Potencial Elétrico. e dividindo-se pela carga de prova q 0 temos o campo elétrico E:

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1 Potencial Elétrico Quando estudamos campo elétrico nas aulas passadas, vimos que ele pode ser definido em termos da força elétrica F que uma carga q exerce sobre uma carga de prova q 0. Essa força é, pela lei de Coulomb, F = 1 4πε qq r r, e dividindo-se pela carga de prova q 0 temos o campo elétrico E: E = 1 4πε q r r. Note que a força elétrica é um conceito associado à carga que sente a força (q 0 ) e à carga (ou cargas) que produz (ou produzem) a força, q (ou q 1, q 2, etc). Já o campo elétrico é um conceito associado apenas à carga (ou cargas) que produz (ou produzem) o campo. O campo elétrico gerado por uma distribuição de cargas num dado ponto do espaço existe nesse ponto mesmo que não seja colocada nenhuma carga de prova nele. Da mesma forma, o conceito de energia potencial elétrica introduzido na aula passada está associado à carga de prova q 0 e às cargas que fazem forças sobre ela. A equação (10) da aula passada é: 1

2 Física III (teórica) FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 8 𝑞 𝑈= 4𝜋𝜀 𝑵 𝑞. (1) 𝑟 Assim como no caso do campo elétrico, podemos definir uma nova grandeza a partir de U que não dependa da carga de prova q0 (basta dividir por q0). Esta nova grandeza é chamada de potencial elétrico V: 1 𝑉= 4𝜋𝜀 𝑵 𝑞. (2) 𝑟 Podemos dizer então que uma distribuição de cargas gera num dado ponto do espaço P um potencial elétrico cujo valor é igual ao da energia potencial elétrica associada a essa distribuição de cargas e a uma carga de prova q0 colocada em P dividido por q0: 𝑉= 𝑈 ou 𝑈 = 𝑞 𝑉. (3) 𝑞 Pela equação acima, vemos que a unidade do potencial elétrico é J/C. Esta unidade é chamada de volt (símbolo V) em homenagem ao físico italiano Alessandro Volta ( ), inventor da primeira pilha elétrica. O potencial elétrico também pode ser definido em termos do trabalho para levar uma carga q0 de um ponto a a um ponto b (veja a figura abaixo). 2

3 Como U = q 0 V, ΔU = q 0 ΔV. Logo, e W = q ΔV Define-se: W q = V V = V V V ". (4) V a = potencial no ponto a e V b = potencial no ponto b; V ab = V a V b = potencial de a em relação a b. Pode-se usar (4) para definir V ab como o trabalho feito pela força elétrica quando uma carga unitária (q 0 = 1) se desloca de a para b. Potencial de uma carga puntiforme Quando há apenas uma carga puntiforme q no espaço, o potencial elétrico gerado por ela em um ponto a uma distância r do seu centro (veja abaixo) é, pela equação (2): 3

4 V r = 1 4πε q r. (5) Portanto, se q > 0, V > 0 em todos os pontos do espaço e, se q < 0, V < 0 em todos os pontos do espaço. Independentemente do sinal da carga q, quando r, V 0. Potencial de um conjunto de cargas Pelo princípio da superposição, o potencial elétrico gerado por um conjunto de cargas puntiformes em um dado ponto P do espaço (veja a figura abaixo) é dado pela soma dos potenciais gerados por cada carga individualmente: V = 1 q. (6) 4πε r 4

5 Se, ao invés de um conjunto de N cargas puntiformes, tivermos uma distribuição contínua de cargas (veja abaixo) o potencial elétrico será dado por: V = 1 4πε dq r. (7) Relação entre V e E Pela definição de trabalho, W = F dll = q E dll. Portanto, de (4) temos: V " = V V = W = E dll. (8) q 5

6 A equação (8) estabelece uma maneira de relacionar V e E: O potencial de a em relação a b é igual à integral de linha do campo elétrico E de a para b. Como a força elétrica é conservativa, essa integral independe da trajetória. De (8) temos que: Quando E dll > 0 V V > 0 V > V. (V diminui de a para b) Quando E dll < 0 V V < 0 V < V. (V cresce de a para b) Para entender melhor esta relação entre V e E, consideremos o caso de uma carga puntiforme. a) Carga puntiforme positiva: A integral dll = drr): E dll entre a e b é (note que E = E(r)r e 6

7 E dll = E r drr r = E r dr = 1 4πε dr r = 1 4πε 1 r 1 r. Como r a < r b, 1/r a > 1/r b e a integral é positiva. Isto quer dizer que V V > 0 ou V > V. O potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme positiva diminui quando nos afastamos da carga. Em outras palavras: O potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme positiva diminui quando nos movemos no mesmo sentido do campo elétrico. b) Carga puntiforme negativa: Neste caso, a integral E dll entre a e b é < 0 (mostre como exercício). Portanto: 7

8 V V < 0 ou V < V. O potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme negativa aumenta quando nos afastamos da carga. Em outras palavras: O potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme negativa diminui quando nos movemos no mesmo sentido do campo elétrico. Note que as conclusões obtidas para o que acontece com o potencial elétrico quando nos movimentamos no sentido do campo elétrico são as mesmas nos dois casos. Esta é uma regra geral que relaciona o potencial elétrico ao campo elétrico: O potencial elétrico V diminui quando o movimento se dá no mesmo sentido do campo elétrico E. 8

9 O potencial elétrico é uma grandeza tão importante em eletricidade que é costume medir outras grandezas em termos da unidade de V (volt). Por exemplo, costuma-se dar o valor do campo elétrico em volts/metro (V/m) ao invés de em newtons/coulomb (N/C): 1 V/m = 1 N/C. Como outro exemplo, costuma-se medir energia em termos da variação da energia potencial elétrica que um elétron sofre quando se move por uma diferença de potencial de um volt. Imagine uma situação como a ilustrada abaixo em que um elétron se move entre dois pontos a e b com uma diferença de potencial entre eles igual a 1 volt: O trabalho da força elétrica sobre o elétron é: W = ΔU. De (4), temos também que: W = q V V. 9

10 Combinando essas duas expressões: ΔU = q V V. Fazendo q 0 = e = 1, C e (V a V b ) = 1 V: ΔU = (1, C)(1 V) = 1, J. Esta quantidade é definida como elétron-volt (ev): 1 ev 1, J. (9) O elétron-volt é uma unidade de energia muito usada, principalmente em física de partículas elementares. Cálculo do potencial elétrico Em geral, há duas maneiras de se calcular o potencial elétrico: Quando se conhece a distribuição de cargas, usa-se a equação (6) ou a (7) para calcular V. Quando se conhece o campo elétrico, usa-se a equação (8) para calcular V. Neste caso, note que a equação dá V a V b e costuma-se escolher o ponto b como um ponto onde o potencial vale zero. Essa escolha é arbitrária e depende do problema. 10

11 Para ilustrar o segundo método, vamos calcular o potencial em um ponto a a uma distância r de uma carga puntiforme q (veja abaixo): De (8) temos: V " = V V = W = E dll q = E r dr. Neste caso, o potencial vale zero no infinito, portanto podemos fazer b =. Logo, V b = 0 e então: V V = V = O cálculo da integral nos dá: e então: E r dr = q 4πε dr r = q 4πε E r dr. V = V r = 1 4πε q r. 1 1 r = q 4πε 1 r, Este é o mesmo resultado que já tínhamos obtido anteriormente (equação 5), só que agora utilizamos o método da integral do campo elétrico. Estude os exemplos de 23.4 a 23.7 do livro de Young & Freedman indicado no Roteiro. 11

12 Superfícies equipotenciais Uma maneira conveniente de representar os potenciais elétricos em diversos pontos do espaço onde há um campo elétrico é pelo uso das chamadas superfícies equipotenciais. A ideia é a mesma das linhas de contorno dos mapas topográficos. As linhas de contorno em um mapa topográfico indicam pontos que estão à mesma altitude (veja a figura abaixo). Uma superfície equipotencial é uma superfície sobre a qual o potencial elétrico tem o mesmo valor. O potencial é constante sobre uma superfície equipotencial. 12

13 As figuras e do livro de Sears e Freedman mostram alguns exemplos de superfícies equipotenciais. Pode-se também ver muitos exemplos na internet (faça uma busca com as expressões superfície equipotencial ou equipotential surface no Google). Observe que as superfícies equipotenciais nunca se cruzam. Isto ocorre porque um ponto não pode ter dois valores diferentes de potencial. Quando uma carga elétrica q 0 se desloca sobre uma superfície equipotencial, a energia potencial elétrica U = q 0 V permanece constante. Como a energia potencial não varia ao longo de uma superfície equipotencial, o campo elétrico não realiza trabalho sobre a carga q 0 quando ele se move sobre essa superfície. Portanto, E deve ser perpendicular à superfície equipotencial em todos os seus pontos. As superfícies equipotenciais e os vetores campo elétrico são sempre mutuamente perpendiculares. Observe que as figuras e do livro de Young e Freedman também mostram as linhas de campo elétrico. Note que elas são sempre perpendiculares às superfícies equipotenciais. 13

14 A figura abaixo ilustra o caso de um campo uniforme no interior de duas placas condutoras planas e carregadas com mesma carga, mas de sinais diferentes. O campo elétrico no interior das placas é uniforme e perpendicular às placas. As superfícies equipotenciais são planos perpendiculares às linhas de campo (paralelas às placas). Vimos nos exercícios da aula 6 que o campo elétrico é perpendicular à superfície de um condutor em equilíbrio eletrostático. Portanto, no equilíbrio eletrostático a superfície de um condutor é uma superfície equipotencial. 14