Criptografia e Segurança das Comunicações. das Comunicações Bases Matemáticas - Relações e Ordens

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1 9 Criptografia e Segurança das Comunicações Bases Matemáticas - Relações e Ordens Teoria Ordem: /22 Relações binárias () 9 Teoria da ordem é o ramo da matemática, dedicada a vária relações binárias, que captura a noção de ordem. A teoria da ordem possui inúmeras aplicações em Sistemas organizacionais (ex: responsabilidade de decisão) Ciência da computação [Definição] Um conjunto é uma colecção de elementos. Os membros são identificados por letras minúsculas Os conjuntos são identificados por letras maiúsculas. a A indica que a é elemento do conjunto A. Teoria Ordem: 2/22

2 Relações binárias (2) 9 [Definição] Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano, A B, é definido por {(a,b):a A b B}. [Definição] Relação binária é uma associação entre pares de elementos. A associação R A B entre dois elementos a A e b B é representada por arb ou aab ou (a,b) R. Exemplos: Ana dona do Ben(A-conjunto de pessoas,b-conjunto dos cães), 2 menor que (A,B-números naturais). [Definição] O domínio ( domain ) de uma relação R A B, dom(r), é o conjunto de todos os elementos de A relacionados com elementos de B. A imagem ( range ) é o conjunto dos segundos elementos dos pares. seriação, ou disposição regular, de elementos de um conjunto Teoria Ordem: 3/22 Relações binárias (3) 9 A. Representação de relações a. Descrição de todos os pares usada apenas quando A é um conjunto muito pequeno. Exemplo: {Ana a Ben, Miguel a Anak, Miguel a Collin} b. Predicativa, indicando a propriedade satisfeita por todos os pares. Exemplo: A={,,,},B={2,23,2,28,3} R={(a,b): a b}={(,2), (,2),(,28),(,2),(,2)} A divide c. Diagrama de setas Dom(R)={,,}, Im(R)={2,2,28} B Teoria Ordem: /22

3 Relações binárias () 9 d. Grafo dirigido, ou digrafo, se A=B Exemplo: seja A={a,b,c,d) e R A 2 ={aaa, aab, baa, bab, bad, bac, cad} Fig 3.2 Discrete Mathematical Structures: Theory and Applications Teoria Ordem: /22 Relações binárias () 9 B. Novas relações [Definição] Dada uma relação R A B a relação inversa R - ={(b,a): (a,b) R} é definida pelos pares trocando a posição. Exemplos: para a definição predicativa, tem-se R - = {(2,), (2,),(28,),(2,),(2,)} [Teorema]: Dado R tem-se Dom(R - ) = Im(R), Im(R - ) = Dom(R) e (R - ) - = R. Teoria Ordem: /22

4 Relações binárias () 9 Dados R A B e S A B, são também relações R S = { (a,b): (a Dom(R) a Dom(S)) (b Im(R) b Im(S)) } R S R \ S = { (a,b): (a Dom(R) a Dom(S)) (b Im(R) b Im(S)) } (A B) \ R [Definição] Dadas as relações R A B e S B C, a composição T=S R é a relação T A C definida por {(a,c): arb bsc} [Teorema]: A composição de relações é associativa, i.e, T (S R)=(T S) R Teoria Ordem: 7/22 Relações binárias (7) 9 Fig 3.7 Discrete Mathematical Structures: Theory and Applications Fig 3.8 Discrete Mathematical Structures: Theory and Applications Teoria Ordem: 8/22

5 Relações binárias (8) 9 C. Propriedades [Definição] Uma relação R A 2 é designada Reflexiva, see a a a para todos a A Irreflexiva, see não existir ara para todos a A Simétrica, sse para cada par aab existir também o par baa. Antisimétrica, sse para todos os pares a a b e baa então a=b. Transitiva, sse para todos os pares a a b e bac existir também o par a a c. Exemplos: = é reflexiva, < é irreflexiva. = é simétrica, a par,b ímpar é antisimétrica., são relações transitivas. Teoria Ordem: 9/22 Relações binárias (9) 9 [Definição] Dado R A 2 é designada define-se fecho reflexivo como a menor relação reflexiva que contém R. Exemplos: O fecho reflexivo da relação indicada na figura 3.2 é {aaa, aab, baa, bab, bad, bac, cad} {cac, dad}. O fecho transitivo de < é. [Definição] Dado R A 2 é designada define-se fecho transitivo, R +, como a menor relação transitiva que contém R. R * é a menor relação reflexiva e transitiva que contém R. Teoria Ordem: /22

6 Relações binárias () 9 [Definição] R A 2 é uma relação de equivalência se R for reflexiva, simétrica e transitiva. Exemplo: seja R Z 2 é uma relação de equivalência, designada congruência módulo m, com arb sse m (a-b), i.e. a-b=mk para k Z. Reflexiva: =a-a=m para todos a Z. Simétrica: seja o par arb. Logo, a-b=mk para k Z. Por manipulação algébrica tem-se b-a=m(-k). Logo, bra. Transitiva: sejam dois pares arb e brc. Logo, a-b=mk e b-c=ml para k,l Z. Por manipulação algébrica tem-se a-c = (a-b)+(b-c) = mk+ml = m(k+l). Logo, arc. Teoria Ordem: /22 Relações binárias () 9 [Definição] Seja R A 2 uma relação de equivalência e a A. [A] R = {b: arb} é designado por classe de equivalência. Exemplo: Para a relação congruência módulo m, ao todo existem m classes de equivalência, [] = {, m, 2m, } [] = {, m+, 2m+, } [m-] = {m-, 2m-, 3m-, } Teoria Ordem: 2/22

7 Relações binárias (2) 9 [Definição] Seja um conjunto S. Um conjunto de subconjuntos não nulos de S, P, é designado por partição se Para todos A i, A j Ptem-se A i =A j ou A i A j = S = Ai P A i Exemplo: As vogais e as consoantes foram uma partição das letras do alfabeto latino. Teoria Ordem: 3/22 Posets () 9 [Definição] R A 2 é uma ordem parcial se R for reflexiva, antisimétrica e transitiva. [Definição] Um conjunto parcialmente ordenado, poset, é uma par (A, ) em que é uma ordem parcial. Exemplo: São posets ( {a,b,c}, ), em que é o conjunto de todos os subconjuntos. (N, ), em que é a relação de divisibilidade. [Teorema] Se (A,R) for um poset, então (A,R - ) é também um poset designado de dual de (A,R). Exemplo: (Z, ) é dual de (Z, ) Teoria Ordem: /22

8 Posets (2) 9 [Definição] Seja (A, ) um poset. Dois elementos a,b A são comparáveis sse a b ou b a. Exemplos: No poset (Z, ) todos os elementos são comparáveis. No poset ( {a,b,c}, ) nem todos os elementos são comparáveis. Os elementos {a} e {a,c} são comparáveis: {a} {a,c}. Os elementos {b} e {a,c} não são comparáveis: {b} {a,c} e {a,c} {b}. [Definição] Uma ordem é total, ou linear, se for parcial e todos os elementos forem comparáveis. Neste caso, (A, ) é designado conjunto totalmente ordenado, ou cadeia ( chain ). Teoria Ordem: /22 Posets (3) 9 [Definição] Seja (A, ) um poset e dois elementos a,b A. B é sucessor de a, sse a b e a b e não existe c A tal que a c b. O diagrama de Hasse do poset (A, ) é formado por todos os elementos de A, os elementos b A colocados em cima dos elementos a A sempre que a < b, segmentos ligam elementos a,b sse b cobrir a. Exemplo: diagrama de Hasse de ( {a,b,c}, ) Teoria Ordem: /22

9 Posets () 9 [Definição] Seja (A, ) um poset. O elemento a A diz-se máximo (mínimo) sse se não existir b A tal que b a (a b). Nota: pode haver vários máximos (mínimos) que correpondem aos elementos de topo (base) do diagrama de Hasse. O elemento a A diz-se terminal, ou (inicial, ou ) sse para todos os b A se verifica b a (a b). Teoria Ordem: 7/22 Posets () 9 [Definição] Seja (A, ) um poset e S A. O elemento a A diz-se limite inferior- lower bound (limite superior- upper bound ) de S se não existir b S tal que b a (a b). O ínfimo, ou conjunção (supremo, ou disjunção) de S é o maior (menor) dos limites inferiores (superiores). Nota: O ínfimo (supremo) de S é representado por S- meet ( S- join ). Caso S seja formado por dois elementos apenas, pode-se usar a notação a b e a b. Teoria Ordem: 8/22

10 Posets () 9 Exemplo: Seja o poset da figura e S={a,b,c} Elementos máximos: h,j Elemento mínimo: a Limites superiores de S: {e,f,j,h} Supremo de S: e Limites inferiores de S: {a} Ínfimo de S: a g d b h a j f e c Teoria Ordem: 9/22 Reticulados () 9 [Definição] Um reticulado lattice é um quádruplo (A,,, ) em que todos os pares a,b A possuem um ínfimo a b e um supremo a b. Exemplos de reticulados: f h e e f g c d b a b c d a Teoria Ordem: 2/22

11 Reticulados (2) 9 [Definição] Dados dois reticulados (A,,, ) e (A 2, 2, 2, 2 ) o produto é um reticulado (A,,, ) definido por: A = A A 2 (x,y) (a,b) sse x a, y 2 b ({a,b},2) Exemplo: 2 {a} {a,b} {} {b} ({a},2) ({a},) ({},2) ({},) ({a,b},) ({b},2) ({b},) Teoria Ordem: 2/22 Reticulados (3) 9 [Definição] Um reticulado (A, ) diz-se distributivo sse em todos os pares a,b A se verificar a propriedade a (b c) = (a b) (a c). [Definição] Dado um reticulado (A, ) e um elemento a A, o complementoā A verifica: a ā =, a ā =. Exemplo: ({,2,3,,,,,3}, ) é um reticulado. Os inicial e o terminal são, respectivamente, e 3. O complemento de é 3. [Definição] Uma álgebra booleana é um reticulado distributivo, em que todo o elemento tem complemento. Nota: a álgebra booleana mais divulgada é 2 {,} Teoria Ordem: 22/22