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1 Capacitores e Dielétricos (continuação) Energia armazenada num capacitor Um capacitor não armazena apenas carga, mas também energia. A energia armazenada num capacitor é igual ao trabalho necessário para carregá-lo com carga Q, estabelecendo uma diferença de potencial V entre as placas (dada por Q/C). Ou seja, a energia armazenada num capacitor é a energia potencial elétrica associada ao trabalho para carregá-lo. Para calcular a energia potencial elétrica U de um capacitor carregado precisamos calcular o trabalho W necessário para carregálo. Para calcular W, imaginemos um instante qualquer durante o processo de carregamento. Nesse instante intermediário, a carga no capacitor será q (0 < q < Q) e o potencial correspondente será v (0 < v < V). Como a capacitância do capacitor é constante, q e v estarão relacionados por = =. Para adicionar uma quantidade infinitesimal de carga dq nesse instante, o trabalho necessário será igual à variação na energia potencial elétrica 1

2 Temos, portanto, ==. = ou =. O trabalho total para carregar o capacitor com carga Q será então = = 1 = 2. (1) Este é o mesmo trabalho realizado pelo campo elétrico quando o capacitor é descarregado (q vai de Q a zero). Definindo a energia potencial de um capacitor como zero quando ele está descarregado, podemos escrever a energia potencial de um capacitor carregado com carga Q como Δ=(=) (=0)=(=)=, o que implica que, de (1): = 2. (2) Esta é a expressão para a energia armazenada em um capacitor carregado com carga Q. Note que, usando a relação Q = CV, a expressão acima pode ser reescrita de duas outras formas: = 1 2 = 2 (3) 2

3 e = 1 2 = 2. (4) As expressões (2), (3) e (4) são equivalentes e o uso de uma ou outra depende da escolha de qual par das três variáveis (Q, V e C) usar em função da conveniência. Note que a equação = 2 é formalmente similar à expressão para a energia potencial elástica de uma mola deformada por x (= x x 0 = x se x 0 = 0): = 2, onde k é a constante da mola (lembre-se de Física I). Podemos dizer que o capacitor carregado é o análogo elétrico de uma mola deformada (comprimida ou esticada). A carga Q é análoga à deformação da mola x e o inverso de C (1/C) é análogo à constante da mola k. A energia potencial elétrica fornecida a um capacitor quando ele é carregado é análoga à energia potencial elástica fornecida a uma mola quando ela é deformada. 3

4 Energia por unidade de volume Se um capacitor armazena energia, onde está essa energia? Como o trabalho feito para colocar uma carga positiva a mais na placa carregada positivamente vai contra o campo elétrico entre as placas, podemos dizer que a energia fica armazenada no campo elétrico entre as placas. Como esse campo elétrico ocupa certo volume no espaço (dependendo da geometria do capacitor), podemos concluir que deve haver uma densidade de energia por unidade de volume no espaço entre as placas do capacitor. Para tornar isso mais concreto, consideremos um capacitor de placas planas e paralelas. As áreas das placas são iguais a A e a separação entre elas é d. Portanto, o volume entre as placas é A d. Como a energia armazenada no capacitor é (equação 3) a densidade de energia é = = 1 2, Volume = 1 2. (5) 4

5 Vimos, na aula passada, que a capacitância de um capacitor de placas planas paralelas vale Substituindo em (5), =. = 1 2 =1 2. (6) Se a diferença de potencial entre as placas for V ab = V, a relação entre V e o campo elétrico E entre as placas é Substituindo em (6), V = Ed. = 1 2 = 1 2. (7) A densidade de energia armazenada no campo elétrico existente no vácuo entre as placas do capacitor é proporcional ao quadrado do módulo do campo elétrico. A relação de proporcionalidade entre a densidade de energia u e o quadrado do campo elétrico E 2 é válida para qualquer capacitor no vácuo. Na realidade, ela vale para qualquer configuração do campo elétrico no vácuo. 5

6 Portanto, mesmo que não haja matéria numa região do espaço (definição de vácuo), se houver campo elétrico nele haverá energia. Estude agora os exemplos 24.7, 24.8 e 24.9 do livro-texto (pgs ). Dielétricos Quando se coloca entre as placas de um capacitor um material isolante, ou dielétrico, a diferença de potencial entre as placas diminui (veja abaixo; note que o índice 0 é usado para indicar os valores no vácuo). Como as cargas armazenadas no capacitor são iguais nos dois casos, = = >1. A capacitância do capacitor com o dielétrico entre as placas é maior do que com o vácuo entre as placas: C > C 0. (8) Define-se a constante dielétrica K do material dielétrico como 6

7 =. (9) Note que K é um número puro (adimensional) maior que 1. O livro-texto (pg. 117, capítulo 24) dá uma tabela com valores de K a temperatura ambiente (20 o C) para alguns materiais. Note que K vácuo = 1 e que K ar = 1,00059, ou seja, a temperatura ambiente, do ponto de vista de aplicações práticas, um capacitor com ar entre as placas pode ser tratado como se houvesse vácuo entre elas. Quando a carga é constante, como no caso acima, podemos combinar a expressão C 0 V 0 = CV com a definição de K para escrever = =. (10) Quando o dielétrico é introduzido entre as placas do capacitor, a diferença de potencial entre as placas é reduzida por um fator K. Se o potencial é reduzido por um fator K, o campo elétrico entre as placas também é reduzido pelo mesmo fator: =. (11) Essa redução é devida às cargas induzidas pelo campo elétrico no interior do dielétrico (veja a figura abaixo). 7

8 A densidade de cargas sobre as placas do capacitor é σ (+σ sobre a placa carregada positivamente e σ sobre a placa carregada negativamente). O campo elétrico induz densidades de carga nas superfícies do dielétrico: σ i na superfície próxima à placa positiva e +σ i na superfície próxima à placa negativa. As densidades de carga induzidas no interior do dielétrico reduzem o campo elétrico entre as placas do capacitor. Note que o dielétrico estava neutro antes de ser inserido entre as placas e ele continua neutro depois de ser inserido. Houve apenas uma redistribuição das cargas no interior do dielétrico. Essa redistribuição é denominada de polarização. 8

9 Como visto nas aulas passadas, o campo elétrico entre as placas de um capacitor de placas planas e paralelas está relacionado à densidade superficial de cargas líquidas nos seus extremos por =. Quando existe vácuo entre as placas do capacitor, a densidade superficial de cargas líquida vale σ, de maneira que =. (12) Já quando existe um dielétrico entre as placas, a densidade líquida é reduzida para σ tot = σ σ i. Logo, Substituindo (12) e (13) em (11) temos: =. (13) = = =. (14) Podemos manipular esta expressão para obter uma equação para a densidade superficial de carga induzida no dielétrico: =1 1. (15) 9

10 Note que se K for muito grande, σ i σ. Neste caso, σ i praticamente cancela σ e o campo elétrico E e o potencial elétrico V ficam muito menores do que quando há vácuo entre as placas. Define-se a permissividade ε do dielétrico como =. (16) Em termos de ε, pode-se escrever o campo elétrico no interior do dielétrico como = = =. (17) Pode-se também reescrever a capacitância do capacitor de placas paralelas quando há um dielétrico entre as placas como = = =, (18) e a densidade de energia armazenada no capacitor quando existe um dielétrico entre as placas como = 1 2 = 1 2. (19) Estude agora os exemplos e do livro-texto (pgs. 118 e 119). 10

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