Integrais Duplas e Coordenadas Polares. 3.1 Coordenadas Polares: Revisão

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Integrais Duplas e Coordenadas Polares. 3.1 Coordenadas Polares: Revisão"

Transcrição

1 Cálculo III Departamento de Matemática - ICEx - UFMG Marcelo Terra Cunha Integrais Duplas e Coordenadas Polares Nas primeiras aulas discutimos integrais duplas em algumas regiões bem adaptadas às coordenadas cartesianas. Seja pela região, seja pela função a ser integrada (ou até mesmo por uma questão de técnica de integração), há exemplos onde a integral dupla é mais bem adaptada a coordenadas polares. 3.1 Coordenadas Polares: Revisão Você deve se lembrar da idéia de usar coordenadas polares no plano. Com relação a uma origem fixada, deve-se dizer qual a distância e para qual direção se deve caminhar para atingir este ponto. A distância é dada pela coordenada radial r e a direção é dada fixando-se uma semi-reta e definindo um ângulo θ em relação a ela (por convenção medido no sentido anti-horário). Se usamos a mesma origem para coordenadas cartesianas e para coordenadas polares e como semi-reta de referência usamos a parte positiva do eixo x, temos a seguinte expressão para mudança de coordenadas: x = r cos θ, y = r sen θ. Exercício: Faça uma figura e use trigonometria para obter as fórmulas acima. 3. Intuição Geométrica do Elemento de Área Chamamos de retângulo polar a região determinada por duas semi-retas: θ = Θ 1 e θ = Θ e dois arcos de circunferência: r = R 1 e r = R. (Faça uma figura e se convença por que isso é um retângulo). Para calcular a área de um retângulo, primeiro devemos lembrar que um setor circular de raio R e ângulo Θ tem área A setor = πr Θ π = 1 R Θ. 1

2 O retângulo polar pode ser visto como a diferença de dois setores de mesmo ângulo e com raios distintos. Denotando R = R R 1 (considerando R > R 1 ) e Θ = Θ Θ 1, temos A ret = A setor A setor1 = 1 R Θ 1 R 1 Θ = (R + R 1 ) R Θ. O primeiro termo pode ser visto como um raio médio (a média aritmética dos raios interno e externo). Se passamos à situação idealizada onde os dois raios são muito próximos, teremos R 1 R R +R 1 e assim A = R R Θ. 3.3 Regiões entre Gráficos Polares Gráficos polares são curvas do plano que, em coordenadas polares, podem ser escritas na forma r = f (θ) (lembre que um gráfico (cartesiano) é da forma y = f (x)). As regiões mais bem adaptadas para fazermos a integral dupla em coordenadas polares são determinados por dois gráficos polares e duas semi-retas com θ constante. Assim, para cada valor fixo de θ em um intervalo [Θ 1, Θ ], os valores de r variarão entre um gráfico polar e o outro. Se denotarmos por ρ (θ) e σ (θ), com ρ σ, faremos a integral variando primeiramente r entre esses dois limites de integração e depois integraremos em θ. Definida a notação e com R = {(r, θ) R : Θ 1 θ Θ, ρ (θ) r σ (θ)}, tem-se a tradução de integrais duplas como integrais iteradas em coordenadas polares: R f (x, y) da = Θ σ(θ) Θ 1 ρ(θ) f (r cos θ, r sen θ) r dr dθ. A novidade mais importante nessa expressão é que o elemento de área, da, se escreve, em coordenadas polares, como r dr dθ. Com a discussão da secção 3. não deve haver surpresa com relação a esta expressão. Outro motivo para esperar uma expressão como esta é pensar em termos dimensionais: o elemento de área deve ter dimensão de área. Enquanto dr tem dimensão de comprimento, dθ representa um ângulo, e ângulos são adimensionais. Assim, r dθ é um comprimento, justificando novamente a expressão.

3 3.4 Recomendação Geral sobre Integrais Duplas Agora que já abordamos integrais duplas tanto em coordenadas cartesianas quanto polares, já podemos falar de algo geral, que irá nos acompanhar pela disciplina. É importante notar que há três ingredientes básicos em toda integral dupla: a função a ser integrada, a região de integração e o elemento de área trabalhado. A escolha de sistema de coordenadas a ser trabalhado, bem como da ordem de integração, depende destes três ingredientes. Feita a escolha, você deve escrever uma expressão em termos de integrais iteradas e depois resolvê-las, usando as técnicas aprendidas no cálculo I. Como você já deve ter aprendido pelos exercícios envolvendo mudança de ordem de integração, tais escolhas de ordem podem fazer muita diferença. Agora aparece uma alternativa a mais: mudar o sistema de coordenadas. 3.5 Um exemplo simples mas importante Para ilustrar tudo isso, digamos que queremos integrar a função f (x, y) = x + y no disco unitário (isso é, a região delimitada pela circunferência de raio 1 centrada na origem). Denotemos por D o disco. Há várias maneiras de se resolver esse exercício. Uma propriedade que pode (e deve) ser usada é a simetria: como tanto a região quanto a função são simétricas pelas trocas x x e y y, podemos integrar apenas no primeiro quadrante (uma fatia de pizza) e multiplicar por 4. Vamos denotar por Q este quarto de disco. Se você fosse resolver esse problema com coordenadas cartesianas, a ordem de integração não seria importante, e você poderia escrever D x + y da = 4 1 y x + y dx dy, e tentar resolver essa integral. Agora temos uma outra estratégia, mais bem adaptada. Para isso devemos reconhecer que esta mesma função é dada por f (r cos θ, r sen θ) = r e 3

4 que o quarto de disco é Q = { (r, θ) R : θ π, r 1} D π x + y da = 4 = 4 r 3 dr r r dr dθ π dθ = π. Há um detalhe na conta acima que você deve ter percebido: as integrais iteradas foram transformadas em um produto de integrais, uma em r e outra em θ. Esse é um expediente que facilita muitos cálculos, e sempre que possível deve ser utilizado. Ainda voltaremos a isso mais adiante. 3.6 Um exemplo surpreendente No curso de cálculo I você deve ter aprendido que não conseguimos escrever uma primitiva para a função e x em termos de funções elementares. Além disso, você deve lembrar que integrais impróprias são definidas como limite de integrais definidas (neste caso) com os limites de integração indo para (mais ou menos) infinito. Com isso, deveríamos guardar poucas esperanças de calcular a integral I = e x Vamos ver agora como as integrais duplas em coordenadas polares podem nos ajudar. Primeiro note que I = e x dx e y dy = e (x +y ) da. R Agora passaremos a integral dupla em questão para coordenadas polares, obtendo I = π e r dx. r dr dθ 4

5 que pode ser resolvida sem dificuldade: e, portanto, I = π. π I = dθ [ 1 = π r e r ] r e r r= dr = π 5

7 AULA. Curvas Polares LIVRO. META Estudar as curvas planas em coordenadas polares (Curvas Polares).

7 AULA. Curvas Polares LIVRO. META Estudar as curvas planas em coordenadas polares (Curvas Polares). 1 LIVRO Curvas Polares 7 AULA META Estudar as curvas planas em coordenadas polares (Curvas Polares). OBJETIVOS Estudar movimentos de partículas no plano. Cálculos com curvas planas em coordenadas polares.

Leia mais

MAT 2352 - Cálculo Diferencial e Integral II - 2 semestre de 2012 Registro das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado 13.11.

MAT 2352 - Cálculo Diferencial e Integral II - 2 semestre de 2012 Registro das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado 13.11. MT 2352 - Cálculo Diferencial e Integral II - 2 semestre de 2012 Registro das aulas e exercícios sugeridos - tualizado 13.11.2012 1. Segunda-feira, 30 de julho de 2012 presentação do curso. www.ime.usp.br/

Leia mais

Seno de 30 é um meio?

Seno de 30 é um meio? Seno de 30 é um meio? Adaptado do artigo de Renate Watanabe Acontecem fatos estranhos quando se ensina Trigonometria: Observe as tabelas abaixo, contendo alguns valores de duas funções f e g. x f(x) x

Leia mais

Lista 4. 2 de junho de 2014

Lista 4. 2 de junho de 2014 Lista 4 2 de junho de 24 Seção 5.. (a) Estime a área do gráfico de f(x) = cos x de x = até x = π/2 usando quatro retângulos aproximantes e extremidades direitas. Esboce os gráficos e os retângulos. Sua

Leia mais

Curvas em coordenadas polares

Curvas em coordenadas polares 1 Curvas em coordenadas polares As coordenadas polares nos dão uma maneira alternativa de localizar pontos no plano e são especialmente adequadas para expressar certas situações, como veremos a seguir.

Leia mais

Função Logarítmica Função Exponencial

Função Logarítmica Função Exponencial ROTEIRO DE ESTUDO MATEMÁTICA 2014 Aluno (a): nº 1ª Série Turma: Data: /10/2014. 3ª Etapa Professor: WELLINGTON SCHÜHLI DE CARVALHO Caro aluno, O objetivo desse roteiro é orientá-lo em relação aos conteúdos

Leia mais

Lista de Exercícios - Integrais

Lista de Exercícios - Integrais Lista de Exercícios - Integrais 4) Calcule as integrais indefinidas: 5) Calcule as integrais indefinidas: 1 6) Suponha f(x) uma função conhecida e que queiramos encontrar uma função F(x), tal que y = F(x)

Leia mais

Geometria Analítica e Vetorial - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici

Geometria Analítica e Vetorial - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici 8 C U RVA S 8.1 parametrização de curvas No Capítulo 3 estudamos as equações de uma reta no espaço e vimos que tal entidade geométrica pode ser representada pelas equações paramétricas: x r : z = a+v 1

Leia mais

Movimentos Periódicos: representação vetorial

Movimentos Periódicos: representação vetorial Aula 5 00 Movimentos Periódicos: representação vetorial A experiência mostra que uma das maneiras mais úteis de descrever o movimento harmônico simples é representando-o como uma projeção perpendicular

Leia mais

MA211 - Lista 09. Coordenadas Esféricas e Mudança de Variáveis 7 de outubro de 2015

MA211 - Lista 09. Coordenadas Esféricas e Mudança de Variáveis 7 de outubro de 2015 MA2 - Lista 9 Coordenadas sféricas e Mudança de Variáveis 7 de outubro de 25. Marque o ponto cujas coordenadas esféricas é (,, ) e encontre as coordenadas retangulares do ponto. 2. Mude o ponto (, 3, 2

Leia mais

NUMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

NUMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA NUMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA Na representação trigonométrica, um número complexo z = a + bi é determinado pelo módulo do vetor que o representa e pelo ângulo que faz com o semi-eixo positivo

Leia mais

A integral também é conhecida como antiderivada. Uma definição também conhecida para integral indefinida é:

A integral também é conhecida como antiderivada. Uma definição também conhecida para integral indefinida é: Integral Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. No cálculo, a integral de uma função foi criada para originalmente determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas

Leia mais

22 SÉCULOS A MEDIR ÁREA

22 SÉCULOS A MEDIR ÁREA SÉCULOS A MEDIR ÁREA MIGUEL ABREU E ANA CANNAS DA SILVA. O teorema favorito de Arquimedes Das geniais descobertas e invenções de Arquimedes (87- AC), conta-se que a sua favorita terá sido a de que a superfície

Leia mais

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar GAAL - 201/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar SOLUÇÕES Exercício 1: Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M = (5, 0, 2), N = (, 1, ) e P = (4,

Leia mais

Uma introdução ao estudo de funções multivariáveis

Uma introdução ao estudo de funções multivariáveis Uma introdução ao estudo de funções multivariáveis Universidade Federal do Amazonas Instituto de Educação, Agricultura e Ambiente Janeiro de 2014 Bem-vindo Este material trata da introdução ao estudo de

Leia mais

REPRESENTAÇÃO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS

REPRESENTAÇÃO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS REPRESENTAÇÃO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS Neste capítulo será apresentada uma prática ferramenta gráfica e matemática que permitirá e facilitará as operações algébricas necessárias à aplicação dos métodos

Leia mais

Se entregar em papel, por favor, prenda esta folha de rosto na sua solução desta lista, deixando-a em branco. Ela será usada na

Se entregar em papel, por favor, prenda esta folha de rosto na sua solução desta lista, deixando-a em branco. Ela será usada na Cálculo Multivariado Lista numero integração múltipla tarcisio.praciano@gmail.com T. Praciano-Pereira Dep. de Computação alun@: de março de 13 Univ. Estadual Vale do Aca Documento escrito com L A TEX -

Leia mais

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y).

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y). PUCRS FACULDADE DE ATEÁTICA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PROF. LUIZ EDUARDO OURIQUE EQUAÇÔES EXATAS E FATOR INTEGRANTE Definição. A diferencial de uma função de duas variáveis f(x,) é definida por df = f x (x,)dx

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLE CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire MARÇO / 2015 Sumário 1. Introdução... 5 2. Conjuntos...

Leia mais

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere um triângulo ABC, retângulo em  ( = 90 ), onde a é a medida da hipotenusa, b e c, são as medidas dos catetos e a, β são os ângulos

Leia mais

UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM042 - Cálculo II Prof. José Carlos Eidam. Lista 1. Curvas

UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM042 - Cálculo II Prof. José Carlos Eidam. Lista 1. Curvas UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM042 - Cálculo II Prof. José Carlos Eidam Lista 1 Curvas 1. Desenhe as imagens das seguintes curvas: (a) γ(t) = (1, t) (b) γ(t) = (cos

Leia mais

1 A Integral por Partes

1 A Integral por Partes Métodos de Integração Notas de aula relativas aos dias 14 e 16/01/2004 Já conhecemos as regras de derivação e o Teorema Fundamental do Cálculo. Este diz essencialmente que se f for uma função bem comportada,

Leia mais

Exercícios resolvidos P2

Exercícios resolvidos P2 Exercícios resolvidos P Questão 1 Dena as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente, por sinh(t) = et e t e cosh(t) = et + e t. (1) 1. Verique que estas funções satisfazem a seguinte

Leia mais

Cronograma da Disciplina Matemática Básica 2012/1

Cronograma da Disciplina Matemática Básica 2012/1 Cronograma da Disciplina Matemática Básica 2012/1 Período letivo do 1º semestre de 2012 para Matemática Básica De 30 de janeiro de 2012 a 01 de julho de 2012 1ª semana 30/01 a 05/02 Assunto: Números Naturais

Leia mais

Coordenadas Polares Mauri C. Nascimento Dep. De Matemática FC Unesp/Bauru

Coordenadas Polares Mauri C. Nascimento Dep. De Matemática FC Unesp/Bauru Coordenadas Polares Mauri C. Nascimento Dep. De Matemática FC Unesp/Bauru Dado um ponto P do plano, utilizando coordenadas cartesianas (retangulares), descrevemos sua localização no plano escrevendo P

Leia mais

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010. Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Leia mais

APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II z t t C C α y β y Colaboradores para elaboração da apostila: Elisandra Bär de Figueiredo, Enori Carelli, Ivanete Zuchi Siple, Marnei Luis Mandler, Rogério

Leia mais

6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D

6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D 6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D Até agora estudamos e implementamos um conjunto de ferramentas básicas que nos permitem modelar, ou representar objetos bi-dimensionais em um sistema também

Leia mais

A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y

A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y 5 Taxa de Variação Neste capítulo faremos uso da derivada para resolver certos tipos de problemas relacionados com algumas aplicações físicas e geométricas. Nessas aplicações nem sempre as funções envolvidas

Leia mais

3.4 Movimento ao longo de uma curva no espaço (terça parte)

3.4 Movimento ao longo de uma curva no espaço (terça parte) 3.4-41 3.4 Movimento ao longo de uma curva no espaço (terça parte) Antes de começar com a nova matéria, vamos considerar um problema sobre o material recentemente visto. Problema: (Projeção de uma trajetória

Leia mais

CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA. Departamento de Análise - IME UERJ

CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA. Departamento de Análise - IME UERJ CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA Departamento de Análise - IME UERJ 2 Copyright by Mauricio A. Vilches Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcial ou total 3

Leia mais

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é:

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é: Aluno(a) Nº. Ano: º do Ensino Médio Exercícios para a Recuperação de MATEMÁTICA - Professores: Escossi e Luciano NÚMEROS COMPLEXOS 1) Calculando-se corretamente as raízes da função f(x) = x + 4x + 5, encontram-se

Leia mais

FUVEST VESTIBULAR 2006. RESOLUÇÃO DA PROVA DA FASE 1. Por Professora Maria Antônia Conceição Gouveia. MATEMÁTICA

FUVEST VESTIBULAR 2006. RESOLUÇÃO DA PROVA DA FASE 1. Por Professora Maria Antônia Conceição Gouveia. MATEMÁTICA FUVEST VESTIBULAR 006. RESOLUÇÃO DA PROVA DA FASE 1. Por Professora Maria Antônia Conceição Gouveia. MATEMÁTICA 1. A partir de 64 cubos brancos, todos iguais, forma-se um novo cubo. A seguir, este novo

Leia mais

5910170 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 15

5910170 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 15 Ondas (continuação) Ondas propagando-se em uma dimensão Vamos agora estudar propagação de ondas. Vamos considerar o caso simples de ondas transversais propagando-se ao longo da direção x, como o caso de

Leia mais

UMA NOVA PROPOSTA PARA GEOMETRIA ANALÍTICA NO ENSINO MÉDIO

UMA NOVA PROPOSTA PARA GEOMETRIA ANALÍTICA NO ENSINO MÉDIO UMA NOVA PROPOSTA PARA GEOMETRIA ANALÍTICA NO ENSINO MÉDIO DANIELLA ASSEMANY DA GUIA CAp- UFRJ danyprof@bol.com.br 1.1. RESUMO Esta comunicação científica tem como objetivo tratar e apresentar a Geometria

Leia mais

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS GRUPO Educação adistância Caderno de Estudos EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Prof. Ruy Piehowiak Editora UNIASSELVI 2012 NEAD Copyright Editora UNIASSELVI 2012 Elaboração: Prof. Ruy Piehowiak Revisão, Diagramação

Leia mais

Prof. Rossini Bezerra Faculdade Boa Viagem

Prof. Rossini Bezerra Faculdade Boa Viagem Sistemas de Coordenadas Polares Prof. Rossini Bezerra Faculdade Boa Viagem Coordenadas Polares Dado um ponto P do plano, utilizando coordenadas cartesianas (retangulares), descrevemos sua localização no

Leia mais

a = 6 m + = a + 6 3 3a + m = 18 3 a m 3a 2m = 0 = 2 3 = 18 a = 6 m = 36 3a 2m = 0 a = 24 m = 36

a = 6 m + = a + 6 3 3a + m = 18 3 a m 3a 2m = 0 = 2 3 = 18 a = 6 m = 36 3a 2m = 0 a = 24 m = 36 MATEMÁTICA Se Amélia der R$ 3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$ 6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade

Leia mais

16 Comprimento e área do círculo

16 Comprimento e área do círculo A UA UL LA Comprimento e área do círculo Introdução Nesta aula vamos aprender um pouco mais sobre o círculo, que começou a ser estudado há aproximadamente 4000 anos. Os círculos fazem parte do seu dia-a-dia.

Leia mais

A A A A A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A A A A A MTEMÁTIC ViajeBem é uma empresa de aluguel de veículos de passeio que cobra uma tarifa diária de R$ 60,00 mais R$,50 por quilômetro percorrido, em carros de categoria. lucar é uma outra empresa que cobra

Leia mais

Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi. Parte 1 Versão 0.9. [Folha 1] Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi. Parte 1 Versão 0.9. [Folha 1] Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense [Folha 1] Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 1 Versão 0.9 Parte 1 Cálculo I -A- 1 Conteúdo do curso [Folha 2] Apresentação

Leia mais

Coordenadas Polares. Prof. Márcio Nascimento. marcio@matematicauva.org

Coordenadas Polares. Prof. Márcio Nascimento. marcio@matematicauva.org Coordenadas Polares Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Matemática

Leia mais

Capítulo 5: Aplicações da Derivada

Capítulo 5: Aplicações da Derivada Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f

Leia mais

Levantamento topográfico

Levantamento topográfico MA092 - Geometria plana e analítica - Segundo projeto Levantamento topográfico Francisco A. M. Gomes Outubro de 2014 1 Descrição do projeto Nessa atividade, vamos usar a lei dos senos e a lei dos cossenos

Leia mais

Notas para um curso de Cálculo 1 Duilio T. da Conceição

Notas para um curso de Cálculo 1 Duilio T. da Conceição Notas para um curso de Cálculo 1 Duilio T. da Conceição 1 2 Sumário 1 WOLFRAM ALPHA 5 1.1 Digitando Fórmulas e Expressões Matemáticas......... 6 1.1.1 Expoentes......................... 6 1.1.2 Multiplicação.......................

Leia mais

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul Resolução da Prova da Escola Naval 29. Matemática Prova Azul GABARITO D A 2 E 2 E B C 4 D 4 C 5 D 5 A 6 E 6 C 7 B 7 B 8 D 8 E 9 A 9 A C 2 B. Os 6 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA 5 0 Encontro da RPM TRANSFORMAÇÕES NO PLANO

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA 5 0 Encontro da RPM TRANSFORMAÇÕES NO PLANO UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA 5 0 Encontro da RPM TRANSFORMAÇÕES NO PLANO Jorge Costa do Nascimento Introdução Na produção desse texto utilizamos como fonte de pesquisa material

Leia mais

Elipses e Gravitação

Elipses e Gravitação Elipses e Gravitação Cássio dos Santos Sousa 6 de novembro de 2013 Sumário 1 Introdução 3 2 Definição 3 3 Nomenclaturas 3 4 Equação da elipse na forma cartesiana 4 5 Semi-latus rectum 5 6 Excentricidade

Leia mais

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 4. Questão 2. Questão 3. alternativa D. alternativa A. alternativa D. alternativa C

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 4. Questão 2. Questão 3. alternativa D. alternativa A. alternativa D. alternativa C Questão TIPO DE PROVA: A Se a circunferência de um círculo tiver o seu comprimento aumentado de 00%, a área do círculo ficará aumentada de: a) 00% d) 00% b) 400% e) 00% c) 50% Aumentando o comprimento

Leia mais

MÓDULO 29. Trigonometria I. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. Fórmulas do arco duplo: 1) sen (2a) = 2) cos (2a) =

MÓDULO 29. Trigonometria I. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. Fórmulas do arco duplo: 1) sen (2a) = 2) cos (2a) = Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA MÓDULO 9 Trigonometria I Resumo das principais fórmulas da trigonometria Arcos Notáveis: Fórmulas do arco duplo: ) sen (a) = ) cos (a) = 3)

Leia mais

e-mail: ederaldoazevedo@yahoo.com.br

e-mail: ederaldoazevedo@yahoo.com.br Assunto: Revisão Matemática Prof. Ederaldo Azevedo Aula 2 e-mail: ederaldoazevedo@yahoo.com.br Metro é uma unidade básica para representação de medidas de comprimento no Sistema Internacional(SI). Prefixos

Leia mais

1 SISTEMAS DE COORDENADAS

1 SISTEMAS DE COORDENADAS 1 SISTEMAS DE COORDENADAS 1.1 Objetivos do capítulo Aonaldestecapítulooalunodeverá: Representar pontos em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas; Representargracamentecurvasescritasemcoordenadaspolares;

Leia mais

1 Módulo ou norma de um vetor

1 Módulo ou norma de um vetor Álgebra Linear I - Aula 3-2005.2 Roteiro 1 Módulo ou norma de um vetor A norma ou módulo do vetor ū = (u 1, u 2, u 3 ) de R 3 é ū = u 2 1 + u2 2 + u2 3. Geometricamente a fórmula significa que o módulo

Leia mais

Assunto: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo. 1) Calcule o seno, o co-seno e a tangente dos ângulos indicados nas figuras:

Assunto: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo. 1) Calcule o seno, o co-seno e a tangente dos ângulos indicados nas figuras: Assunto: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo 1) Calcule o seno, o co-seno e a tangente dos ângulos indicados nas figuras: b) 15 5 α α 1 resp: sen α =/5 cos α = /5 tgα=/ resp: sen α = 17 cos α

Leia mais

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente

Leia mais

n! (n r)!r! P(A B) P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) P(A/B) = 1 q, 0 < q < 1

n! (n r)!r! P(A B) P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) P(A/B) = 1 q, 0 < q < 1 FORMULÁRIO DE MATEMÁTICA Análise Combinatória P n = n! = 1 n A n,r = Probabilidade P(A) = n! (n r)! número de resultados favoráveis a A número de resultados possíveis Progressões aritméticas a n = a 1

Leia mais

Vestibular 2ª Fase Resolução das Questões Discursivas

Vestibular 2ª Fase Resolução das Questões Discursivas COMISSÃO PERMANENTE DE SELEÇÃO COPESE PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO PROGRAD CONCURSO VESTIBULAR 010 Prova de Matemática Vestibular ª Fase Resolução das Questões Discursivas São apresentadas abaixo possíveis

Leia mais

Notas de aulas. André Arbex Hallack

Notas de aulas. André Arbex Hallack Cálculo I Notas de aulas André Arbex Hallack Julho/007 Índice 0 Preliminares 0. Números reais.................................... 0. Relação de ordem em IR.............................. 3 0.3 Valor absoluto....................................

Leia mais

TIPOS DE REFLEXÃO Regular Difusa

TIPOS DE REFLEXÃO Regular Difusa Reflexão da luz TIPOS DE REFLEXÃO Regular Difusa LEIS DA REFLEXÃO RI = raio de luz incidente i normal r RR = raio de luz refletido i = ângulo de incidência (é formado entre RI e N) r = ângulo de reflexão

Leia mais

CONTEÚDOS DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA

CONTEÚDOS DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA CONTEÚDOS DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA 6ºANO CONTEÚDOS-1º TRIMESTRE Números naturais; Diferença entre número e algarismos; Posição relativa do algarismo dentro do número; Leitura do número; Sucessor e antecessor;

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos. Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

Lista de Exercícios sobre trabalho, teorema de Green, parametrizações de superfícies, integral de superfícies : MAT 1153-2006.1

Lista de Exercícios sobre trabalho, teorema de Green, parametrizações de superfícies, integral de superfícies : MAT 1153-2006.1 Lista de Exercícios sobre trabalho, teorema de Green, parametrizações de superfícies, integral de superfícies : MAT 1153-2006.1 1. Fazer exercícios 1, 4, 5, 7, 8, 9 da seção 8.4.4 pgs 186, 187 do livro

Leia mais

RODA DE BICICLETA, BAMBOLÊ OU CICLO TRIGONOMÉTRICO?

RODA DE BICICLETA, BAMBOLÊ OU CICLO TRIGONOMÉTRICO? RODA DE BICICLETA, BAMBOLÊ OU CICLO TRIGONOMÉTRICO? Lessandra Marcelly Sousa da Silva Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho lessandramarcelly@gmail.com Resumo: Este trabalho é um relato

Leia mais

objetivo Exercícios Meta da aula Pré-requisitos Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios.

objetivo Exercícios Meta da aula Pré-requisitos Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios. Exercícios A U L A 10 Meta da aula Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios. objetivo aplicar os conhecimentos adquiridos nas Aulas 4 a 9 por meio da

Leia mais

ITA - 2005 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR

ITA - 2005 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR ITA - 2005 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR Matemática Questão 01 Considere os conjuntos S = {0,2,4,6}, T = {1,3,5} e U = {0,1} e as afirmações: I. {0} S e S U. II. {2} S\U e S T U={0,1}.

Leia mais

Márcio Dinis do Nascimento de Jesus

Márcio Dinis do Nascimento de Jesus Márcio Dinis do Nascimento de Jesus Trabalho 3 Modelação Matemática usando o software Modellus Departamento de Matemática Faculdade de Ciências e Tecnologia Universidade de Coimbra 2013 2 Modelação Matemática

Leia mais

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Notasdeaula Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Os primeiros conjuntos numéricos conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos

Leia mais

ROTEIRO DE ESTUDO - 2013 VP4 MATEMÁTICA 3 a ETAPA 6 o ao 9º Ano INTEGRAL ENSINO FUNDAMENTAL 1º E 2º ANOS INTEGRAIS ENSINO MÉDIO

ROTEIRO DE ESTUDO - 2013 VP4 MATEMÁTICA 3 a ETAPA 6 o ao 9º Ano INTEGRAL ENSINO FUNDAMENTAL 1º E 2º ANOS INTEGRAIS ENSINO MÉDIO 6 o ANO MATEMÁTICA I Adição e subtração de frações: Frações com denominadores iguais. Frações com denominadores diferentes. Multiplicação de um número natural por uma fração. Divisão entre um número natural

Leia mais

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea 2 O objetivo geral desse curso de Cálculo será o de estudar dois conceitos básicos: a Derivada e a Integral. No decorrer do curso esses dois conceitos, embora motivados de formas distintas, serão por mais

Leia mais

Computação Gráfica Interativa

Computação Gráfica Interativa Computação Gráfica Interativa conceitos, fundamentos geométricos e algoritmos 1. Introdução Computação Gráfica é a criação, armazenamento e a manipulação de modelos de objetos e suas imagens pelo computador.

Leia mais

Unidade: Vetores e Forças. Unidade I:

Unidade: Vetores e Forças. Unidade I: Unidade I: 0 Unidade: Vetores e Forças 2.VETORES 2.1 Introdução Os vetores são definidos como entes matemáticos que dão noção de intensidade, direção e sentido. De forma prática, o conceito de vetor pode

Leia mais

24/Abril/2013 Aula 19. Equação de Schrödinger. Aplicações: 1º partícula numa caixa de potencial. 22/Abr/2013 Aula 18

24/Abril/2013 Aula 19. Equação de Schrödinger. Aplicações: 1º partícula numa caixa de potencial. 22/Abr/2013 Aula 18 /Abr/013 Aula 18 Princípio de Incerteza de Heisenberg. Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região. Posição média de uma partícula. Partícula numa caixa de potencial: funções de onda e níveis

Leia mais

Aula 16 Mudança de Variável em Integrais Múltiplas

Aula 16 Mudança de Variável em Integrais Múltiplas Aula 16 Mudança de Variável em Integrais Múltiplas MA211 - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade

Leia mais

As assíntotas são retas que passam no centro da hipérbole e tem coeficiente angular m = b / a e m = b / a, logo temos:

As assíntotas são retas que passam no centro da hipérbole e tem coeficiente angular m = b / a e m = b / a, logo temos: Exercício 01. Dada à hipérbole de equação 5x 2 4y 2 20x 8y 4 = 0 determine os focos e as equações das assintotas. Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 5[x 2 4x + 4 4] 4[y 2 + 2y + 1]

Leia mais

APÊNDICES ATIVIDADES OBJETOS DE APRENDIZAGEM

APÊNDICES ATIVIDADES OBJETOS DE APRENDIZAGEM APÊNDICES ATIVIDADES OBJETOS DE APRENDIZAGEM APÊNDICE A - Análise dos softwares GeoGebra e Winplot I Objetivo: Identificar o software que será utilizado para desenvolver as atividades. II Metodologia:

Leia mais

4.1A Esboce o grá co de cada curva dada abaixo, indicando a orientação positiva. cos (1=t), para 0 < t 1 e y 0 (0) = 0. Sendo esta derivada

4.1A Esboce o grá co de cada curva dada abaixo, indicando a orientação positiva. cos (1=t), para 0 < t 1 e y 0 (0) = 0. Sendo esta derivada 4.1 Curvas Regulares 4.1A Esboce o grá co de cada curva dada abaixo, indicando a orientação positiva. (a) ~r (t) = t~i + (1 t)~j; 0 t 1 (b) ~r (t) = 2t~i + t 2 ~j; 1 t 0 (c) ~r (t) = (1=t)~i + t~j; 1 t

Leia mais

O coeficiente angular

O coeficiente angular A UA UL LA O coeficiente angular Introdução O coeficiente angular de uma reta já apareceu na Aula 30. Agora, com os conhecimentos obtidos nas Aulas 40 e 45, vamos explorar mais esse conceito e descobrir

Leia mais

PROJETO SALA DE AULA

PROJETO SALA DE AULA PROJETO SALA DE AULA 1. Identificação: Título: APRENDENDO FUNÇÕES BRINCANDO Série: 1º série do Ensino Fundamental Softwares Necessários: Cabri-Géomètre, Jogos de Funções e Graphmatica Tempo previsto: Seis

Leia mais

PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-2011 DA MACKENZIE RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. 13 / 12 / 2010

PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-2011 DA MACKENZIE RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. 13 / 12 / 2010 PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-0 DA MACKENZIE Profa. Maria Antônia Gouveia. / / 00 QUESTÃO N o 9 Dadas as funções reais definidas por f(x) x x e g(x) x x, considere I, II, III e IV abaixo. I) Ambas

Leia mais

Fundamentos da Matemática Fernando Torres. Números Complexos. Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508

Fundamentos da Matemática Fernando Torres. Números Complexos. Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508 Fundamentos da Matemática Fernando Torres Números Complexos Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508 Sumário 1. História...3 2.Introdução...4 3. A origem de i ao quadrado igual a -1...7 4. Adição, subtração,

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Funções de duas ou mais variáveis.

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Funções de duas ou mais variáveis. www.engenhariafacil.weebly.com Resumo com exercícios resolvidos do assunto: (I) (II) (III) Funções de duas ou mais variáveis; Limites; Continuidade. (I) Funções de duas ou mais variáveis. No Cálculo I

Leia mais

RESOLUÇÀO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA FUVEST_2007_ 2A FASE. RESOLUÇÃO PELA PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA

RESOLUÇÀO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA FUVEST_2007_ 2A FASE. RESOLUÇÃO PELA PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA RESOLUÇÀO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA FUVEST_007_ A FASE RESOLUÇÃO PELA PROFA MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA Questão Se Amélia der R$3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia Se Maria

Leia mais

Forças internas. Objetivos da aula: Mostrar como usar o método de seções para determinar as cargas internas em um membro.

Forças internas. Objetivos da aula: Mostrar como usar o método de seções para determinar as cargas internas em um membro. Forças internas Objetivos da aula: Mostrar como usar o método de seções para determinar as cargas internas em um membro. Generalizar esse procedimento formulando equações que podem ser representadas de

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda PROVAS RESOLVIDAS DE CÁLCULO VETORIAL Professora Salete Souza de Oliveira Aluna Thais Silva de Araujo P1 Turma

Leia mais

Proposta para Abordagem da Trigonometria da Primeira Volta Utilizando o Software Sintesoft Trigonometria 2.0

Proposta para Abordagem da Trigonometria da Primeira Volta Utilizando o Software Sintesoft Trigonometria 2.0 Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Exatas, Curso de Licenciatura em Ciências Exatas, com habilitação integrada em Física, Química e Matemática Atividades desenvolvidas na pesquisa Inserção

Leia mais

Triângulo Retângulo. Exemplo: O ângulo do vértice em. é a hipotenusa. Os lados e são os catetos. O lado é oposto ao ângulo, e é adjacente ao ângulo.

Triângulo Retângulo. Exemplo: O ângulo do vértice em. é a hipotenusa. Os lados e são os catetos. O lado é oposto ao ângulo, e é adjacente ao ângulo. Triângulo Retângulo São triângulos nos quais algum dos ângulos internos é reto. O maior dos lados de um triângulo retângulo é oposto ao vértice onde se encontra o ângulo reto e á chamado de hipotenusa.

Leia mais

Gráfico de Funções: Seno, Cosseno e Tangente

Gráfico de Funções: Seno, Cosseno e Tangente Reforço escolar M ate mática Gráfico de Funções: Seno, Cosseno e Tangente Dinâmica 6 1ª Série 4º Bimestre Professor DISCIPLINA Série CAMPO CONCEITO Matemática 1a do Ensino Médio Geométrico Trigonometria

Leia mais

Num cilindro as bases são círculos. O perímetro do círculo é igual ao comprimento da circunferência que limita o círculo.

Num cilindro as bases são círculos. O perímetro do círculo é igual ao comprimento da circunferência que limita o círculo. 1. Círculos e cilindros 1.1. Planificação da superfície de um cilindro Num cilindro as bases são círculos. O perímetro do círculo é igual ao comprimento da circunferência que limita o círculo. A planificação

Leia mais

Capítulo 2. Funções complexas. 2.1. Introdução

Capítulo 2. Funções complexas. 2.1. Introdução Capítulo Funções complexas 1 Introdução Neste capítulo consideram-se vários exemplos de funções complexas e ilustram-se formas de representação geométrica destas funções que contribuem para a apreensão

Leia mais

MATEMÁTICA Abril 2015

MATEMÁTICA Abril 2015 152547 - Agrupamento de Escolas D. António Ferreira Gomes 342592 - Escola E.B. 2,3 D. António Ferreira Gomes INFORMAÇÃO - PROVA FINAL A NÍVEL DE ESCOLA MATEMÁTICA Abril 2015 3.º Ciclo do Ensino Básico

Leia mais

TIPO DE PROVA: A. Questão 3. Questão 1. Questão 2. Questão 4. alternativa E. alternativa A. alternativa B

TIPO DE PROVA: A. Questão 3. Questão 1. Questão 2. Questão 4. alternativa E. alternativa A. alternativa B Questão TIPO DE PROVA: A Em uma promoção de final de semana, uma montadora de veículos colocou à venda n unidades, ao preço único unitário de R$ 0.000,00. No sábado foram vendidos 9 dos Questão Na figura,

Leia mais

CURSO DE CÁLCULO INTEGRAIS

CURSO DE CÁLCULO INTEGRAIS CURSO DE CÁLCULO MÓDULO 4 INTEGRAIS SUMÁRIO Unidade 1- Integrais 1.1- Introdução 1.2- Integral Indefinida 1.3- Propriedades da Integral Indefinida 1.4- Algumas Integrais Imediatas 1.5- Exercícios para

Leia mais

CPV O cursinho que mais aprova na GV

CPV O cursinho que mais aprova na GV O cursinho que mais aprova na GV FGV ADM Objetiva 06/junho/010 MATemática 01. O monitor de um notebook tem formato retangular com a diagonal medindo d. Um lado do retângulo mede 3 do outro. 4 A área do

Leia mais

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto

Leia mais

Computação Gráfica 04

Computação Gráfica 04 Universidade Federal do Vale do São Francisco Curso de Engenharia de Computação Computação Gráfica 04 Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti www.twitter.com/jorgecav

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = =

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = = Energia Potencial Elétrica Física I revisitada 1 Seja um corpo de massa m que se move em linha reta sob ação de uma força F que atua ao longo da linha. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo

Leia mais

Por que utilizar vetores?

Por que utilizar vetores? Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Por que utilizar vetores? Existem grandezas físicas f perfeitamente definidas por seu tamanho e sua unidade. Para determinar outras grandezas, entretanto, são

Leia mais

PROGRESSÕES 1. PROGRESSÃO ARITMÉTICA

PROGRESSÕES 1. PROGRESSÃO ARITMÉTICA PROGRESSÕES 1. PROGRESSÃO ARITMÉTICA Vamos considerar as seqüências numéricas a) (, 4, 6, 8, 10, 1). Veja que a partir do º termo a diferença entre cada termo e o seu antecessor, é constante: a - a 1 =

Leia mais

Esfera e Sólidos Redondos Área da Esfera. Volume da Esfera

Esfera e Sólidos Redondos Área da Esfera. Volume da Esfera Aula n ọ 04 Esfera e Sólidos Redondos Área da Esfera A área de uma esfera é a medida de sua superfície. Podemos dizer que sua área é igual a quatro vezes a área de um círculo máximo, ou seja: eixo R O

Leia mais