Sejam A e B conjuntos não vazios. Chama-se produto cartesiano de A por B o conjunto

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1 RELAÇÕES 1. PRODUTO CARTESIANO Sejam A e conjuntos não vazios. Chama-se produto cartesiano de A por o conjunto xy com x A e y. Notação: de todo os pares ordenados (, ) A ( x, y) x A e y Exemplo 1: Sejam A = { 1, } e = {,4,6, } e C = { x 1 x < 4 } i) A = { (1,), (1,4), (1,6), (,), (,4), (,6) }e sua representação gráfica é dada por: 0 1 A A ii) A C = {(a,c) a A e c C } e sua representação gráfica é dada por: C 0 A iii) C C = {(a,b) a C e b C} = {(a,b) a [1,4[ e b [1,4[}e sua representação gráfica é dada por: C [1,4[ x [1,4[ 0 C 6

2 . RELAÇÃO INÁRIA Denomina-se relação binária de A em a todo subconjunto de A. Se ( xy, ) indicamos por x y e ( xy, ) indicamos por x y. 3. DOMÍNIO E IMAGEM Seja uma relação binária de A em. Denomina-se domínio de o subconjunto de A, dos elementos de x A para os quais existe algum y em com x y. Denomina-se imagem de o subconjunto de, dos elementos de y para os quais existe algum x em A com x y. Im y x A: x y 4. PROPRIEDADES DAS RELAÇÕES Seja A. i) Reflexiva Dizemos que é reflexiva se x ( x A x x ) ou x ( x A ( x, x ) ) Exemplo : Mostremos que as relações dadas são reflexivas. a) Seja ( a, a),( b, b),( c, c),( a, c),( b, a ) sobre A a, b, c. é reflexiva, pois a a, b b ec c. b) Seja c) Seja ( x, y) x y é reflexiva, pois para x, x x ( r, s) S r s r s sendo S plano euclidiano. é reflexiva, pois para r S, r r ii) Simétrica Dizemos que é simétrica se, e somente se x, y A ( x y y x ). Exemplo 3: Mostremos que as relações dadas são simétricas. a) Seja ( a, a),( b, b),( a, b),( b, a) sobre A a, b. é simétrica, pois a b b a. 63

3 b) Seja a relação de perpendicularidade definida por: S plano euclidiano. é simétrica, pois r s s r. ( r, s) S r s r s sendo Dizemos que é transitiva se, e somente se ( x, y, z)(( x y e y z) x z ). Exemplo 4: Mostremos que a relação ( a, a),( a, b),( b, c),( a, c ) sobre A a, b, c é transitiva. é transitiva pois, ( a b e b c) a c. iv) Antissimétrica Dizemos que é antissimétrica se, e somente se x, y A (( x y e y x) x y ) ou equivalente x, y A ( x y ( x y ou y x )). Exemplo 5: Mostremos que a relação ( a, a),( b, b),( a, b),( a, c) sobre A a, b, c é antissimétrica. A sentença ( a b e b a) a b é verdadeira, pois F Fé verdadeira. Exemplo 6: A relação ( a, a),( b, b),( a, b),( b, a),( c, c) sobre A a, b, c não é antissimétrica. Não é antissimétrica, pois, a b ( a b e b a ). Observação: Se A é um conjunto finito com poucos elementos, é possível visualizar as propriedades por meio dos diagramas. Reflexiva: Em cada ponto do diagrama deve ter um laço. Simétrica: Toda flecha deve ter duas pontas. a b a b c c d Transitiva: Todo par de flechas consecutivas Antissimétrica: Não há flechas com duas 64

4 deve existir uma flecha cuja origem é a primeira e extremidade é a segunda. pontas. a b a b c d c d 5. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA se, Uma relação sobre A não vazio denomina-se relação de equivalência sobre A se, e somente for reflexiva, simétrica e transitiva. Exemplo 7: A relação ( a, a),( b, b),( c, c),( c, a),( a, c) sobre A a, b, c é de equivalência, pois, valem as três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Exemplo 8: Seja A. A relação definida por x y x y, x, y é de equivalência. A relação é reflexiva, pois, ( x)( x x x ) A relação é simétrica, pois, ( x, y )( x y y x ) A relação é transitiva, pois, ( x, y, z )( x y e y z) x z ) Exemplo 9: A relação de paralelismo no plano euclidiano S é uma relação de equivalência. Assim ( r, s S)( r s r s ) A relação é reflexiva, pois, ( r)( r S r r ) A relação é simétrica, pois, ( r, s S)( r s s r ) A relação é transitiva, pois, ( r, s, t S)( r s e s t) r t ). Exercícios de Aplicação 15: 65

5 Diga quais propriedades são válidas para as relações definidas a seguir. 1) ( a, a),( b, b),( c, c),( c, a) sobre A a, b, c iv) Antissimétrica ) ( a, a),( a, b) sobre A a, b iv) Antissimétrica 3) ( a, a),( b, b),( b, a) sobre A a, b iv) Antissimétrica 4) ( a, a),( b, b),( c, c),( a, b),( b, a ) 66

6 Sobre A a, b, c iv) Antissimétrica 5) Seja ( x, y) x y 1, quais propriedades são válidas para as relação. iv) Antissimétrica 6. CLASSE DE EQUIVALÊNCIA Seja uma relação de equivalência sobre A. Dado a A, denomina-se classe de equivalência determinada por a, o subconjunto de A, formado dos elementos x tal que x a. Simbolicamente a x A x a 7. CONJUNTO QUOCIENTE O conjunto das classes de equivalência denomina-se conjunto quociente e se indica por A / Exemplo 10: A relação ( a, a),( b, b),( c, c),( c, a),( a, c) sobre A a, b, c é de equivalência. Determinemos suas classes de equivalência começando por a, assim: a a, c,pois, a a e a c e c a b b,pois, b b c c, a,pois, c c e a c e c a, logo podemos ver que a classe a c e temos duas classes, e indicamos por A/ a, b a, c, b Exemplo 11: 67

7 Seja a relação de equivalência sobre A a, b, c, d, e, f ( a, a),( b, b),( a, b),( b, a),( c, c),( d, d),( d, e),( e, d),( e, e),( e, f ),( f, e),( f, f ),( f, d),( d, f ) Determinemos suas classes de equivalência. a a, b,pois, a a e a b e b a c c,pois, c c d d,, e f,pois, d d e d f e d e,... e escrevemos o conjunto quociente A/ a, b, c d, e, f 8. PARTIÇÃO DE UM CONJUNTO Seja A um conjunto não vazio. Diz-se que a classe dos subconjuntos de A é uma partição de A se, e somente se 1) ( r)( ) r ) Se r s ou r s r s 3) n r 1 Exemplo 1: r A Utilizando o exemplo 10 podemos escrever que A a, b, c, d, e, f e A/ a, b, c d, e, f, assim A / forma uma partição de A pois chamando de a, b 1 c d,, e f, tem-se 3 ( r)( ) r 3 r 1 r Ae a intersecção de dois a dois é sempre vazia e Exemplo 13: Sejam A e definida por ( a, b) ( c, d) a d b c. a) Verifique se é uma relação de equivalência. b) Caso afirmativo dar a classe de (,3). Deixamos a cargo do leitor a demonstração 68

8 a)( a, b) ( c, d) a d b c ( c, d) ( e, f ) c f d e, adicionando membro a membro e simplificando tem-se; ( a f b e) ( a, b) ( e, f ), logo é transitiva, portanto, é uma relação de equivalência. b) Classe de (,3) = x, y ( x, y ) (,3) = x, y x 3 y = (,3),(1,),(3,4),... Exercícios de aplicação 16: * 1)Sejam A e definida por ( a, b) ( c, d) ad bc. a) Verifique se é uma relação de equivalência b) Caso afirmativo, dar a classe de (,3). ) Seja a relação de equivalência sobre definida por n m n m i i, i 1 a) Verifique se é uma relação de equivalência b) Caso afirmativo dar /. 3) Seja 69

9 * f :,definida por f ( x) 1 x. a) Mostre que * (, ) ( ) ( ) equivalência. a b af b bf a é de b) Caso afirmativo dar a classe 3. 4)Sejam A e definida por ( a, b) 3/ a b.(lê-se 3 divide a-b) a) Verifique se é uma relação de equivalência. b) Caso afirmativo, dar / 5) Seja A a, b, c, d, complete o quadro Relação Reflexiva Simétrica transitiva = ( a, a),( b, b),( c, c),( d, d ) = ( a, c),( c, a),( c, c),( a, d ) = ( a, a),( b, b),( a, b),( b, a),( b, d),( d, b ) 6) Seja a relação de equivalência sobre (conjunto dos números complexos)definida por ( x yi) ( z ti) x y z t, i 1 Descreva geometricamente a classe de equivalência determinada por 3i 7) Seja f :, e a 70

10 relação * ( a, b) af ( b) bf ( a ). a) Mostre que é de equivalência. b)sendo f () x x, dar a classe. 8) Em, definimos a relação de equivalência por ( x, y) ( a, b) k x ka e y kb Descreva geometricamente Exercícios de aplicação 17: 1) Seja {( x, y) x( x 1) y( y 1)}. a) Determinar a 1, tal que a. b) Verifique se é antissimétrica. ) Seja f :, e a relação dada por 71

11 ( a, b) f ( a) f ( b) a b a) Verifique se é uma relação de equivalência b) Sendo f ( x) x 1, determinar 3. 3) Em, definimos a relação de por ( x, y) ( x, y ) y y ( x x ) a) Verifique se é de equivalência b) Descreva geometricamente 4) Sejam * A e relação de equivalência definida por Determine os valores de k, para que (, k) ( k 1,3) (, ) (, ) a b c d a b c d. 5) ) Seja f :, e a relação dada 7

12 por ( a, b) f ( a) f ( b ) a) Verifique se é de equivalência b) Determine, Sendo f ( x) x 1 6) Seja a relação de equivalência sobre definida por: {( x yi),( z ti) x y z t, i 1} Descreva geometricamente a classe de equivalência determinada por /. 7)Em [ 1,1] [ 1,1], definimos a relação de equivalência por ( x, y) ( a, b) ( x y) ( a b). Descreva geometricamente as classes de equivalência: (0,0), (1, 1), ( 1,1). 73

13 8) Seja * f :,definida por f ( x) x 3x e relação de equivalência definida por: * ( x, y) ( x 1) f ( y) ( y 1) f ( x ), determine. * 9)Seja A { n 1 n 0}. Em A definimos a relação de equivalência como segue: ( x, y) x e y têm o mesmo número de múltiplos em A. Quantas e quais são essas classes? 10) Em A [, 1] [0,3], definimos a relação por: x y x y y x,para x e y A. Verifique se o conjunto C { x x A, x 1e x }. 74

14 9. RELAÇÃO DE ORDEM Seja A um conjunto não vazio. Diz-se que a relação é de ordem parcial sobre A se, e somente se, for reflexiva, anti-simétrica e transitiva, isto é, são verdadeiras as propriedades: i) é reflexiva se x ( x A x x ) ii) é antissimétrica se, e somente se x, y A (( x y e y x) x y ) iii) é transitiva se, e somente se ( x, y, z)(( x y e y z) x y ). Notação: Se a b e é uma relação de ordem parcial escrevemos a b, lê-se a precede b ou a antecede b ordenado. Se a relação é de ordem parcial sobre A, então dizemos que (, ) A é parcialmente Elementos comparáveis Se a relação é de ordem parcial sobre A. Os elementos a e b de A, se dizem comparáveis se a b ou b a. 10. ORDEM TOTAL Se a relação é de ordem parcial sobre A e os elementos a e b de A, forem comparáveis isto é, a b ou b a, então é de ordem total. Nesse caso o conjunto A se diz totalmente ordenado. Exemplo 14: Sejam A e a relação definida por x y x y (menor ou igual é uma relação de ordem total, denominada ordem habitual). Mostremos que é uma relação de ordem total. i) é reflexiva, pois x ( x x x ) ii) é antissimétrica, pois x, y (( x y e y x) x y ) iii) é transitiva, pois ( x, y, z )(( x y e y z) x z ). Portanto é de ordem parcial sobre. Verifiquemos se é de ordem total;, (se, ou ) ordenado. x y x y x y y x, logo é de ordem total e, (, ) 11. LIMITES SUPERIORES E INFERIORES A se diz totalmente Seja A um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação. Seja um subconjunto de A. Chamamos de limite superior de a todo elemento L A x L, x Chamamos de limite inferior de a todo elemento l A l x, x 75

15 1. MÁXIMO E MÍNIMO Sejam A e uma relação de ordem parcial. Se L, então L é máximo. Se l, então l é mínimo. 13. SUPREMO E ÍNFIMO Seja A um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação. Seja um subconjunto de A. Chama-se supremo de o mínimo do conjunto dos limites superiores de (caso exista) Chama-se ínfimo de o máximo do conjunto dos limites inferiores de (caso exista). 11. OA ORDEM é boa ordem sobre A se, qualquer subconjunto de A possuir mínimo e,(, ) ordenado. Exemplo 15: Sejam, A ] 1,] e a ordem habitual. Determinar a) Limites superiores de A, LS(A)= L L b) Máximo de A, Max(A)= c) Supremo de A, Sup(A)= d) Limites inferiores de A, LI(A)= l l 1 e) Mínimo de A, não existe Min(A) f) Ínfimo de A, Inf(A)= 1 Exemplo 16: A se diz bem Sejam A a, b, c, d, e e o diagrama simplificado da pré-ordem. Determinar os conjuntos indicados. ( no diagrama vê-se que a c) a b c e d a) Max(A)= a b) Sup(A)= a c) Min(A) = não existe d) Inf(A) = não existe 76

16 Exemplo 17: Seja A 1,,3,4,5,6,7,8 e 3,6,7, diagrama.. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo Determinar i) a) LS()={7} b) Max()={7} c) Sup()= {7} d) LI()={3,4,5,8 } c) Min() ={3} d) Inf()= {3,4,5,8} 6 5 ii) é parcialmente ordenado (justifique) a) Reflexiva vale, pois, é pré-ordenado. b) Transitiva: Todo par de flechas consecutivas tem uma flecha cuja origem é a primeira e extremidade é a segunda. c) Antissimétrica: Devemos verificar se vale a propriedade para o conjunto. ( ) 3 7, F F é verdadeira. Analogamente para 3 e 6 e 6 e 7. iii) é totalmente ordenado (justifique) Como é pré-ordenado, devemos verificar se todos os elementos de são comparáveis. 3 7 ou 7 3 (V) 3 6 ou 6 3 (V) 6 7 ou 7 6 (V), logo,(, ) é totalmente ordenado. 77

17 Exercícios de aplicação 18: 1) Seja A 1,,3,4,5,6,7,8,9,10 e,3,5 diagrama Em A consideremos a pré-ordem definida pelo Determinar: i) a) LS()={ } b) Max()={ } c) Sup()= { } d) LI()={ } c) Min() = { } d) Inf()= { } ii) (, ) é parcialmente ordenado? iii) (, ) é totalmente ordenado? )Seja A 1,,3,4,5,6,7 e 4,5,7. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama Determine i) a) LS()={ } b) Max()={ } c) Sup(= { } d) LI()= { } e) Min() ={ } f) Inf()= { } 3 78

18 ii) (, ) é parcialmente ordenado? (justifique) iii) O que se deve fazer para ser (, ) parcialmente ordenado iv) (, ) é bem ordenado se for totalmente ordenado e se todos seus subconjuntos têm mínimo. Verifique se é bem ordenado. 3)Seja A 1,,3,4,5 e 1,3,5. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama Determine i) a) LS()={ } b) Max()={ } c) Sup()= { } d) LI()= { } c) Min() ={ } d) Inf()= { } ii) (, ) é parcialmente ordenado? (justifique). ii) (, ) é totalmente ordenado? (justifique). 79

19 4) Seja A 0,1,,3,4,5,6,7,8 e 0,1,,3 diagrama Em A consideremos a pré-ordem definida pelo 1 3 Determine i) a) LS()={ } b) Max()={ } c) Sup(= { } d) LI()= { } c) Min() ={ } d) Inf()= { } ii) (, ) é totalmente ordenado? (justifique) 5) Seja A 1,,3,4,5,6 e,3, Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama. Determinar i) a) LS()= { } b) Max()={ } c) Sup()= { } d) LI()= { } c) Min() ={ } d) Inf()= { } 5 3 ii) (, ) é parcialmente ordenado? 6 iii) (, ) é totalmente ordenado? 80

20 6) Seja A 1,,3,4,5,6 e,4,5 A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama. 5. Em Determinar i) a) LS()= { } b) Max()={ } c) Sup()= { } d) LI()= { } c) Min() ={ } d) Inf()= { } 6 ii) (, ) é parcialmente ordenado? iii) (, ) é totalmente ordenado? 7) Seja A 1,,3,4,5,6,7,8 e,3,5,8. Em A consideremos a préordem definida pelo diagrama. 8 Determinar i) a) LS()= { } b) Max()={ } c) Sup()= { } d) LI()= { } c) Min() ={ } d) Inf()= { } ii) (, ) é parcialmente ordenado? iii) (, ) é totalmente ordenado 81

21 8) Seja A 1,,3,4,5,6 e 1,5,6 A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama Em 5 Determinar i) a) LS()= { } b) Max()={ } c) Sup()= { } d) LI()= { } c) Min() ={ } d) Inf()= { } ii) (, ) é parcialmente ordenado? 1 3 9) Em A { a,, c, d, e, f }, considere a préordem definida pelo diagrama que segue a b c d e Determinar i) a) LS()= { } b) Max()={ } c) Sup()= { } d) LI()= { } c) Min() ={ } d) Inf()= { } ii) (, ) é parcialmente ordenado? não é boa ordem, eliminando qual seta passa a ser boa ordem? iii) (, ) (, ) f 8

22 10) Seja A 1,,3,4,5,6,7,8,9 e 1,,3 consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama Em A 7 Determinar i) a) LS()= { } b) Max()={ } c) Sup()= { } d) LI()= { } c) Min() ={ } d) Inf()= { } ii) (, ) é parcialmente ordenado? 5 5) Seja A 1,,3,4,...1,13 e 4,5,7,9. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama Determinar i) a) LS()= { } b) Max()={ } c) Sup()= { } d) LI()= { } c) Min() ={ } d) Inf()= { } ii) (, ) é parcialmente ordenado? iii) (, ) é totalmente ordenado