FUNÇÃO. 4.1 Relação Binária. Definição 4.1

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1 FUNÇÃO Apesar da formalização de função ter se efetivado com as reformas curriculares do século IX, seu uso já era freqüente desde a antiguidade, pelos babilônios. O conceito de função está presente em praticamente todos os campos de estudo da matemática e nos deparamos com funções em situações práticas do dia-a-dia. É imprescindível um conhecimento mais aprimorado sobre funções para quem deseja estudar matemática seriamente. Existem duas formas usuais de conceituar funções, como conjunto ou como uma regra (lei). A primeira torna o objeto função mais palpável facilitando a absorção do entendimento de sua definição e dos conceitos. Assim, parece mais viável tratar função como conjunto e não como regra. Porém a função como conjunto fica limitada a conjuntos finitos ou enumeráveis, a menos que o conjunto função seja definido por uma lei de formação, que na verdade é uma regra. Neste caso, o que caracterizará a função é a própria lei de formação, ou seja, a regra. Neste capítulo, começaremos conceituando função como conjunto, com o objetivo de induzir sempre de forma mais simples conceitos relativos á função como: Domínio, imagem, contra-domínio, inversa, operações, etc. Sempre trabalhando com conjuntos enumeráveis. Depois iremos estender o conceito de funções para conjuntos não enumeráveis como os reais e os intervalos de números reais. Para isso redefiniremos funções como uma regra e todos os conceitos relativos a função serão readequados á nova definição. 4.1 Relação Binária Definição 4.1 Dados dois conjuntos A e B, não vazios, denominamos produto cartesiano de A por B, denotado por A x B, o conjunto de todos os pares (x, y) com x em A e y em B. Isto é, o conjunto A x B = {(x, y) x A e y B}. Exemplo 1 A = {1, *, } e B = {0, }

2 A x B = {(1,0), (1, ), (*, 0), (*, ), (, 0), (, )} Observação 1: A² = A x A = { (x, y) x, y A} A³ = A x A x A = { (x, y, z) x, y, z A} n A = {( x, x,..., x ) ( x, x,..., x A} 1 2 n 1 2 n Definição 4.2 Sejam A e B dois conjuntos não vazios, denominamos relação binária de A em B todo subconjunto não vazio de A x B. Ou seja, se R A x B e R, então R é uma relação de A em B. Exemplo 2 A = {1, *, }, B = {0, }. A seguir apresentamos algumas relações de A em B: R 1 = {(1, 0), (, )} R 2 ={(*, 0)} R 3 = {(1, ), (*, 0), (, )} R 4 = A x B Principais Elementos de uma Relação Se R é uma relação de A em B: i) Chama-se domínio de R, denotado por D(R) os conjuntos dos elementos x A em que exista y B com (x, y) R. Ou seja, D(R) = {x A y B com: (x, y) R} ii) B é chamado contradomínio de R e denotado por CD(R) iii) Para cada par (x, y) R, y é chamado imagem de x por R e denotado por R(x) iv) O conjuntos de todos os elementos y B em que exista x A com (x, y) R é chamado conjunto imagem de R ou simplesmente imagem de R, denotado por Im(R), isto é Im(R) = {y B x A com (x, y) R } Exemplo 3

3 Dada a relação R = {(*, 0), (, 7), (x, 7), (x, 10)} de A = {*,, a, x} em B = {0, 1, 2,..., 10} temos: a) D(R) = {*,, x} e CD(R) = B b) R(*) = 0, R( ) = 7, R(x) = 7 e R(x) = 10. c) Im(R) = {0, 7, 10} Representações de uma Relação Existem basicamente quatro maneiras de representar uma relação, que serão descritas a seguir: i) Forma Tabular: Representa-se o conjunto com todos os pares entre chaves e separados por vírgulas. Esta foi a forma usada nos Exemplos 2 e 3. ii) Esquemas de Flechas: Uma relação R de A em B no esquema de flechas é feita com a representação do diagrama de Venn (representação de um conjunto por uma poligonal fechada) dos conjuntos A e B, onde cada (x, y) de R é indicado por uma flecha com origem em x e extremidade em y. Observe que esse tipo de representação deve ser usado quando A e B são finitos e com poucos elementos. iii) Por Lei de Formação: Nessa representação não é explicitados todos os elementos da relação. Existe uma regra (ou lei) que nos possibilita encontrar cada par (x, y) da relação. Muito usada em conjuntos infinitos, principalmente em não-enumeráveis. iv) Gráfico Cartesiano: Uma relação R de A em B, onde A e B são subconjuntos dos reais pode ser representada por um conjunto de pontos no plano, dotado de um sistema de coordenadas retangulares (cartesianos), isto é, cada par (x, y) de R corresponde a um ponto do plano cartesiano. Exemplo 4

4 a) Representação de R pelo esquema de flechas b) Considere A=[0,1] e B=[-2,2]. R={(x,y) A x B y = x + 1 } é uma relação de A em B definida pela lei de formação y = x + 1. c) Sejam A = B = R. Considere a relação 2 R = {( x, y) R 1 < x 2 e 0 y 1}. Observe que R é uma relação de A em B representada por uma lei de formação. A representação dessa relação no sistema de coordenadas cartesianas é dada pela figura a seguir Figura 4.1 Observação 2: O pontilhamento do segmento de reta, na figura, é para indicar que ele não faz parte da relação R Inversa de uma Relação

5 Definição 4.3 Seja R uma relação de A em B. Chama-se relação inversa de R (ou inversa da relação R), e indica-se por R -1, a relação de B em A, dada por R -1 = {(y, x) B x A (x, y) R} Exemplo 5 A = {2, 1, x}, B = {*, } Considere R : A B dada por R = {(2, ), ( 1, *)} a inversa de R é R 1 : B A 1 R em que = {(, 2), (*, 1)}.