Matemáticas Gerais. (Licenciatura em Geologia) Caderno de exercícios (exercícios propostos e tabelas) Armando Gonçalves e Maria João Rodrigues

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1 Matemáticas Gerais (Licenciatura em Geologia Caderno de eercícios (eercícios propostos e tabelas Armando Gonçalves e Maria João Rodrigues Departamento de Matemática Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra Ano lectivo /3

2 Departamento de Matemática da FCTUC Matemáticas Gerais Licenciatura em Geologia Caderno de eercícios Ano lectivo /3 Funções - Revisões Na figura seguinte estão representados os gráficos de duas funções f e g g f (a Determine os valores de f(4 e g(3 (b Indique os valores de para os quais f( = g( (c Indique o domínio e o contradomínio de f e g (d Em que intervalos f é decrescente? Diga se a curva dada é o gráfico de uma função de Se for o caso, indique o domínio e o contradomínio 3 Esboce o gráfico das funções seguintes e indique o seu domínio e o seu contradomínio { (a a( = + 3 (b b( = se (c c( = se > (d d( = (e e( = + (f f( = 4 4 Determine uma epressão para a função cujo gráfico é a recta que une os pontos (, e (4, 6 5 Determine o domínio das funções definidas por: (a g( = 3 + (b h( = 4 ( + ( 5 (c i( = ( ( 5 (d j( = 3 6 Indique quais das seguintes funções reais de variável real são pares, quais são ímpares e quais não são pares nem ímpares: (a f( = + (b g( = 3 + (c h( = (d i( = + 7 Determine o domínio e a epressão analítica da aplicação g f, sendo: (a f( =, g( = (b f( = +, g( = Dadas as funções reais de variável real (a Determine o domínio de f e g (b Indique o contradomínio de f (c Averigúe se as funções são injectivas f( = e g( = + (d Caracterize a aplicação f, eplicitando o seu domínio e a sua epressão analítica (e Caracterize a aplicação g f, eplicitando o seu domínio e a sua epressão analítica

3 Funções eponenciais e logarítmicas 9 Simplifique as epressões seguintes: (a e ln(5 (b ( ln e (+ (c b log b, b R + 3 ln \ {} (d e (e e ln 53 ln (f 4 3+ log 4 4 (g a +log a 4, a R + \ {} (h log 3 ( 4 9 ( 5 Determine o domínio de cada uma das funções reais de variável real, cuja epressão designatória é: (a 5 e 3 (b 3 5 log 4 ( (c log 3 ( ln(5 5 (d ln( 3 3 (e e + (f ln ( + log 5 (3 (g log 3 ( + (h ln Resolva em R as seguintes equações (a = (b = 84 (c 5 ln = ln 4 + ln 944 (d ln ln 4 = ln( + 5 (e +4 = 8 (f e (+ln /3 e = (g + log 9 (4 + 5 = log 3 (h e + e = Escreva, na forma eplícita, a epressão analítica da função inversa de cada uma das seguintes funções (a = + + (b = 4 ln (c = e (d = 4 + ln( (e = e4 e (f = log 5 3 (g = 4 (h = e A intensidade de um terramoto I medida na escala de Richter é um número que varia entre I = e I = 8, 9 (sendo esta a intensidade do maior terramoto conhecido A intensidade I é dada pela fórmula: I = 3 log E E, sendo E = 7 3 kwh e E a energia libertada no terramoto também em kwh (a Determine a energia libertada no terramoto de 755, cuja intensidade foi de 8, (b Suponha que era possível converter a energia do terramoto em energia eléctrica Se mil pessoas consomem cerca de 5 kwh de energia eléctrica por dia, calcule para quantos dias forneceria o terramoto de 755 energia a uma cidade com essa população 4 A quantidade de rádio puro, q, de uma amostra decai eponencialmente sendo regida pela equação q(t = q( e λt, λ constante positiva, e tem meia vida de aproimadamente 6 anos Sabendo que q( = 5 mg determine uma fórmula para q(t Ao fim de quanto tempo a amostra apresenta mg de rádio puro? 5 O número de bactérias em certa cultura aumenta de 6 para 8 em horas Supondo aplicável a lei do crescimento eponencial, q(t = q( e λt, λ constante positiva, determine uma fórmula para o número de bactérias na cultura num instante arbitrário t Qual o número de bactérias ao fim de 4 horas? Funções trigonométricas e trigonométrica inversas 6 Calcule (a (b 7 Prove que sen α + cosec α + cotg α sec α 3 cos α + tg α, sabendo que cos α = 3 5 e α [, ] ; sen α + cos α cosec α tg α, sabendo que sec α = [ 3 ] 5 e α, (a (cos α sen α = sen α (b cos α sen α + sen α cos α = cosec α

4 8 Determine o domínio das seguintes funções ( ( 3 (a f( = arc sen (b f( = arc cos cos ( ( + (c arc tg (d ln arc tg + cos 9 Calcule (a sen ( arc cos (b sen ( arc cotg ( (c cotg ( arc cotg + arc cos 3 (d arc cos ( sen 7 6 (e sen ( arc tg 3 3 (f cos( arc cos 7 5 arc cos 8 7 Simplifique as seguinte epressões (a sen 3 sen cos ( sen 3 (b sen 4 ( sen + (c sen cos + cos (d cos( (e tg ( + + tg ( (f tg ( arc tg (g sen ( arc sen (h cos ( arc cos (i cos( arc cos Determine o domínio, o contradomínio, os zeros e a forma eplícita das funções inversas de (a f( = arc cos ( + (b f( = + arc cotg (3 3 (c f( = tg 4 arc tg (d f( = sen (3 3 (e f( = ( 3 arc sen (3 (f f( = cos 6 Derivadas Determine a derivada das funções definidas por: (a f( = (b f( = 8 4 (c f( = (3 + (4 + (d f( = ( + 3( 3; (e f( = + 3 ; (f f( = (g f( = (5 + 3 /3 (h f( = + (i f( = sen + cos (j f( = sen ( cos(4 (k f( = cotg ( sen + tg (l f( = ln( cosec ( (m f( = e e 3 e (n f( = 3 4 e 4 (o f( = arc sen (e (p f( = arc sen ( (q f( = arc tg (e (r f( = [ tg + sen (] 3 (s f( = arc cos (ln (t f( = ln (u f( = ln( ln 3 Escreva uma equação das rectas tangente e normal ao ramo da parábola = no ponto de abcissa = 4 4 Determine os pontos da curva = 3 + onde a tangente é horizontal 5 Seja f : R R uma função derivável (a Sabendo que a recta tangente à curva de equação = f( em (4, 3 passa no ponto (,, determine f(4 e f (4 (b Sabendo que a recta normal à curva de equação = f( em (4, 3 passa no ponto (,, determine f(4 e f (4 6 Num dia de Verão, em Coimbra, o índice de poluição às 7 da manhã é de partes por milhão, aumentando a uma taa de 5 partes por milhão Supondo que o índice de poluição I varia em função da hora t (contada a partir das 7 da manhã segundo uma lei do tipo I(t = Mt + B: (a determine M e B; (b determine qual o índice de poluição às 6 da tarde

5 7 O movimento vibratório de uma partícula pode ser dado por (t = A sen (ωt, sendo A e ω constantes Para um determinado instante, relacione a aceleração da partícula com a sua posição 8 O valor do alcance de um projéctil lançado obliquamente, com um ângulo de lançamento α, é dado pela equação = g v sen α cos α Calcule o valor de α para o qual o alcance tem o valor máimo 9 De acordo com a lei do arrefecimento de Newton, a taa a que um corpo aquecido vai arrefecendo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do meio envolvente Determine, em função da temperatura do corpo T, a taa de variação referida 3 Numa reacção química, se uma molécula de produto C é produzida de uma molécula do reagente A e duma molécula do reagente B e as concentrações de A e B têm um valor igual a a mols/l, então a concentração de C, que denotamos por [C], é dada por [C] = a kt/(akt +, onde k é uma constante (a Encontre a taa de reacção no instante t (b Mostre que se = [C], então d dt = k(a (c O que acontece com a concentração e com a taa de reacção quando t +? (d O que significam os resultados da alínea anterior em termos práticos? 3 Um campo petrolífero tem 8 poços que produzem, em quantidades iguais, um total de 6 barris de petróleo por dia Para cada poço adicional perfurado, a produção média por poço decresce de barris diários Quantos poços adicionais devem ser abertos para maimizar a produção? Integral Indefinido 3 Sejam F e G primitivas de f e g, respectivamente É verdade que: (a F + G é uma primitiva de f + g? (b F G é uma primitiva de fg? (c F/G é uma primitiva de f/g? 33 Calcule as primitivas das funções indicadas: (a 3 4 (b cos 3 (c 7( 4 4 (d ln (e sen + sen (f (g e e (h 5 4 (i arc sen (j 8 3 (k (l 9 cos sen 4 (m 3 (n 5 3 (o sen + cos cos (p + 4 (q tg cos (r cos + sen (s e (t ( + 3 (u e tg cos (v ( + ln (w cosh (ln ( cos(4 sen 5 (4 ( 9 + (z e arc tg (5+ + ( Calcule, utilizando o método de primitivação por partes, as primitivas das funções reais de variável real definidas pelas seguintes epressões analíticas: (a ln(ln (b arc sen (c sen (d ( sen (e e (f e sen 3 (g sen (ln (h cos (i ln (j ln (k ln (l 5 (m e 3 ( + 3 (n arc tg ( e cos 8 (p arc tg (q sen ln( sen + (r e (s arc sen ( (t ln

6 35 Calcule as primitivas das funções reais de variável real definidas pelas seguintes epressões analíticas: (a cos 4 (b sen 3 (c sec 4 3 (d tg 3 (e sen cos (f sen cos 5 (g sen 3 3 cos (h cosec 3 (i cos cos 3 (j cotg 4 (k cos 5 sen (l sec 3 4 tg 4 (m cotg tg (n cosec 4 ( cosh 36 Primitive as funções racionais definidas pelas epressões seguintes: (a (b (c (d + 6 ( 3 ( (e 4 4 (f ( + ( + (g (h + 4 ( (i ( + ( + (j + ( 3 37 Calcule, utilizando o método de substituição, as primitivas das funções reais de variável real definidas pelas seguintes epressões: 3 (a (b + 9 (c 3 6( 3 (d (e + (f e 3 e (g cos sen (h cos cos (i + 4 (j 4 cos sen (k (l (m 4 4 (n 3 (o cos 3 sen 3 + sen 3 38 Calcule uma primitiva das funções reais de variável real definidas pelas seguintes epressões analíticas: (a e arc sen 4 (b 3 ln 3 (c ln ( ln (d cosec cotg (e e 4 (f ln ln(ln (g tg ( + 3 (h cosec (i ( + ln (j (4 + arc tg ( (k e arc tg + (l 6 6 (m sen cos (n e ( sen + (o arc tg (p + 3 ( + (q 4 (r e 3 (s sen ( cos( arc sen (t e 3 (u cos(ln (v (w ( 3 + ( tg 4 cos 4 ( 3 ln( Determine a primitiva F da função f que passa pelo ponto dado, em cada um dos seguintes casos: (a f( = sin, (, 3 (b f( =, (, 3 (c f( = cosh, (, 3 4 Determine uma função F tal que F ( =, F ( = 3 e F ( = 4 Determine uma função g tal que g ( g( = e3 e lim g( = + e6 + 4 Para cada uma das funções definidas em R pelas epressões obtenha, se possível, (a a primitiva que se anula em = ; cos( 4 e + 4 (b a primitiva que tende para quando tende para + ; Se para algum caso for impossível obter uma primitiva que verifique a condição requerida, eplique a razão dessa impossibilidade

7 43 A taa de variação da temperatura T de uma solução de hidrocarbonetos é dada por t - tempo em minutos T - medida em graus Celsius dt dt = t3 + 4 Se a temperatura é 5 o C para t =, obtenha uma fórmula para T em função de t Integral definido 44 Prove, por definição, que a função f : [, ] R, definida por f( = +, é integrável e calcule o seu integral 45 Em cada uma das alíneas seguintes, determine o valor do integral definido, identificando-o com uma área que indicará (a 3 ( + 6 d (b (7 3 d (c 3 9 d (d a a a d, a > 46 Calcule os seguintes integrais definidos (a d (b 3 d (c 3 cos d (d e d (e e t+et dt (f arc tg + d (g e ln d (h d (i (m d (j 3 sen d (k f( d, com f( = (n 6 e e + 3e + d (l cos d se < h( d, com h( = se < 4 + se 4 47 Determine o valor médio das funções nos intervalos indicados (a f( = 4, [, ] (b f( = sen, [, ] Aplicações do Cálculo integral 48 Calcule as áreas da região limitada pelas seguintes curvas: (a = 3, = 3 (b =, = 3, + = 3 (c =, eio das abcissas (e = sen, = cos, =, = 8 (d = 4 +, =, = (f = 4, =, =, = (g =, = 4 (h =, =, =, = 49 Determine a área das regiões planas definidas pelas seguintes condições: (a 3 (b ln e (c + ( (d ( + ( 6 + ( 5 Determine o comprimento dos seguintes arcos de curva: (a = 3 6 +, entre os pontos P (, 9 e Q(, 3 (b = e, entre os pontos P (, e Q(, e (c = 3, entre os pontos P (, e Q(4, 8 (d = 3 ( + 3/, 3 (e = ln(cos, 4

8 5 Mostre que o perímetro de uma circunferência de raio r é r 5 Determine o volume dos sólidos de revolução gerados pela rotação da região limitada por: (a = ln, =, =, =, em torno do eio dos (b = cos, = sen, = 4, =, em torno do eio dos (c =, =, =, = 4, em torno do eio dos (d = +, = 3, em torno do eio das ordenadas 53 Determine o volume dos sólidos de revolução gerados pelas regiões do plano limitadas pelas curvas (a = sen, =, =, = (b + = 9, = (c = e, =, =, = quando rodam em torno do eio dos ou em torno do eio dos 54 Calcule o volume de um cone de revolução de altura h e raio da base r 55 Calcule o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação da circunferência de raio e centro no ponto (,, em torno do eio dos Integrais impróprios 56 Indique quais dos seguintes símbolos representam um integral definido, quais representam um integral impróprio e quais não representam nem um integral definido nem um integral impróprio: (a (e ( + d; (b 4 d; (f d; (c 4 4 d; (g d; d; (d (h sen d; d; 57 Use a definição para determinar a natureza dos seguintes integrais impróprios e indique os seus valores no caso de convergência: (a (e d d (b (f + + d e cos d + (c (g 3 e d (d d (h (3 α 4 d ( α d 58 (a Mostre que o integral impróprio d é convergente + (b Esboce o gráfico da função f : R R definida por f( =, R e interprete o integral + impróprio da alínea anterior como o valor de uma área que identificará 59 Atribua, se possível, um valor à área da região R definida por: (a R = {(, R :, } (b R = {(, R :, } (c R = {(, R : <, } (d R = {(, R : <, 3 } (e R = {(, R : < 8, 3 } (f R = {(, R : <, } Integração numérica 6 Determine valores aproimados para o erro cometido em cada um dos casos e d, usando a Regra de Simpson Indique um limite para 6 Determine o menor número de pontos que deve considerar em [, ] para obter um valor aproimado de e d, com uma casa decimal correcta, usando a Regra dos Trapézios

9 6 Considere I = sen d (a Determine uma aproimação para o valor de I utilizando o método de Simpson com n = 4 (b Indique um majorante para o erro da aproimação obtida na alínea anterior 63 Seja I = e d (a Qual o menor número de pontos que deve considerar em [, ] por forma a que o erro cometido no cálculo aproimado do integral não eceda 5 3, quando se utiliza a Regra dos Trapézios (b Calcule o valor aproimado de I de acordo com a alínea anterior (c Repita (a e (b usando a Regra de Simpson 64 Use a Regra dos Trapézios com quatro subintervalos para obter uma aproimação de o erro máimo cometido na aproimação d Estime 65 Determine um valor aproimado do comprimento do arco de curva = uma casa decimal correcta, utilizando a Regra dos Trapézios entre = e =, com Raízes de Equações não Lineares 66 Localize graficamente e separe as raízes da equação cos e = sen, ], [ 67 (a Separe as raízes da equação = + sen (b Determine pelo método da bissecção uma aproimação para a menor raiz localizada com um erro que não eceda 5 68 (a Mostre que a equação 3 = tem uma e uma só raiz no intervalo [, ] (b Aplicando três vezes o Método da Bissecção, determine uma aproimação para essa raiz 69 Localize graficamente as raízes reais das equações seguintes e determine um valor aproimado de uma delas, com uma casa decimal correcta, utilizando o método de Newton (a ln = 3 3 (b e = 7 Considere a função f( = ln(4 (a Faça a localização das raízes reais de f( = (b Aplique o método de Newton, verificando as condições de convergência, para aproimar a raiz positiva da equação f( =, com um erro inferior a 7 Considere o método de Newton para aproimar a raiz [, ] da equação e 4 = (a Justifique que a equação dada tem uma única raiz no intervalo considerado (b Escolha uma aproimação inicial [, ] de modo a que fique assegurada a convergência do método de Newton (c Partindo de =, calcule 7 (a Localize graficamente a raiz positiva, r da equação e + = (b Obtenha um valor aproimado de r aplicando o método de Newton duas vezes (c Calcule a área da região do plano definida por e 73 Considere a região do plano definida por (a Determine um intervalo de amplitude não superior a, que contenha a maior abcissa, r, do ponto de intersecção das referidas curvas que limitam esta região (b Calcule um valor aproimado de r, com uma casa decimal correcta, usando o método de Newton (c Indique a epressão que lhe permite calcular a área da região acima definida

10 Departamento de Matemática da FCTUC Matemáticas Gerais I (/ Licenciatura em Geologia Mini-Atlas de funções Funções polinomiais Se a, a,, a n forem números reais, uma função polinomial tem a forma f : D R f( = a n + a n + + a n + a n Podemos tomar para D qualquer subconjunto de R Fracções racionais Sejam P ( e Q( dois polinómios As fracções racionais são funções do tipo f : D R f( = P ( Q( Podemos tomar para D qualquer subconjunto de R onde Q não se anule Funções irracionais Seja P ( um polinómio As funções irracionais são do tipo f : D R ( p q f( = P ( O seu maior domínio será R de q for ímpar e { R : P ( } se q for par Função eponencial Para todo o a > é possível definir a função eponencial de domínio R que a cada R associa a Quando a = e (número de Euler, sendo ( e = lim + n , n n temos a chamada função eponencial natural Função logarítmica Propriedades a + = a a, (a = a Logarítmo de base a: = log a a =, a >, a ; Logarítmo de base : = log = ; Logarítmo natural: = ln e = ln ( = ln + ln, Propriedades ( ln = ln ln, ln = ln ; log a = ln ln a (mudança de base Funções f( g( Por definição f( g( = e g( ln f(, onde e é o número de Euler Isto significa que f( g( só está ( definida se f( > Nalguns casos particulares p, que não eijam esta definição, como é o caso de f( p/q q = f( o domínio pode ser alargado

11 Funções trigonométricas directas Fórmulas fundamentais cos + sen =, cos = sen ( + Outras funções trigonométricas tg = sen cos, cotg = cos sen, sec = cos, cosec = sen Outras fórmulas importantes sen = cos (, cos = + cos ( ; + tg = sec, + cotg = cosec ; sen ( ± = sen cos ± sen cos ; cos ( ± = cos cos sen sen ; tg ( ± = tg ± tg tg tg ; sen cos = ( sen ( + + sen ( ; sen sen = (cos ( cos ( + ; cos cos = (cos ( + + cos ( = sen 3 3 = cos 3 3 = tg 3 3 = cotg 3 3

12 = sec = cos 3 3 = cosec = sen 3 3 Funções trigonométricas inversas = arc sen sen =, ; = arc cos cos =, ; = arc tg tg =, < < ; = arc cotg cotg =, < < ; = arc sec sec =, < < ; = arc cosec cosec =, < < Principais fórmulas arc tg = arc sen ( + = arc cosec ( + ; arc tg + arc cotg + arc sen + arc cos = arc cosec + arc sec = = sen = arc sen = cos = arc cos

13 = tg = arc tg = cotg = arc cotg = sec = arc sec = cosec = arc cosec Funções hiperbólicas directas Certas combinações das funções eponenciais e e e surgem frequentemente em matemática e suas aplicações e por isso merecem nomes especiais Essas funções são análogas às funções trigonométricas e têm a mesma relação com a hipérbole que as funções trigonométricas com o círculo Por essa razão são chamadas funções hiperbólicas senh = e e, cosh = e + e A aplicação mais famosa das funções hiperbólicas é o uso do cosseno hiperbólico para descrever a forma de um cabo fleível pesado suspenso entre dois pontos à mesma altura, como, por eemplo, uma linha telefónica ou eléctrica Prova-se que a forma desse cabo é a curva com equação = c+d cosh (/a, chamada catenária Fórmula fundamental cosh senh =

14 Outras funções hiperbólicas tgh = senh cosh, cosh cotgh = senh, sech = cosh, cosech = senh Outras fórmulas importantes senh ( ± = senh cosh ± senh cosh ; cosh ( ± = cosh cosh ± senh senh ; tgh ( ± = tgh ± tgh ± tgh tgh = cosh = senh = e = e = e = e = tgh = cotgh = sech = cosech Em Cálculo, volume, R Larson, R P Hostetler e B H Edwards, McGraw-Hill Interamericana do Brasil, 6, podem encontrar mais informações sobre estas e outras funções

15 Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Matemáticas Gerais (Geologia /3 DERIVADAS TABELA u = f(, v = g(, k constante real Função Derivada k Função arc sen u Derivada u u + kv + kv arc cos u u uv v + v u u v v v u v arc tg u + u u k ku k e u e u arc cotg u u + u k u k u log k (k > u v u v v log u + vu v arc sec u u u ln u log k u u log k u sen u (cos u (k > cos u (sen u arc cosec u u u sh u (ch u ch u (sh u tg u (sec u cotg u (cosec u tgh u (sech u = u ch u sec u (sec u tg u arg sh u + u cosec u (cosec u cotg u arg ch u u arg tgh u u

16 Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Matemáticas Gerais (Licenciatura em Geologia /3 PRIMITIVAS TABELA f = u(, a e m constantes reais, C constante real (arbitrária de primitivação Função a Primitiva a + C f m f f m+ + C (m IR\{} m + f f a f f f senf f cos f ln f + C a f ln a + C, (a IR+ \{} cos f + C senf + C Função f shf f chf f th f f coth f f sech f Primitiva chf + C shf + C ln chf + C ln shf + C th f + C f tg f ln cos f + C f cosech f coth f + C f cotg f f sec f ln senf + C ln sec f + tg f + C f sechf th f sechf + C f cosec f ln cosec f cotg f + C f cosechf coth f cosechf + C f sec f f cosec f tg f + C cotg f + C f + f argshf + C f sec f tg f f cosec f cotg f f f sec f + C cosec f + C arcsenf + C ou arc cosf + C f + f arctg f + C ou -arccotg f + C f f f arcsecf + C ou arccosecf + C f f argchf + C f f argth f + C, se f( ], [ ou argcoth f + C, se f( > f f f f f + f -argsechf + C argcosechf + C

17 Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Matemáticas Gerais (Licenciatura em Geologia /3 REGRAS DE PRIMITIVAÇÃO TABELA 3 Potências de funções trigonométricas e hiperbólicas (a Potências ímpares de sen, cos, sh e ch Destaca-se uma unidade à potência ímpar e o factor resultante passa-se à co-função usando (b Potências pares de sen, cos, sh e ch Passa-se ao arco duplo usando cos + sen = ; ch sh = sen = [cos(]; cos = [+cos(]; sh = [ch(]; ch = [ch(+] (c Potências pares e ímpares de tg, cotg, tgh e cotgh Destaca-se tg ou cotg ou tgh ou cotgh e aplica-se uma das fórmulas tg = sec ; cotg = cosec ; tgh = sech ; cotgh = + cosech (d Potências pares de sec, cosec, sech e cosech Destaca-se sec ou cosec ou sech ou cosech e aplica-se uma das fórmulas sec = + tg ; cosec = + cotg ; sech = tgh ; cosech = cotgh (e Potências ímpares de sec, cosec, sech e cosech Destaca-se sec ou cosec ou sech ou cosech e primitiva-se, por partes, começando por esse factor Produtos de potências das funções sen e cos (ou sh e ch (a Potência ímpar de sen (ou sh por qualquer potência de cos (ou ch Destaca-se sen (ou sh e passa-se o factor resultante para a co-função usando sen = cos ; sh = ch (b Potência ímpar de cos (ou ch por qualquer potência de sen (ou sh Destaca-se cos (ou ch e passa-se o factor resultante para a co-função usando cos = sen ; ch = + sh (c Potência par de sen (ou sh por potência par de cos (ou ch Aplicam-se as fórmulas referidas em b e ainda sen( = sen cos ; sh( = sh ch 3 Produtos envolvendo factores do tipo sen(m e cos(n (ou sh(m e ch(n Aplicam-se as fórmulas sen sen = [cos( cos( + ]; sh sh = [ch( + ch( ]; cos cos = [cos( + + cos( ]; ch sen cos = [sen( + + sen( ]; sh ch = [ch( + + ch( ]; ch = [sh( + + sh( ]

18 Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Matemáticas Gerais (Licenciatura em Geologia /3 PRIMITIVAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TABELA 4 Na tabela seguinte, a, b, c e d são constantes reais e m, n, p, q, r e s são números inteiros R ( indica que se trata de funções racionais dos argumentos que se encontram entre parêntesis Tipo de Função Substituição ( + a, k IN, k > = a tg t k P ( (a + b + c k, k IN, k >, b 4ac <, com o grau do polinómio P ( inferior a k P ( (( p + q, k IN, k >, k com o grau do polinómio P ( inferior a k a + b = t = p + qt m (a + b n p q, com m+ n ZZ a + b n = t q m (a + b n p q, com m+ n + p q ZZ a + bn = n t q R (a r, a s,, a > a m = t, com m = mdc(r, s, R (, ( p a + b c + d R (log a q, ( a + b c + d r s, t = log a a + b c + d = tm, com m = mmc(q, s, R (, (a + b p q, (a + b r s, a + b = t m, com m = mmc(q, s, R (, a b R (, a + b R (, b a R (,, a b R (,, a + b R (,, b a R (, a + b + c, com a > R (, a + b + c, com c > = a b sen t ou = a b cos t ou = a b tgh t = a b tg t ou = a b sh t = a b sec t ou = a b ch t = a b sen t ou = a b cos t = a b tg t = a b sec t a + b + c = a + t a + b + c = c + t

19 Tipo de Função R (, a + b + c, com a + b + c = a( r ( r R (sen, cos, com R (sen, cos = R (sen, cos R (sen, cos, com R (sen, cos = R (sen, cos Substitução a + b + c = ( r t ou a + b + c = ( r t cos = t sen = t R (sen, cos, tg = t, logo, para ], [, t com R (sen, cos = R (sen, cos sen = e cos = + t + t R (sen, cos, nos restantes casos (e até nos anteriores R (sen (m, cos (m R (e, sh, ch R (sh, ch, com R (sh, ch = R (sh, ch R (sh, ch, com R (sh, ch = R (sh, ch R (sh, ch, com R (sh, ch = R (sh, ch tg ( = t logo, sen = t t e cos = + t + t m = t = log t ch = t sh = t ( tgh = t t logo, sh = e ch = t t R (sh, ch, nos restantes casos (e até nos anteriores R (sh (m, ch (m tgh ( = t logo, sh = t + t e ch = t t m = t

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