Funções Reais de Variável Real:

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1 Capítulo 4 Funções Reais de Variável Real: rimitivação 4. rimitivas imediatas Definição 4.. Sejam f e F duas funções definidas num intervalo I. Diz-se que F é uma primitiva de f em I se F x = fx, x I. EXEMLO : Como senx = cosx temos que senx é primitiva de cosx. EXEMLO : De x = x concluímos que x é primitiva de x. Definição 4.. Uma função f diz-se primitivável num intervalo I se existir uma primitiva de f, definida em I. NOTA: Há funções que não são primitiváveis. or exemplo, a função f : R R definida por { 0, se x < fx =, se x não é primitivável em R. De facto, a existência de uma função F : R R tal que F x = fx, x R, contradiz o Teorema de Darboux: f não toma nenhum valor entre 0 e. Teorema 4.. Se F é primitiva de f, num intervalo I, então, qualquer que seja C R, a função Gx = Fx + C é também primitiva de f em I. Demonstração: Basta notar que G x = F x + C = F x = fx. Teorema 4.. Se F e G são duas primitivas de f num intervalo I, então F G é constante em I.

2 68 4. Funções Reais de Variável Real: rimitivação Demonstração: Usa-se o Corolário do Teorema de Lagrange, notando que F x = G x = fx, x I. NOTAS:. Como consequência dos teoremas anteriores temos que todas as primitivas de f são da forma F + C com F uma primitiva de f e C R.. Se F é uma primitiva de f no intervalo I, designamos por f qualquer primitiva de f em I, isto é, f = F + C, com C R, qualquer. Geometricamente: Figura 4. Definição 4..3 Chamam-se primitivas imediatas as que se deduzem directamente de uma regra de derivação. A partir das regras de derivação obtém-se facilmente: Teorema 4..3 Sejam f e g duas funções primitiváveis num intervalo I e a R. Então a afx = a fx; b fx + gx = fx + gx. Apresentamos a seguir uma tabela com algumas primitivas imediatas. x α, fx ux α u x, α x α fx x α+ α + + C ux α+ α + + C log x + C

3 4. rimitivas imediatas 69 fx u x ux e x fx log ux + C e x + C e ux u x a x, a > 0 a ux u x, a > 0 cosx cosuxu x senx senuxu x x u x ux x u x ux e ux + C a x loga + C a ux loga + C senx + C senux + C cosx + C cosux + C arc senx + C arc senux + C arc cosx + C arc cosux + C + x arc tgx + C u x + ux arc tgux + C sec x sec uxu x tgx + C tgux + C

4 70 4. Funções Reais de Variável Real: rimitivação fx fx cosec x cotgx + C cosec uxu x cotgux + C EXEMLOS: x + x + = x + x + = x3 3 + x + x + C; cos x = + cosx = + cosx = x 3 x + 3 = xx = x x x 3 + = log x3 + + C; e 5x = 5 5e5x = 5 e5x + C; 0x cos5x + 7 = sen5x C; = arc tgx + C; + x x + senx + C; + + C = 3 4 x x C; 3 cosx e 3x = cosx e 3x = senx 3 e3x + C; x 3 x3 = x x 3 3 = 3 x C = 3 x3 + C. Teorema 4..4 Seja f uma função primitivável num intervalo I. Então, para cada x 0 I e cada y 0 R, existe uma, e uma só, primitiva F de f tal que Fx 0 = y 0. Em particular, existe uma, e uma só, primitiva de f que se anula em x 0. EXEMLO : Calculemos f sabendo que f x = x x e f =. Comecemos por calcular as primitivas F de f, pois f é uma dessas funções. Fx = 5 x5 + C.

5 4. rimitivas imediatas 7 Mas portanto, fx = 5 x f = 5 + C = C = 8 5, EXEMLO : retendemos calcular f sabendo que f x = x + 6x 4, f0 = 4 e f = 5. A função f pertence ao conjunto das funções F tais que F x = 4x 3 + 3x 4x + C e, portanto, será uma função da forma Fx = x 4 + x 3 x + Cx + C. Como { f0 = 4 f = 5 então fx = x 4 + x 3 x + x + 4. { C = 4 C =

6 7 4. Funções Reais de Variável Real: rimitivação 4. Métodos gerais de primitivação: rimitivação por partes e por substituição Teorema 4.. rimitivação por partes Sejam I um intervalo, F uma primitiva de f em I e g uma função diferenciável em I. Então fg = F g Fg Demonstração: ela regra da derivação do produto F g = F g +F g = fg +Fg, o que implica que fg = Fg Fg e, portanto, fg = F g Fg. EXEMLO : Seja hx = x logx. Calculemos a primitiva de h por partes: consideremos fx = x e gx = logx. x logx = x x logx = x x logx x x x = logx 4 + C. EXEMLO : odemos primitivar a função hx = logx usando este método. Sejam fx = e gx = logx. logx =. logx = x logx x = x logx = x logx x + C. x EXEMLO 3: Seja hx = cosx logsenx. Sejam fx = cosx e gx = logsenx. Então cosx logsenx = senx logsenx senx cosx senx = senx logsenx cosx = senx logsenx senx + C. EXEMLO 4: ara calcular a primitiva de hx = coslogx consideremos fx = e gx = coslogx. Então coslogx = x coslogx + senlogx. Esta última primitiva calcula-se novamente por partes obtendo-se coslogx = x coslogx + x senlogx coslogx, e, portanto, coslogx = x coslogx + x senlogx,

7 4. rimitivação por partes e por substituição 73 ou seja, coslogx = x coslogx + senlogx + C. EXEMLO 5: Sejam hx = log 3 x, fx = e gx = log 3 x.. log 3 x = x log 3 x 3 log x. rimitivando novamente por partes, e usando o resultado obtido anteriormente para logx, obtemos. log 3 x = x log 3 x 3 x log x logx = x log 3 x 3x log x + 6x logx 6x + C. Teorema 4.. rimitivação por substituição Sejam f uma função primitivável num intervalo J e ϕ uma função bijectiva e diferenciável no intervalo I tal que ϕi = J. Seja Φt = fϕtϕ t. Então a função Fx = Φϕ x é uma primitiva de f em J. Demonstração: Seja F uma primitiva de f. Como, por hipótese, x = ϕt temos Fx = Fϕt. ela regra de derivação da função composta Fϕt = F ϕtϕ t = fϕtϕ t = Φ t, porque designámos por Φt uma primitiva de fϕtϕ t. Como Fϕt e Φt são ambas primitivas de fϕtϕ t sabemos que Fϕt Φt = C, C constante real, ou ainda, o que implica que Fϕt = Φt + C, Fx = Φϕ x + C. EXEMLO : Seja fx = isto é, ϕt = + t = x. x3 x. ara calcular a primitiva de f façamos x = t, fϕt.ϕ t = + t 3 t = +t 3 = +3t +3t 4 +t 6 = t+t 3 +3 t5 t 5 +t7 7. Assim, x 3 x = + x x 5 x x 7 + C.

8 74 4. Funções Reais de Variável Real: rimitivação EXEMLO : Consideremos fx = e x = t, isto é, ϕt = logt. Consequentemente, fϕt.ϕ t = NOTA: Usamos, por vezes a notação odemos calcular a sua primitiva fazendo e x + e x t + t t = = arc tgt. + t fx = arc tge x + C. fx = { t fϕtϕ t} t=ϕ x.

9 4.3 rimitivação de funções racionais rimitivação de funções racionais Sejam x = a n x n + + a x + a 0 e Qx = b m x m + + b x + b 0, n,m N 0, a n 0,b m 0, dois polinómios com coeficientes a j,b j R; n e m os graus de e Q, respectivamente. Definição 4.3. Chama-se função racional toda a função f : D R R que pode ser expressa na forma fx = x Qx em que e Q são polinómios e D = {x R : Qx 0}. Definição 4.3. Dois polinómios e Q dizem-se iguais, e escreve-se = Q, se x = Qx, x R. Verifica-se facilmente que, sendo x = a n x n + + a x + a 0 e Qx = b m x m + + b x + b 0, se tem x = Qx, x R n = m a n = b m,...,a = b,a 0 = b 0. Dados dois polinómios e Q, de graus n e m, respectivamente, n > m, existem polinómios M e R tais que x = MxQx+Rx e grau de R < grau de Q. M diz-se o polinómio quociente e R o polinómio resto. Definição Um polinómio de grau maior ou igual a diz-se redutível se existem polinómios e tais que grau de i < grau de i =, e x = x x. O polinómio diz-se irredutível se não for redutível. É possível determinar quais são precisamente os polinómios irredutíveis. Considere-se, sem perda de generalidade, os polinómios unitários com coeficiente a n = : x = x n + a n x n + + a x + a 0. Todos os polinómios de grau, x = x a, são irredutíveis. Um polinómio de grau, x = x + bx + c é irredutível se, e só se, não tem raízes reais, isto é, b 4ac < 0. Assim os polinómios de grau irredutíveis são precisamente os polinómios da forma x = x α + β, α,β R, β 0, associado às duas raízes complexas conjugadas α ± iβ.

10 76 4. Funções Reais de Variável Real: rimitivação Os únicos polinómios irredutíveis são os considerados e mostra-se que todo o polinómio x com grau maior ou igual a é produto de polinómios irredutíveis: x = x a n x a p np [x α + β ] m [x α q + β q] mq em que n i,m j N representam o grau de multiplicidade do correspondente factor em. Definição Uma função racional fx = x Qx tiverem raízes comuns. diz-se irredutível se e Q não Dada uma função racional irredutível, podemos ter dois casos: o O grau do polinómio é maior ou igual ao grau do polinómio Q. o O grau do polinómio é menor do que o grau do polinómio Q. No primeiro caso, fazendo a divisão dos polinómios obtemos x = MxQx + Rx, em que M e R são polinómios, sendo M o quociente e R o resto que tem grau inferior ao grau de Q. Temos então o que implica que x Qx = Mx + Rx Qx x = Mx + Qx Rx Qx A primitiva de M é imediata por ser a primitiva de um polinómio. A segunda é a primitiva de uma função racional, em que o grau do numerador é menor do que o do denominador. Concluímos, assim, que basta estudar o caso das funções racionais irredutíveis em que o grau do numerador é menor do que o grau do denominador, isto é, ficamos reduzidos ao o caso atrás considerado. Os teoremas seguintes, que não demonstraremos, permitem-nos decompor uma função racional irredutível do o caso na soma de funções racionais cujas primitivas são fáceis de calcular ou mesmo primitivas imediatas. A primitivação de funções racionais irredutíveis fica, pois, completamente resolvida. Comecemos por analisar os casos em que Q admite apenas raízes reais. Temos o seguinte teorema: Teorema 4.3. Se x é uma função racional irredutível, se o grau de é menor que Qx o grau de Q e se Qx = a 0 x a n x a n...x a p np,

11 4.3 rimitivação de funções racionais 77 com a,a,...,a p números reais distintos e n,n,...,n p N, então a função é decomponível numa soma da forma x Qx = A n x a n + + A x a + + onde A n,...,a,..., B np,...,b são números reais. B np x a np np + + B x a np NOTA: Nas condições do Teorema 4.3., qualquer das parcelas em que se decompõe a função tem primitiva imediata: A x a = A p p, se p x a p A x a = A log x a o caso: Q tem raízes reais de multiplicidade, isto é, Q decompõe-se em factores do tipo A x a com a R. A cada raiz a de Q associa-se uma parcela do tipo x a, com A constante a determinar. EXEMLO: Calculemos a primitiva da função f definida por fx = 4x + x + x 3 x Como o número de raízes de um polinómio não ultrapassa o seu grau e x 3 x admite as raízes x = 0, x = e x =, podemos concluir que estas raízes têm multiplicidade. Então 4x + x + = A x 3 x x + B x + C x + = Ax + Bxx + + Cxx x 3 x = A + B + Cx + B Cx A x 3 x elo método dos coeficientes indeterminados temos B + C = 5 A + B + C = 4 B C = A = B C = A = B = 3 C = A = Assim: 4x + x + x 3 x = x + 3 x + x +

12 78 4. Funções Reais de Variável Real: rimitivação e 4x + x + x 3 x = + x 3 + x x + = log x + 3 log x + log x + + C x 3 = log x x + + C. o caso: Q tem raízes reais de multiplicidade p, p >, isto é, Q admite x a, com a R, como divisor p vezes. Na decomposição, a cada raiz a de Q de multiplicidade p vai corresponder uma soma de p parcelas com a seguinte forma: A p x a p + A p x a p + + A x a, com A p,a p,...,a constantes a determinar. EXEMLO: Calculemos a primitiva da função f definida por fx = x3 + 5x + 6x + xx + 3 Como xx+ 3 admite as raízes x = 0, x = e x+ aparece 3 vezes na factorização do polinómio, podemos concluir que estas raízes têm multiplicidade e multiplicidade 3, respectivamente. Então x 3 + 5x + 6x + xx + 3 = A x + B x C x + + D x + = Ax Bx + Cxx + + Dxx + xx + 3 = A + Dx3 + 3A + C + Dx + 3A + B + C + Dx + A xx + 3 elo método dos coeficientes indeterminados temos A + D = 3A + C + D = 5 3A + B + C + D = 6 A = D = 0 C = B = A = Assim: x 3 + 5x + 6x + xx + 3 = x + x x +

13 4.3 rimitivação de funções racionais 79 e x 3 + 5x + 6x + xx + 3 = + x x + 3 x + = log x x + + x + + C = log x x + + x + + C. Vejamos agora os casos em que o polinómio Q admite raízes complexas. Teorema 4.3. Se x é uma função racional irredutível, se o grau de é menor que Qx o grau de Q e se α + iβ α,β R é uma raiz de Q, de multiplicidade r, então x Qx = M r x + N r [x α + β ] r + + M x + N x α + β + Hx Q x onde H e Q são polinómios tais que o grau de H é menor que o grau de Q, M r, N r,...,m, N, são números reais e nem α + iβ nem α iβ são raízes do polinómio Q. o caso: Q tem raízes complexas de multiplicidade, isto é, Q admite como divisores polinómios de grau, uma única vez cada polinómio, que não têm raízes reais. Na decomposição, a cada par de raízes α + iβ, α iβ vai corresponder uma parcela com a seguinte forma: Ax + B x α + β com A e B constantes a determinar. EXEMLO: Calculemos a primitiva da função f definida por fx = Como x x + x + = 0 x = x = ± i 3 podemos concluir que estas raízes têm multiplicidade. Então x + x x + x + x + x x + x + = A x + Bx + C x = Ax + x + + Bx + Cx x x + x + = A + Bx + A B + Cx + A C x x + x +

14 80 4. Funções Reais de Variável Real: rimitivação elo método dos coeficientes indeterminados temos Assim: e A primitiva A + B = A B + C = 0 A C = x + x x + x + = x + x + x x + x + = + x = log x x A = B = 0 C = calcula-se fazendo a substituição x + 3 = t, isto é, ϕt = sendo a + ib a raiz, a substituição é x a = bt. Então fϕt.ϕ 3 t = 3 t portanto, Finalmente, x x x x t No caso geral, = 3 t + = 3 arc tgt, = arc tg 3 3 x +. 3 fx = log x arc tg 3 x + + C. 3 3 o caso: Q tem raízes complexas de multiplicidade p, p >, isto é, Q admite como divisores polinómios de grau que não têm raízes reais, aparecendo p vezes cada polinómio na factorização de Q. Na decomposição, a cada par de raízes α+iβ, α iβ vai corresponder uma soma de parcelas com a seguinte forma: A p x + B p x α + β + A p x + B p p x α + β + + A x + B p x α + β com A p, A p,..., A, B p, B p,..., B constantes a determinar. EXEMLO: Calculemos a primitiva da função f definida por fx = x4 x 3 + 6x 4x + 7 x x +

15 4.3 rimitivação de funções racionais 8 Como x x + = 0 x = x = ±i e x x + tem grau 5, podemos concluir que estas raízes têm multiplicidade e multiplicidade, respectivamente. Então x 4 x 3 + 6x 4x + 7 = A x x + x + Bx + C x + + Dx + E x + = Ax + + Bx + Cx + Dx + Ex x + x x + elo método dos coeficientes indeterminados temos A = B = C = D = 0 E = Assim: e x 4 x 3 + 6x 4x + 7 x x + x 4 x 3 + 6x 4x + 7 x x + = x + x x + + x + = + x = log x + x + x + x x + x + + x x = log x + x + + = log x + x x x arc tg. x + A primitiva x x = x + x + calcula-se fazendo a substituição x = t, isto é, ϕt = t. Então

16 8 4. Funções Reais de Variável Real: rimitivação fϕt.ϕ t = = = = = = t t + 4 t t + t 4 t + t t t + t + tt + t + 4 t + + t t t + = 4 t + 4 = 4 t + 4 = 4 t t t + t t + t + t arc tgt t + t t + t + t + = 4 t + t arc tgt 4 4 t arc tgt portanto, Finalmente, t + = 8t + arc tgt, 8 x x + fx = log x 5 8 = x + 4x + 8 x arc tg x arc tg. x + 4x + + C.

17 4.3 rimitivação de funções racionais 83 NOTA: Se x admite uma decomposição da forma que aparece neste teorema, a sua Qx primitiva pode ser calculada recorrendo a primitivas de funções da forma Ax + B x α + β e Cx + D [x α + β ] p, p >. Temos no primeiro caso, usando a substituição x α = βt, { } Ax + B x α + β = Aα + βt + B t β β t + β t A α + βt + B β t + β β = A α + B + A βt βt + t= x α β = A α + B βt + + A βt βt + = A α + B β t + + A t t + ortanto, = A α + B β arctgt + A logt + Ax + B x α + β = A α + B arctg β x α No segundo caso, usando a mesma substituição, Cx + D [x α + β ] p = β { t Cα + βt + D β t + β p β C α + βt + D t β = C α + D + C βt β t + β p β p t + p [ x + A α log + ] + C. β } t= x α β. = C α + D β p t + + C βt p β p t + p = C α + D β p = C α + D β p t + + C p β t p t + p t + C p β p p t + p

18 84 4. Funções Reais de Variável Real: rimitivação Resta-nos calcular Mas t + p o que implica que t + p = + t t t + p = t + p t t + p = t + p t + t p t + p = = = isto é, o cálculo da primitiva de de t + primitiva de é imediata. t + t p t t + p t + + t p p t + p p t + p t p 3 + p t + p p t + p, ficou apenas dependente do cálculo da primitiva t + p p, que por sua vez pode, de modo análogo, fazer-se depender do cálculo da t + p, e assim sucessivamente até chegarmos à primitiva de + t que Teorema Se x é uma função racional irredutível, se o grau de é menor que Qx o grau de Q e se Qx = a 0 x a p x b q [x α + β ] r [x γ + δ ] s então a função é decomponível numa soma da forma x Qx = A p x a p + + A x a + + B q x b q + + B x b + + M r x + N r [x α + β ] r + + M x + N x α + β V s x + Z s [x γ + δ ] s + + V x + Z x γ + δ onde A p,...,a, B q,...,b, M r, N r,...,m, N, V s, Z s,...,v, Z são números reais.

19 4.4 rimitivação de funções algébricas irracionais rimitivação de funções algébricas irracionais Vejamos agora alguns tipos de funções cuja primitivação pode reduzir-se à primitivação de funções racionais com uma substituição adequada. Introduza-se em primeiro lugar a noção de polinómio e função racional em várias variáveis. Definição 4.4. Designa-se por polinómio em duas variáveis, x e y, com coeficientes reais, a aplicação : R R R, dada por x,y = a mn x m y n + + a xy + a 0 x + a 0 y + a 00, com m,n N 0, a ij R. Define-se o grau de como o maior inteiro i+j tal que a ij 0. Mais geralmente define-se, de modo análogo, polinómio em p variáveis u,...,u p, como a aplicação : R } {{ R } R, dada por p vezes u,...,u p = a i...i p u i...u ip p, i,...,i p i,...,i p N 0, a i...i p R e i,...,i p uma soma finita em i,...,i p. Definição 4.4. Se u,...,u p e Qu,...,u p são dois polinómios em p variáveis, chama-se função racional em p variáveis a uma aplicação da forma Ru,...,u p = u,...,u p Qu,...,u p definida nos elementos u,...,u p R } {{ R } tais que Qu,...,u p 0. p vezes Analisemos então algumas classes de funções susceptíveis de serem racionalizadas por convenientes mudanças de variável. No que se segue R designa uma função racional dos seus argumentos. Expressão Substituição fx = Rx m n,x p r q,...,x s x = t µ µ = m.m.c.{n,q,...,s} fx = R x, a x+b c x+d m n, a x+b c x+d q,..., r a x+b s c x+d p fx = x α a + bx β γ a x+b c x+d = tµ µ = m.m.c.{n,q,...,s} x β = t

20 86 4. Funções Reais de Variável Real: rimitivação EXEMLO : Consideremos a função fx = x + 3 x = A substituição a x + x 3 usar é x = ϕt = t 6 e a primitiva a calcular é fϕtϕ t = t 3 + t 6t 5 6t5 = t t + = 6 t3 t + = 6 t t + t + t 3 = 6 3 t + t log t + = t 3 3t + 6t 6 log t + tendo-se assim x + 3 x = 3 x 3 3 x x 6 log 6 x + + C. EXEMLO : Seja fx = problema. Temos e x x + 3 A substituição x + 3 = t4 permite resolver o fϕtϕ t = t t t3 = t5 t = t 5 = 5 + t4 4 + t3 3 + t 4 x fx = + 4 x log 4 x C + t + log t + 4 x t 4 + t 3 + t + t x + 3 t + 4 x EXEMLO 3: Seja fx = x x +. Façamos a substituição x 3 = t. Obtemos: fϕtϕ t = t 3 + t 3 3 t = t + t que, como vimos anteriormente exemplo, se resolve fazendo a substituição + t = z, isto é, 3 t + t = 3 { z z z z } z= +t = 3 { z z 6 4z 4 + 4z } z= +t { } z 7 = 3 7 4z z3 3 z= +t = t + t t 7 5

21 4.4 rimitivação de funções algébricas irracionais 87 tendo-se finalmente 3 x x + = x x x C. 5 Expressão Substituição ax + bx + c = ax + t se a > 0 ax + bx + c = tx + c fx = Rx, ax + bx + c se c > 0 ax + bx + c = t x α ou ax + bx + c = t x β se α e β são zeros reais distintos de ax + bx + c EXEMLO : Consideremos a função fx = x. Como a = 3 podemos 3x x + usar a substituição 3x x + = 3x + t, tendo-se: o que implica ϕ t = 3t t 3 3t + A primitiva a calcular é 3x x + = 3x + 3xt + t x 3xt = t x = t + 3t = ϕt t 3 + t 3t t 3 3t + 3t + t 3t + 3t t 3 = 3 t + t t 3t + 3t + t + 3 = 3 3t + 3t + t t

22 88 4. Funções Reais de Variável Real: rimitivação o que implica que = t = = log t log + t = log t + + t t + t x 3x x + = log 3x x + + 3x + 3x x + 3x + C. EXEMLO : rimitivemos a função fx = x Tendo em conta que x + 4x 3 x +4x 3 = 0 x = x = 3 podemos usar a substituição x + 4x 3 = tx 3. x + 4x 3 = tx 3 x 3x = tx 3 x 3x = t x 3 x = t x 3 x = 3t + t + = ϕt o que implica ϕ 4t t = t + A primitiva a calcular é o que implica que 4t 3t + 3t t + t + t + 3 t + 4 = 3t + 3t + 3t 3 = 3t + = arc tg 3t 3 x x + 4x 3 = arc tg 3 3 x + 4x 3 + C. x 3

23 4.4 rimitivação de funções algébricas irracionais 89 Expressão a x x a x + a Substituição x = a cost ou x = a sent x = a sect ou x = a cosect x = a tgt ou x = a cotgt EXEMLO : Seja fx = ϕ t = 3 cost e 9 x Façamos a substituição x = 3 sent = ϕt. Temos x e, assim, 9 9 fϕtϕ sen t sen t t = 3 cost = cost 9 sen t sen t = cos t sen t = cotg t = cosec t = cotgt t 9 x x = cotgarc sen x 3 arc senx 3 + C = 9 x x arc sen x 3 + C EXEMLO : Consideremos a função fx = ϕt. Temos ϕ t = 4 sect tgt e x e a substituição x = 4 sect = 3 x 6 e, assim, fϕtϕ t = 4 3 sec 3 t 4 sect tgt 6 sec t 6 tgt = 4 3 sec t sec t = tgt 4 3 sec t tgt = 4 3 sec t = 4 3 cos t = t sent 4 x 3 x 6 = 4 3 EXEMLO 3: ara calcular as primitivas de fx = arc secx 4 + sen arc secx 4 + C 4 x podemos fazer a subs- x + 4

24 90 4. Funções Reais de Variável Real: rimitivação tituição x = tgt = ϕt. Temos ϕ t = sec t e fϕtϕ t = 4 tg t 4 tg t + 4 sec t sec t = 4 tg t tg t + = sec t 4 tg t sect = 4 sect tg t = cotgt cosect 4 = 4 cosect e, assim, x x + 4 = 4 cosecarc tgx + C = 4 x C x

25 4.5 rimitivação de funções transcendentes rimitivação de funções transcendentes Expressão fx = Rsenx, cosx fx = Rsenx, cosx R y, z = Ry,z, y,z Substituição tg x = t tgx = t e fx = Re x e x = t x A substituição tg = t conduz a uma função racional de t. De facto, de x x senx = sen. cos = = tg x + tg x = t + t x x cosx = cos sen = = tg x + tg = t x + t conclui-se, tendo em conta que tg x + tg x + tg x + tg x tg x + tg x x tg = t x = arc tgt = ϕt ϕ t = + t, { } t t fx = t R + t,. + t + t tg x =t A substituição indicada serve no caso geral, mas em certos casos particulares são preferíveis outras substituições. Assim, por exemplo, se Rsenx, cosx é função par em senx e cosx isto é, se não se altera ao mudarmos simultaneamente senx para senx e cosx para cosx, pode fazer-se a substituição tgx = t, ou seja, ϕt = arc tgt e senx = t + t e cosx = + t EXEMLO : Calculemos as primitivas de fx = A substituição indicada cosx +

26 9 4. Funções Reais de Variável Real: rimitivação x é tg = t: t + t + + t = 3 t + 3 t 3 + t = 3 = log 3 t + log 3 + t = 3 + t log t o que implica que cosx + = x 3 + tg log 3 x 3 tg + C. EXEMLO : ara calcular as primitivas de fx = fazemos a substituição tgx = t e obtemos e, portanto, cos x sen x + t t + t = t + t = t + + t = log t + log + t = log + t t cos x sen x = log + tgx tgx + C EXEMLO 3: ara primitivar a função fx = e x + usa-se a substituição ex = t: e t + t = + t + t = log + t + log t = log t + t e x e x + = log + C. e x + As funções do tipo fx = senaxsenbx, com a e b constantes, a b, podem primitivar-se tendo em conta que senax.senbx = [cosa bx cosa + bx]

27 4.5 rimitivação de funções transcendentes 93 e conclui-se que De modo análogo, senax.senbx = cosax. cosbx = sena bx a b sena bx a b + sena + bx a + b sena + bx a + b Se pretendermos primitivar um produto de vários factores sena m x e cosb n x podemos começar por substituir por uma soma o produto de dois dos factores; depois substituem-se por somas os novos produtos obtidos por associação de novos pares de factores; e assim sucessivamente até esgotar todos os factores. EXEMLO: sen3x cos5xsen6x = sen8x + sen x sen6x + C + C = cosx cos4x cos 4x cos8x = 4 cosx 4 cos4x 4 cos4x + 4 cos8x = senx sen4x sen4x + sen8x + C As funções do tipo fx = pxe ax, onde p é um polinómio de grau n em x e a é uma constante, primitivam-se por partes: pxe ax = a eax px a eax p x. A primitiva que aparece no segundo membro é ainda do mesmo tipo, mas mais simples, pois o grau de p x é inferior em uma unidade ao grau de px. Aplicando novamente o mesmo processo até chegar a um polinómio de grau zero, obtém-se fx = eax a px p x + p x + + npn x a a a n EXEMLO: rimitivemos a função fx = x + x + e 3x. + C. x + x + e 3x = 3 x + x + e 3x x + e3x 3 x + x + e 3x 3 x + e3x + 3 e3x = 3 = 3 e3x x + x + 3 x C. 9

28 94 4. Funções Reais de Variável Real: rimitivação As primitivas que obtivemos foram sempre funções elementares, isto é, funções algébricas, a função exponencial, as funções trigonométricas e as trigonométricas inversas e, de um modo geral, as funções que se possam obter por composição destas em número finito. or outras palavras, aprendemos a calcular primitivas de funções elementarmente primitiváveis. Nem todas as funções estão nesta situação. No entanto, Teorema Toda a função contínua num intervalo [a, b] é primitivável nesse intervalo.