Par ordenado [ordered pair]. É uma estrutura do tipo x, y. Se x y x,y y,x.

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1 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap2. Relações. Funções pg 4 Par ordenado [ordered pair]. É uma estrutura do tipo x, y. Se x y x,y y,x. então Produto cartesiano do conjunto A pelo conjunto B [cartesian product]. Denota-se por A B e é o conjunto de todos os pares ordenados possíveis de formar com elementos de A e de A B a,b : a A,b B. B (nesta ordem): s. A 2,3,4 B 4,5 A B= 2,4, 2,5, 3,4, 3,5, 4,4, 4,5 B A= 4,2, 4,3, 4,4, 5,2, 5,3, 5,4 2 B =B B= 4,4, 4,5, 5,4, 5, R R R a,b : a,br 2 N =N N a,b :a,b N O produto cartesiano pode envolver um número finito qualquer de conjuntos [produtório cartesiano]. Por exemplo 3 N N N N a, b,c : a, b,c N. Mostre que se A e B são conjuntos finitos então A B A B. Relação de A para B (ou de A em B) [relation from A to B]. É qualquer subconjunto de A B.

2 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap2. Relações. Funções pg 42 A 2,3, 4 B 4,5 Os conjuntos P e Q representam relações de A em B. P= 2,4, 3,5 Q= 2,4, 2,5 Acerca da relação P podemos afirmar: 2 P 4, i.e., 2 relaciona-se com 4 via relação P; 3 P 4, i.e., 3 não se relaciona com 4 via relação P. Considere o conjunto U, 2,3,4,5,6. Escreva uma relação P contida em U 2, tal que sejam verdadeiras as seguintes proposições a. 3P4 b. 3P3 c. 3P2 d. 3 P. Mostre que se A B n podem ser definidas 2 n + relações de A em B. Teorema. a. A B C A B A C b. A B C A B A C c. A B C A C B C d. A B C A C B C Demonstre as igualdades do teorema. Relação binária em A [binary relation in A]. É uma relação de A para A.

3 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap2. Relações. Funções pg 43 R 2,2, 3,2 é uma relação binária no conjunto A relação A 2,3,4. Propriedades das Relações Binárias. Seja R uma relação binária definida num conjunto A. (i) Se para todo o x pertencente a A temos xrx, então dizemos que R é reflexiva. (ii) Se para todos os x, y pertencentes a A for verdade que valendo xry também vale yrx, então dizemos que R é simétrica. (iii) Se para todos os x, y, z pertencentes a A for verdade que valendo xry e yrz também vale xrz, então dizemos que R é transitiva. A relação < ( menor que ) definida em N da forma x, y : x, y N Existe um inteiro positivo, k, tal que y k x não é reflexiva, porque x x [diz-se anti-reflexiva]; não é simétrica porque se x y então y x ; é transitiva porque se x y e y z então x z. Relação de Equivalência [equivalence relation]. Uma relação binária R diz-se uma relação de equivalência sse é reflexiva, simétrica e transitiva. As relações de equivalência são aparentadas com a relação de igualdade (=). Mostre que a relação de igualdade em N é uma relação de equivalência. Congruência Módulo n [congruence modulo n]. Seja n um inteiro positivo. Dizemos que os inteiros positivos x e y são congruentes módulo n, e escrevemos x y (mod n),

4 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap2. Relações. Funções pg 44 sse os restos das divisões de x por n e de y por n são iguais. Dizemos que o par (x, y)pertence à relação de congruência módulo n. s 3 3 (mod 5) 2 22 (mod 2). 3 3 (mod 3) Mostre que a relação de congruência módulo n é uma relação de equivalência no conjunto dos inteiros. Mostre que x y (mod n) sse n x y. Função de A em B [function from A to B]. É uma relação de A para B tal que todos os elementos de A se relacionam com algum elemento de B, sendo que cada elemento de A se relaciona com apenas um, e não mais do que um, elemento de B. As funções costumam representar-se por letras minúsculas. Escreve-se f : A B, sendo que f designa a relação (função).. A relação f é uma função de A em B: Consideremos os conjuntos A,2,3 e B w,x, y,z f =,w, 2, x, 3,x Escreve-se, por exemplo, f () w, com o mesmo significado de fw. Numa função de A em B, f : A B, A diz-se domínio de f (ou conjunto de partida de f) e B diz-se codomínio de f (ou conjunto de chegada de f).

5 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap2. Relações. Funções pg 45 O subconjunto de B correspondente aos elementos que se relacionam com os elementos de A, via função f, diz-se contradomínio de f (ou imagem de A por f) e representa-se por f(a). No caso da função f do exemplo anterior, A é o domínio de f, B é o codomínio de f e {w, x} é o contradomínio de f. Algumas funções importantes em computação. Função floor : R Z x, y : x R e y é o maior inteiro x s , , Função ceiling : R Z x, y : x R e y é o menor inteiro x s , , Função trunc trunc : R Z trunc x, y : x R e y representa a parte inteira de x s

6 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap2. Relações. Funções pg 46 trunc(3.75) 3, trunc( 3.75) 3, trunc(3) 3 Defina a função trunc( ) usando uma fórmula que envolva as funções floor e ceiling. Sejam A e B dois conjuntos finitos. Mostre que se A B n m e, então o número de funções que se podem definir de A em B é igual a m n. Função injectiva [injective function; one-to-one function]. Cada elemento do contradomínio é imagem de um e um só elemento do domínio. Consideremos os conjuntos A,2,3 e B a,b,c,d,e. As funções f e g seguintes são funções de A em B: f,a, 2,e, 3,e não é injectiva; g,a, 2,b, 3,d é injectiva. Sejam A e B dois conjuntos finitos. Quantas funções injectivas se podem definir de A em B? Sejam A e B dois conjuntos finitos. Qual a relação entre os cardinais dos dois conjuntos, de modo que se possa definir entre eles uma função injectiva? Função sobrejectiva [surjective function; onto function]. O codomínio é igual ao contradomínio.

7 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap2. Relações. Funções pg 47 Consideremos os conjuntos A,2,3,4 e B a,b,c. As funções f e g seguintes são funções de A em B: f,a, 2,b, 3,b, 4,b não é sobrejectiva; g,c, 2,b, 3,d, 4,a é sobrejectiva. Sejam A e B dois conjuntos finitos. Quantas funções sobrejectivas se podem definir de A em B [nota: diz-se função de A sobre B no caso de se tratar de uma função sobrejectiva]? Sejam A e B dois conjuntos finitos. Qual a relação entre os cardinais dos dois conjuntos, de modo que se possa definir entre eles uma função sobrejectiva? Função bijectiva [bijective function]. É injectiva e sobrejectiva. A,2,3,4 B a,b,c,d As funções f e g seguintes são funções de A sobre B. f,a, 2,b, 3,b, 4,b não é bijectiva; g,c, 2,b, 3,d, 4,a é bijectiva. Função inversa [inverse function]. Se f : A B é bijectiva, chama-se função inversa de f, à função f : B A tal que: f y, x : x, y f Consideremos os conjuntos A,2,3,4 e B a,b,c,d. Dada a função bijectiva f,b, 2,d, 3,a, 4,c, a sua inversa é f b,, d,2, a,3, c,4.

8 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap2. Relações. Funções pg 48 Sejam A e B dois conjuntos finitos. Quantas funções bijectivas se podem definir de A sobre B? Sejam A e B dois conjuntos finitos. Qual a relação entre os cardinais dos dois conjuntos, de modo que se possa definir entre eles uma função bijectiva? Mostre que a função f (x) 3x 7, de domínio e codomínio iguais a N, é injectiva. Seja f : A B e A um subconjunto de A. Diz-se restrição de f a A, e representa-se por f : A B, uma função cujo domínio é A e A cujo contradomínio é constituído pelas imagens dos elementos de A via f. A, 2,3,4 A,2 B a,b,c,d A f,a, 2,b, 3,c, 4,c f,a, 2,b Seja A um subconjunto de A e f : A B uma função. Seja g : A B uma outra função tal que g(a)=f(a) para todo o elemento a A. Então g diz-se uma extensão de f a A. A, 2,3,4 A,2 B a,b,c,d f,a, 2,b g,a, 2,b, 3,c, 4,c A