Departamento de Informática. Análise de Decisão. Métodos Quantitativos LEI 2006/2007. Susana Nascimento

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1 Departamento de Informática Análise de Decisão Métodos Quantitativos LEI 26/27 Susana Nascimento Advertência Autores João Moura Pires Susana Nascimento Este material pode ser livremente usado para uso pessoal ou académico e sem qualquer autorização prévia do autor desde que acompanhado desta declaração do autor. Para uso comercial (por exemplo em cursos pagos) o uso deste material requer a expressa autorização do autor. 2 1

2 Sumário Introdução Tomada de decisão sem experimentação Tomada de decisão com experimentação Árvores de Decisão Teoria da Utilidade 3 Tomada de decisão em ambientes com Incerteza Um fabricante de téxteis quer introduzir um novo produto no mercado Qual irá ser a reacção dos potenciais consumidores? Qual a quantidade de produto a produzir? Dever-se-á fazer um estudo de mercado em pequena região antes de comercializar pelo País inteiro? Que investimento é necessário fazer em Públicidade para que lançamento de produto seja um sucesso? Uma empreza financeira quer investir em seguros Quais os sectores de mercado e seguradoras individuais que constituíem os melhores alvos? Para onde é que a economia está dirigida? Como é que estes factores devem afectar (i.e. que peso devem ter) na tomada de decisão? 4 2

3 Análise de Decisão Estudo de metodologias para a Tomada de Decisão em ambientes com elevado grau de incerteza associado. Exemplo: enunciado Um empresa possui um terreno acerca do qual há suspeita da existência de petróleo Uma firma consultora indica que existe 1 chance em 4 de haver petróleo Uma outra empresa (que também tem conhecimento dessa hipótese) propõe-se comprar o terreno por 9. Exploração do petróleo: Custos: 1 No caso de haver petróleo espera-se uma facturação de 8, ou seja um lucro de 7 6 3

4 Exemplo: organizar os dados Lucro Situação real do terreno Decisões alternativas Explorar o terreno Vender o terreno Probabiliade Há petróleo em 4 Não há petróleo em 4 Qual a decisão a tomar? Vender? Explorar o terreno? Obter mais informação? 7 Exemplo: Formular o Problema A decisão consiste na escolha de uma entre n alternativas a 1, a 2,, a n. Factores aleatórios determinam as circunstâncias em que a decisão vai ser executada. Essas circunstâncias são designadas por estados do mundo ou cenários - e 1,,, e m. Sejam P(e i ) as probabilidades de cada um dos cenários e i Assume-se: são conhecidas as consequências da decisão em cada um dos cenários - Lucro(a i e j ) Qual a decisão a tomar? Obter mais informação? 8 4

5 Organizar os dados Lucro Estados do mundo ou cenários Decisões alternativas e 1 e m a 1 Lucro(a 1 e 1 ) Lucro(a 1 e m ) Lucro(a i e j ) a n Lucro(a n e 1 ) Lucro(a n e m ) Prob. dos cenários P(e 1 ) P(e m ) 9 Critérios para a Tomada de Decisão C 1 : Maximizar o ganho C 2 : Maximizar a verosimilhança C 3 : Regra de Bayes - Maximizar o ganho esperado 1 5

6 Maximizar o ganho (C 1 : Max-Min) Para cada alternativa possível, a i, determinar o ganho mínimo para todos os cenários/estados possíveis, e j (j=1,...,m) Para cada a i determinar min j lucro(a i e j ) Escolher a alternativa que maximiza o lucro mínimo Escolher a alternativa a k (1 k n), tal que: min j lucro(a i e j ) = max i min j lucro(a i e j ) Justificação - ponto de vista pessimista Escolher a alternativa do melhor ganho garantido 1º analisar as alternativas considerando o pior cenário 2º escolher a alternativa que maximiza o ganho numa situação de pior cenário 11 Exemplo: critério Max-Min Lucro Situação real do terreno Decisões alternativas e 1 : há petróleo : não há petróleo min j (a i e j ) a 1 : o terreno a 2 : o terreno max i min j (a i e j ) 9 Não entra em linha de conta com as probabilidades dos cenários! 12 6

7 C 2 : Maximizar a verosimilhança Identificar o cenário mais provável (mais verosímil) e escolher a acção que, para esse cenário, maximiza o ganho. Apenas toma em consideração os efeitos da decisão para o cenário mais provável. Não considera as probabilidades dos outros cenários Não considera os ganhos possíveis nos outros cenários 13 Exemplo: critério da máxima verosimilhança Lucro Situação real do terreno Decisões alternativas a 1 : Explorar o terreno a 2 : Vender o terreno Probabiliade P(e j ) e 1 : Há petróleo : não há petróleo Cenário mais provável Maior ganho no cenário mais provável 14 7

8 Regra de Bayes - Maximizar o valor esperado Com base nas probabilidades dos cenários calcular o valor esperado do ganho para cada uma das decisões alternativas e escolher aquela alternativa que maximiza o valor esperado do ganho. Ganho esperado de cada decisão alternativa Escolher a alternativa a k : m Lucro(a i ) = lucro(a i e j )P(e j ) j=1 Lucro(a k ) = max i Lucro(a i ) 15 Um exemplo: Regra de Bayes Lucro Situação real do terreno Decisões alternativas e 1 : há petróleo : não há petróleo Lucro(a i ) a 1 : o terreno a 2 : o terreno P(e j ) Lucro(a 1 ) =.25(7 K ) +.75 (-1 K ) = 1 K Lucro(a 2 ) =.25(9 K ) +.75 (9 K ) = 9 K 16 8

9 Notas sobre a Regra de Bayes A regra de maximizar o lucro esperado incorpora toda a informação disponível Os ganhos possíveis em cada um dos cenários As probabilidades de ocorrência dos cenários Probabilidades Apesar de estes valores serem estimativas das chances de ocorrência do cenários futuros é pior não as ter em conta. Não ter em conta significa assumir que os cenários futuros são equiprováveis. análise de sensibilidade 17 Análise de Sensibilidade da Regra de Bayes Os valores mais sensíveis sobre os quais convém efectuar uma análise de sensibilidade são os valores das probabilidades Analisar como variam os ganhos esperados das alternativas com a variação da distribuição de probabilidades O número de variáveis independentes é igual ao número de cenários possíveis menos 1. Porquê? Interessa analisar para que valores das probabilidades a decisão se altera. analisar graficamente 18 9

10 Um exemplo: Análise de sensibilidade da regra de Bayes Lucro(a i ) a 2 a Lucro(a1) Lucro(a2) P(e 1 ) Lucro(a 1 ) = P(e 1 )7 + (1 - P(e 1 ))(-1) Lucro(a 2 ) = P(e 1 )9 + (1 - P(e 1 ))9 Lucro(a 1 ) = Lucro(a 2 ) P(e 1 ) = Tomada de decisão com experimentação Inicialmente temos E = {e 1,,, e m }: conjunto de cenários ou estados P(E) = {P(e 1 ), P( ),, P(e m )}: respectivas probabilidades A = {a 1, a 2,., a n } Lucros(A E) = {lucro(a i e j ) i = 1,.., n; j = 1,, m} Pela regra de decisão de Bayes m Análise de Lucro(a i ) = lucro(a i e j )P(e j ) sensibilidade j=1 Obter mais informação para melhorar a confiança em P(E). Quais os novos valores de P(E)? Quanto custa obter nova informação? Valerá a pena? 2 1

11 Exemplo: Chegada de nova informação Antes de se tomar a decisão é possível realizar um estudo sísmico detalhado para estimar melhor a probabilidade de existência de petróleo no terreno. O estudo custa 3 Resultados do estudo: T = {F (favorável), D(desfavorável)} Caraterísticas de confiança e fiabilidade deste teste: P(D e 1 (Petróleo)) =.4; P(F e 1 (Petróleo)) =.6; P(D (não há Petróleo)) =.8; P(F (não há Petróleo)) =.2; 21 Como incorporar a nova informação? Inicialmente temos E = {e 1,,, e m }: conjunto de cenários ou estados P(E) = {P(e 1 ), P( ),, P(e m )}: respectivas probabilidades A = {a 1, a 2,., a n } Lucros(A E) = {lucro(a i e j ) i = 1,.., n; j = 1,, m} Vamos realizar uma experiência que se caracteriza por ter como resultados possíveis: T={t 1,, t K }. Para cada e j : P( T = tk e j ) k = 1,.. K O que se pretende saber é: P(e j t k ) Probabilidades apriori Probabilidades aposteriori 22 11

12 Teorema de Bayes U e1 e 3 e 4 e 6 e 7 e 5 T e8 e 9 e 1 {e 1,,, e m } uma partição de U {P(e 1 ), P( ),, P(e m )} Prob. apriori Nova informação ou evidência: T P(e i T) Prob. a posteriori U e 6 e e 7 5 T Normalização e 6 e 7 T e e 5 2 e 3 e 4 e 8 e9 e 3 e 4 e 8 e 9 23 Teorema de Bayes U e1 e 6 e 7 e 5 T e8 e 1 P(e i ) = P(e i U) P(e i T) = P(e i, T) / P(T) e 3 e 4 e 9 U e 6 e e 7 5 T Normalização e 6 e 7 T e e 5 2 e 3 e 4 e 8 e9 e 3 e 4 e 8 e 9 P(e i, T) = P(e i, T U) P(e i T) = P(e i, T T) 24 12

13 Teorema de Bayes U e1 e 6 e 7 e 1 e 5 T e8 e 3 e 4 e 9 conhecido P(e i T) = P(e i, T) / P(T) P(e i, T) = P(e i )P(T e i ) m P(T ) = P(e i,t ) = P(e i )P(T e i ) m i=1 i=1 U e 6 e e 7 5 T Normalização e 6 e 7 T e e 5 2 e 3 e 4 e 8 e9 e 3 e 4 e 8 e9 P(e i, T) = P(e i, T U) P(e i T) = P(e i, T T) 25 Teorema de Bayes U e1 e 6 e 7 e 1 e 5 T e8 e 3 e 4 e 9 P(e i T ) = P(e i )P(T e i ) m P(e i )P(T e i ) i=1 U e 6 e e 7 5 T Normalização e 6 e 7 T e e 5 2 e 3 e 4 e 8 e9 e 3 e 4 e 8 e 9 P(e i, T) = P(e i, T U) P(e i T) = P(e i, T T) 26 13

14 Como incorporar a nova informação? Inicialmente temos E = {e 1,,, e m }: Conjunto de cenários ou estados P(E) = {P(e 1 ), P( ),, P(e m )}: Respectivas probabilidades Vamos realizar uma experiência que se caracteriza por ter como resultados possíveis: T={t 1,, t K }. Para cada e j : P(T = t k e j ),k =1,..K Calcular probabilidades aposteriori P(e j t k ) P( e j ) P( tk e j ) P( e j T ) = m P( ei ) P( T ei ) i= 1 27 Exemplo: Como incorporar a nova informação? T = {F (favorável), D (desfavorável)} Caraterísticas de confiança e fiabilidade deste teste P(D e 1 (Petróleo)) =.4; P(F e 1 (Petróleo)) =.6; P(D (não há Petróleo)) =.8; P(F (não há Petróleo)) =.2; Probabiliades à priori: P(e 1 ) =.25; P( ) =.75 Se T = F P(e 1 F) = P(e 1 )P(F e 1 ) P(e 1 )P(F e 1 )+ P( )P(F ) = =.5 P( F) =1 P(e 1 F) =

15 Exemplo: Como incorporar a nova informação? T = {F (favorável), D (desfavorável)} Caraterísticas de confiança e fiabilidade deste teste P(D e 1 (Petróleo)) =.4; P(F e 1 (Petróleo)) =.6; P(D (não há Petróleo)) =.8; P(F (não há Petróleo)) =.2; Probabiliades à priori: P(e 1 ) =.25; P( ) =.75 Se T = D P(e 1 D) = P(e 1 )P(D e 1 ) P(e 1 )P(D e 1 )+ P( )P(D ) = =1/7 P( D) =1 P(e 1 D) = 6/7 29 Exemplo: Como incorporar a nova informação? P(e i ) P(T e i ) F D P(e i, T) F D e 1.25 e e P(e i, T) = P(e i )P(T e i ) P(T ) = P(e i,t ) e i P(e i T) = P(e i, T) / P(T) P(T) P(e i T) e 1.3 F.5.7 D 1/7.5 6/7 3 15

16 Exemplo: Como incorporar a nova informação? P(e i ) P(T e i ) F D P(e i, T) F D e 1.25 e e apriori T = F P(T).3.7 T = D aposteriori P(e i T) e 1 F.5 D 1/7.5 6/7 31 Exemplo: decidir com a nova informação T = D Lucro Situação real do terreno Decisões alternativas e 1 : há petróleo : não há petróleo Lucro(a i ) a 1 : o terreno a 2 : o terreno P(e j T = D) 1/7 6/7 Lucro(a 1 ) = (1/7)(7 K ) + (6/7) (-1 K ) = 1/7 = Lucro(a 2 ) =.5(9 K ) +. 5 (9 K ) = 9 K 32 16

17 Exemplo: decidir com a nova informação T = F Lucro Situação real do terreno Decisões alternativas e 1 : há petróleo : não há petróleo Lucro(a i ) a 1 : o terreno a 2 : o terreno P(e j T = F).5.5 Lucro(a 1 ) =.5(7 K ) +.5 (-1 K ) = 3 K Lucro(a 2 ) =.5(9 K ) +. 5 (9 K ) = 9 K 33 Exemplo: decidir com nova informação - resumo apriori a posteriori - com experimentação T = F T = D e 1.25 e 1. 5 e 1 1/ /7 Lucro(a 1 ) = 1 Lucro(a 1 ) = 3 Lucro(a 1 ) = Lucro(a 2 ) = 9 Lucro(a 2 ) = 9 Lucro(a 2 ) = 9 Custo da experiência 3 K Lucro(a 1 ) = 27 Lucro(a 2 ) = 6 Lucro(a 1 ) = -16 (-15,718) Lucro(a 2 ) =

18 Questão: Vale realmente a pena obter mais informação? Conhecendo: As probabilidades apriori de cada um dos possíveis cenários: P(e i ) O lucro esperado de cada uma das alternativas: Lucro(a i ) As características de fiabilidade e confiança do teste: P(T e i ) O custo do teste Será que vale a pena realizar a experiência (que tem um custo) para obter mais informação? Ou, antes pelo contrário decidir já com a informação disponível? 35 O Valor da experiência: dois passos Assumir que a experiência remove qualquer incerteza sobre o estado do mundo ou cenário em que nos encontramos, ou seja depois de conhecido o resultado da experiência, o estado do mundo fica completamente determinado. valor esperado da informação perfeita- aumento do valor esperado do lucro ignorando o custo da experiência. O valor esperado da informação perfeita é o limite superior do valor potencial da experiência (se este valor for inferior ao custo da experiência, esta não se deve realizar). Podemos então determinar o valor da experiência

19 Valor esperado da informação perfeita (EVPI) Aumento do valor esperado do lucro ignorando o custo da experiência e supondo que esta determina completamente qual o estado do mundo é o EVPI. Para cada cenário escolhemos a melhor decisão, isto é, supondo que o cenário é conhecido. Assim o lucro em cada caso é: max i lucro(a i e j ) O lucro esperado com informação perfeita é a média destes lucros máximos ponderada pela probabilidade de ocorrência dos estados. LucroInfPerfeita = O EVPI é a diferença entre o lucro esperado com informação perfeita e o lucro esperado sem a experimentação m P(e j )max lucro(a i e j ) j=1 i { } EVPI = LucroInfPerf LucroSemExperimentação 37 Exemplo: Valor esperado da informação perfeita Decisão sem exper. Decisões alternativas a 1 : o terreno Situação real do terreno e 1 : há petróleo 7 : não há petróleo -1 Lucro(a i ) 1 a 2 : o terreno Lucro(a 1 ) =.25(7 K ) +.75 (-1 K ) = 1 K Lucro(a 2 ) =.25(9 K ) +.75 (9 K ) = 9 K LucroSemExperimentação = 1 K 38 19

20 Exemplo: Valor esperado da informação perfeita Decisão com Inf. Perfeita Decisões alternativas Situação real do terreno e 1 : há petróleo : não há petróleo a 1 : o terreno a 2 : o terreno LucroInfPerf =.25(7 K ) +.75 (9 K ) = K EVPI = LucroInfPerf - LucroSemExperimentação = = K 39 Exemplo: Resumo - valor da experimentação Sem realizar experimentação LucroSemExperimentação = 1 K Realizando uma experiência que determine completamente o estado do mundo LucroInfPerf = K Aumento do lucro com informação perfeita EVPI = K Custo da experiência real: 3 K Como EVPI = K > 3 K vale a pena analisar com mais detalhe se realização da experiência pode ou não trazer mais valia. 4 2

21 Valor Esperado da Experiência: EVE EVE - Aumento do valor esperado do lucro ignorando o custo da experiência. Para cada resultado possível da experiência escolhe-se a decisão de acordo com a regra de Bayes. Assim o lucro em cada caso é: Lucro(T = t k ) O lucro esperado com a experiência é a média destes lucros ponderada pela probabilidade de ocorrência de cada resultado da experiência. m LucroEsperadoComExp = P(t k ) Lucro(T = t k ) O EVE é a diferença entre o lucro esperado com a experiência e o lucro esperado sem a experimentação EVE = LucroEsperadoComExp - LucroSemExp k=1 41 Exemplo: EVE apriori a posteriori - com experimentação T = F P(T=F) =.3 T = D P(T=D) =.7 e 1.25 e 1. 5 e 1 1/ /7 Lucro(a 1 ) = 1 Lucro(a 2 ) = 9 Lucro(a 1 ) = 3 Lucro(a 2 ) = 9 Lucro(a 1 ) = Lucro(a 2 ) = 9 LucroEsperadoComExp = (.3) 3 + (.7) 9 = 153 EVE = LucroEsperadoComExp - LucroSemExp = = 53 K 42 21

22 Exemplo: Resumo - valor da experimentação Sem realizar experimentação LucroSemExperimentação = 1 K Custo da experiência real: 3 K Realizando uma experiência perfeita LucroInfPerf = K Aumento do lucro com informação perfeita EVPI = K Como EVPI > 3 K vale a pena determinar EVE Realizando a experiência real LucroInfComExper = 153 K Aumento esperado do lucro com experiência EVE = 53 K Como EVE > 3 K vale a pena realizar a experiência 43 Sumário AD-A2 Introdução Tomada de decisão sem experimentação Tomada de decisão com experimentação Árvores de decisão Teoria da utilidade 44 22

23 Árvores de Decisão Sequências de decisões Devemos realizar o estudo sísmico? Devemos ou o terreno? Uma árvore de decisão tem: Nós de decisão: representados por um quadrado e indicam que uma decisão deve ser tomada neste ponto do processo. Os ramos que saiem do nó são as alternativas da decisão. Nós de aleatório: representados por um círculo e indicam que um acontecimento aleatório deve ocorrer nesse ponto. Os ramos que saiem do nó são os resultados possíveis da experiência aleatória. 45 Árvores de Decisão: exemplo f Há petróleo b desfavorável c Sem petróleo Fazer estudo a favorável d g Há petróleo Sem petróleo Sem estudo e h Há petróleo Sem petróleo 46 23

24 Árvores de Decisão: exemplo 1. Ganhos nos ramos 2. Lucro nas folhas Fazer estudo -3 a Sem estudo b desfavorável favorável c d e f g h Há petróleo 67 8 Sem petróleo Há petróleo 67 8 Sem petróleo Há petróleo 7 8 Sem petróleo Árvores de Decisão: exemplo 3. Probabilidades nos ramos (nos aleatórios) Fazer estudo -3 a Sem estudo b desfavorável (.7) favorável (.3) c d e f g h a posteriori dado T = D Há petróleo (1/7) 67 8 Sem petróleo -13 (6/7) a posteriori dado T = F Há petróleo (.5) Sem petróleo -13 (.5) 6 apriori Há petróleo(.25) 7 8 Sem petróleo -1 (.75)

25 Árvores de Decisão: exemplo 4. Efectuar a análise Calcular o Lucro Esperado Fazer estudo a Sem estudo 123 b desfavorável (.7) favorável (.3) LE(nó) = Soma(Lucro(filhos)*P(filho)) 6 c 27 d 1 e f 27 g 9 1 h 9 Há petróleo (1/7) 67 8 Sem petróleo (6/7) Lucro Há petróleo (.5) 67 8 Sem petróleo -13 (.5) 6 Há petróleo(.25) 7 8 Sem petróleo -1 (.75) 9 49 Árvores de Decisão: exemplo 5. Decidir Fazer estudo a Sem estudo 123 b desfavorável (.7) favorável (.3) 6 c 27 d 1 e f 27 g 1 h Há petróleo (1/7) 67 8 Sem petróleo (6/7) Há petróleo (.5) 67 8 Sem petróleo -13 (.5) 6 Há petróleo(.25) 7 8 Sem petróleo -1 (.75)

26 Árvores de Decisão: exemplo 5. Decidir 6 Fazer estudo a 123 b desfavorável (.7) favorável (.3) c 27 d g Há petróleo (.5) 8 Sem petróleo (.5) Árvores de Decisão: exemplo 4. Efectuar a análise Calcular o Lucro Esperado Fazer estudo a Sem estudo = b Custo da experiência é 3 desfavorável (.7) favorável (.3) 6 c 27 d 1 e f g 1 h a posteriori dado T = D Há petróleo (1/7) 67 8 Sem petróleo (6/7) a posteriori dado T = F Há petróleo (.5) 67 8 Sem petróleo -13 (.5) 6 apriori Há petróleo(.25) 7 8 Sem petróleo -1 (.75)

27 Exemplo: Resumo - valor da experimentação Sem realizar experimentação LucroSemExperimentação = 1 K Custo da experiência real: 3 K Realizando a experiência real LucroInfComExper = 153 K Aumento esperado do lucro com experiência EVE = 53 K Como EVE > 3 K vale a pena realizar a experiência = 23 (153-3) - 1 = 23 (153-1) - 3 = 23 EVE - Custo da experiência = Aumento esperado do lucro com a experiência depois de subtraído o seu custo 53 Teoria da Utilidade Valores monetários não são a única medida possível para avaliar as consequências da tomada de decisão. Exemplos: Uma aposta: (1 ;.5) e ( ;.5) LucroEsperado = 5 ( 4 ; 1.) e ( ;.) LucroEsperado = 4 Um investimento Enorme lucro e enorme prejuízo (risco de falência) Seguros Porque é que as pessoas compram seguros? (investimento pobre sob ponto vista monetário...) 54 27

28 Funções de Utilidade para o Lucro Monetário u(m) K M 55 Funções de Utilidade para o Lucro Monetário u(m) K M Função de utilidade marginal decrescente para valor monetário: Averso ao risco 56 28

29 Funções de Utilidade para o Lucro Monetário u(m) Favorável ao lucro Neutro Averso ao risco Cada decisor tem a sua função de utilidade e é em geral dependente do contexto. Como definir? Preferências do decisor K M 57 Princípio da Indiferença O decisor é indiferente a duas alternativas que tenham o mesmo valor esperado de utilidade. Exemplo: Função de utilidade como a do exemplo; Oferta: lucro = 1 ; u = 4; probabilidade = p E(u) = 4p lucro = ; u = ; probabilidade = 1 - p Escolher entre pares de alternativas (definir valores de p): Oferta com p =.25 (E(u) = 1) ou obter com garantia 1 K (u(1 K ) = 1) Oferta com p =. 5 (E(u) = 2) ou obter com garantia 3 K (u(3 K ) = 2) Oferta com p =.75 (E(u) = 3) ou obter com garantia 6 K (u(6 K ) = 3) 58 29

30 Modelos para a Função de Utilidade Assumir que a função de utilidade tem uma certa forma matemática e então ajustá-la: Escala da função de Utilidade é irrelevante Somente os valores relativos de Utilidade interessam Função exponencial de utilidade Modelo de u(m ) = R 1 e M R aversão ao risco R - Tolerância ao risco do decisor Grande aversão ao risco - Pequenos valores de R Pequena aversão ao risco - grandes valores de R 59 Função Exponencial de Utilidade u(m) 7 6 u(m ) = R 1 e M R Pequena aversão ao risco - grandes valores de R R = 2 R = 4 R = 6 Grande aversão ao risco - Pequenos valores de R M 6 3

31 Modelos para a Função de Utilidade (2) Vamos considerar uma caso em que os valores de M para os quais estamos interessados pertencem a [m -, m + ] u(m) = A Be M R Onde A = e m R e m R e m + R 1 B = e m R e m + R Fazendo R = m +, obtêm uma função cujo contradomínio é [, 1] 61 31

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