caderno Matemática Matemática e suas Tecnologias ELABORAÇÃO DE ORIGINAIS

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1 Matemática Matemática e suas Tecnologias caderno de ELABORAÇÃO DE ORIGINAIS BETO PAIVA Professor e coordenador pedagógico em escolas de ensino médio e cursos pré-vestibulares há mais de 35 anos. LEO PAULO DE ASSIS Graduado em engenharia civil pela Escola de Engenharia de São Carlos-SP da Universidade de São Paulo (USP). ODIMAR NAVAS FERRITE Graduado em matemática pelo Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas (Ibilce) da Universidade Estadual Paulista (Unesp) de São José do Rio Preto-SP. Material integrante do Sistema Ético de Ensino MA0.indd 8/0/ 09:47

2 PREZADO EDUCADOR, Ao longo de quase um século, professores e alunos de todo o Brasil têm mantido com a Editora Saraiva uma parceria efetiva como provedora de soluções didáticas acessíveis e de boa qualidade. Nosso objetivo constante é compartilhar com você a tarefa de garantir o acesso a materiais que contribuam para o bom desempenho escolar, a boa formação e a realização de todo o potencial de nossas crianças e jovens alunos. Motivados por essa intenção, apresentamos a você este Caderno de Revisão, concebido como ferramenta de reforço e apoio ao período de preparação dos alunos para as avaliações de final do Ensino Médio, como os vestibulares e o Enem. O Caderno de Revisão está organizado em módulos. Cada módulo, que pode ser ministrado em uma aula, é composto de: uma apresentação concisa do conteúdo teórico tralhado durante o curso; atividades inéditas e questões selecionadas de exames vestibulares. Prático e objetivo, este material reforça os pontos mais importantes tralhados durante o curso. Sem dúvida, seus alunos vestibulandos encontrarão nele uma ajuda valiosa para a indispensável revisão de conteúdo que antecede as provas. Além deste Caderno de Revisão, você encontra em nossas coleções didáticas para o Ensino Médio e seus sites, em nossa biblioteca digital, no portal Saraiva Educa e em nossos serviços de assessoria didática todo um conjunto de recursos pensados especialmente para fazer de suas aulas as melhores aulas e de seus alunos, jovens bem preparados para a nova fase de vida que chega com o final da Educação Básica. Um bom tralho! MA0.indd 7/0/ 7:5

3 Matemática Parte MA.0 Fatoração algébrica... 4 MA.0 Porcentagem/Aumentos e descontos percentuais... 6 MA.03 Equações do º e do º graus... 9 MA.04 Funções/Função do º grau... 3 MA.05 Função do º grau... 8 MA.06 Função composta e função inversa... MA.07 Função, equação e inequação exponenciais... 4 MA.08 Logaritmo: definição e condição de existência... 7 MB.0 Noções gerais de polígono/triângulos... 9 MB.0 Ângulos na circunferência... 3 MB.03 Teorema de Tales/Semelhança MB.04 Relações métricas no triângulo retângulo MB.05 Relações métricas na circunferência... 4 MB.06 Áreas das figuras planas MB.07 Prisma/Pirâmide MB.08 Cilindro/Cone... 5 MC.0 Trigonometria no triângulo retângulo MC.0 Lei dos senos e lei dos cossenos MC.03 Ciclo trigonométrico/seno e cosseno... 6 MC.04 Tangente/Outras relações trigonométricas MC.05 Equação e inequação trigonométricas MC.06 Adição de arcos e arcos duplos... 7 MC.07 Fatorial/Número binomial/triângulo de Pascal MC.08 Binômio de Newton Resolução dos exercícios complementares 79 Parte MA.09 Logaritmo: propriedades e mudança de base MA.0 Função, equação e inequação logarítmicas MA. Sequência/Progressão aritmética MA. Progressão geométrica... 0 MA.3 Matrizes e determinantes MA.4 Sistemas lineares... MB.09 Esfera... 6 MB.0 Números complexos: forma algébrica e operações... 8 MB. Polinômio: teoremas do resto e de D Alembert... MB. Polinômio: critérios de divisibilidade... 5 MB.3 Equação polinomial... 8 MB.4 Relações de Girard/Teorema das raízes complexas... 3 MC.09 Arranjos/Permutações MC.0 Permutações com repetição/combinações MC. Probilidade MC. Coordenadas cartesianas e distância entre pontos... 4 MC.3 Estudo da reta MC.4 Circunferência Resolução dos exercícios complementares MA0.indd 3 5 7/0/ :9

4 Módulo MA.0 3º CASO: DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS PRINCIPAIS CASOS DE FATORAÇÃO a b = (a + b) (a b) 4º CASO: TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO Fatorar significa decompor em fatores, isto é, transformar uma adição ou uma subtração em uma multiplicação. a + + b = (a + b) º CASO: FATOR COMUM REVISÃO DE PRODUTOS NOTÁVEIS Se aplicarmos a propriedade distributiva no produto a(x + y), teremos: a + b = (a b) a (x + y) = ax + ay I. (a b) (a + b) = a b II. (a + b) = a + + b III. (a b) = a + b IV. (a + b)3 = a b3 V. (a b)3 = a b3 Além desses, também temos: VI. Soma de dois cubos: (a + b) (a + b) = a3 + b3 VII. Diferença de dois cubos: (a b) (a + + b) = a3 b3 Então: ax + ay = a (x + y) Dizemos que o fator comum foi colocado em evidência. º CASO: AGRUPAMENTO Acompanhe a fatoração da expressão a seguir: N = ax + ay + bx + by A expressão N não possui um fator comum, mas, se separarmos as parcelas em grupos, teremos o fator a comum às duas primeiras parcelas e o fator b comum às duas últimas. Então: Reprodução proibida. Art. 84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Fatoração algébrica ATIVIDADES Fatore as expressões: a) xy3 6x3y + 0x4y N = a (x + y) + b (x + y) 4xy (3y 4xy + 5x) Nessa nova situação, x + y é um fator comum e, portanto, pode ser colocado em evidência: N = (x + y) (a + b) MA0.indd 4 7/0/ :9

5 b) 8a 4ac + 6 3bc 4a (a c) + 3b (a c) = (a c) (4a + 3b) c) x 4 y 4 (x ) (y ) = (x y ) (x + y ) = = (x y) (x + y) (x + y ) a + b 5a 5b b) A = ( ) ( + ) ( + ) a + b 5a 5b a + b a b 5 a b A = A = ( a + b) A = A = a + b A = 9 + A = 30 d) m + 6mn + 9n 4 (m + 3n ) 4 Determine a e b de modo que a b = e a + b = 4. (a b) = s a + b = s a + b = s s 4 = s = 40 = 0 a b = a b a b = = 5 e 0 = 4 MA.0 e) 7x 3 54x y + 36xy 8y 3 (3x) 3 3 (3x) y + 3 (3x) (y) (y) 3 = (3x y) 3 Reprodução proibida. Art. 84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. (PUC-MG) A expressão a 3 a a + pode ser escrita na forma de um produto de três fatores. A soma desses fatores é igual a: a) a + a 4 b) a + a c) 3a d) 3a 3 a a a + = a ( a ) ( a ) = = ( a ) ( a ) = ( a ) ( a ) ( a + ) Soma: a + a + a + = 3a Alternativa c EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES Sendo a e a, simplifique a expressão a a a a E = a a + a (Vunesp, adaptada) Se x + = λ, calcule, em função de λ, x o valor de x +. x 3 Considere os números naturais m e n tais que m n = 3. Determine os possíveis valores de m e n. 4 (FGV-SP, adaptada) Imagine dois números naturais não nulos. Seja D a diferença entre o cubo de sua soma e a soma de seus cubos. Mostre que D é múltiplo de 6. 3 Sendo a = 9 e b =, calcule o valor da expressão A em cada caso: 4a a) A = a 4a a A = s A = + 4 a b s A = A = a a a b 5 O valor da expressão: x y x xy y, para x =,5 x + y x y e y = 0,75, é: a) 0,5 d) 0,5 b) 0,5 e) 0,5 c) 0 a b a b 6 A expressão + b a b + a : é equivalente a: a) a b d) ( a b) b) ( a + b) e) a + b 5 c) a + b

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