OFICINA DE MATEMÁTICA BÁSICA - MÓDULO II Lista 3

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1 OFICINA DE MATEMÁTICA BÁSICA - MÓDULO II Lista Data da lista: 12/11/2016 Preceptora: Natália Cursos atendidos: Todos Coordenador: Francisco 1. Qual é o conjunto imagem da função f de R em R, denida por f(x) = 2 2 cos x. 2. Considere as funções f e g, dadas de R em R, denidas, respectivamente, por f(x) = 2 + sen x e g(x) = cos (x + π 2 )? (a) Determine o conjunto imagem da função f e da função g. (b) Para quais valores de x tem-se g(x) f(x) (c) Determine os valores de x para os quais f(x) g(x). Em relação ao gráco da função f(x) = cos x, qual tipo de transformação ocorreu com o gráco da função: (a) g(x) = cos x? (b) h(x) = + 2 cos ( x 4 + π)? (c) m(x) = 1 cos (2x π 2 )? (d) n(x) = cos ( x 2 + π)? 4. Devido principalmente às variações na quantidade de chuva no decorrer dos meses do ano, a produção de leite da fazenda de Rui sofre variação segundo a função L(m) = 50 50sen [( m 1 (π) )π + ] em que m representa o mês do ano, e L a quantidade de leite produzida. Nos 6 2 meses 1

2 em que a quantidade de chuva é maior, a produção também aumenta, pois a qualidade das pastagens melhora. (a) Em qual mês ocorreu a maior produção de leite? Quantos litros foram produzidos? (b) Determine o período da função L. 5. Em cada item determine os valores de x, sabendo que: (a) cos x = 2 2, com π 2 < x < 5π 2 (b) sen x = 1 2, com 2π < x < 7π 2 (c) cos x = 2, com 90 < x < 540 (d) sen x = 22, com 11π 4 < x < 9π 2 (e) sen x = 2, com 60 < x < 720 (f) cos x = 2 2, com 90 < x < Determine o domínio e a imagem da função f de R em R, denida por f(α) = sen α. 7. Para quais valores de m a função sen x+5 m = 4 tem solução? 8. Em cada item, determine a quais quadrantes a extremidade de α pode pertencer. (a) cos α = 2 (b) sen α = 1 5 (c) tg α = 2 (d) sen α = 7 (e) tg α = 5 (f) cos α = Determine se é positivo ou negativo o seno do arco de medida: (a) 2120 (b) 9π 5 (c) 1605 (d) 4π Em qual quadrante os valores de α satisfazem simultaneamente: 2

3 (a) tg α < 0 e cos α < 0 (b) sen α > 0 e cos α < 0 (c) tg α > 0 e sen α > 0 (d) cos α > 0 e sen α < 0 (e) tg α > 0 e cos α < Escreva as igualdades utilizando apenas arcos do primeiro quadrante e determine o sinal de A em cada uma delas. (a) A = sen 500 cos 200 (b) A = cos 22π tg ( π 6 ) (c) A = tg 145 sen ( 1975 ) (d) A = cos 27π 5 sen ( 2780 ) 12. Calcule. (a) sen 1110 (b) tg 765 (c) cos 25π (d) sen 29π (e) cos ( 210 ) (f) tg ( 41π 4 ) (g) sen ( 840 ) (h) cos Em qual quadrante estaria localizado θ se: (a) sen θ é negativo e cos θ é positivo. (b) sen θ e cos θ são negativos. (c) sen θ é positivo e cos θ é negativo. 14. Expresse cada uma das funções nos respectivos ângulos, como função de seu ângulo de referência e encontre o valor da função. (a) cotg 147 (b) 2 sec (c) csc 2

4 (d) cos Verique se o sistema linear homogêneo é determinado ou indeterminado. x + y + z = 0 2x + 2y + 4z = 0 x + y + z = Para quais valores de k o sistema admite apenas a solução trivial? { kx + 2y = 0 kx + ky = Classique quanto ao número de soluções o seguinte sistema linear. x + y + 2z = 0 x + 4y = 0 x y z = Calcule os valores de a para que o sistema seja determinado. x + y + z = 0 x + y + az = 0 x + 9y + a 2 z = Calcule os valores de a para os quais o sistema admita outras soluções além de x=y=z=0. a 2 x + y a 2 z = 0 x a 2 y + z = 0 x + y z = Resolver os sistemas homogêneos abaixo. (a) x y + 2z t = 0 x + y + z + t = 0 x y z 5t = 0 (b) { x + y + z + w t = 0 x y z + 2w t = 0 (c) { 4x + y z + t = 0 x y + 2z t = 0 4

5 (d) x + 2y 12z = 0 x y + z = 0 2x y + 5z = Dada a função f(x) = x 2 x: (a) Determine algebricamente os pontos nos quais f(x) = 0. (b) Determine algebricamente os pontos nos quais f(x) = 2. (c) Esboce o gráco da função no plano coordenado, indicando os pontos que você obteve no item (b). (d) Determine gracamente as soluções da inequação f(x) Um promotor de eventos consegue vender 5000 ingressos para o show da banda Reset se cada ingresso custar R$ 20,00. A cada R$ 1,0 de aumento no preço do ingresso, há uma redução de 100 pagantes. Responda às questões abaixo, supondo que x é a quantia, em reais, a ser acrescida ao valor do ingresso. (a) Exprima o valor do ingresso em função de x. (b) Exprima a quantidade de ingressos vendidos em função de x. (c) Determine a função R(x) que fornece a receita do show, em relação a x. Lembre-se de que a receita é o produto do preço pela quantidade de ingressos vendidos. (d) Determine o valor do ingresso que maximiza a receita do show. Calcule a receita neste caso. (e) Determine para quais valores de x a receita é maior ou igual a R$ , O Índice de Massa Corporal (IMC) é um indicador (um tanto discutível) da magreza ou obesidade de uma pessoa. O IMC é denido pela fórmula IMC = p a 2, em que p é o peso (em kg) e a é a altura (em metros) da pessoa. A tabela abaixo fornece os intervalos de cada categoria do IMC. Observe que, seguindo a tradição, usamos peso em lugar do termo certo, que é massa. (a) Determine as funções p 1 (a) e p 2 (b) que denem o peso em relação à altura, a, para um IMC de 18,5 e um IMC de 25, respectivamente. Observe que esses são os limites para uma pessoa ser considerada saudável. 5

6 (b) Trace em um gráco as funções que você obteve no item (a), para a pertencente à [0 ; 2,2]. (c) Determine analítica e gracamente, o intervalo de peso para que uma pessoa de 1,80m de altura seja considerada saudável. 24. Para cada expressão na forma p(x)/d(x) abaixo, calcule o quociente q(x) e o resto r(x). (a) (2x x 2 + 6)/(x 2 2) (b) (6x 2 4x )/(x 5) (c) (x 4 + 2x 12)/(x + 2) (d) (4x + 6x 10)/(2x 4) 25. Determine as raízes das equações abaixo. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações. (a) x(x 2 2x ) = 0 (b) x 4 x 20x 2 = 0 (c) x + x 2 2x 2 = 0 sabendo que x=-1 é uma raiz. 26. Fazendo a mudança de variável w = x 2, determine as raízes reais das equações. (a) x 4 24x 2 25 = 0 (b) x 4 1x = 0 (c) x 4 2x = Determine o número de mínimos e máximos locais das funções abaixo. Indique um intervalo que contém a coordenada x de cada mínimo ou máximo. (a) f(x) = (x )(x 4) (b) f(x) = x(x 2)(x + ) (c) f(x) = x(x )(x + 2)(x 2) 6