58 2,55 2,55 2,60 2,58 2,40 Construa um IC de 99% para a média e para a variância populacional de oxigênio dissolvido na água. 3. Os resultados de 10 testes realizados em um equipamento A e 10 testes realizados no equipamento B, são apresentados a seguir: A B a) Construa um IC de 95% para verificar se existe diferença entre as variâncias dos testes. b) Teste a hipótese que não existe diferença entre as médias de A e B. Use nível de significância de 5%. 4. Em um estudo que objetivava a implantação de um aterro sanitário em uma cidade, pesquisouse duas áreas. Uma das variáveis pesquisadas foi a condutividade hidráulica do solo. A amostragem em 35 pontos da área A revelou condutividade hidráulica (K) média de 0,195 m/dia, com desvio padrão de 0,155 m/dia e na área B a amostragem de 30 pontos revelou média de 0,135 m/dia e desvio padrão de 0,095 m/dia. Construa um IC de 90% e verifique se existe diferença entre a condutividade hidráulica da duas áreas.

4 4 5. Um teste de dois medicamentos (A e B) mostrou que em um grupo de 50 pessoas que usaram o medicamento A 42 obtiveram cura e que em um grupo de 80 que usaram o medicamento B 64 ficaram curados. a) Construa um IC de 95% para a proporção curados com o medicamento A. b) Construa um IC de 95% para verificar se existe diferença entre a proporção de curados para os dois medicamentos. c) Dimensione uma nova amostra para estimar a proporção de curados no medicamento A, sabendo que o erro máximo na estimativa deve ser de 5% e a confiança de 95%. 6) Um estudo pretende verificar se a adoção de um determinado método de incentivo reduz o tempo de execução (min) de uma determinada tarefa por parte de funcionários de uma empresa. O setor de controle de qualidade seleciona aleatoriamente 10 pessoas e determina o tempo de execução antes do programa de incentivo, em seguida aplica o programa e novamente avalia as mesmas 10 pessoas (sem que elas saibam que estão sendo avaliadas). Os resultados da avaliação antes e depois foram: Antes Depois Com base em um IC de 95% de confiança podemos dizer que o programa de incentivo foi eficiente? Testes de Hipóteses 1) Uma amostra de 5 equipamentos da marca X mostrou os seguintes resultados da duração em horas de trabalho: a) Teste a hipótese que a média populacional é de 9500 h. Use significância de 5%. b) Teste a hipótese que a média populacional é superior a 9000 h. Use α = 5%. c) Teste a hipótese que o desvio padrão é de 300 h. Use α = 5%. 2) O salário dos empregados das indústrias siderúrgicas tem média de 4,5 salários com desvio padrão de 0,5 salários. Uma indústria emprega 49 funcionários, com salário médio de 4,3. Ao nível de 5% podemos afirmar que essa industria paga salários inferiores à média? 3) Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é 90% eficaz na cura de uma alergia, em um determinado período. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga curou 150 pessoas. Testar ao nível de 1% se a pretensão do fabricante é legítima. 4) Ao analisar o consumo de combustível de dois tipos de motores um pesquisador obteve os seguintes resultados amostrais: motor N Média (km/l) Desvio padrão (km/l) A B 5 11,5 2 Verificar, com significância de 5%, se existe diferença entre o consumo médio. 5) Em um teste aplicado para duas turmas (A e B) verificou-se que de 50 pessoas da turma A, 35 responderam corretamente a uma determinada questão e que de 70 pessoas da turma B, 53 responderam corretamente. Pode-se considerar a proporção de acertos de A igual a de B. Use significância de 1%. 6) Muitas pessoas acreditam que, quando um cavalo inicia uma corrida, tem mais chance de ganhar se sua posição na linha de partida está mais próxima do limite

5 interno da pista. A posição 1 está mais próxima do limite interno, seguida pela posição 2, e assim por diante. A tabela a seguir relaciona o número de vitórias de cavalos nas diferentes posições de partida. Teste a hipótese (com nível de significância de 5%) de que as probabilidade de vitórias não são as mesmas para as diferentes posições de partida. Posição de partida N o de vitórias ) A tabela abaixo mostra a frequência do número de erros de impressão por página de determinado livro. N o de TOTAL erros/pág. N o de páginas Ajuste a distribuição de Poisson e teste a aderência do ajustamento (use α = 0,01). 8) A tabela abaixo mostra a relação entre o aproveitamento dos alunos em Física e em Matemática. Teste a hipótese de que o aproveitamento em Física é independente ao de Matemática, ao nível de 5%. Matemática Física Grau alto Grau médio Grau baixo Grau alto Grau médio Grau baixo Regressão e correlação linear 1) A teoria de certo fenômeno prevê que a variável adimensional Y varia em função da temperatura absoluta T segundo a lei linear Y = gt +F, onde g e F são dois parâmetros fixos. Com base nos seguintes dados: T Y 4,8 5,4 5,4 6,5 6,0 7,2 6,8 a) Estime, pelo método dos mínimos quadrados, o valor de g e de F. b) Faça a análise inferencial do modelo usando significância de 5% (análise de variância e testes de hipóteses para os parâmetros) c) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson. 2) Os dados a seguir se referem a um estudo sobre o efeito do álcool nos reflexos das pessoas. Avaliou-se pessoas quanto ao teor alcoólico (mg/l) e o tempo médio de reação (segundos) e os resultados foram: Teor (X)

6 Tempo (Y) a) Monte o diagrama de dispersão do tempo de reação em função do teor alcoólico. Interprete. b) Determine a equação de regressão linear e interprete. c) Faça a análise inferencial do modelo usando significância de 5% (análise de variância e testes de hipóteses para os parâmetros) d) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson e interprete. e) Calcule o coeficiente de determinação e interprete. f) Trace a reta ajustada no diagrama de dispersão g) Estime o tempo de reação para o teor alcoólico de: 50, 65, 105, 180 mg/l. 6

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