Aula 5: Capacitância. Curso de Física Geral III F-328 1º semestre, 2014 F328 1S2014 1

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1 Aula 5: Capacitância Curso de Física Geral III F-38 º semestre, 4 F38 S4

2 Capacitância Capacitores Dois condutores carregados com cargas Q e Q e isolados, de formatos arbitrários, formam o ue chamamos de um capacitor. A sua utilidade é armazenar energia potencial no campo elétrico por ele formado. F38 S4

3 História Garrafa de Leiden e bateria Quatro capacitores carregados formando uma Bateria. Esse sistema foi usado por Daniel Gralath para armazenar energia potencial no campo elétrico existente no interior dos capacitores Daniel Bernoulli, e Alessandro Volta, mediram a força entre placas de um capacitor, e Aepinus em 758 foi uem ue supôs ue era uma lei de inverso-de-uadrado. (Em Lei de Coulomb). Réplica do sistema de Gralath exitente no museu de Ciência da Cidade de Leiden (Holanda). F38 S4 3

4 Capacitância Capacitores O capacitor mais convencional é o de placas paralelas. Em geral, dá-se o nome de placas do capacitor (ou armaduras) aos condutores ue o compõem, independentemente das suas formas. Capacitor de placas paralelas Outros capacitores F38 S4 4

5 Capacitância Capacitores Como as placas do capacitor são condutoras, elas formam superfícies euipotenciais. A carga nas placas é proporcional à diferença de potencial entre elas, ou seja: Q CV onde C é a chamada capacitância do capacitor. Então: A constante C depende apenas da geometria do capacitor. No SI a capacitância é medida em farads (F). Importante: C Q V farad F coulomb/volt C/V µ farad 6 F ε 8,85 pf/m F38 S4 5,

6 Cálculo da Capacitância Esuema de cálculo Em geral, os capacitores ue usamos gozam de alguma simetria, o ue nos permite calcular o campo elétrico gerado em seu interior através da lei de Gauss: ϕ S E( r ) ˆndA int ε De posse do campo elétrico, podemos calcular a diferença de potencial entre as duas placas como: V V f V i rf E( r) dl E, finalmente, usamos o resultado anterior em, de onde podemos extrair C. r i Q CV F38 S4 6

7 Capacitância: Exemplos Capacitor de placas paralelas φ V f S E( r) nda ˆ V i ε int rf E( r) dl r CV i E ε A V Ed ε A C d Nota-se ue a capacitância é proporcional a um comprimento e só depende de fatores geométricos do capacitor. F38 S4 7

8 Capacitância: Exemplos Capacitor cilíndrico Φ V f S V i (L>> b) E da rf E( r) dl r i ε int Q CV E V C Q π ε Lr Q ln πε L L πε L superfície gaussiana b a L ln F38 S4 8 b a

9 Capacitância: Exemplos Capacitor esférico S φ V f S V E( r) nda ˆ i rf E( r) dl r i ε int E Q 4π ε r Q b a V 4πε ab Q CV C 4πε ab b a F38 S4 9

10 Capacitância: Exemplos Esfera isolada ( R a) C ab πε 4πε b a 4 b a a b E a b C 4πε Exemplo numérico: R m, a ε 8,85pF/m C, F F38 S4

11 Capacitância Carregando o capacitor Podemos carregar um capacitor ligando as suas placas a uma bateria ue estabelece uma diferença de potencial fixa, V, ao capacitor. Assim, em função de V Q CV, cargas Q e Q irão se acumular nas placas do capacitor estabelecendo entre elas uma diferença de potencial V ue se opõe à diferença de potencial da bateria e faz cessar o movimento de cargas no circuito. F38 S4

12 Associação de capacitores Associação de capacitores em paralelo CV, CV e 3 C3V ( C C C ) 3 3 V Como C e V C e C C C3 ou C e C i i F38 S4

13 Associação de capacitores Associação de capacitores em série CV, C V V V Como CV e V V 3 V : C e C C C ou C e C C C C e C 3 i i F38 S4 3

14 Energia armazenada no campo elétrico Um agente externo deve realizar trabalho para carregar um capacitor. Este trabalho fica armazenado sob a forma de energia potencial na região do campo elétrico entre as placas. d d l E Suponha ue haja e armazenadas nas placas de um capacitor. O trabalho para se deslocar uma carga elementar d de uma placa para a outra é então: dw V d d W dw d C C C U C CV F38 S4 4

15 Energia no capacitor Densidade de energia energia potencial u volume Em um capacitor de placas paralelas sabemos ue: ε A C d U u CV U Ad e V Ed εa d ε E E d (Apesar de a demonstração ter sido feita para o capacitor de placas paralelas, esta fórmula é sempre válida) F38 S4 5

16 Exercício: energia de uma esfera Considere um condutor esférico de raio R carregado com uma carga. Qual a energia total neste condutor? Duas interpretações: a) Energia potencial de um capacitor esférico de raio R: U C 4πε R C b) Integração da densidade de energia u: u ε E U E( r) ε E (r)4πr dr 8πε R 4πε r R c) Qual o raio R ue contém metade da energia total? R dr dr U( R ) U (...) (...) R r r R R R U R 8πε R F38 S4 R R 6

17 Uma nova visão de U a) Qual é o trabalho W necessário para aumentar em x a separação das placas? d A, ε o VAx E x - É a energia adicional ue apareceu no volume Ax, ue antes não existia. Então: W U u Ax ε E Ax Q E Axε QEx ε A E σ Q ε ε A b) Qual é a força de atração entre as placas? - Como W F x F QE F38 S4 7

18 Dielétricos Visão atômica Dielétricos são materiais isolantes ue podem ser polares ou não-polares. um dielétrico polar: molécula de água E σ E σ E E E E E E E E E E p dielétrico não-polar F38 S4 8

19 Dielétricos Capacitores com dielétricos Ao colocarmos um material dielétrico entre as placas de um capacitor, se V é mantido constante, a carga das placas aumenta; se Q é mantida constante, V diminui. Como Q CV, ambas as situações são compatíveis com o fato de ue o dielétrico entre as placas do capacitor faz a sua capacitância aumentar. Vimos: C ε L, onde L é uma função ue depende apenas da geometria e tem dimensão de comprimento. Então, na presença de um dielétrico preenchendo totalmente o capacitor: C d κε L κc, onde κ > No vácuo, κ F38 S4 9

20 Dielétricos Material Constante dielétrica Resistência Dielétrica (kv/mm) Ar ( atm),54 3 Poliestireno,6 4 Papel 3,5 6 Pirex 4,7 4 Porcelana 6,5 5,7 Silício Etanol 5 Água ( º ) 8,4 Água (5 º ) 78,5 F38 S4

21 Lei de Gauss com dielétricos (a): (b): E E ( r) nda ˆ ε ε A S E( r) nda ˆ E ε ε A S E κ E κεa ε A Em (b): E( r) nda ˆ κε Ou: S D( r ) nda ˆ, A onde D( r ) κε E( r ) é o vetor de deslocamento elétrico. Então, na lei de Gauss expressa com o vetor D, aparecem apenas as cargas livres (das placas). κ (b) (a) E E κ superfície gaussiana F38 S4 superfície gaussiana

22 Dielétricos: Exemplo Exemplo Capacitor de placas paralelas com A5 cm, d.4 cm, V 85.5 V, b.78 cm, κ.6. Calcule: a) C sem o dielétrico; b) a carga livre nas placas; c) o campo E entre as placas e o dielétrico; d) o campo E d no dielétrico; e) a ddp V entre as placas na presença do dielétrico; f) A capacitância C com o dielétrico. superfície gaussiana I superfície gaussiana II F38 S4

23 Lista de exercícios do Capítulo 5 Os exercícios sobre Lei de Gauss estão na página da disciplina : ( Consultar: Graduação Disciplinas F 38-Física Geral III Aulas gravadas: (Prof. Roversi) ou UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin) F38 S4 3

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