Novas Tecnologias no Ensino da Matemática

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1 UFF Novas Tecnologias no Ensino da Matemática 1 Novas Tecnologias no Ensino da Matemática Humberto José Bortolossi Lista 10 ATIVIDADE 1 O wxmaxima possui várias funções e constantes matemáticas já definidas. Na tabela (1) temos uma lista de símbolos mais usados com as respectivas representações e, na tabela (2), uma lista com as funções matemáticas mais conhecidas. Além do comando expand(...) (utilizado para expandir expressões), existem dois outros comandos muito úteis para se manipular expressões algébricas: ratsimp(...) e factor(...). O comando factor(...) é utilizado para fatorar polinômios. Quando aplicado a funções racionais, ele fatora o numerador e o denominador. Por exemplo, o comando factor(3*x^4 + 5*x^3-3*x - 1); devolverá a expressão algébrica (x +1) 2 (3 x 2 x 1). O comando ratsimp(...) é utilizado para simplificar fatores comuns em funções racionais, isto é, ele devolve uma expressão na forma numerador/denominador, onde o numerador e o denominador são polinômios relativamente primos com coeficientes inteiros. (%i1) f : (x^2-1)/(x - 1); (%o1) x2 1 x 1 (%i2) ratsimp(f); (%o2) x +1 Enquanto que ratsimp(...) é usado para simplificar funções racionais (isto é, funções cujo numerador e denominador são funções polinomiais), o comando trigsimp(...) éusado para simplificar expressões com funções trigonométricas.

2 UFF Novas Tecnologias no Ensino da Matemática 2 Símbolo Representação no wxmaxima números inteiros -47, 1, 2 números racionais 3/5, -1/3 representações decimais 1.0, 0.002,.35*10^(-45) verdadeiro, falso true, false π %pi e (base logarítmica natural) exp(1), %e 1 %i, (-1)^(1/2) infinity Tabela 1: Símbolos matemáticos no wxmaxima. Função Representação no wxmaxima x (raiz quadrada de x) sqrt(x) e x (exponencial) exp(x) ln x (logaritmo natural) log(x) x (módulo de x) abs(x) mínimo, máximo min, max seno, cosseno, tangente sin(x), cos(x), tan(x) secante, cossecante, cotangente sec(x), csc(x), cot(x) funções trigonométricas inversas asin(x), acos(x), atan(x) asec(x), acsc(x), acot(x) funções hiperbólicas sinh(x), cosh(x), tanh(x) sech(x), csch(x), coth(x) funções hiperbólicas inversas asinh(x), acosh(x), atanh(x) ( ) asech(x), acsch(x), acoth(x) n coeficiente binomial binomial(n, m) m Tabela 2: Funções matemáticas no wxmaxima.

3 UFF Novas Tecnologias no Ensino da Matemática 3 (%i3) f : cos(x)^2 + sin(x)^2; (%o3) sin(x) 2 +cos(x) 2 (%i4) trigsimp(f); (%o4) 1 Existe também um comando para expandir funções trigonométricas: trigexpand(...). (%i5) trigexpand(cos(a + b)); (%o5) cos(a)cos(b) sin(a)sin(b) (a) Sejam x =(a b)/(a + b), y =(b c)/(b + c) ez =(c a)/(c + a). Mostre que (1 + x) (1 + y) (1 + z) =(1 x) (1 y) (1 z). Dica: se você não conseguiu demonstrar a igualdade acima com papel e lápis, tente usar o wxmaxima! Defina x : (a - b)/(a + b), y : (b - c)/(b + c), z : (c - a)/(c + a), f : (1 + x)*(1 + y)*(1 + z), g : (1 - x)*(1 - y)*(1 - z) e, em seguida, compare ratsimp(f) com ratsimp(g). Se preferir, você também pode usar o comando ratsimp(f - g). (b) Mostre que se a, b e c são números diferentes de zero, distintos dois a dois e tais que a + b + c =0,então ( a b c + b c a + c ) ( b c + c a + a b ) =9. a b a b c (c) Seja f(n) =i n, onde i = 1en N. Calcule f(5), f(500) e f(587). Épossível estabelecer uma fórmula geral? Lembre-se que, no wxmaxima, i = 1érepresentado pela letra %i. ATIVIDADE 2 O wxmaxima, além de trabalhar simbolicamente com números inteiros, racionais e irracionais, também reconhece números representados através de sua expansão decimal! Para isto, basta usar o comando ev(...). (%i1) ev(sqrt(2),bfloat,fpprec:23); (%o1) b0 Cuidado: o último dígito pode estar arredondado!

4 UFF Novas Tecnologias no Ensino da Matemática 4 (%i2) ev(sqrt(2),bfloat,fpprec:24); (%o2) b0 Se você quiser que todos os cálculos sejam feitos com uma certa precisão, basta configurar a variável fpprec de acordo. Aproximações são então obtidas apenas com o uso do comando bfloat(...). (%i3) fpprec : 30; (%o3) 30 (%i4) x : bfloat(sqrt(2)); (%o4) b0 (%i5) y : bfloat(sqrt(3)); (%o5) b0 (%i6) x + y; (%o6) b0 Também épossível converter uma representação decimal para uma fração da forma p/q, com p e q 0 inteiros. (%i7) rationalize(0.25); (%o7) 1 4. Como rationalize(...) usa internamente a representação binária de números, o uso desta função pode dar um resultado diferente do que você esperaria! (%i8) rationalize(0.1); (%o8) (a) Use o wxmaxima para decidir quais dos números 19/6, 22/7e25/8melhor aproxima π. (b) Os números a = / e b = / são iguais? Tente descobrir uma resposta usando o comando bfloat(...) comumnúmero de dígitos adequado. (c) Verdadeiro ou falso? Se bfloat(a) = bfloat(b), então a = b? Justifique a sua resposta! (d) Qual número é maior? ou ? Como vocêresponderiaaestaperguntacom o wxmaxima? E usando apenas caneta e papel? (e) Use o wxmaxima para colocar os números 8 2, 1+sen(597) e ln(3) em ordem crescente. Justifique o seu procedimento!

5 UFF Novas Tecnologias no Ensino da Matemática 5 Envie a resposta do item (d) para o seguinte novas.tecnologias.no.ensino@gmail.com (note o ponto. entre as palavras). Use AE-18: potências como assunto (subject) deste . Só serão aceitos os s enviados até o dia 11/11/2009. ATIVIDADE 3 O wxmaxima possui um mecanismo que permite gerar muito facilmente uma seqüência (finita) de elementos definidos por alguma lei de formação. Este tipo de recurso émuito útil quando queremos gerar exemplos ou procurar contra-exemplos para certas afirmações matemáticas. Vamos acompanhar um exemplo. Primeiro, vamos reiniciar o sistema. (%i1) kill(all); (%o0) done O comando makelist(...) permite gerar uma seqüência finita de elementos. Sua sintaxe éaseguinte: makelist(f(n), n, a, z), onde f(n) é uma expressão que depende de n que, por sua vez, éumavariável que assume valores inteiros entre a e z. Vamos usar este comando para listar os 12 primeiros números ímpares. (%i1) makelist(2*n - 1, n, 1, 12); (%o1) [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23] Se combinarmos o comando makelist(...) com o comando primep(...), podemos identificar facilmente quais números entre 1 e 50 são primos. (%i2) makelist([n, primep(n)], n, 1, 50); (%o2) [[1,false],[2,true],[3,true],[4,false],[5,true],[6,false],[7,true],[8,false],[9,false],[10,false], [11,true],[12,false],[13,true],[14,false],[15,false],[16,false],[17,true],[18,false],[19,true], [20,false],[21,false],[22,false],[23,true],[24,false],[25,false],[26,false],[27,false],[28,false], [29,true],[30,false],[31,true],[32,false],[33,false],[34,false],[35,false],[36,false],[37,true], [38,false],[39,false],[40,false],[41,true],[42,false],[43,true],[44,false],[45,false],[46,false], [47,true],[48,false],[49,false],[50,false]] (a) Verdadeiro ou falso? 2 n 1éumnúmero primo para todo natural n>1. Justifique a sua resposta! (b) Verdadeiro ou falso? n 2 + n +41éumnúmero primo para todo n N. Justifique a sua resposta! (c) Verdadeiro ou falso? n 3 5 n +1não é divisível por 5 para todo natural n positivo. Justifique a sua resposta!

6 UFF Novas Tecnologias no Ensino da Matemática 6 (d) Verdadeiro ou falso? n 3 n+2 éumnúmero par para todo natural n positivo. Justifique a sua resposta! Envie a resposta do item (b) para o seguinte novas.tecnologias.no.ensino@gmail.com (note o ponto. entre as palavras). Use AE-19: sequências como assunto (subject) deste . Só serão aceitos os s enviados até o dia 11/11/2009. ATIVIDADE 4 Outra grande recurso do wxmaxima é o de resolver simbolicamente equações e sistemas de equações, sejam elas lineares ou não-lineares. Vamos acompanhar o exemplo a seguir. Como de costume, primeiro vamos reiniciar o sistema. (%i1) kill(all); (%o0) done É o comando solve(...) que permite calcular as soluções de equações e sistemas de equações. Por exemplo, o comando abaixo encontra as soluções da equação quadrática x 2 5 x +6=0. (%i1) solve(x^2-5*x + 6 = 0, x); (%o1) [x=3,x=2] O wxmaxima também consegue resolver equações cujos coeficientes são parâmetros. (%i2) solve(a*x^2 + b*x + c = 0, x); b2 4 ac+ b b2 4 ac+ b (%o2) [x =,x= ] 2 2 As soluções incluem números complexos, como mostra o próximo comando, que calcula todas as raízes quartas da unidade. (%i2) solve(x^4 = 1, x); (%o2) [x=%i,x=-1,x=-%i,x=1] Você pode combinar o comando bfloat(...) com o comando solve(...) para obter aproximações das soluções de uma equação.

7 UFF Novas Tecnologias no Ensino da Matemática 7 (%i3) bfloat(solve(x^5 = 1, x)); (%o3) [x= b-1*%i b-1, x= b-1*%i b-1, x= b-1*%i b-1, x= b b-1*%i,x=1.0b0] Lembre-se que o símbolo %i é usado, pelo wxmaxima, para representar o número imaginário i = 1. Soluções de sistemas de equações também são calculadas com o comando solve(...). (%i4) solve([x + y + z = 1, x - y + z = 3, 2*x - y + 3*z = 1], [x, y, z]); (%o4) [[x=6,y=-1,z=-4]] (a) Use o wxmaxima para encontrar as três soluções da equação cúbica 42 x 3 71 x x +3=0 (b) Todo mundo conhece a fórmula de Báskara, que encontra todas as raízes de uma equação quadrática em termos das operações aritméticas usuais e extração de radicais, mas poucos conhecem a fórmula de Cardano, que permite calcular todas as raízes de uma equação cúbica (sem ter que chutar uma raiz). Use o comando solve(...) do wx- Maxima para ver a fórmula de Cardano. A fórmula pode ser longa e pode ter pouco uso prático para cálculos àmão, mas éfantástico que tal fórmula exista! (c) Menos conhecida ainda éafórmula que permite calcular, em termos das operações aritméticas usuais e extração de radicais, todas as raízes de uma equação quártica! Use o comando solve(...) do wxmaxima para ver esta fórmula (a fórmula é gigantesca!). Eequações quínticas? Equações sextas? O matemático Niels Henrik Abel ( ) mostrou que não existe uma fórmula geral, em termos das operações aritméticas usuais e extração de radicais, para equações polinomiais de grau 5.

8 UFF Novas Tecnologias no Ensino da Matemática 8 Envie as respostas do itens (a) e (b) para o seguinte novas.tecnologias.no.ensino@gmail.com (note o ponto. entre as palavras). Use AE-20: resolvendo equações como assunto (subject) deste . Sóserão aceitos os s enviados até o dia 11/11/2009.

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