Alunos dorminhocos. 5 de Janeiro de 2015
|
|
- Armando Santos Valente
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Alunos dorminhocos 5 de Janeiro de 2015 Resumo Objetivos principais da aula de hoje: entender a necessidade de se explorar um problema para chegar a uma solução; criar o hábito (ou pelo menos entender a importância) das demonstrações formais; ver algumas primeiras dicas de como resolver um problema. 1 O problema dos alunos dorminhocos Imagine uma aula de matemática com a seguinte propriedade: Cada aluno nesta aula tira uma única soneca: isto é, ele cai no sono num certo instante de tempo s e acorda no instante de tempo t > s. (Contaremos s, t e todos os números entre eles como momentos em que o dado aluno está dormindo.) Dados quaisquer dois alunos, há ao menos um instante de tempo em que ambos estão dormindo. Demonstre que há pelo menos um instante de tempo em que todos os alunos estão dormindo simultaneamente. 1.1 Introdução Vamos usar este problema como nosso ponto de partida no curso. Como veremos, ele é um típico problema em que a tese é intuitiva, mas uma solução correta pode não ser muito simples de escrever. Alguns dos pontos que buscaremos enfatizar são: 1. O que podemos ganhar tentando imaginar uma solução? 2. Será que desenhar o problema nos ajudará? 1
2 3. Como descobrimos quais técnicas e conceitos matemáticos devem estar envolvidos na solução do problema? 4. O que é a hipótese? O que é a tese? Como podemos enunciá-las de forma formal? 5. Como devemos apresentar a solução do problema? 1.2 Explorando o enunciado Eis uma dica fundamental para este problema. Desenhe o problema e explore seu desenho! Como se pode desenhar bem este problema? Vamos partir da maneira habitual de pensar no tempo como uma linha reta. O que você enxerga quando faz isto? Com alguma sorte, você deve enxergar algumas coisas. Primeiro, o tempo que cada aluno gasta dormindo é um intervalo fechado na reta, isto é, um conjunto de números reais entre t e s (incluindo os dois extremos). Além disto, quando falamos que dois alunos têm algum instante comum de soneca, isto quer dizer que os intervalos correspondentes têm interseção não-vazia. Isto nos dá um ponto fundamental para a solução formal do problema. Do ponto de vista formal, este é um problema sobre interseções de intervalos. Em segundo lugar, a validade da tese deve ficar mais intuitiva: se dois intervalos se interceptam e um terceiro intercepta estes dois, é evidente que os três se interceptam em algum lugar. O mesmo vale em desenhos com mais intervalos. Para se convencer disto, você deve seguir um princípio útil. Será que o enunciado funciona? Isto é, será que eu consigo desenhar intervalos que respeitam a restrição do problema (quaisquer dois se interceptam) sem satisfazer a conclusão de que todos têm um ponto comum de interseção? Tente bastante até se convencer de que isto não é possível. Há uma outra maneira de tentar fazer o problema quebrar que frequentemente nos ajuda a entendê-lo. Mude um pouco o enunciado e veja se o resultado pretendido ainda vale. 2
3 É um pouco difícil entender como isto deve ser feito de início, portanto eis uma dica simples. Vamos supôr que cada aluno pode tirar duas ou mais sonecas. Neste caso, é fácil observar que o resultado não vale. Eis um contra-exemplo com três alunos que dormem nos tempos: [1, 2] [3, 4], [3, 4] [6, 7] e [1, 2] [6, 7]. É, portanto, fundamental só termos uma soneca por aluno. O valor desta constatação é o seguinte. Imagine que um estudante apresenta o que acredita ser uma solução deste problema que não faz uso do fato que cada aluno tira uma única soneca. O exemplo que exibimos acima mostra que esta solução tem de estar errada, porque ela se aplicaria a situações em que não vale a conclusão final do problema Por que buscar uma solução formal? A esta altura você e eu já estamos convencidos de que o problema está correto e de que sua conclusão é intuitiva. A questão é: será que não estamos nos iludindo? Há vários casos em que um enunciado que parece verdadeiro se revela falso. Um matemático ilustre chamado Gian Carlo Rota ( ) escreveu: Na maior parte do tempo, o trabalho de um matemático é um emaranhado de chutes, analogias, frustação e a vontade de acreditar que as coisas são simples. Demonstrações não são a parte central das descobertas; normalmente elas são apenas a maneira que termos para impedir que nossas mentes nos enganem.[g. C. Rota] Duas coisas estão implícitas nestas frases. A primeira é que a demonstração formal só deve ser tentada quando já entendemos bem o problema e queremos ter certeza de que estamos certos. Em vários casos isto nos exigirá voltar várias vezes à fase de exploração do problema, buscando detalhes que podem nos ter passado desapercebidos e tentando novas ideias. Em segundo lugar, Rota nos alerta que às vezes nossas mentes nos enganam. Isto é, se queremos estar certos, devemos usar a intuição como caminho para descobrir uma demonstração formal. 1 É claro que, ao menos em princípio, há a possibilidade do estudante fazer uso de uma hipótese que impede o exemplo acima, mas é mais geral do que os intervalos fechados. O professor deve ter cuidado para não ser injusto com este aluno, que pode ter tido uma ideia brilhante; mas, na prática, é bem mais provável que estejamos diante de um erro. 3
4 Há também um argumento pedagógico para a busca de provas corretas. Um dos principais motivos para se aprender Matemática é desenvolver o pensamento lógico-dedutivo. É exatamente esta forma de raciocinar que exercitamos ao buscar uma demonstração formal. A intuição é a luz que ilumina nosso caminho dedutivo, mas é o rigor que nos dá segurança e firmeza. 1.4 Explorar com vistas a resolver Nossa exploração do problema já nos deu motivos para acreditar no problema. Agora vamos voltar a explorar o enunciado tentando achar caminhos para resolvê-lo. Esta frequentemente é a parte mais difícil, na qual só nos tornamos melhores com tranquilidade e bastante treino. Esta exploração de caminhos é em grande parte uma maneira de buscar a técnica certa para cada problema. Infelizmente os problemas não vêm com etiquetas indicando o que podemos fazer, então grande parte do nosso treino será na direção de tentar desenvolver nosso faro para as boas ideias. Por ora, vai ser útil usar dicas. Eis uma que é muito boa para o caso. Procure extremos! Este é um princípio geral vago. No nosso contexto particular, ele consiste em se observar que, se há uma soneca comum, ela só pode começar quando o útimo aluno cai no sono e tem de terminar com o primeiro que desperta. Alguns desenhos devem deixar claro que estes dois tempos são os limites da soneca comum. Agora já temos mais clareza do que provar. Objetivo novo: provar que há uma soneca comum, que vai do momento em que o último aluno cai no sono até o primeiro despertar. Note: em geral é necessário tentar vários objetivos até que um funcione. Neste caso isto não será necessário. 1.5 Do enunciado ao formalismo: hipótese e tese Este é um passo que frequentemente omitimos na prática, mas que tem sempre de estar presente (ainda que de forma implícita), porque a noção de corretude em Matemática passa necessariamente pelo formalismo. Primeiro vamos lembrar que temos um problema sobre intervalos fechados. Para sermos mais formais, vamos supôr que temos n alunos, onde n > 1 4
5 é natural. Numeraremos os alunos de 1 a n. O tempo em que um aluno 1 i n dorme é um intervalo I i = [a i, b i ] com a i < b i. Agora vamos formular nossas hipótese e tese. A hipótese deve esclarecer que temos intervalos fechados que se interceptam dois a dois. A tese deve afirmar que todos os intervalos se interceptam. Em matematiquês, isto se escreve assim. Teorema 1. Hipótese: I 1,..., I n sã o intervalos da forma I i = [a i, b i ] com a i < b i. Temos ainda que I j I j para quaisquer 1 i < j n. Tese: I 1 I 2 I n. 1.6 A demonstração Como já dissemos acima, a estratégia da prova será provar que o intervalo J = [max a i, min b j ], que possivelmente é degenerado, corresponde a momentos de soneca comum. Fazemos isto em partes. Parte 1: J é mesmo um intervalo. Para provar isto, precisamos mostrar que max a i min b j. Seja i um índice tal que a i = max a i e seja j tal que b j = min b j. Sabemos que os intervalos I i e I j se interceptam (por hipótese). Afirmação não-trivial: se dois intervalos fechados se interceptam, o menor ponto de um é menor que o maior ponto do outro. Esta afirmação é destacada por ser o ponto chave da prova formal. Ela é o principal ponto da prova em que usamos o fato de que lidamos com intervalos. Para demonstrar a afirmação, sejam A = [x, y] e B = [z, w] dois intervalos fechados quaisquer com x y e z w. A afirmação diz que y z sempre que A B. Vejamos porque isto é verdade. Se A B é não-vazio, tome t A B e note que: t A x t y e t B z t w. Portanto, z t y, o que implica z y, como desejado. No nosso caso particular, isto diz que a i b j, o que completa a primeira parte da prova. 5
6 Parte 2: J I 1 I n. Basta mostrar que J I k para todo 1 k n. Mas isto segue claramente do fato que a k max a i min b j b k. Exercício 1. Voce consegue mostrar que J = I 1 I 2 I n? Exercício 2. Voce consegue mostrar que dois intervalos fechados se interceptam se e somente se o menor ponto de um deles é menor que o maior ponto do outro? No que isto difere da afirmação não-trivial acima? Exercício 3. O que mudaria na prova se os intervalos fossem abertos? Exercício 4. Recorde os comentários feitos nas seções anteriores. De que maneira eles apareceram na prova formal? O que lhe pareceu mais ou menos importante para o resultado final? 2 Um jogo e um roteiro Jogos matemáticos oferecem um dos melhores caminhos para treinarmos a ideia de explorar o problema, seja preliminarmente, seja já com vistas a resolvê-lo. Eis um exemplo adaptado da OBM 2011 (note que usamos a convenção de que 0 não é natural). Vamos jogar o seguinte jogo. Eu começo escolhendo dois naturais i N (o início) e a N (o alvo) com i > 1. Escrevo a numa folha de papel e i no quadro negro. A partir daí só você age. A cada rodada você tem um número b N no quadro negro e pode substitui-lo por qualquer b da forma b = n.m, onde n, m N e n + m = b. Seu objetivo é conseguir escrever o alvo a no quadro ao fim de um número finito de rodadas (em particular, você ganha em 0 rodadas se i = a). Por exemplo, se eu escolho i = 5 e a = 50, você pode vencer com a seguinte sequência de substituições: 5 6 = = = = Do mesmo modo, você pode ganhar se i = 10 e a = = = = = Por outro lado, se i = 4 e a = 5, você pode se convencer que eu ganho. Prove que, se i > 4, você sempre pode vencer o jogo. 6
7 2.1 Explorando o jogo A exploração deste problema começa testando as regras do jogo para ver se a entendemos. Depois disso, podemos lembrar de um princípio geral muito importante: Princípio das histórias de detetive: tudo que é mencionado no enunciado do problema deve ser encarado como uma possível pista para a solução. O que é mencionado no enunciado? Além das regras, a úica coisa dita é que o número i deve ser maior do que três. Esta informação é relevante? É útil? Eis um outro princípio geral. Uma hipótese é útil sempre que o enunciado quebra quando a removemos. Veja que a hipótese é útil: se tomamos i = 1, nem dá para sair do lugar, enquanto que com i = 2, 3, 4 só conseguimos diminuir o valor no quadro. O que muda quando i > 4? A esta altura quem explorou o problema já sabe (ou pelo menos intui): se o número no quadro é pelo menos quatro, sempre dá para subir! Vamos tentar ser mais formais e indicar como se faz isto. Veja que, dado b N, sempre podemos transformálo em b := 2 (b 2) = 2b 4. Para que b > b, é necessário e suficiente que b > 4. Agora vem uma outra ideia geral: Explorar involve descobrir como você pode se mexer! De fato, já vimos que, partindo de um número maior que 4, podemos criar números cada vez maiores. Isso nos diz que podemos ultrapassar qualquer alvo estabelecido, mas ainda não é claro que podemos atingir exatamente os alvos. Explorando mais um pouco, no entanto, fica claro que também dá para descer usando a passagem b b 1 = (b 1) 1. O ponto crucial é que a queda é controlada: ao contrário da subida, sabemos exatamente o quanto descemos em cada passo! A esta altura a maioria dos alunos já sabe o que fazer para atingir o alvo: basta subir até ultrapassar o alvo e depois descer de um em um. Isto ainda não é uma solução formal porque para isso precisamos de algo que está certo sem deixar margem a dúvidas. Ou seja, precisamos escrever melhor e mais precisamente nossa ideia. 7
8 2.2 Enunciado e prova formais Vamos procurar exprimir nosso problema da forma mais formal possível. Para facilitar, começamos com uma definição. Definição: dados x, y N, escrevemos x y se existem n, m N com x = n + m e y = n m. Ou seja, x y significa que podemos passar de x para y em um estágio do nosso jogo. Hipótese: i N com i > 4; a N. Tese: existem k N {0} e (i 0,..., i k ) N k+1 com i 0 = i, i k = a e i 0 i 1 i 2 i k. Prova. Vamos dividir a prova em duas partes, usando dois conceitos diferentes. Fixamos um i > 4 o tempo todo e dizemos que 1. a N é ultrapassável se existem k N {0} e (i 0,..., i k ) N k+1 com i 0 = i, i k a e i 0 i 1 i 2 i k. 2. a N é atingível se existem k N {0} e (i 0,..., i k ) N k+1 com i 0 = i, i k = a e i 0 i 1 i 2 i k. Nosso objetivo pode ser reformulado como provar que todo natural é atingível. Nossa ideia de prova será fazer isto em duas partes. Lema 2. Todo a N é ultrapassável. Lema 3. Todo a N que é ultrapassável é também atingível. Veja que esta divisão respeita a ideia de que temos duas maneiras de andar no jogo : uma é subir sem controle até ultrapassar e a outra e descer até atingir o alvo. Note ainda que a tese segue trivialmente da combinação dos dois lemas. Prova do primeiro lema. Vamos provar isto por indução em a. Note que a = 1 é ultrapassável e que, de fato, todo a 5 é ultrapassável com k = 0, porque i = i 0 a automaticamente. Para fazer o passo indutivo, queremos mostrar que se a é ultra, a + 1 também é ultra. Fixe então um a que é ultra e tome k N, (i 0,..., i k ) com 8
9 i = i 0 i 1... toi k a. Veja que, se i k > a, então já ultrapassamos a + 1. Por outro lado, se i k = a, podemos tomar a = 2 + (a 2) e fazer i k+1 = 2 (a 2) = 2a 4. i k+1 ultrapassa a + 1 sempre que 2a 4 > a, ou seja, a 5. Por outro lado, se a < 5, então a e neste caso é automaticamente ultrapassável, como observado acima. Prova do segundo lema. Observe primeiramente que dizer que a é ultrapassável significa dizer que l N {0} tal que a + l é atingível. Portanto, fixado um a N ultrapassável, podemos definir l(a) := min{l N {0} : a + l é atingível.} Afirmamos que l(a) = 0, de modo que o próprio a é atingível. Para provar isto, vamos supor (por absurdo) que l(a) = l > 0, de modo que a + l é atingível, mas obrigatoriamente a + (l 1) não é atingível (afinal, l é mínimo!). Como a + l é atingível, a + l = i k para alguma sequência (i 0,..., i k ) como vimos acima. Agora observe que a + l = 1 + (a + l 1) e tome i k+1 := a + l 1. Veja que i k i k+1, logo (i 0,..., i k+1 ) atinge a + l 1. No entanto, isto contradiz o fato de que a + l 1 não é atingível, que seguiu da suposição de que l(a) > 0. Deduzimos que l(a) = 0, CQD. 9
Um jogo de preencher casas
Um jogo de preencher casas 12 de Janeiro de 2015 Resumo Objetivos principais da aula de hoje: resolver um jogo com a ajuda de problemas de divisibilidade. Descrevemos nestas notas um jogo que estudamos
Leia mais5 Equacionando os problemas
A UA UL LA Equacionando os problemas Introdução Nossa aula começará com um quebra- cabeça de mesa de bar - para você tentar resolver agora. Observe esta figura feita com palitos de fósforo. Mova de lugar
Leia maisBases Matemáticas. Aula 2 Métodos de Demonstração. Rodrigo Hausen. v. 2013-7-31 1/15
Bases Matemáticas Aula 2 Métodos de Demonstração Rodrigo Hausen v. 2013-7-31 1/15 Como o Conhecimento Matemático é Organizado Definições Definição: um enunciado que descreve o significado de um termo.
Leia maisExercícios Teóricos Resolvidos
Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar
Leia maisParece claro que há uma, e uma só, conclusão a tirar destas proposições. Esa conclusão é:
Argumentos Dedutivos e Indutivos Paulo Andrade Ruas Introdução Em geral, quando se quer explicar que géneros de argumentos existem, começa-se por distinguir os argumentos dedutivos dos não dedutivos. A
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto
Material Teórico - Módulo de Divisibilidade MDC e MMC - Parte 1 Sexto Ano Prof. Angelo Papa Neto 1 Máximo divisor comum Nesta aula, definiremos e estudaremos métodos para calcular o máximo divisor comum
Leia maisMÓDULO 5 O SENSO COMUM
MÓDULO 5 O SENSO COMUM Uma das principais metas de alguém que quer escrever boas redações é fugir do senso comum. Basicamente, o senso comum é um julgamento feito com base em ideias simples, ingênuas e,
Leia maisPor que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,...
Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... 0) O que veremos na aula de hoje? Um fato interessante Produtos notáveis Equação do 2º grau Como fazer a questão 5 da 3ª
Leia maisSUMÁRIO 1. AULA 6 ENDEREÇAMENTO IP:... 2
SUMÁRIO 1. AULA 6 ENDEREÇAMENTO IP:... 2 1.1 Introdução... 2 1.2 Estrutura do IP... 3 1.3 Tipos de IP... 3 1.4 Classes de IP... 4 1.5 Máscara de Sub-Rede... 6 1.6 Atribuindo um IP ao computador... 7 2
Leia maisDicas para a 6 a Lista de Álgebra 1 (Conteúdo: Homomorfismos de Grupos e Teorema do Isomorfismo para grupos) Professor: Igor Lima.
Dicas para a 6 a Lista de Álgebra 1 (Conteúdo: Homomorfismos de Grupos e Teorema do Isomorfismo para grupos) Professor: Igor Lima. 1 /2013 Para calcular Hom(G 1,G 2 ) ou Aut(G) vocês vão precisar ter em
Leia maisIntegrais Duplas e Coordenadas Polares. 3.1 Coordenadas Polares: Revisão
Cálculo III Departamento de Matemática - ICEx - UFMG Marcelo Terra Cunha Integrais Duplas e Coordenadas Polares Nas primeiras aulas discutimos integrais duplas em algumas regiões bem adaptadas às coordenadas
Leia maisEstruturas Discretas INF 1631
Estruturas Discretas INF 1631 Thibaut Vidal Departamento de Informática, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Rua Marquês de São Vicente, 225 - Gávea, Rio de Janeiro - RJ, 22451-900, Brazil
Leia maisObjetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e
MÓDULO 2 - AULA 13 Aula 13 Superfícies regradas e de revolução Objetivos Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas
Leia maisFÓRMULAS DO EXCEL QUE SALVARAM MEU EMPREGO
10 CARA DO EXCEL FÓRMULAS DO EXCEL QUE SALVARAM MEU EMPREGO O que você vai aprender neste ebook? 1. SOMA 2. CONT.NÚM 3. CONT.VALORES 4. NÚM.CARACT 5. ARRUMAR 6. DIREITA, ESQUERDA, EXT.TEXTO 7. PROCV 8.
Leia maisAlgoritmos. Objetivo principal: explicar que a mesma ação pode ser realizada de várias maneiras, e que às vezes umas são melhores que outras.
6 6 NOME DA AULA: 6 Algoritmos Duração da aula: 45 60 minutos Tempo de preparação: 10-25 minutos (dependendo da disponibilidade de tangrans prontos ou da necessidade de cortá-los à mão) Objetivo principal:
Leia maisO céu. Aquela semana tinha sido uma trabalheira! www.interaulaclube.com.br
A U A UL LA O céu Atenção Aquela semana tinha sido uma trabalheira! Na gráfica em que Júlio ganhava a vida como encadernador, as coisas iam bem e nunca faltava serviço. Ele gostava do trabalho, mas ficava
Leia maisIBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = =
Energia Potencial Elétrica Física I revisitada 1 Seja um corpo de massa m que se move em linha reta sob ação de uma força F que atua ao longo da linha. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo
Leia maisComo fazer para deixar firme uma estante de hastes com prateleiras que está balançando para os lados?
cesse: http://fuvestibular.com.br/ o triângulo é uma das figuras mais importantes da Geometria, e também uma das mais interessantes. Na nossa vida diária, existem bons exemplos de aplicação de triângulos
Leia maisEscala Pentatônica - Desenho 3
Escala Pentatônica - Desenho A escala pentatônica é a escala de melhor custo x benefício que existe. Ela é derivada da escala maior (aqueles 7 nomes...dó, ré, mi, fá, sol, lá e si ) só que ela não tem
Leia maisQual é Mesmo a Definição de Polígono Convexo?
Qual é Mesmo a Definição de Polígono Convexo? Elon Lages Lima IMPA, Rio de Janeiro Quando pensamos num polígono convexo, imaginamos seus vértices todos apontando para fora, ou seja, que ele não possui
Leia maisO Princípio da Complementaridade e o papel do observador na Mecânica Quântica
O Princípio da Complementaridade e o papel do observador na Mecânica Quântica A U L A 3 Metas da aula Descrever a experiência de interferência por uma fenda dupla com elétrons, na qual a trajetória destes
Leia maisOs desafios do Bradesco nas redes sociais
Os desafios do Bradesco nas redes sociais Atual gerente de redes sociais do Bradesco, Marcelo Salgado, de 31 anos, começou sua carreira no banco como operador de telemarketing em 2000. Ele foi um dos responsáveis
Leia maiscasa. Será uma casa simples, situada em terreno plano, com sala, dois quartos, cozinha, banheiro e área de serviço.
A UUL AL A A casa Nesta aula vamos examinar a planta de uma casa. Será uma casa simples, situada em terreno plano, com, dois quartos, cozinha, banheiro e área de serviço. Introdução terreno 20 m rua 30
Leia maisx0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas?
Recorrências Muitas vezes não é possível resolver problemas de contagem diretamente combinando os princípios aditivo e multiplicativo. Para resolver esses problemas recorremos a outros recursos: as recursões
Leia maisAprendendo a ESTUDAR. Ensino Fundamental II
Aprendendo a ESTUDAR Ensino Fundamental II INTRODUÇÃO Onde quer que haja mulheres e homens, há sempre o que fazer, há sempre o que ensinar, há sempre o que aprender. Paulo Freire DICAS EM AULA Cuide da
Leia maisO papel do CRM no sucesso comercial
O papel do CRM no sucesso comercial Escrito por Gustavo Paulillo Você sabia que o relacionamento com clientes pode ajudar sua empresa a ter mais sucesso nas vendas? Ter uma equipe de vendas eficaz é o
Leia maiscomo a arte pode mudar a vida?
como a arte pode mudar a vida? LONGE DAQUI, AQUI MESMO 1 / 2 Longe daqui, aqui mesmo 1 Em um caderno, crie um diário para você. Pode usar a escrita, desenhos, recortes de revista ou jornais e qualquer
Leia mais16 Comprimento e área do círculo
A UA UL LA Comprimento e área do círculo Introdução Nesta aula vamos aprender um pouco mais sobre o círculo, que começou a ser estudado há aproximadamente 4000 anos. Os círculos fazem parte do seu dia-a-dia.
Leia maisDadas a base e a altura de um triangulo, determinar sua área.
Disciplina Lógica de Programação Visual Ana Rita Dutra dos Santos Especialista em Novas Tecnologias aplicadas a Educação Mestranda em Informática aplicada a Educação ana.santos@qi.edu.br Conceitos Preliminares
Leia mais(a 1 + a 100 ) + (a 2 + a 99 ) + (a 3 + a 98 ) +... + (a 50 + a 51 ).
Questão 1. A sequência 0, 3, 7, 10, 14, 17, 21,... é formada a partir do número 0 somando-se alternadamente 3 ou 4 ao termo anterior, isto é: o primeiro termo é 0, o segundo é 3 a mais que o primeiro,
Leia maisProblemas insolúveis. Um exemplo simples e concreto
Surge agora uma outra questão. Viemos buscando algoritmos para resolver problemas. No entanto, será que sempre seria possível achar esses algoritmos? Colocando de outra forma: será que, para todo problema,
Leia maisCalculando probabilidades
A UA UL LA Calculando probabilidades Introdução evento E é: P(E) = Você já aprendeu que a probabilidade de um nº deresultadosfavoráveis nº total de resultados possíveis Nesta aula você aprenderá a calcular
Leia maisConceitos e fórmulas
1 Conceitos e fórmulas 1).- Triângulo: definição e elementos principais Definição - Denominamos triângulo (ou trilátero) a toda figura do plano euclidiano formada por três segmentos AB, BC e CA, tais que
Leia maisQuando as mudanças realmente acontecem - hora da verdade
Quando as mudanças realmente acontecem - hora da verdade Pergunte a um gestor de qualquer nível hierárquico qual foi o instante em que efetivamente ele conseguiu obter a adesão de sua equipe aos processos
Leia maisFUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL
Hewlett-Packard FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Aulas 01 a 04 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luís Ano: 2015 Sumário INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO... 2 PRODUTO CARTESIANO... 2 Número de elementos
Leia maisImposto progressivo. vem inteirinho, sem nenhum imposto, e no segundo há que se pagar 15%, isto é, 165, restando apenas 935.
Imposto progressivo Eduardo Colli Neste texto, falaremos um pouco sobre uma modalidade de tributação dos salários, adotada no Brasil, que é o Imposto de Renda com tabela progressiva. Nosso intuito é apenas
Leia maisFração como porcentagem. Sexto Ano do Ensino Fundamental. Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antonio Caminha M.
Material Teórico - Módulo de FRAÇÕES COMO PORCENTAGEM E PROBABILIDADE Fração como porcentagem Sexto Ano do Ensino Fundamental Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto
Leia maisAPRENDER A LER PROBLEMAS EM MATEMÁTICA
APRENDER A LER PROBLEMAS EM MATEMÁTICA Maria Ignez de Souza Vieira Diniz ignez@mathema.com.br Cristiane Akemi Ishihara crisakemi@mathema.com.br Cristiane Henriques Rodrigues Chica crischica@mathema.com.br
Leia maisMatemática Financeira Módulo 2
Fundamentos da Matemática O objetivo deste módulo consiste em apresentar breve revisão das regras e conceitos principais de matemática. Embora planilhas e calculadoras financeiras tenham facilitado grandemente
Leia maisMatemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.
Matemática Essencial Equações do Segundo grau Conteúdo Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ 1 Introdução
Leia maisProgramação em papel quadriculado
4 NOME DA AULA: Programação em papel quadriculado Tempo de aula: 45 60 minutos Tempo de preparação: 10 minutos Objetivo principal: ajudar os alunos a entender como a codificação funciona. RESUMO Ao "programar"
Leia maisResíduos Quadráticos e Fatoração: uma aplicação à criptoanálise do RSA
Resíduos Quadráticos e Fatoração: uma aplicação à criptoanálise do RSA Charles F. de Barros 20 de novembro de 2008 Resumo Faremos uma breve introdução ao conceito de resíduos quadráticos, descrevendo em
Leia maisAnálise e Desenvolvimento de Sistemas ADS Programação Orientada a Obejeto POO 3º Semestre AULA 03 - INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO ORIENTADA A OBJETO (POO)
Análise e Desenvolvimento de Sistemas ADS Programação Orientada a Obejeto POO 3º Semestre AULA 03 - INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO ORIENTADA A OBJETO (POO) Parte: 1 Prof. Cristóvão Cunha Objetivos de aprendizagem
Leia maisDICAS PARA CÁLCULOS MAIS RÁPIDOS ARTIGO 07
DICAS PARA CÁLCULOS MAIS RÁPIDOS ARTIGO 07 Este é o 7º artigo da série de dicas para facilitar / agilizar os cálculos matemáticos envolvidos em questões de Raciocínio Lógico, Matemática, Matemática Financeira
Leia maisExp e Log. Roberto Imbuzeiro Oliveira. 21 de Fevereiro de 2014. 1 O que vamos ver 1. 2 Fatos preliminares sobre espaços métricos 2
Funções contínuas, equações diferenciais ordinárias, Exp e Log Roberto Imbuzeiro Oliveira 21 de Fevereiro de 214 Conteúdo 1 O que vamos ver 1 2 Fatos preliminares sobre espaços métricos 2 3 Existência
Leia maisRESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO Caro aluno, Disponibilizo abaixo a resolução resumida das questões de Raciocínio Lógico-Matemático da prova de Técnico de Atividade Judiciária do
Leia maisUM TEOREMA QUE PODE SER USADO NA
UM TEOREMA QUE PODE SER USADO NA PERCOLAÇÃO Hemílio Fernandes Campos Coêlho Andrei Toom PIBIC-UFPE-CNPq A percolação é uma parte importante da teoria da probabilidade moderna que tem atraído muita atenção
Leia mais3 Dicas MATADORAS Para Escrever Emails Que VENDEM Imóveis
3 Dicas MATADORAS Para Escrever Emails Que VENDEM Imóveis O que é um e- mail bem sucedido? É aquele e- mail que você recebe o contato, envia o e- mail para o cliente e ele te responde. Nós não estamos
Leia maisEste material traz a teoria necessária à resolução das questões propostas.
Inclui Teoria e Questões Inteiramente Resolvidas dos assuntos: Contagem: princípio aditivo e multiplicativo. Arranjo. Permutação. Combinação simples e com repetição. Lógica sentencial, de primeira ordem
Leia maisCalculando o desalinhamento da contraponta
Calculando o desalinhamento da contraponta A UU L AL A Tornear peças cônicas é uma atividade bastante comum na área da Mecânica. Para fazer isso, o torneiro tem duas técnicas a sua disposição: ele pode
Leia maisInglesar.com.br Aprender Inglês Sem Estudar Gramática
1 Sumário Introdução...04 O segredo Revelado...04 Outra maneira de estudar Inglês...05 Parte 1...06 Parte 2...07 Parte 3...08 Por que NÃO estudar Gramática...09 Aprender Gramática Aprender Inglês...09
Leia mais9. Derivadas de ordem superior
9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de
Leia maisO Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 0/48
Conteúdo 1 Princípios de Contagem e Enumeração Computacional Permutações com Repetições Combinações com Repetições O Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos > Princípios de Contagem e Enumeração
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ PIBID-PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO A DOCÊNCIA PROVAS E DEMONSTRAÇÕES EM MATEMÁTICA
1 DOCÊNCIA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ PIBID-PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO A PROVAS E DEMONSTRAÇÕES EM MATEMÁTICA Fabio da Costa Rosa Fernanda Machado Greicy Kelly Rockenbach da Silva
Leia maisHoje estou elétrico!
A U A UL LA Hoje estou elétrico! Ernesto, observado por Roberto, tinha acabado de construir um vetor com um pedaço de papel, um fio de meia, um canudo e um pedacinho de folha de alumínio. Enquanto testava
Leia maisSérgio Carvalho Matemática Financeira Simulado 02 Questões FGV
Sérgio Carvalho Matemática Financeira Simulado 02 Questões FGV Simulado 02 de Matemática Financeira Questões FGV 01. Determine o valor atual de um título descontado (desconto simples por fora) dois meses
Leia maisConhecendo um pouco de matrizes e determinantes
Módulo 3 Unidade 29 Conhecendo um pouco de matrizes e determinantes Para início de conversa... Frequentemente em jornais, revistas e também na Internet encontramos informações numéricas organizadas na
Leia maisA linguagem matemática
A linguagem matemática Ricardo Bianconi 1 o Semestre de 2002 1 Introdução O objetivo deste texto é tentar explicar a linguagem matemática e o raciocínio lógico por trás dos textos matemáticos. Isto não
Leia maisC Por que é preciso fazer rápido o produto web?
C Por que é preciso fazer rápido o produto web? Já falamos sobre algumas denições e requisitos para se ter uma startup. Depois falamos sobre como ter ideias de produtos para a startup e que essas ideias
Leia maisSUB12 Campeonato de Resolução de Problemas de Matemática Edição 2009/2010
Puxa um banco ou uma cadeira O Sr. António fabrica na sua oficina de marcenaria bancos e cadeiras de madeira. Os bancos e as cadeiras têm pés exactamente iguais. Cada banco leva 3 pés e cada cadeira tem
Leia maisPolítica de Afiliados
Política de Afiliados Obrigações do Produtor 1- Pagamento de R$1.000 a cada venda do Programa Expert Milionário que será gerenciada pela plataforma POST AFILIATE da produtora 2- Caso o afiliado venda mais
Leia maisCAPÍTULO 3 - TIPOS DE DADOS E IDENTIFICADORES
CAPÍTULO 3 - TIPOS DE DADOS E IDENTIFICADORES 3.1 - IDENTIFICADORES Os objetos que usamos no nosso algoritmo são uma representação simbólica de um valor de dado. Assim, quando executamos a seguinte instrução:
Leia maisLógica Indutiva. Aula 4. Prof. André Martins
Lógica Indutiva Aula 4 Prof. André Martins É uma bruxa? Lógica Clássica (Dedutiva) Na Lógica Clássica, determinamos a veracidade de proposições a partir de outras proposições que julgamos verdadeiras.
Leia maisCopiright de todos artigos, textos, desenhos e lições. A reprodução parcial ou total desta aula só é permitida através de autorização por escrito de
1 Nesta aula veremos a importância da coordenação motora para o desenhista e como ela pode ser desenvolvida através de exercícios específicos. (Mateus Machado) A IMPORTANCIA DA COORDENAÇÃO MOTORA Antes
Leia maisRoteiro VcPodMais#005
Roteiro VcPodMais#005 Conseguiram colocar a concentração total no momento presente, ou naquilo que estava fazendo no momento? Para quem não ouviu o programa anterior, sugiro que o faça. Hoje vamos continuar
Leia maisAplicações de Combinatória e Geometria na Teoria dos Números
Aplicações de Combinatória e Geometria na Teoria dos Números Nesse artigo vamos discutir algumas abordagens diferentes na Teoria dos Números, no sentido de envolverem também outras grandes áreas, como
Leia maisAnálise e Resolução da prova de Auditor Fiscal da Fazenda Estadual do Piauí Disciplina: Matemática Financeira Professor: Custódio Nascimento
Análise e Resolução da prova de Auditor Fiscal da Fazenda Estadual do Piauí Disciplina: Professor: Custódio Nascimento 1- Análise da prova Neste artigo, faremos a análise das questões de cobradas na prova
Leia maisFEUSP- SEMINÁRIOS DE ENSINO DE MATEMÁTICA-1º semestre/2008 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL NA ESCOLA BÁSICA: POSSÍVEL E NECESSÁRIO
1 FEUSP- SEMINÁRIOS DE ENSINO DE MATEMÁTICA-1º semestre/008 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL NA ESCOLA BÁSICA: POSSÍVEL E NECESSÁRIO Nílson José Machado njmachad@usp.br Sempre que pensamos em grandezas que
Leia maisTeoria dos Números. A Teoria dos Números é a área da matemática que lida com os números inteiros, isto é, com o conjunto
Teoria dos Números 1 Noções Básicas A Teoria dos Números é a área da matemática que lida com os números inteiros, isto é, com o conjunto Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4...}. Ela permite resolver de
Leia maisPARANÁ GOVERNO DO ESTADO
A COMUNICAÇÃO NA INTERNET PROTOCOLO TCP/IP Para tentar facilitar o entendimento de como se dá a comunicação na Internet, vamos começar contando uma história para fazer uma analogia. Era uma vez, um estrangeiro
Leia maisComputadores XXI: Busca e execução Final
Computadores XXI: Busca e execução Final A6 Texto 6 http://www.bpiropo.com.br/fpc20060123.htm Sítio Fórum PCs /Colunas Coluna: B. Piropo Publicada em 23/01/2006 Autor: B.Piropo Na coluna anterior, < http://www.forumpcs.com.br/viewtopic.php?t=146019
Leia maisSistemas Lineares. Módulo 3 Unidade 10. Para início de conversa... Matemática e suas Tecnologias Matemática
Módulo 3 Unidade 10 Sistemas Lineares Para início de conversa... Diversos problemas interessantes em matemática são resolvidos utilizando sistemas lineares. A seguir, encontraremos exemplos de alguns desses
Leia maisquociente razão. mesma área a partes de um tablete de chocolate
1 As sequências de atividades Vamos relembrar, Como lemos os números racionais?, Como escrevemos os números racionais?, As partes das tiras de papel, Comparando e ordenando números racionais na forma decimal
Leia maisLer em família: viagens partilhadas (com a escola?)
Ler em família: viagens partilhadas (com a escola?) Ação nº41/2012 Formadora: Madalena Moniz Faria Lobo San-Bento Formanda: Rosemary Amaral Cabral de Frias Introdução Para se contar histórias a crianças,
Leia maisComo Criar seu produto digital
Como Criar seu produto digital Aprenda em alguns passos Indice 5 1- Público Alvo 2- Conhecer á necessidade 5 do 5 Primeiro capítulo Público Alvo Você que está montando seu negócio online e ainda não tem
Leia maisCorte total. Qualquer pessoa que já tenha visto um regis- A U L A
Corte total Introdução Qualquer pessoa que já tenha visto um regis- tro de gaveta, como o que é mostrado a seguir, sabe que se trata de uma peça complexa, com muitos elementos internos. Se fôssemos representar
Leia maisApostila da Oficina. Aprenda a Investir na Bolsa de Valores
Apostila da Oficina Aprenda a Investir na Bolsa de Valores O objetivo da Oficina é ensinar como começar a investir no mercado acionário. Então vamos iniciar recapitulando os passos básicos. A primeira
Leia maisA Torre de Hanói e o Princípio da Indução Matemática
A Torre de Hanói e o Princípio da Indução Matemática I. O jogo A Torre de Hanói consiste de uma base com três pinos e um certo número n de discos de diâmetros diferentes, colocados um sobre o outro em
Leia maisA LIBERDADE COMO POSSÍVEL CAMINHO PARA A FELICIDADE
Aline Trindade A LIBERDADE COMO POSSÍVEL CAMINHO PARA A FELICIDADE Introdução Existem várias maneiras e formas de se dizer sobre a felicidade. De quando você nasce até cerca dos dois anos de idade, essa
Leia maisCOMO INVESTIR PARA GANHAR DINHEIRO
COMO INVESTIR PARA GANHAR DINHEIRO Por que ler este livro? Você já escutou histórias de pessoas que ganharam muito dinheiro investindo, seja em imóveis ou na Bolsa de Valores? Após ter escutado todas essas
Leia mais43. Jogo do bingo com figuras
43. Jogo do bingo com figuras São confeccionadas cartelas com os desenhos de todas as figuras. Podem ser montadas 8 cartelas com seis figuras, se não houver repetição; é possível criar muito mais cartelas,
Leia mais10 DICAS PRÁTICAS PARA CRIAÇÃO DE ROTEIROS
vo ce Coaching Treinamento Pessoal HELP ME O guia prático para Apresentações de Impacto 10 DICAS PRÁTICAS PARA CRIAÇÃO DE ROTEIROS Feijão com arroz. Um roteiro deve ter início, meio e fim 01bem definidos.
Leia maisDESOCUPAÇÃO DE IMÓVEIS ARREMATADOS EM LEILÃO
PROLEILOES.COM DESOCUPAÇÃO DE IMÓVEIS ARREMATADOS EM LEILÃO SAIBA COMO PROCEDER COM UM IMÓVEL OCUPADO ARREMATADO EM LEILÃO INTRODUÇÃO Boa parte dos imóveis que vão a leilão público estão ocupados, ou seja,
Leia maisO sucesso de hoje não garante o sucesso de amanhã
Com certeza, esse final de século XX e começo de século XXI mudarão nossas vidas mais do que elas mudaram há 30-40 anos atrás. É muito difícil avaliar como será essa mudança, mas é certo que ela virá e
Leia maisNo E-book anterior 5 PASSOS PARA MUDAR SUA HISTÓRIA, foi passado. alguns exercícios onde é realizada uma análise da sua situação atual para
QUAL NEGÓCIO DEVO COMEÇAR? No E-book anterior 5 PASSOS PARA MUDAR SUA HISTÓRIA, foi passado alguns exercícios onde é realizada uma análise da sua situação atual para então definir seus objetivos e sonhos.
Leia maisEQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU
1 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU Equação do 1º grau Chamamos de equação do 1º grau em uma incógnita x, a qualquer expressão matemática que pode ser escrita sob a forma: em que a e b são números reais,
Leia maisSumário. Introdução - O novo hábito... 1. Capítulo 1 - Pra que serve tudo isso?... 3. Sobre o vocabulário... 4. Benefícios... 7
Sumário Introdução - O novo hábito... 1 Capítulo 1 - Pra que serve tudo isso?... 3 Sobre o vocabulário... 4 Benefícios... 7 Perguntas Frequentes sobre o Orçamento Doméstico... 10 Capítulo 2 - Partindo
Leia maisCom uma coleção de figuras e de formas geométricas que mais parecem um jogo, mostre à turma que os números também têm seu lado concreto
Universidade Severino Sombra Fundamentos Teóricos e Metodologia de Matemática 1 1 Com uma coleção de figuras e de formas geométricas que mais parecem um jogo, mostre à turma que os números também têm seu
Leia mais6 Passos Para O Sucesso Em Vendas Online
6 Passos Para O Sucesso Em Vendas Online 6 Passos Para O Sucesso Em Vendas Online Você já percebeu como há diversas pessoas que estão obtendo sucesso nas suas áreas de atuações quando se trata de vendas
Leia maisMATEMÁTICA COMBINATÓRIA: INTRODUÇÃO
INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA 2ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO Prof. Ilydio Pereira de Sá www.magiadamatematica.com MATEMÁTICA COMBINATÓRIA: INTRODUÇÃO Princípio Fundamental da Contagem
Leia maisPoliminós e o Tabuleiro de Xadrez Prof. Onofre Campos (onofrecampos@secrel.com.br) Prof. Carlos Shine (cyshine@yahoo.com)
Poliminós e o Tabuleiro de Xadrez Prof. Onofre Campos (onofrecampos@secrel.com.br) Prof. Carlos Shine (cyshine@yahoo.com) 1. O dominó Você já deve conhecer o dominó. Não vamos pensar no jogo de dominós
Leia maisExercícios Resolvidos sobre probabilidade total e Teorema de Bayes
Exercícios Resolvidos sobre probabilidade total e Teorema de Bayes Para ampliar sua compreensão sobre probabilidade total e Teorema de Bayes, estude este conjunto de exercícios resolvidos sobre o tema.
Leia maisComo escrever melhor em 5 passos simples
Como escrever melhor em 5 passos simples Escrever um artigo para seu blog pode ser um processo estressante e tomar bastante tempo, especialmente se você não é um escritor. Mas quando você está determinado
Leia maisContagem II. Neste material vamos aprender novas técnicas relacionadas a problemas de contagem. 1. Separando em casos
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 5 Contagem II Neste material vamos aprender novas técnicas relacionadas a problemas de contagem. 1. Separando em
Leia maisBENEFÍCIOS X CARACTERÍSITCAS DOS PRODUTOS
BENEFÍCIOS X CARACTERÍSITCAS DOS PRODUTOS COMO CONQUISTAR O CORAÇÃO E A MENTE DOS CLIENTES Ter empatia com o cliente. Enxergar os benefícios da mesma maneira que o cliente. Tenha certeza de que o produto
Leia maisExercícios Adicionais
Exercícios Adicionais Observação: Estes exercícios são um complemento àqueles apresentados no livro. Eles foram elaborados com o objetivo de oferecer aos alunos exercícios de cunho mais teórico. Nós recomendamos
Leia maisMicrosoft Access: Criar relações para um novo banco de dados. Vitor Valerio de Souza Campos
Microsoft Access: Criar relações para um novo banco de Vitor Valerio de Souza Campos Conteúdo do curso Visão geral: relações são essenciais Lição: inclui oito seções Tarefas práticas sugeridas Teste Cartão
Leia maisO ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2
3.2 O Espaço Nulo de A: Resolvendo Ax = 0 11 O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 Esta seção trata do espaço de soluções para Ax = 0. A matriz A pode ser quadrada ou retangular. Uma solução imediata
Leia maisPrograma Olímpico de Treinamento. Aula 9. Curso de Combinatória - Nível 2. Tabuleiros. Prof. Bruno Holanda
Programa Olímpico de Treinamento Curso de Combinatória - Nível Prof. Bruno Holanda Aula 9 Tabuleiros Quem nunca brincou de quebra-cabeça? Temos várias pecinhas e temos que encontrar uma maneira de unir
Leia maisLista 1 para a P2. Operações com subespaços
Lista 1 para a P2 Observação 1: Estes exercícios são um complemento àqueles apresentados no livro. Eles foram elaborados com o objetivo de oferecer aos alunos exercícios de cunho mais teórico. Nós sugerimos
Leia mais