2. Computação algébrica usando Maxima

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1 2. Computação algébrica usando Maxima 2.1 A interface do Maxima Existem várias interfaces diferentes para trabalhar com Maxima. Algumas delas podem estar incorporadas dentro de um editor de texto e a representação das equações no écran pode ter um aspecto gráfico simplista ou mais sofisticado em diferentes interfaces. Neste documento vamos admitir que se está a usar a interface xmaxima, versão (figura 2.1), que é a que normalmente aparece por omissão e funciona igual em diferentes plataformas. 2.2 Entrada e saída Para lançar a interface, existirá provavelmente no seu menu uma opção xmaxima ou simplesmente maxima ; desde um terminal tipo Unix pode usar o comando xmaxima. A interface de xmaxima reconhece-se por ter uma barra de menu com sub-menus File, Edit, Options, Maxima e Help (ver figura 2.1). Sugiro que antes de começar a trabalhar entre no sub-menu Options e seleccione a opção Toggle Browser Visibility ; enquanto não estiver a ler o tutorial ou o manual, pode aproveitar a área completa da janela para introduzir comandos do Maxima. Se algum momento seleccionar Maxima Help, deverá lembrar-se de fazer aparecer novamente o browser para poder consultar a ajuda. Uma outra opção que me parece muito útil é Plot Windows ; aconselho seleccionar Separate para que quando seja criado um gráfico apareça numa janela separada. Quando se inicia uma sessão do maxima, aparece um símbolo (C1) seguido do prompt. Os símbolos C1, C2, C3,... representam os comandos in- 6 Física dos Sistemas Dinâmicos

2 Figura 2.1: Xmaxima, versão seridos pelo utilizador; e as respostas obtidas a cada comando representam-se por D1, D2, D3,.... Começemos por exemplo por fazer umas contas simples, 2, 5 3, 1 + 5, 2 log(2), guardando o resultado numa variável res: (C1) 2.5*3.1; (D1) 7.75 (C2) (D2) 5.2*log(2); 5.2 log 2 (C3) D2, numer; Computação algébrica usando Maxima 7

3 (D3) (C4) res: d1 + D3; (D4) Podiamos ter feito tudo numa linha só sem ter que o fazer por partes. Repare que cada comando deve ser finalizado com ;. Se não for assim, não aparecerá o resultado (D1) pois Maxima pensará que estamos a escrever um comando de várias linhas. Os números irracionais, como log(2) não são calculados como um número decimal, pois Maxima trabalha com a maior precisão numérica possível. Para forçar log(2) a dar um número decimal, usamos a D2, numer na alínea C3, que significa o valor numérico do resultado D2. Na alínea C4 repare que para dar um valor a uma variável usa-se : e não =, que será utilizado para outros fins. 2.3 Variáveis O nome das variáveis poderá ser qualquer combinação de letras, números e os símbolos % e. O primeiro caracter no nome da variável não pode ser um número. Maxima não faz distinção entre maiúsculas e minúsculas. Alguns exemplos: (C5) x1 : 2; (D5) 2 (C6) area : 5$ (C7) %d_23 : 8; (D7) 8 8 Física dos Sistemas Dinâmicos

4 (C8) (D8) a%2 : (x1 : x1 + 2, x1*x1); 16 Na alínea C6 usámos $ em vez de ponto e vírgula para terminar o comando. O $ no fim faz com que o comando seja executado, mas o resultado não seja apresentado na interface. Na alínea C8 foi escrita uma sequência de comandos, entre parêntesis e separados por coma; os comandos são executados em sequência, e o resultado é armazenado na variável a%2; o primeiro comando na sequência incrementa o valor de x1 em 2, e logo calcula o quadrado de x1. Alguns nomes de variáveis não podem ser usados por estarem reservados. Já vimos que os nomes Cn e Dn, onde n é um inteiro positivo, estão reservados para referir os comandos inseridos numa sessão, e os resultados obtidos. Uma variável também não pode ter o mesmo nome de algum comando do Maxima; por exemplo FOR, WHILE e SUM. 2.4 Constantes Existem algumas constantes importantes já predefinidas em Maxima. Os seus nomes começam sempre por %. Três constantes importantes são o número π, representado por %pi, o número e, base dos logaritmos naturais, representado por %e, e o número imaginário i = 1, representado por %i. (C9) (D9) %pi, numer; (C10) (D10) %e, numer; Computação algébrica usando Maxima 9

5 (C11) (D11) (3 + %i*4) * (2 + %i*5), expand; 23i 14 No último comando calculámos o produto entre dois números complexos, utilizando o comando expand que obriga a que as expressões entre parêntesis sejam multiplicadas. 2.5 Equações O sinal de igualdade é usado para equações matemáticas. Uma equação matemática pode ser memorizada numa variável. Exemplo 2.1 Encontre as soluções da equação cúbica 3x 3 + 5x 2 x + 6 = 0. (C12) eq1: 3*x^3 + 5*x^2 -x + 6 = 0; (D12) 3x 3 + 5x 2 x + 6 = 0 x = (C13) (D13) x = solve(eq1, x); ( 3i ) ( ) 1 3 ( ) 1 ( ) 3i x = + ( ) 1 ( ) 3i , ( 34 ) 3i ( ( ) ( ) ) , 10 Física dos Sistemas Dinâmicos

6 3x 3 + 5x 2 - x x Figura 2.2: Gráfico do polinómio 3x 3 + 5x 2 x + 6. O comando solve foi usado para resolver a equação para a variável x. O resultado é uma lista com três elementos; cada um desses 3 elementos é uma equação que define uma das soluções da equação. Há duas raízes complexas e uma raiz real. Se quisermos isolar a raiz real, podemos usar o comando part; a raiz real é a terceira parte da lista anterior, e dentro dessa terceira parte queremos isolar o lado direito da equação (segunda parte): (C14) (D14) part(%, 3, 2), numer; A figura 2.2 mostra o gráfico do polinómio, obtido com os comandos: (C15) pol: 3*x^3-5*x^2 - x + 6; (D15) 3x 3 5x 2 x + 6 Computação algébrica usando Maxima 11

7 (C16) "plot2d(pol, [x, -3, 1])"$ Exemplo 2.2 Calcule a corrente em cada uma das resistências do circuito. 5 kω 6 V 4 V 8 kω 4 kω 2 kω 1 kω Admitindo que I 1 e I 2 são as correntes de malha, medidas em mili amperes, em sentido dos ponteiros do relógio, as equações das duas malhas no circuito são (C17) malha1: (4 + 8)*I1-8* I2 = 6 + 4; (D17) 12I1 8I2 = 10 (C18) malha2: ( )*I2-8*I1 = -4; (D18) 16I2 8I1 = 4 podemos usar mais uma vez o comando solve para resolver o sistema de duas equações; as duas equações e as duas variáveis a calcular deverão ser incluídas dentro de uma lista: (C19) (D19) solve([malha1, malha2], [I1, I2]); [[ I1 = 1, I2 = 1 ]] 4 12 Física dos Sistemas Dinâmicos

8 A corrente na resistência de 4 kω é I 1 = 1 ma, a corrente nas resistências de 2 kω, 5 kω e 1 kω é I 2 = 0, 15 ma, e a corrente na resistência de 8 kω é igual a I 1 I 2 = 0, 75 ma. Observe que a resolução do sistema de equações mostra os valores para I1 e I2, mas não guarda nenhum valor nas variáveis I1 e I2. O sistema anterior também poderia ter sido resolvido mais rapidamente com linsolve, em vez de solve, por tratar-se de um sistema de equações lineares. 2.6 Funções Para definir funções usa-se o símbolo := (C20) (D20) f(x) := 3 + x^2; f (x) := 3 + x 2 (C21) (D21) f(5); 28 (C22) g(x,y,z) := x*y^2 + z; (D22) g (x, y, z) := xy 2 + z (C23) (D23) g(2,3,4); 22 Também existem funções que definem listas. Por exemplo (C24) (D24) cubo[n] := n^3; cubo n := n 3 Computação algébrica usando Maxima 13

9 (C25) makelist(cubo[i], i, 1, 8); (D25) [1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512] o comando makelist foi usado para criar uma lista com os oito primeiros cubos. Há que ter algum cuidado com as funções que definem listas, pois quando um determinado elemento da lista já tem sido calculado, a função não voltará a ser usada para o calcular. Por exemplo, se agora redefinirmos cubo (C26) (D26) cubo[n] := 4*n^3; cubo n := 4n 3 e pedissemos o valor de cubo[3] continuará a ser 27, e não 108, já que quando criamos a lista dos oito primeiros cubos já foi calculado cubo, ficando com o valor 27. Se quisermos redefinir uma lista, será melhor primeiro apagá-la usando kill (C27) (D27) cubo[n] := 4*n^3; cubo n := 4n 3 (C28) (D28) cubo[3]; 27 (C29) (D29) kill(cubo); DONE (C30) (D30) cubo[n] := 4*n^3; cubo n := 4n 3 14 Física dos Sistemas Dinâmicos

10 (C31) (D31) cubo[3]; 108 Exemplo 2.3 O banco empresta-nos 500, a uma taxa de juros de 5% anual, com prazo de 20 meses. Qual será a prestação mensal que temos que pagar? A taxa de juro mensal será (C32) J : 0.05/12$ Se M[n] for o montante em dívida no mês número n, este será igual a o montante que já tínhamos em dívida no mês anterior, mais os juros devidos neste período, menos o a prestação (P) paga neste mês: (C33) (D33) M[n] := expand(m[n-1] + J*M[n-1] - P); M n := EXPAND (M n 1 + JM n 1 P ) A função expand foi usada porque como P é uma variável desconhecida, Maxima deixa vários produtos indicados, tornando a expressão para M[n] complicada, a menos que os produtos em M[n-1] já tenham sido calculados. O nosso problema consiste em encontrar o valor de P que faz com que M[20] seja nula, começando com M[0]= 500, que é o valor inicialmente em dívida. (C34) M[0] : 500$ (C35) sol: solve(m[20] = 0, P); RAT replaced by 95631//176 = RAT replaced by //728 = (D35) [ P = ] Computação algébrica usando Maxima 15

11 (C36) (D36) part(sol, 1, 2), numer; A prestação mensal será de 26, Álgebra e trigonometria Maxima facilita a manipulação de expressões algébricas. Por exemplo, vamos expandir um polinómio: (C37) (D37) (x + 4*x^2*y + 2*y^2)^3; ( 2y 2 + 4x 2 y + x ) 3 (C38) (D38) expand(%); 8y 6 +48x 2 y 5 +96x 4 y 4 +12xy 4 +64x 6 y 3 +48x 3 y 3 +48x 5 y 2 +6x 2 y 2 +12x 4 y +x 3 Se quisermos agora substituir x por 1/(z 3), escrevemos (C39) (D39) %, x=1/(z-3); 12y 4 z y5 (z 3) 2 + 6y2 (z 3) y3 (z 3) (z 3) y4 (z 3) y (z 3) y 2 (z 3) y3 (z 3) 6 + 8y6 16 Física dos Sistemas Dinâmicos

12 e para reduzir tudo a um denominador comum usamos a função ratsimp (o resultado ocupa várias linhas e não vamos apresentá-lo) (C40) ratsimp(%)$ Podemos factorizar a expressão anterior, para obter um resultado mais simples (C41) (D41) factor(%); ( 2y 2 z 2 12y 2 z + z + 18y 2 + 4y 3 ) 3 (z 3) 6 A função trigexpand serve para expandir senos ou co-senos de somas ou diferenças de ângulos; trigreduc tenta expandir de forma que cada termo só tenha uma função seno ou co-seno. (C42) (D42) sin(u+v)*cos(u)^3; cos 3 u sin (v + u) (C43) (D43) trigexpand(%); cos 3 u (cos u sin v + sin u cos v) (C44) (D44) trigreduce(%); sin (v + 4u) + sin (v 2u) sin (v + 2u) + 3 sin v Passar informação entre sessões Para guardar o conteúdo de uma sessão em Xmaxima, existe a opção Save Console to File no menu Edit. Essa opção guarda toda a informação que Computação algébrica usando Maxima 17

13 apareceu no écran, incluindo os símbolos (Cn) e (Dn). Para gravar os comandos executados, numa forma que possa ser aproveitada em sessões posteriores, usase o comando stringout. Vejamos um exemplo 1 (C45) stringout("/home/villate/trig.mac", C41, D42)$ (C46) stringout("/home/villate/prestacao.mac", [31, 35])$ (C47) stringout("/home/villate/capitulo2.mac", input)$ No ficheiro /home/villate/trig.mac fica armazenado: SIN(u+v)*COS(u)^3; COS(u)^3*(COS(u)*SIN(v)+SIN(u)*COS(v)); No ficheiro /home/villate/prestacao.mac ficam guardados os passos necessários (C31, C32,..., C35) para resolver o Exemplo 2.3 acima: J:0.05/12; M[n]:=EXPAND(M[n-1]+J*M[n-1]-P); M[0]:500; sol:solve(m[20] = 0,P); EV(PART(sol,1,2),NUMER); esses passos podem ser executados posteriormente por meio do comando (C48) batch("/home/villate/prestacao.mac")$ Finalmente, o ficheiro /home/villate/capitulo2.mac terá uma cópia de todos os comandos usados neste capítulo. O conteúdo desse ficheiro é texto simples, que pode ser modificado com um editor de texto e executado em Maxima com o comando batch. 1 Em Windows será preciso usar algo como C:\\MeusDocumentos\\trig.mac para os nomes dos ficheiros (com barras a dobrar). 18 Física dos Sistemas Dinâmicos

14 2.9 Problemas 1. A equação quadrática x 2 = x + 1 aparece frequentemente em problemas de dinâmica de sistemas. Essa equãção tem duas raízes reais, positiva e negativa. Usando Maxima, demonstre que a raiz positiva é o número φ = (em Maxima esse número é a constante %phi) e a raiz negativa é 1/φ. Use Maxima para demonstrar as propriedades: φ n+2 = φ n+1 + φ n 1 φ = φ 1 O número φ, designado de relação áurea, é conhecido desde a época dos gregos, e era considerada a relação geométrica perfeita para obter os melhores resultados estéticos. 2. Encontre a equação da circunferência que passa pelos pontos ( 2, 7), ( 4, 1) e (4, 5). Sugestão: Procure uma solução da forma: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 3. Desenhe o gráfico de cada uma das seguintes funções, usando intervalos que mostrem bem a forma das funções. y = x 3 5x 2 + 2x + 3, y = sin(x) x. y = 20 x 2, y = 3x2 + 2 x Defina um procedimento em maxima para calcular os números de Fibonacci, F n = 1, 1, 2, 3, 5, 8,..., definidos, para (n = 0, 1, 2, 3,...), por: F 0 = 1 F 1 = 1 F n = F n 1 + F n 2 Calcule a relação F n+1 /F n para alguns valores crescentes de n, e mostre que a relação aproxima-se do limite φ, onde φ é a relação áurea (problema 1). (A sucessão de Fibonacci foi proposta por Leonardo de Pisa, também conhecido por Filius Bonacci, no século XIII, para estudar o crescimento anual de uma população de coelhos). Computação algébrica usando Maxima 19

15 5. O gráfico da função y = x 3 6x 2 +7x+2 apresenta dois pontos extremos (designados de mínimo local e máximo local). Desenhe o gráfico dessa função e faça uma estimativa das coordenadas x e y desses dois pontos. Melhore a sua estimativa usando o comando subst (consulte o sistema de ajuda em linha) para encontrar os valores maior ou menor de y nessas vizinhanças. Sugestão: É útil primeiro definir uma expressão f: x^3-6*x^2 + 7*x + 2. Faça várias tentativas até conseguir melhorar o seu resultado. Pode sugerir algum outro método gráfico de obter uma melhor estimativa inicial para os valores do máximo e o mínimo local? 6. A nota final nesta disciplina é calculada udando a fórmula 0.3 F req + T rab ( F req) onde F req e T rab são as notas do trabalho feito nas aulas e o trabalho feito em casa, ambas entre 0 e 20 valores. Demonstre que a nota final será sempre maior o igual do que a nota do trabalho de casa. 20 Física dos Sistemas Dinâmicos