TESTES DE HIPÓTESES. Testes de comparação entre grupos

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1 TESTES DE HIPÓTESES Testes de comparação entre grupos 1

2 Abordagem não paramétrica Não se faz suposição sobre as medidas da variável de interesse

3 Exemplo 1 Com o objetivo de avaliar o efeito de um programa de treinamento sobre a produtividade dos funcionários de uma certa empresa, fez-se um estudo em que se observou a produtividade de uma amostra de funcionários antes e depois do programa de treinamento. 3

4 Exemplo 1 Melhorou ou piorou? ANTES TREINAMENTO DEPOIS 4

5 Exemplo 1 Hipóteses: H 0 : = 0,5 H 1 : > 0,5 = probabilidade de melhorar Resultado do Experimento: dos 10 funcionários submetidos ao treinamento, 7 melhoraram. 5

6 Uso da distribuição binomial x valor esperado por H 0 p = 0,17 ou 17,% 6

7 Exemplo 1 Adotando = 5% p = 17,% > ==> O teste aceita H 0 Não se pode afirmar que o programa de treinamento realmente aumenta a produtividade dos funcionários 7

8 Abordagem paramétrica Faz-se suposições sobre as medidas da variável de interesse. Especialmente sobre a distribuição amostral. Tem-se testes mais poderosos. 8

9 Exemplo Com o objetivo de avaliar o efeito de um programa de treinamento sobre a produtividade dos funcionários de uma certa empresa, fez-se um estudo em que se observou a produtividade de uma amostra de funcionários antes e depois do programa de treinamento. OBS. Avaliações quantitativas 9

10 Exemplo De quanto foi a variação? ANTES TREINAMENTO DEPOIS 10

11 Exemplo Hipóteses: H 0 : µ depois = µ antes H 1 : µ depois > µ antes µ antes : produtividade esperada antes do programa; µ depois : produtividade esperada após o programa; 11

12 Exemplo - Amostra Funcio- Produtividade nário antes depois diferença

13 Exemplo - Amostra A análise é feita com a variável diferença: D = depois - antes D: 3, 7, -, 6, -1, 6,, 9, -1, valor esperado de D, D, sob H 0 média dos valores observados de D: D = 3,4 13

14 Estatística do teste t = D. n onde S n: número de pares (antes, depois) observados; D: média das diferenças observadas e S D : desvio padrão das diferenças observadas D 14

15 Distribuição de referência Assumindo que D 0,4 f(t) tenha distribuição 0,3 normal, sob H 0, t tem distribuição t com n 1 graus 0, 0,1 de liberdade t possíveis valores da estatística t 15

16 Exemplo - Amostra D = depois - antes D: 3, 7, -, 6, -1, 6,, 9, -1, 5 D = D n = = 3,4 S D = D n 1 n.d = 46 (10).(3,4) 10 1 = 3,81. 16

17 Exemplo - Amostra Estatística de teste: D. n 3,4. 10 t = = =,8. S D 3,81 17

18 Distribuição de referência: t com gl = n - 1 = 9 P = 0,010 (tabela t) 0 t =,8 18

19 Tabela t Amostra: gl = 9 e t =,8 área cauda superior gl 0,5 0,10 0,05 0,05 0,01 0, ,703 1,383 1,833,6,81 3, p = 0,01 19

20 Exemplo - conclusão O teste rejeita H 0 ao nível de significância de 5%. O programa de treinamento aumenta a produtividade dos funcionários 0

21 Exercício 1 Os dados a seguir referem-se a acidentes de trabalho que ocasionam perda de tempo (média das horas de trabalho perdidas por mês, durante um ano). Os dados foram recolhidos antes e depois de um programa de segurança de trabalho, desenvolvido em 6 indústrias. 1

22 Exercício 1 Horas de trabalho perdidas por mês antes e depois do programa de prevenção Indústria número Antes Depois Os dados mostram evidência de que o programa de prevenção é efetivo? Use nível de significância de 5%.

23 Exercício 1 Hipóteses: H 0 : depois = antes H 1 : depois < antes depois : valor médio de horas perdidas por mês após o programa de prevenção antes : valor médio de horas perdidas por mês antes do programa de prevenção 3

24 Exercício 1 Cálculo da estatística do teste: Indústria número Antes Depois Diferença (D): D = -4,000 S D = 3,5 4

25 Exercício 1 Cálculo da estatística do teste: D. n 4. 6 t = = = 3,04 S D 3,5 5

26 Tabela t Amostra: gl = 5 e t = -3,04 área cauda superior gl 0,5 0,10 0,05 0,05 0,01 0, ,77 1,476,015,571 3,365 4, ,01 < p < 0,05 6

27 Exercício 1 - conclusão O teste rejeita H 0 ao nível de significância de 5%. O programa de prevenção de acidentes reduz, em média, o número de acidentes. 7

28 Projeto do experimento ou do levantamento de dados DADOS PAREADOS AMOSTRAS INDEPENDENTES X 11 X 1 X 1 X... X 11 X 1... X 1 X... X 1n X n X 1n X m 8

29 Dados pareados Projetos do tipo antes-e-depois, como nos exemplos anteriores. Comparação de dois tipos de argamassas (A e B). Ambas aplicadas em n tipos de paredes. Análise: teste t para dados pareados (já visto!) 9

30 Amostras independentes Comparação de dois medicamentos (A e B), cada um aplicado a um grupo de pacientes. Comparação de dois tipos de argamassas (A e B). Cada argamassa aplicada num conjunto diferente de paredes. Importante: aleatorização Análise: teste t para amostras independentes 30

31 Exemplo 3 Problema: comparação de dois métodos de ensino. H 0 : Em média, os dois métodos produzem os mesmos resultados; H 1 : Em média, os dois métodos produzem resultados diferentes. 31

32 Exemplo 3 H 0 : 1 = e H 1 : 1 1 : nota média de indivíduos submetidos ao método A de ensino; : nota média de indivíduos submetidos ao método B de ensino. 3

33 Exemplo 3 Amostras: notas numa avaliação, por grupo método A método B

34 Exemplo 3 método A método B nota 34

35 A importância da análise da variabilidade a) evidência de grupos diferentes b) não evidência de grupos diferentes 35

36 A estatística do teste (admitindo n 1 = n = n) t = n X 1 X S a onde S a 1 S S 36

37 Exemplo 3 - continuação Amostra 1 Amostra n 1 = 10 n = 10 X 1 = 49,90 X = 44,70 S 1 = 5,97 S = 6,50 S a S 1 S (5,97) (6,50) 38,95 t = n 10 (38,95) 49,90 44,70 1, 86 X 1 X S a 37

38 Exemplo 3 - continuação Uso da tabela t Amostras ==> gl = (n-1) = 18 e t = 1,86 área cauda superior gl 0,5 0,10 0,05 0,05 0,01 0, ,688 1,330 1,734,101,55, ,05 < p < 0,10 p = 0,

39 Exemplo 3 - conclusão O teste aceita H 0 ao nível de significância de 5%. Os dados não comprovam diferença entre os dois métodos de ensino. 39

40 Exercício Para verificar o grau de adesão de uma nova cola para vidros, prepararam-se dois tipos de montagem: cruzado, onde a cola é posta em forma de X, e quadrado, onde a cola é posta apenas nas 4 bordas. Os resultados da resistência para duas amostras de 10 ensaios cada estão a seguir. Os tipos de montagem são diferentes em termos de resistência média? 40

41 Exercício Resultados das resistência nos 0 ensaios Método cruzado Método quadrado Média = 17,4 16,0 Desvio padrão = 1,897 4,43 41

42 Exercício - resolução H 0 : Em média, o grau de adesão é o mesmo para os dois métodos. H 1 : Em média, o grau de adesão é diferente para os dois métodos. 4

43 Exercício - resolução n 1 = 10 n = 10 X 1 = 17,4 X = 16,0 S 1 = 1,897 S = 4,43 S a S 1 S 10,801 t = n 0, 95 X 1 X S a 43

44 Exercício - resolução Amostra gl = 18 t = 0,95 Tabela 0,0 < p < 0,50 p = 0,3546 aceita H 0 ao nível de significância de 5% não há evidência de diferença entre os dois métodos. 44

45 45 A estatística do teste (admitindo n 1 n ) onde 1) ( 1) ( n n S n S n S a n n S x x t = a