Produto Cartesiano. Exemplo: Dados os conjuntos A = {5,6} e B = {2,3,4}, vamos determinar o produto cartesiano AXB;

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1 Produto Cartesiano Par ordenado: são dois elementos em uma ordem fixa, (x,y) Produto Cartesiano: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto indicado por A X B, formado por todos os pares ordenados, nos quais o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo elemento pertence ao conjunto B: AXB = {( x, y) x A e y B} Obs.: Para saber quantos elementos existem neste conjunto, basta multiplicar a quantidade de elementos do conjunto A pela quantidade de elementos do conjunto B. Exemplo: Dados os conjuntos A = {5,6} e B = {,3,4}, vamos determinar o produto cartesiano AXB; a) forma tabular: AXB = {(5,), (5,3), (5,4), (6,), (6,3), (6,4)} b) forma gráfica: Exercícios: 1. Dados os conjuntos M = {1,3,5} e N = {,4}, determinar o produto cartesiano M X N e N X M nas formas tabular e gráfica. Considerando os conjuntos A= { x x 1} e B = {3,4}, determinar A X B nas formas tabular e gráfica. 3. Determinar o produto cartesiano dos conjuntos abaixo, na forma gráfica. a. [,5] X {1} b. {3,4} X [-1,3] c. [1,3] X [,5] d. ]-,1] X [3,5[ 4. Dados os conjuntos E = { x x }, F = {4,5} e G = {-1,0}, determine a forma tabular dos produtos: a. E X F c. F X G b. F X E d. E X G 5. Sendo C = { x x 4} e D= { x 1 x< 3}, determine a forma gráfica dos produtos: a. C X D b. D X C 1

2 Relação Binária Dados dois conjuntos, A e B, não vazios, chamamos de relação binária (R) de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano A X B, ou seja, R AXB. O conjunto A é chamado de domínio, isto é, origem ou conjunto de partida de R. O conjunto B é chamado de contradomínio, isto é, destino ou conjunto de chegada de R. Os elementos de A são chamados de x e os elementos de B são chamados de y. O conjunto formado por todos os y pertencentes à relação chamamos de imagem. Exemplo: Dados os conjuntos A = {1,,3} e B = {4,5,6}, efetuando o produto cartesiano A X B, temos: A X B = {(1,4), (1,5), (1,6), (,4), (,5), (,6), (3,4), (3,5), (3,6)} Vamos considerar uma relação binária do produto cartesiano A X B, em que, o y é o dobro de x. Na linguagem simbólica: xry R = {( x, y) AXB y = x}. Ou seja, a relação pedida é: R = {(,4), (3,6)} Esta relação pode ser representada por um diagrama de flechas e também por um gráfico cartesiano: Neste exemplo temos: Domínio: D = {1,,3} Contradomínio: CD = (4,5,6} Imagem: Im = {4,6} Exercícios: 1. Dados os conjuntos A = {-1,0,1,} e B = {0,1,,3,4,5} e a relação R = {( x, y) AXB y = x + 1}, determinar: a. os pares ordenados da relação R; b. o conjunto domínio e o conjunto imagem; c. o diagrama de flechas; d. o gráfico cartesiano.. Dados os conjuntos M = {-3,-,-1,0,1} e N = {1,,3,5,6} e a relação R = {( x, y) MXN y = x + 1}, determinar: a. os pares ordenados da relação R;

3 b. o conjunto domínio e o conjunto imagem; c. o diagrama de flechas; d. o gráfico cartesiano. 3. Para cada relação abaixo faça o diagrama de flechas: a. A = {, 1, 0,1, }, B = { 1, 0,1,,3, 4,5} e R = {( x, y) AXB y = x + } b. c. M = N = R = x y MXN y = x {, 1, 0,1,,3}, { 1, 0,,3,5} e {(, ) 1} I = J = R = x y IXJ y = x {, 1,0,1,,3}, { 1,0,1,, 4,6} e {(, ) } x 1 4. Considerando a relação R = ( x, y) EXF y = e os conjuntos { 3, 1,1, 3, 5} E = e F = {, 1, 0,1,3,5}, determine os pares ordenados da relação. 5. Dados os conjuntos O = {0,,4,6,8} e P = {1,5,9,13,15,18} e a relação R = {( x, y) OXP y = x + 1}, determine o conjunto domínio e o conjunto imagem da relação. 6. Se A= {1, } { x < x< 3} e B= { x 1 x } desenhe o gráfico de A X B. Relação Inversa Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R, denotada por R -1, é definida de B em A 1 por: R = {( y, x) BXA ( x, y) R}. Exemplo: Sejam A = {a,b,c} e B = {d,e,f} e R uma relação em AXB, definida por: R = {(a,d), (a,e),(a,f), (b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f)} Então: R -1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)} Exercícios: 1. Dados os conjuntos A = {a,b,c} e B = {1,,3,4} e a relação R em AXB, qual é a relação inversa R -1?. Sejam os conjuntos A = {a,b,c,d,e} e B = {,4,6,8,10} e a relação R, dado no diagrama abaixo. Descreva a relação R e a sua inversa R -1. a b c d e Seja a relação R= {( xy, ) X x+ y= 8}. Descreva o conjunto dos elementos da relação inversa R -1. 3

4 Matriz de uma relação Sejam A e B dois conjuntos finitos. A representação R: A Bcomo matriz é: a) o número de linhas é n (número de elementos do domínio) b) o número de colunas é m (número de elementos da imagem) c) a matriz resultante possui m x n células d) cada uma da m x n células possuem valor lógico associado e) se (x,y) R, então a posição determinada pela linha i e pela coluna j da matriz contém valor verdadeiro (1); caso contrário, seu valor será falso (0). Exemplo: Dado os conjuntos A = {a}, B = {a,b} e C = {0,1,}, temos que: a) R= {( xy, ) B B x= y} b) R= {( xy, ) C C x< y} = a b a 1 0 b 0 1 c) R = A X B < AXB a b a 1 1 Exercícios: 1. Sejam A = {1,,3} e B = {a,b,c} e R a seguinte relação de A em B: R = {(1,a),(1,b),(,a),(,c),(3,c)} a) Determine a matriz da relação b) Desenhe o diagrama de flechas de R c) Ache a relação inversa de R.. São dados A = {1,3,5,7} e B = {w,x,y,z}. Seja R a seguinte relação de A em B: R = {(1,x), (1,z), (7,w), (3,w)}. a) Determine a matriz da relação. b) Desenhe o diagrama de flechas de R. c) Ache a relação inversa de R. d) Determine o domínio e a imagem de R. 3. Sejam A = {1,,3,4}, B = {0,,4,6,8} e a relação R = {( x, y) AXB y = x}, determine a matriz desta relação. 4

5 Propriedades das Relações No estudo das relações sobre um conjunto A, com A finito e tendo poucos elementos, é útil a representação através do esquema de flechas. Representamos o conjunto A com seus elementos e indicamos cada par (x,y) da relação através de uma flecha com origem x e extremidade y. Se (x,x) está na relação, usa-se um laço envolvendo a, conforme o exemplo: Exemplo: O esquema abaixo representa a relação: R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,c),(c,b)} sobre A = {a,b,c} Propriedade Reflexiva Uma relação R é reflexiva se todo elemento de A está relacionado consigo mesmo, ou seja, para todo x A:( xx, ) R, isto é, para todo x A : xrx. Exemplo: Uma relação reflexiva em A = {a,b,c}, é dada por: R = {(a,a), (b,b), (c,c), (a,c)} Contra-exemplo: A relação R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c)} sobre A = {a,b,c} não é reflexiva pois c não se relaciona com c. Propriedade Simétrica Uma relação R é simétrica se o fato que x está relacionado com y, implicar necessariamente que y está relacionado com x, ou seja: quaisquer que sejam x A e y A tal que ( xy, ) R, segue que ( yx, ) R Exemplo: Uma relação simétrica em A = {a,b,c}, é dada por: R = {(a,a), (a,b), (c,c), (b,a)} Contra-exemplo: A relação R = {(a,a),(b,b),(a,c)} sobre A = {a,b,c} não é simétrica pois a se relaciona com c mas c não se relaciona com a. Propriedade Transitiva Uma relação R é transitiva, se x está relacionado com y e y está relacionado com z, implicar que x deve estar relacionado com z, ou seja: quaisquer que sejam x A, y A e z A, se ( xy, ) Re ( yz, ) Rentão ( xz, ) R. Exemplo: Uma relação transitiva em A = {a,b,c}, é dada por: R = {(a,a), (a,c), (c,b), (a,b)} Contra-exemplo: A relação R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,c)} sobre A = {a,b,c} não é transitiva pois arb e brc mas a não se relaciona com c. Propriedade Anti-simétrica 5

6 Uma relação R é anti-simétrica se x e y são elementos distintos do conjunto A então x não tem relação com y ou (exclusivo) y não tem relação com x, o que significa que o par de elementos distintos (x,y) do conjunto A poderá estar na relação desde que o par (y,x) não esteja. Exemplo: Uma relação anti-simétrica em A = {a,b,c}, é dada por: R = {(a,a), (b,b), (c,b), (a,b)} Contra-exemplo: A relação R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)} sobre A = {a,b,c} não é anti-simétrica pois sendo a b, arb e bra. Importante: Se A é finito, com poucos elementos, é possível visualizar se as propriedades definidas se verificam ou não para uma relação R, através de um esquema de flechas, do seguinte modo: Reflexiva em cada ponto do diagrama deve haver um laço. Simétrica toda flecha deve ter duas pontas. Transitiva para todo par de flechas consecutivas existe uma flecha cuja origem está na origem da primeira e a extremidade esta na extremidade da segunda. 6

7 Anti-simétrica não há flechas de duas pontas. Exercícios 1. Seja R a relação em A = {1,,3,4,5} tal que: xry { x y é múltiplo de }. Enumerar os elementos de R. Que propriedades R apresenta?. Enumerar os elementos das seguintes relações em A = {a,b,c,d}. Que propriedades R 1 e R apresentam? R 1 R 3. Seja A = {1,,3}. Considerem-se as seguintes relações em A: R 1 = {(1,);(1,1);(,);(,1);(3,3)} R = {(1,1);(,);(3,3);(1,);(,3)} R 3 = {(1,1);(,);(1,);(,3);(3,1)} R 4 = A X A Quais são reflexivas? Simétricas? Transitivas? Anti-simétricas? 4. Construir sobre o conjunto E = {a,b,c,d} relações R 1, R, R 3 e R 4 tais que R 1 tem a propriedade reflexiva, R só a simétrica, R 3 só a transitiva e R 4 só a anti-simétrica. 7

8 Relação de Equivalência Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva. Ordem Parcial Uma relação binária em um conjunto A que seja reflexiva, anti-simétrica e transitiva é chamada de uma ordem parcial em A. Ordem Total Uma ordem parcial onde todo elemento do conjunto está relacionado a todos os outros elementos é chamada de ordem total ou cadeia. Diagrama de Hasse Se A for finito, podemos representar visualmente um conjunto parcialmente ordenado por um diagrama de Hasse. Cada elemento de A é representado por um ponto, denominado nó ou vértice do diagrama. Se x é um predecessor imediato de y, o nó que representa y é colocado acima do nó que representa x e os dois nós são conectados por um segmento de reta. Exemplo: Considere a relação x divide y em {1,,3,6,1,18} R = {(1,1),(1,),(1,3),(1,6),(1,1),(1,18),(,),(,6),(,1),(,18),(3,3),(3,6),(3,1),(3,18),(6,6), (6,1), (6,18),(1,1),(18,18)} Podemos verificar que R é reflexiva, pois todo elemento se relaciona com ele mesmo. É antisimétrica, pois para todo (x,y) não existe (y,x) e é transitiva pois temos por exemplo, (3,6), (6,1) e (3,1). Portanto podemos construir o seguinte diagrama de Hasse:

9 Exercícios 1. Dados os conjuntos A = {-,-1,0,1,}, B = {0,1,,3,4}, determine cada uma das relações seguintes, mostrando os pares que a satisfazem, monte a matriz relação, e identifique as propriedades em cada relação. a. A X B b. R1 = {( x, y) AXB y = x } c. R = {( x, y) AXB y = x + 1} d. R3 = {( x, y) AXB y > x + 1}. Dados os conjuntos A = {-4, -3,3,4}, B = {-4, -3,3,4,5}, determine cada uma das relações seguintes, mostrando os pares que a satisfazem, monte a matriz relação, e identifique as propriedades em cada relação. a. A X B b. R1 = {( x, y) AXB x + y = 5} c. R = {( x, y) AXB x = y} d. R3 = {( x, y) AXB y < x} 3. Classifique as relações a seguir segundo suas propriedades: a. R 1 = {(a,a),(a,b),(c,c),(b,b),(b,c),(c,b),(e,e),(d,d)} em A = {a,b,c,d,e} b. R = {(1,1),(1,),(,),(,3),(3,1)} em B = {1,,3} c. R 3 = {(1,1),(7,7),(7,1),(1,7)} em C = {1,7} 4. Construa o diagrama de Hasse dada as relações: a. Todos os divisores naturais de 36 b. S = {1,,3,5,6,10,15,30} onde a relação xry x divide y 5. Construa o diagrama de Hasse dos subconjuntos abaixo, cuja relação é xry x divide y e classifique em ordem total ou parcial a. {4,,6} b. {1,3,15,5} c. {15,30,5} 9