MAT-103 Complementos de Matemáticas para Contabilidade Prof. Juan Carlos Gutierrez Fernandez

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1 MAT-03 Complementos de Matemáticas para Contabilidade Prof Juan Carlos Gutierrez Fernandez Lista : Números é funções Ano 206 Em uma pesquisa foram encontrados os seguintes resultados: 60% das pessoas entresvistadas fumam a marca A de cigarro; 50% fumam a marca B; 45% a marca C; 20% fumam A e B; 30% fumam A e C; 5% fumam B e C, e 8% fumam as 3 marcas Que porcentagem não fuma nenhuma das 3 marcas? Que porcentagem fuma exatamente duas marcas? 2 Considere os conjuntos A = {n ZZ n 3} e B =], 2[ Quantos elementos contém o conjunto P(A B) das partes de A B? 3 Exprimir na forma de fração de números inteiros os números racionais abaixo 0, 37, 23, Se x 4 < 0, e y 7 < 0, 2, use a Desigualdade Triangular para estimar (x + y) 5 Resolva a inequação e represente o conjunto solução na reta real (a) 3x < 4 (b) + 5x > 5 3x (c) < 2x 5 < 7 (d) 4x < 2x + 3x + 2 (e) (x )(x 2) > 0 (f) x 2 < 2x + 8 (g) x 3 + 3x < 4x 2 (h) x 2 + x + > 0 (i) x 3 > x (j) < x < 4 (k) x 4 < (l) 0 < x 5 < 2 6 Resolva a equação para x (a) x + 3 = 2x +, (b) 2x = 3 x + 7 Demonstre que x y x y para todo x, y IR 8 Mostre que a soma, a diferença e o produto de dois números racionais é racional A soma de dois números irracionais é irracional? O produto de dois números irracionais é irracional? 9 Simplificar cada expressão x + x 2 x+, x + ( x + x Racionalize o numerador ou denominador: 3 x +,,, )( + 2x 2 x 2 + x x + )

2 2 Simplifique as expressões: ( 3x 3 )/ x3 + 2 (x 3 + ), x x + x 2 2 Seja a IR Determine um polinômio q(x) tal que x 5 a 5 = (x a)q(x) 3 Para cada uma das funções abaixo, determine seu domínio e esboce o gráfico (a) f(x) = x + (b) f(x) = x 2 (c) f(x) = x 3 + (d) f(x) = (x + ) 3 (e) f(x) = x (f) f(x) = x 2 + (g) f(x) = x3 2x 4 (h) f(x) = 2x (i) f(x) = x2 x 2 x 4 Resolva as seguintes equações (a) 2x = 4 (b) 8 2x = x + 6 (c) x 2 x = 5 (d) 5 x = 2(x + ) (e) 5x + 6 = 2 + 5x 6 5 Resolva o sistema { 2x 3y = 3x + 5y = 7 6 Resolva a equação de segundo grau 4y 2 2y + 9 = 0 7 Resolver o sistema de inequações do primeiro grau { 5x 3 < 8x Resolva a inequação 6x + 5 > 9x 2x 2 x 5 x 2 6x + 9 < 0 9 Calcular o termo em x 8 no desenvolvimento de (x x 2 ) 8 20 Represente graficamente (no plano) a inequação x + 2y > 5 2 Ache uma equação da reta que satisfaz as condições dadas (a) Que passa pelo ponto (2, 3) e inclinação 6 (b) Que passa pelos pontos (2, ) e (, 6) 22 Um fabricante obteve os seguintes dados referente ao custo y (em reais), para produzir x unidades de um certo bem Número de unidades, x Custo, y (a) Represente graficamente o custo y em relação à quantidade produzida x; (b) Trace a reta que passa pelos pontos (0,200) e (00,250); (c) Determine uma equação para essa reta; (d) Considerando esta equação como uma aproximação da relação entre o custo e o nível de produção, estime o custo de se produzirem 54 unidades do bem em questão

3 23 A porcentagem de pessoas acima de 65 anos que possuem diploma de segundo grau está resumida na tabela a seguir 3 Ano, x Porcentagem com diploma, y (a) Represente graficamente a porcentagem de pessoas acima de 65 anos que possuem diploma de segundo grau em função do ano; (b) Trace a reta L que passa pelos pontos (960,20) e (990,52); (c) Determine uma equação para a reta L; (d) Mantendo a tendência, estime a porcentagem de pessoas acima de 65 anos que possuem diploma de segundo grau no ano Definições Demanda de um determinado bem é a quantidade x desse bem que os consumidores estão dispostos a comprar num certo intervalo de tempo A demanda depende de várias variáveis, como preço unitário do bem, renda do consumidor, preços de bens substitutos, preferências, etc Supondo-se que todas as variáveis mantenham-se constantes, exceto o preço p verifica-se que o preço p relaciona-se com a quantidade demandada x e essa relação entre p e x, pode ser indicada por p = f(x) ou por x = g(p), que são chamadas função preço e função demanda, respectivamente Observamos que apenas os segmentos das curvas que estão no primeiro quadrante interessam à análise econômica A equação dando a relação entre a quantidade x de mercadoria demandada e o preço p é chamada equação de demanda O gráfico da equação de demanda é chamado curva de demanda e é usual na economia usar o eixo vertical para representar o preço e o eixo horizontal para representar a demanda Assim, a curva da demanda é o gráfico da função preço Normalmente a declividade de uma curva de demanda é negativa, isto é, à medida que o preço aumenta, a quantidade procurada diminui, e à medida que o preço diminui, a quantidade procurada aumenta A função oferta representa a relação entre o preço de mercado de um bem e a quantidade desse mesmo bem que os produtores estão dispostos a produzir e a vender, isto é, a função oferta relaciona o preço como função da quantidade ofertada Uma equação envolvendo estas duas variáveis é chamada equação de oferta A curva que representa o preço p em função da quantidade ofertada x é chamada de curva da oferta A relação que se verifica entre o preço e a quantidade oferecida é por norma positiva, resultando daí uma curva da oferta com inclinação positiva, o que significa que quanto maior é o preço, maior é a quantidade do bem que os produtores querem produzir e vender

4 4 Chamaremos a totalidade das empresas que produzem a mesma mercadoria de indústria O mercado para uma certa mercadoria consta da indústria e dos consumidores da mercadoria Os mercados tendem a equilibrar-se pela lei da oferta e da procura Nos períodos em que a oferta de um determinado produto excede muito à procura, seu preço tende a cair Já em períodos nos quais a demanda passa a superar a oferta, a tendência é o aumento do preço O equilíbrio de mercado ocorre quando a quantidade de mercadoria demandada, a um determinado preço, é igual à quantidade de mercadoria oferecida a esse preço e o preço da mercadoria é chamado preço de equilíbrio A quantidade que equilíbrio e o preço de equilíbrio são determinados resolvendo-se simultaneamente as equações demanda e oferta do mercado O ponto de equilíbrio é o ponto intersecção das curvas oferta e demanda e portanto sua primeira coordenada é a quantidade de equilíbrio e a segunda o preço de equilíbrio 25 Suponha que as equações de demanda e oferta de mercado de um determinado bem sejam, respectivamente, x 2 + p 2 25 = 0 e 2x p + 2 = 0, onde p = p(x) é o preço do lote e x é um lote com 00 unidades Determine a quantidade e o preço de equilíbrio Esboce as curvas de oferta e de demanda, mostrando o ponto E de equilíbrio 26 Quando um certo produto é vendido ao preço de p reais, a oferta é O(p) = p 0 unidades e a demanda é D(p) = 5600 Ache o preço de equilíbrio p 27 Sabendo-se que o custo mensal total de produção de um certo produto é C(x) = 2x + 0, 0x 2, onde x denota a quantidade produzida, e que a equação de demanda desse produto é p = 0, 05x (onde x é a quantidade demandada quando o preço é p), qual deve ser o preço cobrado para maximizar o lucro se a capacidade máxima de produção é: (a) 2000 unidades por mês? (b) 4000 unidades por mês? 28 Deseja-se construir uma embalagem cilíndrica com 80π cm 3 de volume O custo, por cm 2, para construir a tampa e o fundo de metal é duas vezes o custo, por cm 2 para construir a lateral de papelão Expresse o custo para construir a embalagem em função de seu raio, dado que o custo da lateral é R$ 0,02 por cm 2 29 Um loja compra camisetas a R$ 5,00 a unidade A loja revende 00 camisetas por mês, cobrando R$ 8,00 por unidade Para estimular a venda, a loja planeja reduzir o preço de venda Estima-se que para cada redução de R$,00 no preço, a loja venderá 25 camisetas a mais por mês Expresse o lucro mensal L em função do preço a que as camisetas são vendidas; desenhe o gráfico e estime o preço de venda ótimo Respostas () 2% e 4% (2) 2 5

5 5 Figura (a) (b) (c) Figura 2 (d) (e) (f) (3) 34/990; /99900 (4) < 0, 3 (5) (a) x < 5; (b) /2 < x; (c) 2 < x < 6; (d) x < /2; (e) x < ou x > 2; (f) 2 < x < 4; (g) x < 0 ou < x < 3; (h) sempre; (i) ], 0[ ], + [; (j) ], 4[ ] 4, [; (k) 3 < x < 5; (l) ]9/2, 5[ ]5, /2[ (6) (a) 2, 4/3; (b) 4, 2/5 (7) x = (x y) + y x y + y (8) Não; Não (9) (a) x+2 ; (b) 2 (x+) 3/2 (0) x+ 3/2; 2 ; 5 2 ; x x + x+ 3 () (a) x 3 2 ; (b) x x 2 2 (x 3 +) 3/2 (2) a 4 + a 3 x + a 2 x 2 + ax 3 + x 4 x 2 + (3) Para (b), (c), (d), (f) e (h) o domínio é IR; (a) x ; (e) x 0; (g) x 2; (i) x Figuras, 2 e 3 (4) (a) x = 8; (b) x = 4; (c) x = 25; (d) x = 4, /4; (e) x = 2 (5) x = 4, y = (6) y = 3/2 (7) 4 < x < 2 (8) x 3 (9) 2

6 6 Figura 3 (g) (h) (i) Figura 4 (20) A região do plano que fica acima da reta dada na Figura 4 (2) (a) y = 6x 9; (b) y = 5x + (22) (c) y = (/2)x + 200; (d) 227 (23) (c) y = (6/5)x 622/3; (d) 62, 6 % (24) (25) x = 7/5, p = 24/5 O gráfico das funções está na Figura 5 (26) p = 80 (27) (a) 304; (b) 236,5 (28) C(r) = π( 3,2 r + 0, 08r2 ) (29) L(p) = 25(p 5)(p 22) Figura 6 Preço de venda ótimo é 3,5 reais

7 7 Figura 5 Figura 6