Funções exponenciais e logarítmicas
|
|
- Ayrton Moreira Peralta
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções exponenciais e logarítmicas Parte 07 Parte 7 Matemática Básica 1 Parte 7 Matemática Básica 2 Observações Nosso enfoque aqui será mais do pontos de vista operacional do que conceitual. Uma construção conceitual das funções exponencial e logarítmica requer ferramentas de cálculo diferencial e integral. Para o leitor interessado em uma abordagem mais conceitual, indicamos as referências a seguir. y = f x) =a x, com a > 0ex R. 1) Vale que f 0) =a 0 = 1, para todo a > 0. Temos também que f x) =a x > 0 para todo a > 0ex R. 2) Vale que f p + q) =a p+q = a p a q = f p) f q). 3) Vale que f x + h)/f x) =a x+h /a x = a h não depende de x, apenas de h. 4) Vale que f é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1. Parte 7 Matemática Básica 3 Parte 7 Matemática Básica 4
2 y = f x) =a x, com a > 0ex R. y = f x) =a x, com a > 0ex R. y = f x) =a x é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1. É importante saber os gráficos das funções exponenciais! Parte 7 Matemática Básica 5 Parte 7 Matemática Básica 6 Motivação: dívida de R$ 1.00 a 100% ao ano Valor do dinheiro considerando 1 período de 12 meses: y = f x) =a x, com a > 0ex R = 2. Uma função exponencial especial: y = e x, com e = Valor do dinheiro considerando 2 períodos de 6 meses: + 1 = = ) Valor do dinheiro considerando 3 períodos de 4 meses: ) = = ) Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses: n. n Parte 7 Matemática Básica 7 Parte 7 Matemática Básica 8
3 Motivação: empréstimo de R$ 1.00 a 100% ao ano Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses: n. n Moral: como lim n /n) n = e = , o valor justo do pagamento um empréstimo de R$ 1.00 a 100% ao ano após 1 ano deveria ser de e = reais. Em Cálculo I -A- você aprenderá que e que e x = lim 1 + x ) n n + n e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + + x n n! + = i=0 x i i!. Cuidado: função exponencial função potência Cuidado: função exponencial função potência! Função exponencial: y = constante x. Função potência: y = x constante. y = x x não é uma função exponencial e nem uma função potência! Parte 7 Matemática Básica 9 Parte 7 Matemática Básica 10 f : R ]0, + [ x y = f x) =ax, com a ]0, + [ {1} Observações Note que A função f : R ]0, + [ é injetiva pois é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1). A função f : R ]0, + [ é sobrejetiva a prova deste fato requer ferramentas de análise). Logo f : ]0, + [ R é bijetiva e, portanto, inversível. A função inversa f 1 de f é denominada função logarítmica de base a. Usaremos a notação log a x) para representar f 1 x). Note então que, se x > 0, então log a x) éoúnico número real tal que a elevado a esse número dá o número real x. Parte 7 Matemática Básica 11 log a a x ) = x, para todo x R e a log a x) = x, para todo x ]0, + [. Se a = e = , então é usual escrever lnx) para representar log e x). Assim, lne x )=x para todo x R e e lnx) = x para todo x > 0. Parte 7 Matemática Básica 12
4 : propriedades y = f x) =log a x) com a > 0, a 1ex ]0, + [. É importante saber os gráficos das funções logarítmicas! Se x > 0, então log a x) éoúnico número real tal que a elevado a esse número dá o número real x. log a 1) =0 e log a a) =1, para todo a > 0ea 1. De fato: log a 1) é o único número real tal que a elevado a este número dá 1: a log a 1) = 1. Como a 0 também é igual a 1, segue-se que log a 1) =0. De fato: log a a) é o único número real tal que a elevado a este número dá a: a log a a) = a. Como a 1 também é igual a a, segue-se que log a a) =1. Parte 7 Matemática Básica 13 Parte 7 Matemática Básica 14 Se x > 0, então log a x) éoúnico número real tal que a elevado a esse número dá o número real x. Se p > 0eq > 0, então log a p q) =log a p)+log a q). De fato: log a p q) é o único número real tal que a elevado a este número dá p q: a log a p q) = p q. Agora: a log a p)+log a q) = a log a p) a log a q) = p q. Logo, log a p q) =log a p)+log a q). Fica como exercício demonstrar as propriedades a seguir. Se p > 0er R, então log a p r )=r log a p). Se p > 0eq > 0, então log a p/q) =log a p) log a q). Se x > 0, a > 0, b > 0, a 1eb 1, então log a x) =log b x)/ log b a). Parte 7 Matemática Básica 15 Parte 7 Matemática Básica 16
5 Habilidade fundamental: mudar para base e x x = e lnx x ) = e x lnx) 1 + sen4 x)) cotgx) = e ln[1+sen4 x))cotgx) ] = cotgx) ln1+sen4 x)) e Funções potência, logarítmica e afim y = C x a, com C > 0, x > 0ea R função potência) lny) =lnc x a ) lny) =lnc)+lnx a ) lny) =lnc)+a lnx) 2 x = e ln2x ) = e x ln2) x 2 = e lnx 2) = e 2 lnx) para x > 0) Fazendo ỹ = lny) e x = lnx), vemos que: y = C x a, com C > 0, x > 0ea R função potência) ỹ = lnc)+a x função afim) Em escala logarítmica, funções potência são funções afins! Parte 7 Matemática Básica 17 Parte 7 Matemática Básica 18
Funções exponenciais e logarítmicas
Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções exponenciais e logarítmicas Parte 07 Parte 7 Matemática Básica 1 Parte 7 Matemática
Leia maisFunções potência da forma f (x) =x n, com n N
Folha 1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções potência da forma f (x) =x n, com n N Parte 08 Parte 8 Matemática Básica 1
Leia maisA função raiz quadrada
Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense A função raiz quadrada Parte 6 Parte 6 Matemática Básica 1 Parte 6 Matemática Básica 2 A função
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula de maio de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 11 28 de maio de 2010 Aula 11 Pré-Cálculo 1 A função raiz quadrada f : [0, + ) [0, + ) x y
Leia maisEscalas em Gráficos. Pré-Cálculo. Cuidado! Cuidado! Humberto José Bortolossi. Parte 4. Um círculo é desenhado como uma elipse.
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Escalas em Gráficos Parte 4 Parte 4 Pré-Cálculo 1 Parte 4 Pré-Cálculo 2 Cuidado! Cuidado! Um círculo
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS. Humberto José Bortolossi
GMA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA LISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo I A Humberto José Bortolossi http://wwwprofessoresuffbr/hjbortol/ 03 Operações com funções: soma, diferença, produto, quociente, composição
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula de maio de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 10 23 de maio de 2010 Aula 10 Pré-Cálculo 1 Funções injetivas Funções injetivas, sobrejetivas
Leia maisFunções. Pré-Cálculo. O que é uma função? O que é uma função? Humberto José Bortolossi. Parte 2. Definição
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções Parte 2 Parte 2 Pré-Cálculo 1 Parte 2 Pré-Cálculo 2 O que é uma função? O que é uma função?
Leia maisFunções monótonas. Pré-Cálculo. Funções decrescentes. Funções crescentes. Humberto José Bortolossi. Parte 3. Definição. Definição
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções monótonas Parte 3 Parte 3 Pré-Cálculo 1 Parte 3 Pré-Cálculo 2 Funções crescentes Funções
Leia maisFunções. Matemática Básica. O que é uma função? O que é uma função? Folha 1. Humberto José Bortolossi. Parte 07. Definição
Folha 1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções Parte 07 Aula 9 Matemática Básica 1 Aula 9 Matemática Básica 2 O que é uma
Leia maisPropriedades das Funções Contínuas e Limites Laterais Aula 12
Propriedades das Funções Contínuas e Limites Laterais Aula 12 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 27 de Março de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 -
Leia maisCálculo I -A- Humberto José Bortolossi. Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense. Parte de novembro de 2013
Folha 1 Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 16 13 de novembro de 2013 Parte 16 Cálculo I -A- 1 Aproximações lineares (afins)
Leia maisLimites de Funções. Bases Matemáticas. 2 o quadrimestre de o quadrimestre de / 57
2 o quadrimestre de 2017 2 o quadrimestre de 2017 1 / Visão Geral 1 Limites Finitos Limite para x ± 2 Limites infinitos Limite no ponto Limite para x ± 3 Continuidade Definição e exemplos Resultados importantes
Leia maisFunção Exponencial, Inversa e Logarítmica
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1 Função Exponencial, Inversa e Logarítmica Bruno Conde Passos Engenharia Civil Rodrigo Vanderlei - Engenharia Civil Função Exponencial Dúvida: Como
Leia maisFunções e Limites - Aula 08
Funções e Limites - Aula 08 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 22 de Março de 2013 Primeiro Semestre de 2013 Turma 2013104 - Engenharia de Computação Definição
Leia maisFunção Exponencial, Inversa e Logarítmica
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.2 Função Exponencial, Inversa e Logarítmica Bárbara Simionatto Engenharia Civil Jaime Vinícius - Engenharia de Produção Função Exponencial Dúvida:
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS. Humberto José Bortolossi
GMA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA LISTA DE EXERCÍCIOS Matemática Básica Humberto José Bortolossi http://wwwprofessoresuffbr/hjbortol/ 09 Funções reais (domínio, imagem e gráfico), funções monótonas,
Leia maisFunções monótonas. Pré-Cálculo. Atividade. Funções crescentes. Parte 3. Definição
Pré-Cálculo Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções monótonas Parte 3 Funções crescentes Pré-Cálculo 1 Atividade Pré-Cálculo 2 Dizemos que uma função f : D C é crescente
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I
Provas e listas: Cálculo Diferencial e Integral I Período 204.2 Sérgio de Albuquerque Souza 4 de maio de 205 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departamento de Matemática http://www.mat.ufpb.br/sergio
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CÁLCULO L NOTAS DA NONA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos as funções logaritmo e exponencial e calcularemos as suas derivadas. Também estabeleceremos algumas propriedades
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I 1 o Sem. 2016/17 - LEAN, MEMat, MEQ
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I o Sem. 06/7 - LEAN, MEMat, MEQ FICHA 8 - SOLUÇÕES Regra de Cauchy. Estudo de funções.. a) 0; b) ln ; c) ln ; d) +
Leia maisHumberto José Bortolossi x 1 < 0 x2 x 12 < 0. x 1 x + 12 (x + 3)(x 4)
SEGUNDA VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM Matemática Básica Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ Nome legível: Assinatura: [0] (2.0) Resolva a inequação x 2 < x + 2 no conjunto dos
Leia maisCÁLCULO I. 1 A Função Logarítmica Natural. Objetivos da Aula. Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural. Denir a função f(x) = ln x;
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural Objetivos da Aula Denir a função f(x) = ln x; Calcular limites, derivadas e integral envolvendo a função
Leia maisFunções, Seqüências, Cardinalidade
Funções, Seqüências, Cardinalidade Prof.: Rossini Monteiro Noções Básicas Definição (Função) Sejam A e B conjuntos. Uma função de A em B é um mapeamento de exatamente um elemento de B para cada elemento
Leia maisLimites, continuidade e diferenciação de funções
Matemática 1 Semanas 9, 10 e 11 Professor Luiz Claudio Pereira Faculdade de Planaltina Universidade de Brasília Material Previsto para três semanas 113018 (UNB) Luiz Claudio Pereira 2017 1 / 100 Limites,
Leia maisAulas n o 22: A Função Logaritmo Natural
CÁLCULO I Aulas n o 22: A Função Logaritmo Natural Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida 1 A Função Logaritmo Natural 2 Derivadas e Integral Propriedades dos Logaritmos 3 Gráfico Seja x > 0. Definimos
Leia maisMATEMÁTICA. Função e Equação Logaritmo. Professor : Dêner Rocha. Monster Concursos 1
MATEMÁTICA Função e Equação Logaritmo Professor : Dêner Rocha Monster Concursos 1 Logaritmos Definição A ideia que concebeu o logarítmo é muito simples, ou seja, podemos associar o termo Logaritmo, como
Leia maisMAT Aula 12/ 23/04/2014. Sylvain Bonnot (IME-USP)
MAT 0143 Aula 12/ 23/04/2014 Sylvain Bonnot (IME-USP) 2014 1 Resumo: 1 Site: http://www.ime.usp.br/~sylvain/courses.html 2 Hoje: correção da prova + derivadas. 3 Derivadas: definição de f (a) e equação
Leia maisA derivada (continuação) Aula 17
A derivada (continuação) Aula 17 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 08 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia Mecânica Teorema
Leia maisMódulo (ou valor absoluto) de um número real: a função modular
Matemática Básica Humberto José Bortolossi Deartamento de Matemática Alicada Universidade Federal Fluminense Módulo (ou valor absoluto) de um número real: a função modular Parte 5 Parte 5 Matemática Básica
Leia maisIntegração por Partes
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integração por Partes
Leia maisMATEMÁTICA I LIMITE. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari
MATEMÁTICA I LIMITE Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari amanda@fcav.unesp.br Parte 1 Limites Definição de vizinhança e ite Limites laterais Limite de função real com uma variável real Teorema da existência
Leia maisGabarito das Questões do Curso de Nivelamento LISTA 2
Gabarito das Questões do Curso de Nivelamento LISTA 2 Questão 01: a) Quociente = 3x + 7, resto = 193 b) Quociente = 5t 2 + 7t + 5, resto = 0 c) Quociente = 5y 3 + y 2 4y + 15, resto = 43 Questão 02: a)
Leia maisDerivada - Parte 2 - Regras de derivação
Derivada - Parte 2 - Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br http://paginapessoal.utfpr.edu.br/previero Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR Câmpus Londrina Wellington D. Previero Derivada
Leia maisDerivadas. Slides de apoio sobre Derivadas. Prof. Ronaldo Carlotto Batista. 21 de outubro de 2013
Cálculo 1 ECT1113 Slides de apoio sobre Derivadas Prof. Ronaldo Carlotto Batista 21 de outubro de 2013 AVISO IMPORTANTE Estes slides foram criados como material de apoio às aulas e não devem ser utilizados
Leia maisGabarito da Prova Final Unificada de Cálculo I- 2015/2, 08/03/2016. ln(ax. cos (
Gabarito da Prova Final Unificada de Cálculo I- 05/, 08/03/06. Considere a função f : (0, ) R definida por ln(ax ), se x, f(x) = 6 ln cos ( π, x 3 se 0 < x
Leia maisTrigonometria. Trigonometria no Triângulo Retângulo. Pré-Cálculo. Trigonometria. Humberto José Bortolossi. Parte 7. trigonometria
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Trigonometria Parte 7 Parte 7 Pré-Cálculo 1 Parte 7 Pré-Cálculo 2 Trigonometria trigonometria Trigonometria
Leia maisMAT Aula 14/ 30/04/2014. Sylvain Bonnot (IME-USP)
MAT 0143 Aula 14/ 30/04/2014 Sylvain Bonnot (IME-USP) 2014 1 Resumo: 1 Site: http://www.ime.usp.br/~sylvain/courses.html 2 Derivada de sen, cos 3 Regra da cadeia 4 Funções inversas 5 Derivada da função
Leia maisPré-Cálculo ECT2101 Slides de apoio Funções II
Pré-Cálculo ECT2101 Slides de apoio Funções II Prof. Ronaldo Carlotto Batista 8 de abril de 2017 Funções Trigonométricas As funções trigonométricas são denidas no círculo unitário: sen (θ) = y r, cos (θ)
Leia maisMATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari
MATEMÁTICA II Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari amanda.perticarrari@unesp.br Generalidades Aplicação: integrais cujos integrandos são compostos de: produtos; funções trigonométricas;
Leia maisNovas Tecnologias no Ensino da Matema tica
Novas Tecnologias no Ensino da Matema tica (GMA00144) Novas Tecnologias no Ensino da Matema tica Lista 12 Humberto Jose Bortolossi ATIVIDADE 1 (a) Sejam u = (a b)/(a b), v = (b c)/(b c) e w = (c a)/(c
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 8 26 de abril de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 8 26 de abril de 200 Aula 8 Pré-Cálculo O que é uma função? Funções reais Uma função real f
Leia mais0.1 Função Inversa. Notas de Aula de Cálculo I do dia 07/06/ Matemática Profa. Dra. Thaís Fernanda Mendes Monis.
Notas de Aula de Cálculo I do dia 07/06/03 - Matemática Profa. Dra. Thaís Fernanda Mendes Monis. 0. Função Inversa Definição. Uma função f : A C é injetiva se f(x) f(y) para todo x y, x, y A. Seja f :
Leia maisCONTINUIDADE E LIMITES INFINITOS
MATEMÁTICA I CONTINUIDADE E LIMITES INFINITOS Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari Parte 1 Continuidade de Funções Definição Tipos de Descontinuidade Propriedades Parte 2 Limites Infinitos Definição
Leia maisFun c ao Logaritmo Fun c ao Logaritmo ( ) F. Logaritmo Matem atica II 2008/2009
Função Logaritmo (27-02-09) Função Logaritmo Acabámos de estudar a função exponencial, cuja forma mais simples é a função f(x) = e x. Resolvemos vários problemas que consistiam em calcular f(x 0 ) para
Leia maisCálculo 1 Fuja do Nabo. Resumo e Exercícios P2
Cálculo 1 Fuja do Nabo Resumo e Exercícios P2 Fórmulas e Resumo Teórico Limites Exponenciais e Logarítmicos lim $ &' 1 + 1 x $ = e ou lim $ 0 1 + h 2 3 = e a $ 1 lim $ 0 x = ln a, a > 0 Derivadas Exponenciais
Leia maisFunções. Pré-Cálculo. O que é uma função? O que é uma função? Humberto José Bortolossi. Parte 2. Definição
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções Parte 2 Parte 2 Pré-Cálculo Parte 2 Pré-Cálculo 2 O que é uma função? O que é uma função?
Leia maisCÁLCULO I Aula 03: Funções Logarítmicas, Exponenciais e
CÁLCULO I Aula 03: s, e. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará 1 2 3 4 A Seja x > 0. Denimos a função logarítmica natural como sendo a função dada pela medida da área
Leia maisLINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS
LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS Física Básica Experimental I Departamento de Física / UFPR Processo de Linearização de Gráficos O que é linearização? procedimento para tornar uma curva que não é uma reta em uma
Leia maisFunções I. Alan Anderson. 1 Denição, Intuição e Primeiro Exemplo
Funções I Alan Anderson 30 de maio de 2016 1 Denição, Intuição e Primeiro Exemplo Começaremos com dois conjuntos não-vazios A e B. Intuitivamente, uma função f : A B é uma relação entre conjuntos de A
Leia maisFUNÇÃO EXPONENCIAL. e) f(x) = 10 x. 1) Se a > 1 2) Se 0 < a < 1. Observamos que nos dois casos, a imagem da função exponencial é: Im = R + *.
FUNÇÃO EXPONENCIAL Definição: Dado um número real a, com a > 0 e a, chamamos função eponencial de base a a função f de R R que associa a cada real o número a. Podemos escrever, também: f: R R a Eemplos
Leia maiscompreendendo as funções exponenciais e logarítmicas com o auxílio do cálculo diferencial
V Bienal da SBM Sociedade Brasileira de Matemática UFPB - Universidade Federal da Paraíba 18 a 22 de outubro de 2010 compreendendo as funções exponenciais e logarítmicas com o auxílio do cálculo diferencial
Leia mais1. Polinómios e funções racionais
Um catálogo de funções. Polinómios e funções racionais Polinómios e funções racionais são funções que se podem construir usando apenas as operações algébricas elementares. Recordemos a definição: Definição
Leia maisFUNÇÃO EXPONENCIAL. Note que uma função exponencial tem uma base constante e um expoente variável.
FUNÇÃO EXPONENCIAL DEFINIÇÃO: Chama-se função exponencial qualquer função f: R R dada por uma lei da forma f(x) =a x, em que a é um número real dado, a>0 e a 1. Exemplos: y = 2 x ; f(x)=(1/3) x ; f(x)
Leia maisCÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida
Objetivos da Aula CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 03: Funções Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas Definir as funções logarítmica, exponencial e hiperbólicas; Enunciar
Leia maisDados dois conjuntos A, B é dito produto cartesiano de A com B o conjunto
1 Algumas definições sobre funções Dados dois conjuntos A, B é dito produto cartesiano de A com B o conjunto A B = {(a, b) : a A, b B}. Dados dois conjuntos A, B, uma função de A em B é uma lei que associa
Leia maisMATEMÁTICA I FUNÇÕES. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari
MATEMÁTICA I FUNÇÕES Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari amanda.perticarrari@unesp.br Conteúdo Função Variáveis Traçando Gráficos Domínio e Imagem Família de Funções Funções Polinomiais Funções Exponenciais
Leia maisDados dois conjuntos A, B é dito produto cartesiano de A com B o conjunto
1 Algumas definições sobre funções Dados dois conjuntos A, B é dito produto cartesiano de A com B o conjunto A B = {(a, b) : a A, b B}. Dados dois conjuntos A, B, uma função de A em B é uma lei que associa
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Função Logarítmica. Função logarítmica e propriedades - Parte 1. Primeiro Ano - Ensino Médio
Material Teórico - Módulo de Função Logarítmica Função logarítmica e propriedades - Parte 1 Primeiro Ano - Ensino Médio Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 1 Motivação
Leia maisEscola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo LCE0130 Cálculo Diferencial e Integral
Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo LCE0130 Cálculo Diferencial e Integral Taciana Villela Savian Sala 304, pav. Engenharia, ramal 237 tvsavian@usp.br tacianavillela@gmail.com
Leia maisComecemos por relembrar as propriedades das potências: = a x c) a x a y = a x+y
. Cálculo Diferencial em IR.1. Função Exponencial e Função Logarítmica.1.1. Função Exponencial Comecemos por relembrar as propriedades das potências: Propriedades das Potências: Sejam a e b números positivos:
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula de junho de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 14 17 de junho de 2011 Aula 14 Pré-Cálculo 1 Funções da forma x elevado a menos n Aula 14 Pré-Cálculo
Leia maisInformática no Ensino da Matemática
Informática no Ensino da Matemática Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ Lista de Exercícios 3 ATIVIDADE 1 (a) Sejam u =(a b)/(a + b), v =(b c)/(b + c) ew =(c a)/(c + a). Mostre
Leia maisFUNÇÃO EXPONENCIAL. e) f(x) = 10 x. 1) Se a > 1 2) Se 0 < a < 1. Observamos que nos dois casos, a imagem da função exponencial é: Im = R + *.
FUNÇÃO EXPONENCIAL Definição: Dado um número real a, tal que 0 < a?, chamamos função eponencial de ase a a função f de R R que associa a cada real o número a. Podemos escrever, tamém: f: R R a Eemplos
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos
CÁLCULO L NOTAS DA DÉCIMA OITAVA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos a primeira técnica de integração: mudança
Leia maisAna Carolina Boero. Página: Sala Bloco A - Campus Santo André
Funções de uma variável real a valores reais E-mail: ana.boero@ufabc.edu.br Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Funções de uma variável real a valores
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 9 30 de abril de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 9 3 de abril de Aula 9 Pré-Cálculo Cuidado! Se os eios coordenados são desenhados com escalas
Leia maisDerivadas. Incremento e taxa média de variação
Derivadas Incremento e taxa média de variação Consideremos uma função f, dada por y f (x). Quando x varia de um valor inicial de x para um valor x, temos o incremento em x. O símbolo matemático para a
Leia maisAcadêmico(a) Turma: Capítulo 4: Derivada. A derivada por ser entendida como taxa de variação instantânea de uma função e expressa como:
1 Acaêmico(a) Turma: Capítulo 4: Derivaa 4.1 Definição A erivaa por ser entenia como taxa e variação instantânea e uma função e expressa como: f (x) = y = y x Eq. 1 Assim f (x) é chamao e erivaa a função
Leia maisINSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO- UTL MATEMÁTICA I - GESTÃO
A NOME: INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO- UTL MATEMÁTICA I - GESTÃO PAE - 13 / 02 / 2004 Duração: 2 horas TURMA: Primeira Parte (12 valores) Na primeira parte, cada questão vale um valor e as respostas
Leia maisDerivadas. Capítulo O problema da reta tangente
Capítulo 5 Derivadas Este capítulo é sobre derivada, um conceito fundamental do cálculo que é muito útil em problemas aplicados. Este conceito relaciona-se com o problema de determinar a reta tangente
Leia maisFUNÇÕES. a < 0. a = 0. a > 0. b < 0 b = 0 b > 0
FUNÇÕES As principais definições, teorias e propriedades sobre funções podem ser encontradas em seu livro-teto (Guidorizzi, vol1, Stewart vol1...); Assim, não vamos aqui nos alongar na teoria que pode
Leia mais4. AS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
43 4. AS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 4.1. A FUNÇÃO EXPONENCIAL Vimos no capítulo anterior que dado a R +, a potência a pode ser definida para qualquer número R. Portanto, fiando a R +, podemos definir
Leia maisExercícios de Complementos de Matemática I
Exercícios de Complementos de Matemática I 9 de Novembro de 018 Semana I-II-III Do Leithold: Exercicios 1.1: ex. 1 até 56. Exercicios de revisão do cap. 1., pag 5-53: ex 1 até ex 0. Exercìcio 1. Sejam
Leia maisANÁLISE MATEMÁTICA II
ANÁLISE MATEMÁTICA II Acetatos de Ana Matos Séries de Potências DMAT Séries de Potências As séries de potências são uma generalização da noção de polinómio. Definição: Sendo x uma variável e a, chama-se
Leia maisApresentação do curso
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Apresentação do curso Parte 1 Parte 1 Pré-Cálculo 1 Parte 1 Pré-Cálculo 2 Conteúdo do curso Números
Leia maisProf. Doherty Andrade. 25 de outubro de 2005
Funções Hiperbólicas - Resumo Prof. Doherty Andrade 5 de outubro de 005 Sumário Funções Transcendentes. Função Logaritmo Natural............................ Funções Trigonométricas Hiperbólicas.....................
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 5 27 de agosto de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 5 27 de agosto de 200 Aula 5 Pré-Cálculo Expansões decimais: exemplo Números reais numericamente
Leia maisUnidade 5 Diferenciação Incremento e taxa média de variação
Unidade 5 Diferenciação Incremento e taa média de variação Consideremos uma função f dada por y f ( ) Quando varia de um valor inicial de para um valor final de, temos o incremento em O símbolo matemático
Leia maisNotas de Aula Disciplina Matemática Tópico 09 Licenciatura em Matemática Osasco -2010
. Logaritmos Definição: O logaritmo de um número real x na base n, denotado por log n x, é definido como o expoente ao qual devemos elevar o número n para obtermos como resultado o número x, ou seja log
Leia maisMatemática Aplicada à Tecnologia
Provas e listas: Matemática Aplicada à Tecnologia Período 2015.2 Sérgio de Albuquerque Souza 4 de maio de 2016 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departamento de Matemática http://www.mat.ufpb.br/sergio
Leia maisNegação. Matemática Básica. Negação. Negação. Humberto José Bortolossi. Parte 3. Regras do Jogo. Regras do Jogo
Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 3 Parte 3 Matemática Básica 1 Parte 3 Matemática Básica 2 Qual é a negação do predicado
Leia maisFunção polinomial. Pré-Cálculo. Função polinomial. Função polinomial: exemplos. Humberto José Bortolossi. Parte 6. Definição
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Função polinomial Parte 6 Parte 6 Pré-Cálculo 1 Parte 6 Pré-Cálculo 2 Função polinomial Função polinomial:
Leia maisSéries Potências II. por Abílio Lemos. Universidade Federal de Viçosa. Departamento de Matemática UFV. Aulas de MAT
Séries Potências II por Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática-CCE Aulas de MAT 147-2018 26 e 28 de setembro de 2018 Se a série de potências c n (x a) n tiver um raio de convergência
Leia maisLIMITES E CONTINIDADE
MATEMÁTICA I LIMITES E CONTINIDADE Prof. Dr. Nelson J. Peruzzi Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari Parte 1 Parte 2 Limites Infinitos Definição de vizinhança e ite Limites laterais Limite de função
Leia maisDerivadas 1
www.matematicaemexercicios.com Derivadas 1 Índice AULA 1 Introdução 3 AULA 2 Derivadas fundamentais 5 AULA 3 Derivada do produto e do quociente de funções 7 AULA 4 Regra da cadeia 9 www.matematicaemexercicios.com
Leia maisAULA 7- FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS VERSÃO 1 - MAIO DE 2018
CURSO DE BIOMEDICINA CENTRO DE CIÊNCIAS DA SAÚDE UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PETRÓPOLIS MATEMÁTICA AULA 7- FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS VERSÃO 1 - MAIO DE 2018 Professor: Luís Rodrigo E-mail: luis.goncalves@ucp.br
Leia maisCálculo I -A- Humberto José Bortolossi. Parte 1 Versão 0.9. [Folha 1] Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
[Folha 1] Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 1 Versão 0.9 Parte 1 Cálculo I -A- 1 Conteúdo do curso [Folha 2] Apresentação
Leia mais1. Integração por partes. d dx. 1. Integração por partes
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integração por Partes
Leia maisMatemática Aplicada à Economia LES 201. Aulas 19 e 20 Funções exponenciais e logarítmicas. Luiz Fernando Satolo
Matemática Aplicada à Economia LES 201 Aulas 19 e 20 Funções exponenciais e logarítmicas Luiz Fernando Satolo Funções Exponenciais e Logaritmicas Chiang, cap. 10 Funções exponenciais e logarítmicas várias
Leia mais1. Resolva a desigualdade e exprima a solução em termos de intervalos, quando possível. (f) x + 3 < 0, 01. (g) 3x 7 5.
Lista de Exercícios de Cálculo I - Funções de uma variável Real 1. Resolva a desigualdade e exprima a solução em termos de intervalos, quando possível. (a) 2x + 5 < 3x 7 3 2x 3 5 7 (c) x 2 x 6 < 0 (d)
Leia maisUniversidade Federal de Pelotas Disciplina de Introdução à Economia Matemática Professor Rodrigo Nobre Fernandez. Primeira Avaliação
Universidade Federal de Pelotas Disciplina de Introdução à Economia Matemática Professor Rodrigo Nobre Fernandez Primeira Avaliação ) Sejam definidos os seguintes conjuntos ( ponto): I = Conjunto de pessoas
Leia mais1 Módulo: Fatoração. 1.1 Exemplos
1 Módulo: Fatoração Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões chamadas fatores. Existem vários casos de fatoração como: Fator comum em evidência: quando os termos
Leia maisLista 2 Funções: Definição e exemplos
Lista Funções: Definição e exemplos. Seja f : R R definida por f(x) = x 3. Qual é o elemento do dominio que 5 tem 3 como imagem? 4. É dada uma função real tal que: (a) f(x) f(y) = f(x + y) (b) f() = (c)
Leia maisMATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - Limites e Continuidade Propostas de resolução
MATEMÁTICA A - 2o Ano Funções - Limites e Continuidade Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios. Como a função é contínua em R, também é contínua em x 0, pelo que Temos que fx f0
Leia maisCapítulo 5 Derivadas
Departamento de Matemática - ICE - UFJF Disciplina MAT54 - Cálculo Capítulo 5 Derivadas Este capítulo é sobre derivada, um conceito fundamental do cálculo que é muito útil em problemas aplicados. Este
Leia maisb χ 2 (a 1)(b 1), sob H 0,
ISTITUTO SUPERIOR DE AGROOMIA ESTATÍSTICA E DELIEAMETO 3 de ovembro, 014 PRIMEIRO TESTE 014-15 Uma resolução possível I Tem-se uma tabela de contingências de dimensão 4. 1. O problema colocado corresponde
Leia mais