Capítulo 3 - Relações

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1 Capítulo 3 - Relações Uma das principais razões do sucesso e universalidade da teoria de conjuntos na matemática reside no facto de praticamente todas as noções e conceitos da matemática se poderem reduzir, definir ou explicar em termos de conjuntos e operações com conjuntos. Neste e no próximo capítulo ilustraremos tal facto mostrando como dois conceitos matemáticos essenciais 1 - relação e função - se podem representar em termos de conjuntos. Neste capítulo introduzir-se-á o importante conceito de relação entre vários conjuntos e num conjunto. Particular atenção será dada às relações binárias. Falar-se-á, nomeadamente, das relações de equivalência e da partição de um conjunto que estas induzem (o chamado conjunto quociente), e das relações de ordem, analisando-se as ordens parciais, totais e boas ordens, e, ainda, as relações "bem fundadas". Secção 1: Relações. No dia a dia estamos constantemente a associar objectos do mesmo ou de diferentes tipos 2. Por exemplo, quando dizemos "aquele fulano é primo de sicrano" estamos a associar (relacionar) duas pessoas; quando pedimos a lista (ou a tabela) dos salários de uma determinada empresa, estamos a associar (relacionar) pessoas 3 e números (os salários); quando dizemos "estas duas rectas são paralelas" estamos a associar (relacionar) duas rectas; quando dizemos "este aluno está inscrito nesta disciplina" estamos a associar (relacionar) pessoas e disciplinas. Dos exemplos anteriores facilmente se extraem alguns aspectos essenciais: Embora possamos associar dois objectos "à toa", usualmente tal associação corresponde a uma propriedade que esses objectos satisfazem (e, de facto, uma condição P(x,y) pode ser vista como definindo uma relação, formada pelos pares de objectos (a,b) que satisfazem tal condição, i.e. tais que P(a,b) é uma proposição verdadeira). Normalmente, dizemos (ou está implícito) que tipo de elementos estamos a relacionar. Finalmente, uma forma prática e muito usual de apresentar graficamente uma certa associação/relação consiste em recorrer a uma tabela. Por exemplo, a tabela (incompleta) a seguir seria uma forma de representar a relação de inscrição (de um aluno numa disciplina): Aluno Disciplina José António Análise Matemática I José António Paradigmas da Programação Maria Couceiro Análise Matemática I E de grande aplicação em muitas áreas do saber e, naturalmente, também em Computação (veja-se, por exemplo, a importância do conceito de relação em Bases de Dados). 2 O termo tipo está a ser aqui usado de forma informal. 3 Ou, mais precisamente, identificadores de pessoas, que poderão ser sequências de caracteres (os nomes das pessoas), ou números (em muitas instituições cada membro tem um número que o identifica univocamente, dito a sua chave - o número do Bilhete de Identidade funciona como tal chave na sociedade). 63

2 O facto de existir uma linha da tabela com (José António, Análise Matemática I), significa que o José António está inscrito na disciplina Análise Matemática I (estão associados/relacionados por essa propriedade de "estar inscrito em"); o facto de não existir na tabela qualquer linha com (José António, Análise Matemática III) significa que o José António não está inscrito em Análise Matemática III (i.e. o José António não está relacionado com Análise Matemática III por aquela propriedade 4. Do que dissemos, facilmente se conclui que uma forma natural de representar em matematica (recorrendo à teoria de conjuntos) tal conceito fundamental, de associação/relação, consiste em ver esta como um conjunto de pares ordenados (o conjunto dos pares que estão relacionados por tal associação). Repare-se que a ordem por que referimos os elementos que satisfazem uma dada associação é relevante: pense-se, por exemplo, na associação "ser pai de". Por outro lado, nos exemplos anteriores apenas se considerou associações entre pares de elementos. Tal é a situação mais comum, e de maior interesse, pelo que ela terá um tratamento especial nestas folhas (nomeadamente através da introdução de notações específicas para lidar com tais associações). No entanto, podemos facilmente conceber outro tipo de associações de interesse. Por exemplo, a condição P(x,y,z), dada por x+y=z 2, define uma associação entre três elementos. Supondo que estamos a trabalhar no domínio dos naturais, então alguns ternos que estão assim relacionados são (0, 0, 0), (0, 1, 1), (2, 2, 2), etc. Já o terno (2, 3, 1) não pertence a tal relação (i.e. não satisfaz a associação definida por tal condição, uma vez que P(2,3,1) é uma proposição falsa). Como um outro exemplo, fora do domínio da matemática, podemos considerar uma tabela que nos dá os dados de cada empregado de uma empresa, como a que se segue: Nome Morada Telefone Salário José António Av José Marçal Rua Maria Couceiro Av em que cada linha da tabela, corresponde ao que se costuma designar pela ficha ou registo de um empregado, e expressa uma associação entre pessoas (nomes - sequências de caracteres), moradas (sequências de caracteres), telefones (números), salários (números inteiros positivos), etc. Igualmente podemos ver (representar) esta associação como um conjunto de tuplos (no caso quádruplos). 4 Naturalmente, esta forma de representar uma relação só é viável se o número de elementos que se encontram relacionados for finito (e, na prática, não demasiado grande). Por outro lado, vendo uma tabela, como a de cima, como um conjunto de pares ordenados, tem-se que a primeira coluna nos dá a primeira coordenada, ou primeira projecção, do par ordenado que é representado por cada linha, e a segunda coluna nos dá a segunda coordenada, ou segunda projecção de tal par. Às funções que aplicam cada par da relação na suas coordenadas, chamam-se em matemática de projecções (primeira e segunda); quando as relações são representadas por tabelas é vulgar denominar tais projecções como os atributos da relação. Assim, "Aluno" e "Disciplina" foram os nomes dados naquela tabela a tais atributos da relação de "inscrição". 64

3 Estamos assim em condições de apresentar o conceito matemático de relação que é usado para representar tais (diferentes fomas de) associações. Genericamente falando, em matemática, uma relação não é mais do que um conjunto de sequências de elementos, todas com o mesmo comprimento (em que o facto de uma dada sequência pertencer a esse conjunto significa que os elementos que formam essa sequência estão associados pela relação em questão). Tal conduz-nos à definição a seguir, onde se fixa o número de elementos que formam as sequências que compõem (constituem, traduzem) uma dada relação: Definição 1 : Uma relação n-ária (n 1) 5, R, é um qualquer conjunto de sequências de n elementos (i.e. n-tuplos). Se (x 1,..., x n ) R diz-se que o tuplo (x 1,..., x n ) está em relação por R (ou por intermédio de R) 6 ; se (x 1,..., x n ) R diz-se que o tuplo (x 1,..., x n ) não está em relação por R. Se n=1, diz-se que R é uma relação unária; se n=2, diz-se que R é uma relação binária; se n=3, diz-se que R é uma relação ternária; e assim sucessivamente. Exemplo 1 : a) O conjunto {(1,2,3), (2,1,4)} representa uma relação ternária. b) O conjunto {(1,2), (1,4), (3,5)} representa uma relação binária. c) O conjunto {(1,a), (1,b), (3,a)} representa igualmente uma relação binária. d) O conjunto {(1,a,2,5), (1,b,2,7), (3,a,7,2)} representa uma relação quaternária. e) O conjunto {(1,2), (1,3,4)} já não representa uma relação, pois é formado por tuplos de diferentes comprimentos. Por outro lado, como observámos atrás, normalmente nós precisamos o "tipo" dos elementos que estamos a associar. Tal pode ser visto como indicando, à partida, quais são os conjuntos a que podem pertencer os elementos que formam as sequências que compõem a relação. A definição a seguir traduz essas situações: Definição 2 : Uma relação n-ária R (n 1) entre os conjuntos A 1,..., A n é um subconjunto do produto cartesiano A 1 x...xa n. Se n=2, diz-se que R é uma relação binária entre A 1 e A 2 ; se n=3, diz-se que R é uma relação ternária entre A 1, A 2 e A 3 ; e assim sucessivamente. Se A 1 =...=A n =A, diz-se que R é uma relação n-ária em A (isto é, R é uma relação n-ária num conjunto A sse R A n ). 5 Por razões mnemónicas é costume usar a letra R para designar genericamente uma relação. 6 Também se diz por vezes, com o mesmo sentido, que o tuplo (x 1,..., x n ) satisfaz a relação R. 65

4 Se n=1, fala-se de uma relação unária no conjunto 7 A; se n=2, fala-se numa relação binária em A; e assim sucessivamente). Exemplo 2 : a) Seja A = {1,2,3} e B = {a,b}. Então {(1,a), (3,a), (3,b)} é (um exemplo de) uma relação binária entre A e B. b) Seja A = {1,2,3}, B = {a,b} e C = {1,4,5}. Então {(1,a,1), (1,a,4), (3,b,5)} é uma relação entre A, B e C (uma relação ternária). c) Seja A = {1,2,3,4}. Então {(1,2), (1,3), (4,3)} é uma relação binária em A. d) Seja A = {1,2,3,4}. Então {1,3} pode ser encarado como uma relação unária em A (ver última nota de rodapé). e) Seja A = {1,2,3,4}. Então {(1,2,1), (1,1,3), (2,2,2), (4,3,2)} é uma relação ternária em A. f) A relação vazia pode ser encarada como uma relação de qualquer aridade num conjunto A. As relações com maior utilização em matemática são as relações binárias 8. É portanto natural que se introduza algumas notações, e noções específicas, apropriadas a este tipo de relações. Notação : Seja R uma relação binária. Então pode escrever-se xry em vez de 9 (x,y) R, e em vez de se dizer que o par (x,y) está em relação por R, diz-se simplesmente que x está em relação com y por R, ou que x está na relação R com y. Por outro lado, pode escrever-se x / R y para designar que (x,y) R. Definição 3 : Seja R uma relação binária. Então: a) Chama-se domínio de R ao conjunto de todos os elementos x para os quais existe (pelo menos) um y tal que xry. Designando o domínio de R por dom(r), tem-se: dom(r) = {x: y xry} Para designar o domínio de R também se usa dom R. 7 Estritamente de acordo com esta definição, uma relação unária R em A seria um subconjunto de A 1 = {(x): x A} (veja-se as definições 3 e 4 da secção 2.5). No entanto, é costume (neste contexto) identificar uma sequência formada por um só elemento com esse elemento, e dizer que uma relação unária em A é um qualquer subconjunto de A. Assim, por exemplo, a propriedade "ser par" define a seguinte relação unária sobre os naturais: {0, 2, 4, 6,...}. 8 De tal forma que por vezes se escreve mesmo apenas relação, deixando implícito que se está a falar de uma relação binária. De qualquer modo, procuraremos ser sempre claros a esse respeito. 9 Outra notação que se usa às vezes para exprimir que "x está em relação com y por R" é: x No contexto da lógica usa-se também, com o mesmo fim, a notação R : x y R y. (que também se lê: "y sai de x por R" ). 66

5 b) Chama-se contradomínio (ou imagem) de R ao conjunto dos y para os quais existe (pelo menos) um x tal que xry. Designando o contradomínio de R por cod(r), tem-se: cod(r) = {y: x xry} Para designar o contradomínio de R também se usa cod R. c) Chama-se de inversa ou recíproca de R, e representa-se por R -1, a relação binária assim definida: R -1 = {(y,x): (x,y) R} Se R é uma relação binária entre A e B, então R -1 é uma relação binária entre B e A. A relação R -1 obtém-se trocando as coordenadas de cada par (x,y) R (tem-se yr -1 x xry). Por exemplo, a inversa da relação (em R) "<" é a relação ">", e a inversa da relação (em R) definida pela condição x 2 +y 2 =1 é essa mesma relação. É imediato que dom(r -1 ) = cod(r) e cod(r -1 ) = dom(r) e, ainda, que (R -1 ) -1 = R (isto para qualquer relação binária R). Exemplo 3 : Seja R a relação binária {(1,2), (1,4), (3,5), (6,4)}. Então: dom(r) = {1, 3, 6} cod(r) = = {2, 4, 5} R -1 = {(2,1), (4,1), (5,3), (4,6)} Para terminar esta introdução às relações, refira-se apenas que, informalmente, podemos ver uma relação n-ária como uma relação n-ária entre n conjuntos que não se quer, ou que é irrelevante, especificar 10. Exercícios : 1. Considere a relação binária R = {(0,1), (0, 0), (0, 2)} e diga a que é igual dom(r), cod(r) e R Determine os domínios, os contradomínios e as relações inversas das relações: a) de igualdade (em N 1 ) b) de "divisor" (em N 1 ) c) de "inclusão" (em (A), sendo A um conjunto arbitrário). 3. Determine os domínios, os contradomínios e as relações inversas das relações, em R, formadas por todos os pares (x,y) cujas coordenadas verificam as condições seguintes: x y, x = 3y, x 2 = y, x = sen y. 4. Descreva, em extensão, a relação de "inclusão" em ({1, 2}). 5. Seja B um conjunto. A relação de identidade em B, que se pode denotar por id(b) (ou id B ), é a relação binária (em B) assim definida: 10 Por exemplo, e sem querer entrar aqui em pormenores, uma relação binária R pode sempre ser vista como uma relação binária entre os conjuntos dom(r) e cod(r), uma vez que R dom(r) x cod(r). Mas, naturalmente, a mesma relação R pode ser considerada como uma relação binária entre dois outros conjuntos A e B (para isso, basta que dom(r) A e cod(r) B). 67

6 id(b) = {(x, x): x B} A que é igual id(b) -1? (Nota: à relação de identidade em B também se chama a diagonal de B x B.) 6. Considere a relação binária R =, e diga a que é igual R -1? 7. Suponha que A =. Quantas relações unárias em A podem ser definidas? E quantas relações binárias em A podem ser definidas? 8. Considere a linguagem de programação Mathematica. Como representaria nessa linguagem uma relação n-ária, finita (i.e. constituída por um número finito de n-tuplos)? 9. Considere a linguagem de programação Mathematica. Construa um programa que, recebendo (a representação de) uma relação binária, retorna: a) O seu domínio. b) O seu contradomínio. c) A sua relação inversa. Ilustre os programas (funções) construídos, aplicando-os a várias relações binárias. Secção 2: Relações de equivalência e conjunto quociente. De entre as relações binárias têm particular interesse as relações binárias num conjunto. Seguem-se algumas propriedades importantes que tais relações podem (ou não) possuir. Definição 1 : Seja R uma relação binária num conjunto A (isto é, R A 2 ). Então, diz-se que: a) R é reflexiva sse x A xrx (i.e. sse x (x A xrx) ) b) R é simétrica sse x,y A (xry yrx) (i.e. sse x,y (x,y A xry yrx) ) c) R é transitiva sse x,y,z A (xry yrz xrz) d) R é uma relação de equivalência (em A) sse R é reflexiva, simétrica e transitiva 11. Exemplo 1 : a) São relações de equivalência: a relação de "igualdade" (num conjunto qualquer), a relação de paralelismo (no conjunto das rectas do espaço, e admitindo que se considera a coincidência como um caso particular do paralelismo), a relação de "semelhança" (entre triângulos, por exemplo), a relação "ter a mesma idade que" (no conjunto das pessoas), etc. b) Não são relações de equivalência: a relação de "perpendicularidade" entre rectas (não é reflexiva, nem transitiva), a relação de "divisor" nos números inteiros positivos (não é simétrica), a relação de 11 É imediato que se R é uma relação de equivalência em A, então (como R tem de ser reflexiva, tem-se) R, excepto no caso pouco interessante (do ponto de vista prático) em que A = (nesse caso, a única relação binária em A é a relação vazia, que será então uma relação de equivalência). 68

7 "contido" (definida no conjunto das partes de um conjunto não vazio), a relação "maior" (p.ex. nos naturais), etc. c) A relação R = {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b)} não é uma relação de equivalência no conjunto A = {a, b, c} (das letras a, b e c ), uma vez que c não está em relação consigo próprio por R (pelo que R não é reflexiva). d) A relação R = {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c)} é uma relação de equivalência no conjunto A = {a, b, c}. Fixada uma relação de equivalência R num conjunto A, diz-se que dois elementos x e y de A são equivalentes (segundo R) sse xry. As relações de equivalência num conjunto não vazio desempenham um papel importante em matemática. Em particular, elas permitem "partir" tal conjunto em classes. Porém, antes de discutirmos como tal se processa, analisemos primeiro o conceito geral de partição de um conjunto. Definição 2 : Seja A um conjunto não vazio 12. Uma partição de A é um conjunto B, formado por subconjuntos de A, que satisfaz as seguintes condições: a) todo o elemento de B é não vazio (i.e. S B S ) b) os elementos de B são disjuntos dois a dois (i.e. S1,S2 B (S1 S2 S1 S2= ) ) c) a união da colecção B é igual a A (i.e. B = U S = A) S B Aos elementos de uma partição B de um conjunto A chama-se, por vezes, de células (ou classes de partição). Por c) e b) cada elemento de A pertence a uma e uma só célula; também por c), em cada célula só podem estar elementos de A; finalmente, por a), não existem células vazias. A seguir representa-se graficamente uma possível partição do conjunto {a, b, c, d, e}: as ovais a tracejado representam as três células da partição em causa (i.e. a partição {{a, d}, {b}, {c, e}}) a b c d e Existem, em geral, muitas maneiras de partir um conjunto A, não vazio. Por exemplo, dado um qualquer subconjunto próprio de A, não vazio, X, então {X, A-X} constitui uma partição de A. Igualmente 12 A definição de partição de A, a seguir, pode-se estender ao caso em que A é o conjunto vazio. Nesse caso, a única partição possível de A é B =. 69

8 constitui uma partição de A o conjunto {{x}: x A}. Mas, como é natural, normalmente quando "partimos" um conjunto A, estamos interessados não numa qualquer partição, mas sim em partições que traduzam alguma propriedade relevante 13, i.e. em que os elementos que se encontram em cada célula se relacionam de alguma maneira ("interessante"). Ora, as propriedades que nos permitem efectuar partições são aquelas que definem relações de equivalência. De facto, as relações de equivalência desempenham um papel fundamental no contexto das partições de um conjunto: não só a qualquer partição de A podemos associar uma relação de equivalência em A (ver exercício 2); como qualquer relação de equivalência em A induz uma partição de A, como se mostra a seguir. Definição 3 : Seja R uma relação de equivalência em A e seja c um qualquer elemento de A. A classe de equivalência de c (segundo R, ou módulo R), que se designa usualmente por [c] R (ou simplesmente por [c], se a relação R em causa for evidente pelo contexto), é o conjunto de todos os elementos de A que são equivalentes a c (segundo R), isto é: [c] R = {x A: xrc} (como R é uma relação binária em A, pode escrever-se simplesmente, [c] R ={x: xrc}) Ao elemento c (de A) usado na notação [c] R para designar a classe {x( A): xrc} chama-se de representante dessa classe. Como decorre do teorema 1-b) a seguir, qualquer elemento da classe pode ser escolhido para seu representante (no sentido de que se a [c] R, então [a] R =[c] R ). Por outro lado, como uma relação de equivalência é necessariamente simétrica, é irrelevante se definimos [c] R como {x A: xrc} (como fizemos), ou se definimos [c] R como {x A: crx}. Exemplo 2 : a) No caso da relação de paralelismo, a classe de equivalência de uma recta é o conjunto de todas as rectas que têm a mesma direcção da recta dada. b) Para a relação de igualdade num conjunto X, qualquer que seja o elemento c de X tem-se que [c] = {c}. c) Para a relação R = {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c)} em A = {a, b, c} (com a, b e c três elementos distintos), tem-se: [a] = [b] = {a,b} e [c]={c}. Teorema 1 : Seja R uma relação de equivalência num conjunto A, e sejam a e b elementos quaisquer de A. Tem-se: 13 Por exemplo, a mobília de uma casa (ou apartamento) pode ser agrupada pelas divisões em que se encontra: tal corresponderá a uma partição do conjunto de toda a mobília da casa. Os alunos ordinários (por oposição a alunos extraordinários) da universidade podem ser agrupados pelos cursos que frequentam: tal corresponderá a uma partição do conjunto de todos esses alunos. 70

9 a) a [a] b) arb [a] = [b] c) a R / b [a] [b] = Demonstração: a) Decorre de R ser reflexiva. b-1) Demonstremos que arb [a] = [b]: Suponha-se que arb e provemos que [a] [b] (a demonstração de que [b] [a] é semelhante, embora necessite de usar ainda a simetria de R, e é deixada como exercício): Seja x [a] qualquer. Então (por definição de [a]) xra. Logo, como R é transitiva, tem-se xrb, o que implica (por definição de [b]) que x [b] (c.q.d.) b-2) Demonstremos o recíproco de b-1), i.e. que [a] = [b] arb: Suponha-se que [a] = [b]. Queremos provar que arb, i.e. que a [b] (recordar definição de [b]). Ora, como (por hipótese) [a] = [b], ficará provado que a [b], se provarmos que a [a]. Mas isso já foi demonstrado (alínea a) deste teorema). c-1) Demonstremos que a / R b [a] [b] = : Suponha-se, por absurdo, que a / R b e [a] [b], e vejamos (com algum pormenor) que tal nos conduz a uma contradição. Como [a] [b], tem-se que existe c [a] [b]. Mas (qualquer que seja c): c [a] [b] c [a] c [b] (por definição de [a] e de [b]) cra crb (R é simétrica) arc crb (R é transitiva) arb Logo, como existe c tal que c [a] [b] e como (qualquer que seja c) c [a] [b] arb, conclui-se que arb. Mas, por hipótese, a / R b, obtendo-se, portanto, uma contradição (como pretendíamos). c-2) Reciprocamente, suponha-se que [a] [b] = e provemos que a / R b. Ora, pela alínea a), a [a]. Logo (como, por hipótese, [a] [b] =, conclui-se que) a [b]. Mas (por definição de [b]) tal significa que a / R b (c.q.d.). Definição 4 : Seja R uma relação de equivalência em A. Chama-se conjunto quociente de A (segundo R, ou módulo R) ao conjunto formado pelas classes de equivalência (segundo R) de todos os elementos de A, conjunto que se designa por A/R. 71

10 Isto é 14 : A/R = [x] R : x A} (ou, deixando a relação R implícita na descrição das classes, A/R = {[x]: x A} ) Seja R uma relação de equivalência num conjunto A, não vazio. Por a) do teorema 1, nenhuma classe de equivalência (de um elemento de A) é vazia. Pela mesma alínea do teorema 1, todo o elemento c de A pertence a alguma classe de equivalência (nomeadamente, à classe [c]); assim, como, por definição das classes de equivalência (segundo R), também se tem que estas são formadas só por elementos de A, conclui-se que a união de todas as classes é o próprio conjunto A. Finalmente, por b) e c) do teorema 1, quaisquer duas classes distintas são disjuntas. Tem-se, portanto: Teorema 2 (corolário do teorema 1): Seja R uma relação de equivalência num conjunto A, não vazio. Então A/R constitui uma partição de A (a partição de A induzida por R). Exemplo 3 : a) Sendo R a relação {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c)} em A = {a, b, c} (com a, b e c três elementos distintos), tem-se A/R = {[a], [c]} = {{a,b}, {c}}. b) No conjunto dos naturais N 0, a relação R definida por m R n sse m é congruente com n modulo 6 é uma relação de equivalência. (Diz-se que m é congruente com n modulo 6 (o que se pode denotar escrevendo "m n mod 6") se m-n é múltiplo inteiro de 6, isto é, simbolicamente, sse k Z m-n=6k. Dito de outra forma, m é congruente com n modulo 6 sse m e n têm o mesmo resto na divisão inteira por 6.) Cada classe de equivalência (segundo R) é formada pelos naturais que têm o mesmo resto na divisão (inteira) por 6 (por exemplo, [1] = {1, 7, 13,.., (6k+1),...}). Tem-se: N 0 /R = {[0], [1], [2], [3], [4], [5]}. Observações (complementares) 15 : 1. (Construção dos inteiros a partir dos naturais:) Suponha-se que o conjunto dos naturais N 0 é bem conhecido e vejamos o processo usualmente adoptado para definir o conjunto Z dos inteiros, a partir desse conjunto. Para compreendermos a construção a seguir, comece-se por recordar que o surgimento dos inteiros se deu para "remediar" o facto de nos naturais a operação de subtracção nem sempre ser possível. 14 Se A =, então A/R =. 15 Adaptadas de [19]. 72

11 De facto, a equação em x (com a,b N 0 ): a + x = b só tem solução em N 0 se for a b. E. como esta limitação é indesejável, do ponto de vista algébrico, procurou-se então definir um "conjunto maior" do que o dos naturais, onde tal operação fosse sempre possível (para quaisquer a e b nesse conjunto). Ideia: Quando a + x = b tem solução (em N 0 ), esta é única (x = b-a). Isto é, a cada par (a,b), que satisfaça a b, corresponde um e um só natural x que é solução de a+x=b. Mas a diferentes pares pode corresponder, por este processo, o mesmo natural (i.e. a correspondência referida não é biunívoca): por exemplo ao par (a,b)=(1,5) corresponde o natural 4 pela operação de subtracção (b-a), ao par (2,6) corresponde o mesmo natural, e assim por diante. Mais geralmente, a dois pares de naturais (a,b) e (c,d), com a b e c d, corresponde (pela operação de subtracção) o mesmo natural sse b-a=d-c, condição que pode ser expressa, sem recorrer à operação de subtracção, como se segue: a+d = b+c. Ou seja embora a operação de subtracção não nos permita identificar um natural com um e um só par de naturais, ela permite-nos associar, biunivocamente, naturais e conjuntos de pares de naturais em que a primeira coordenada é menor ou igual à segunda. Mais precisamente, seja X = {(a,b): a,b N 0 a b} e seja R a seguinte relação entre pares de naturais: (a, b) R (c, d) a+d = b+c Então R é uma relação de equivalência em X (ver exercício 5), e podemos associar, biunivocamente, as classes de equivalência, que assim se obtêm, e os números naturais, o que permite identificar cada natural com uma e uma só classe de equivalência (um natural x é identificado com uma classe [(a,b)] sse b-a=x). O que se passará, agora, se considerarmos a relação de equivalência R, definida da mesma forma, não 2 em X, mas em todo o conjunto N 0? Além das classes de equivalência correspondentes aos números naturais (todas formadas por pares de naturais em que a primeira coordenada é menor ou igual que a segunda), obteremos novas classes que, intuitivamente, podemos supor corresponderem a números de novo tipo, precisamente os números de que necessitávamos para resolver equações da forma a+x=b, quando a>b. Agora, para dar uma definição matematicamente correcta dos objectos que constituem o novo conjunto numérico que alcançámos (por enquanto apenas intuitivamente) e que é precisamente o conjunto dos inteiros, o mais simples será chamar número inteiro a qualquer das classes de equivalência determinadas em 2 N 0 pela relação R. Uma tal definição parecerá certamente, pelo menos à primeira vista, muito abstracta e um tanto artificial, e é claro que, na prática, ninguém pensará nunca, ao trabalhar (fazer cálculos) com inteiros, que eles são certas "classes de equivalência de pares de naturais". Porém, não é de cálculo que agora se trata, mas sim de fundamentar a contrução dos inteiros, procurando obter uma definição rigorosa do conjunto Z, a partir de N 0 e utilizando exclusivamente noções fundamentais da teoria dos conjuntos (tais como a de produto cartesiano e conjunto quociente) que, por sua vez, tenham já sido definidas com o indispensável rigor 16. Ora, para este efeito, a definição indicada é perfeitamente satisfatória. 16 Observe-se que os naturais também podem ser representados na teoria dos conjuntos de uma forma simples. Sem entrarmos em pormenores, uma ideia (proposta por von Neumann em 1925) consiste em representar o zero pelo conjunto vazio, e em identificar cada um dos restantes naturais com o conjunto dos naturais precedentes, conduzindo à definição: 0 = ; 1 = { }; 2 = {0, 1} = {, { }}; 3 = {0, 1, 2} = {, { }, {, { }}}; e assim sucessivamente. 73

12 Sendo a e b naturais quaisquer, diremos que uma classe [(a,b)] é um inteiro que corresponde a um número natural (o número b-a) sse for a b; se for a>b, então a classe [(a,b)] é um inteiro que não corresponde já a nenhum número natural. Na prática, cada número natural e o número inteiro correspondente - em princípio, objectos matemáticos distintos - são mesmo "identificados", passando-se a designá-los pelo mesmo símbolo (a classe [(0,0)] é designada pelo símbolo 0; as classes [(0,b)], com b>0, são designadas pelo símbolo b, ou +b; as classes [(b,0)], com b>0, são designadas por -b). Feita esta identificação, poderá dizer-se que o conjunto N 0 é um subconjunto do conjunto Z. Resta-nos indicar como se definem as operações algébricas no conjunto Z, acabado de construir. Tal será deixado para mais tarde. 2. (Construção dos racionais a partir dos inteiros:) Pode construir-se o conjunto Q, dos números racionais, a partir do conjunto Z, por um processo inteiramente análogo ao que se indicou para passar de N 0 para Z. A ideia orientadora desta nova "ampliação" é a de tornar resolúvel qualquer equação da forma a x = b, com a 0, isto é, no fundo, a de tornar sempre possível a divisão, com divisor diferente de zero. Resumidamente: Tem-se (para a e c diferentes de zero): a x = b c x = d sse ( b a = d c sse) a d = b c. Define-se, assim, no conjunto (Z-{0}) x Z, a seguir designado abreviadamente por W, a relação de equivalência: (a, b) S (c, d) a d = b c e define-se o conjunto Q como sendo o conjunto quociente W/S. Exercícios : 1. Sejam a, b e c objectos distintos. Construa todas as possíveis partições de {a, b, c}. 2. Seja A um conjunto não vazio e seja B uma partição de A, Demontre que a relação binária R, em A, assim definida: x R y sse S B (x S y S) é uma relação de equivalência (a relação de equivalência induzida por B em A). 3. Sejam a, b e c objectos distintos. Considere a relação de equivalência em B = {a, b, c} assim definida: R = {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (a,c), (c,a), (b,c) (c,b), (c,c)} A que é igual B/R? 4. Sejam a, b, c e d objectos distintos. Considere a relação de equivalência em A = {a, b, c, d} assim definida: R = {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,d), (d,c), (c,c), (d,d)} A que é igual A/R? 5. Considere a relação R assim definida: 74

13 (a,b) R (c,d) a+d = b+c. Verifique que se trata de uma relação de equivalência em qualquer conjunto de pares de naturais (e, portanto, também em N 2 0 ). 6. Suponha que R é uma relação de equivalência num conjunto X. A que é igual dom(r)? E cod(r)? 7. Considere o conjunto X = {1, 2, 3, 4} e a relação S, em X 2, definida por: (a, b) S (c, d) a d = b c a) Demonstre que S é uma relação de equivalência. b) Diga a que é igual [(2,1)]. c) Diga a que é igual X 2 /S. 8. Seja R uma relação num conjunto X e S = R R -1. Demonstre que: a) S é simétrica; b) Se R for reflexiva, então S também o é; c) O facto de R ser transitiva, não garante que S também o seja. 9. Demonstre que a intersecção de duas relações de equivalência num mesmo conjunto X ainda é uma relação de equivalência em X. 10. Considere a linguagem de programação Mathematica e considere (neste exercício) relações de equivalência num conjunto finito de números. (Suponha ainda que tais relações de equivalência são representadas "extensivamente", através da descrição de todos os pares que as compõem). Construa um programa (nessa linguagem) que: a) Recebendo uma relação de equivalência num certo conjunto e um elemento x desse conjunto, retorna [x] (i.e. a classe de equivalência desse elemento). b) Recebendo uma relação de equivalência num certo conjunto, retorna o respectivo conjunto quociente. 11. Sendo R uma relação binária entre A e B e S uma relação binária entre B e C, pode definir-se a composição destas relações como se segue: S o R = {(a, c): b B ((a,b) R (b,c) S)} (Nota: Quando falamos em composição de relações, as notações podem divergir de autor para autor: há também quem escreva antes RoS para denotar o conjunto anterior 17. Para o que se segue, é irrelevante se denotamos a composição anterior por SoR ou por RoS.) À custa da operação anterior podem definir-se algumas noções úteis, como as seguintes: Seja R uma relação binária num conjuto A. Então, define-se R 0 = id(a) = {(x,x): x A} (Nota: R 0 denota o elemento neutro para a composição; esta definição não coincide com a definição de potência zero de um conjunto, dada na definição 4-b) da secção 5 do último capítulo.) R 1 = R 17 No entanto, se estivermos a encarar as relações R e S como funções (quando isso é possível), então a notação standard para denotar o conjunto acima é SoR: ver próximo capítulo. 75

14 e, qualquer que seja n 0, R n+1 = R n o R (informalmente, R n = R o... o R, n vezes) e chama-se o fecho reflexivo de R à relação (binária em A) dada por R R 0 o fecho simétrico de R à relação dada por R R -1 o fecho transitivo de R à relação dada por R + = U R n n 1 o fecho reflexivo e transitivo de R à relação dada por R * = Exemplos: Se A = {1,2,3,4} e R={(1,2), (2,3), (4,1)}, então R 0 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}; R 1 = R = {(1,2), (2,3), (4,1)}; R 2 = R 1 o R = {(1,3), (4,2)}; R 3 = R 2 o R = {(4,3)}; R 4 = R 3 o R = ; R 5 = R 4 o R = ;... ; R + = {(1,2), (2,3), (4,1), (1,3), (4,2), (4,3)}. Sendo R uma relação binária num conjuto A,: U R n n 0 a) Prove que o fecho reflexivo (respectivamente, simétrico, transitivo) de R é uma relação reflexiva (resp. simétrica e transitiva). b) Prove que (R R -1 ) * é uma relação de equivalência em A. c) Mostre que R * (R -1 ) * pode não ser uma relação de equivalência em A. 12 P*. Considere a linguagem de programação Mathematica e construa um programa (nessa linguagem) que, recebendo uma relação binária R num conjunto finito A, calcula o fecho transitivo de R. (Sugestão: veja p.ex. a secção de [8], onde esse programa é construído e utilizado para determinar se existe, ou não, algum caminho entre dois vértices num grafo, importante problema prático de que falaremos mais à frente. Refira-se contudo, a propósito, que existem outras maneiras mais simples e usuais de responder a tal questão sobre grafos, como aliás também se mostra nesse livro.) Secção 3: Relações de ordem. Outra classe importante de relações binárias, num conjunto A, são as chamadas relações de ordem 18. Saliente-se que os alunos já estão habituados a lidar com as relações de ordem usuais ( e <) nos conjuntos dos números (naturais, inteiros, racionais e reais). Pode até dizer-se que a maioria das noções introduzidas nesta secção já são mesmo conhecidas dos alunos, que no Secundário as aprenderam, mas definindo-as directamente para o caso particular da ordenação usual dos reais. Parte do objectivo desta secção reside em abstrair-nos desse caso particular e em definir estes conceitos para ordens genéricas. 18 Relações que têm grande aplicação em certas áreas da Ciência da Computação. 76

15 Definição 1 : Seja R uma relação binária num conjunto A. Então, diz-se que: a) Dois elementos x e y, de A, são comparáveis por meio de R sse xry yrx; dois elementos x e y, de A, são incomparáveis por meio de R sse não são comparáveis. b) R é irreflexiva sse x A x / R x i.e., de forma equivalente, R é irreflexiva sse x A xrx c) R é anti-simétrica sse x,y A (xry yrx x=y) i.e., de forma equivalente, R é anti-simétrica sse x,y A (xry yrx x y) d) R é uma relação de ordem parcial, em sentido lato, sse R é reflexiva, anti-simétrica e transitiva. e) R é uma relação de ordem parcial, em sentido estrito, sse R é irreflexiva e transitiva. Exemplo 1 : a) Considere-se a relação binária R = {(1,2), (2,2), (2,3), (3,4), (4,5)} no conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. A relação R não é irreflexiva, pois (2,2) R (i.e. tem-se 2R2). Será que R é reflexiva? b) Considere-se a relação binária R = {(1,2), (2,1), (1,2), (4,5)} no conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. A relação R é irreflexiva. A relação R não é anti-simétrica (pois 1R2 2R1 1 2). c) Considere-se a relação binária R = {(1,1), (1,2), (2,3), (1,3)} no conjunto A = {1, 2, 3}. A relação R é anti-simétrica e transitiva. A relação R não é irreflexiva (pois 1R1). d) Considere-se a relação binária R = {(1,2), (2,3)} no conjunto A = {1, 2, 3}. A relação R é antisimétrica e irreflexiva. A relação R não é transitiva (pois 1R2 2R1 1 / R 1). e) Considere-se a relação binária R = {(1,2), (2,3), (1,3)} no conjunto A = {1, 2, 3}. A relação R é antisimétrica e transitiva. A relação R não é reflexiva (pois p.ex. 1 / R 1). f) Considere-se a relação binária R = {(1,2), (2,1), (1,1), (2,2), (3,3)} no conjunto A = {1, 2, 3}. A relação R é reflexiva e transitiva. A relação R não é anti-simétrica (pois 1R2 2R1 1 2). g) Considere-se a relação binária R = { (1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3)} no conjunto A = {1, 2, 3}. A relação R é reflexiva e anti-simétrica. A relação R não é transitiva (pois 1R2 2R3 1 / R 3). Em vez de dizer que R é uma relação de ordem parcial em sentido lato, também se diz, mais abreviadamente, que R é uma ordem parcial em sentido lato, ou que R é uma ordem parcial lata, ou mesmo, apenas, que R é uma ordem parcial. Analogamente, em vez de dizer que R é uma relação de ordem parcial em sentido estrito, também se diz que R é uma ordem parcial em sentido estrito, ou que R é uma ordem parcial estrita 19. A relação (por exemplo no conjunto dos reais) é um exemplo típico de uma ordem parcial (lata), e a relação < um exemplo típico de uma ordem parcial estrita. 19 Quando se fala numa ordem parcial, sem dizer se é estrita ou lata, assume-se em geral (como faremos aqui) que se trata de uma ordem parcial em sentido lato. No entanto, nem todos os autores assumem essa convenção. 77

16 Mas muitos outros exemplos existem, seja de natureza matemática, seja de outra natureza: a relação de inclusão, no conjunto das partes de um conjunto A, é uma ordem parcial; a relação de "descendente", no conjunto dos seres humanos, é uma ordem parcial, em sentido estrito; etc. Podemos mesmo conceber outro tipo de ordens parciais associadas a "conceitos mais difusos". Por exemplo, podemos querer ordenar portais pela quantidade de informação que disponibilizam (naturalmente nem todos os portais serão comparáveis por essa hipotética relação de ordem estrita "disponibilizar menos informação que" ). As relações de ordem parcial podem ser representadas graficamente de maneira muito sugestiva: os elementos são representados por pontos, e os elementos distintos que estão em relação são ligados por segmentos de recta, de modo a que xry sse o ponto que representa x está por baixo e ligado (através de um ou mais segmentos de recta) ao ponto que representa y. Na figura da direita representa-se a ordem parcial no conjunto das partes de A = {0,1,2}. A {0,1} {1,2} {0,2} {1} {0} {2} {} Como é claro dos exemplos acima, numa ordem parcial alguns elementos podem ser incomparáveis (daí, aliás, o termo "parcial"): tal acontece por exemplo com os elementos {1} e {2}, na ordem da direita. Quando todos os elementos distintos são comparáveis, dois a dois (como, por exemplo, na ordem nos reais), diz-se que estamos em presença de uma ordem total: Definição 2 : Seja R uma relação binária num conjunto A. Então, diz-se que: a) R satisfaz a propriedade dicotómica sse quaisquer dois elementos são comparáveis por meio de R, isto é, sse x,y A (xry yrx). b) R satisfaz a propriedade tricotómica 20 sse quaisquer dois elementos distintos são comparáveis por meio de R, isto é, sse x,y A (x=y xry yrx). (Note-se que x,y A (x=y xry yrx) é equivalente a x,y A (x y xry yrx).) c) R é uma ordem total ou uma ordem linear (em sentido lato ou estrito) sse R é uma ordem parcial (em sentido lato ou estrito) que satisfaz a propriedade tricotómica. Uma ordem parcial, em sentido lato, satisfaz a propriedade tricotómica sse satisfaz a propriedade dicotómica. Logo, pode também dizer-se, de forma equivalente (e como é mais usual), que uma ordem total, em sentido lato, é uma ordem parcial em sentido lato que satisfaz a propriedade dicotómica. 20 Também se diz, nesse caso, que R é conexa. 78

17 Por outro lado, tal como em relação às ordens parciais, quando se fala numa ordem total, sem dizer se é estrita ou lata, assume-se em geral (e assumiremos aqui) que se trata de uma ordem total em sentido lato 21. A uma ordem total R (estrita ou lata) também se chama de ordem linear (estrita ou lata) por ela se poder representar através de uma linha recta 22 (tendo-se que, para dois elementos distintos x e y, xry sse o ponto que representa x está à esquerda do ponto que representa y). Veja-se por exemplo a representação da relação nos inteiros: Exemplo 2 : a) A relação é uma ordem total nos naturais (assim como nos inteiros, nos racionais ou nos reais). b) A relação é também uma ordem total nos naturais (e nos inteiros, nos racionais ou nos reais). c) A relação determinada, no conjunto de todas as palavras da língua portuguesa, pela condição "x precede alfabeticamente y" é uma ordem total, em sentido estrito. d) A relação de inclusão no conjunto das partes de um conjunto A é uma ordem parcial que não é total (só será total se A tiver no máximo 1 elemento). e) A relação de "descendente", no conjunto dos seres humanos, é uma ordem parcial, em sentido estrito, que não é total. f) A relação, em N 1, "x divide y", ou "x é divisor de y" (que se verifica sse k N1 y = k x, e que se denota muitas vezes escrevendo x y 23 ), é uma ordem parcial (que também não é total). g) Considere-se, agora, a relação binária R = {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5)} no conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. Embora intuitivamente R ordene linearmente os elementos de A, não se trata de uma ordem linear estrita em A. De facto, não só não é total (p.ex. 1 e 3 não são comparáveis por meio de R), como não é mesmo uma ordem parcial estrita em A, pois não é transitiva. No entanto, se considerarmos o fecho transitivo de R, dado por (ver exercício 11 da última secção) R + = {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (1,3), (2,4), (3,5), (1,4), (2,5), (1,5)} já estaremos em presença de ordem linear estrita em A = {1, 2, 3, 4, 5}. h) A relação R = {(1,2), (2,3), (1,3), (4,5)} é uma ordem parcial estrita no conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, que não é total (pois p.ex. 1 e 4 não são comparáveis por meio de R). i) A relação R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} é uma ordem parcial (lata) no conjunto A = {1, 2, 3, 4}, que não é total (pois p.ex. 1 e 2 não são comparáveis por meio de R). 21 Por outro lado, alguns autores quando falam em ordens (ou relações de ordem), sem explicitar se são parciais ou totais, referem-se a ordens totais. Aqui explicitaremos sempre se se trata de uma ordem parcial ou de uma ordem total. (Naturalmente, como decorre da definição, uma ordem total é sempre uma ordem parcial). 22 Um aspecto desse fenómeno é não haver "ciclos" (como, por exemplo: x 1 R x 2 x 2 R x 3 x 3 R x 4 x 4 R x 1 ). 23 Não se deve confundir x y com x/y. A expressão x y não é um número (não representa o quociente de x por y), correspondendo sim a afirmar que (o valor de) x divide (o valor de) y. Por exemplo, tem-se 3 6, mas não se tem que

18 j) Analogamente, a relação R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,3), (1,3)} é uma ordem parcial (lata) no conjunto A = {1, 2, 3, 4}, que não é total (pois p.ex. 1 e 4 não são comparáveis por meio de R). k) A relação R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,4), (4,4)} já é uma ordem linear (lata) no conjunto A = {1, 2, 3, 4}. Notações : 1. Usa-se frequentemente o símbolo p A (ou p A ) para denotar (genericamente 24 ) que se está a considerar uma relação que é uma ordem parcial no conjunto A. Quando o conjunto A, no qual se está a considerar uma ordem parcial, é evidente pelo contexto, pode escrever-se simplesmente p (em vez de p A ). Por vezes usa-se mesmo o símbolo com esse fim; no entanto, tal notação poderá sugerir que estamos a trabalhar com a usual relação "menor ou igual" em conjuntos de números, pelo que a evitamos (note-se, por exemplo, que a relação nos naturais também é uma ordem parcial). O símbolo p pode ler-se "precede ou é igual a" (ou mesmo "é menor ou igual que"). Dada uma ordem parcial p A, designa-se por p A a relação binária, em A, assim definida: x p A y x p A y x y Pode verificar-se que p A é uma ordem em sentido estrito, e que p A é uma ordem total sse p A o for (o que se deixa como exercício). Diz-se que p A é a relação de ordem estrita associada a, ou induzida por, p A. Igualmente se introduzem as habituais convenções de notação seguintes (onde se omite a referência a A, assumindo-se este conjunto implícito): x f y y p x x f y x f y x = y x p y p z x p y y p z x p y p z x p y y p z etc. E, quando p é uma ordem total em A, também se define, por vezes, as noções de intervalo 25, aberto, fechado e semi-fechado, de extremos a e b (pertencentes a A), como se segue: [a, b] = {x A: a p x p b} ]a, b[ = {x A: a p x p b} [a, b[ = {x A: a p x p b} ]a, b] = {x A: a p x p b} 24 Quando nos queremos referir a específicas ordens parciais, como por exemplo a relação de inclusão nas partes de um conjunto, então usamos naturamente o seu símbolo próprio:. 25 A noção de intervalo também se pode definir (como a seguir) para ordens parciais p, que não sejam totais. No entanto, os intervalos têm mais interesse (e são usualmente considerados só) no contexto de ordens totais. 80

19 2. Analogamente, pode-se partir de uma ordem parcial em sentido estrito e definir a partir dela as outras ordens associadas. Usando o símbolo p A (ou p A ) - que se pode ler "precede" (ou "é menor que") - para denotar que se está a considerar uma ordem parcial em sentido estrito, no conjunto A (ou simplesmente p, se A for evidente pelo contexto), designa-se por p A a relação binária, em A, assim definida: x p A y x p A y x = y que se diz a relação de ordem lata associada a (ou induzida por) p A. As outras convenções notacionais definem-se, então, tal como em 1 anterior. Definição 2 : a) A um par ordenado, ƒ = (A, R), constituído por um conjunto A e uma relação binária R em A chamamos de estrutura 26. (Em vez de se escrever (A,R) também se escreve (A; R).) b) Se R for uma ordem parcial (respectivamente total) em A, então diz-se que (A, R) é uma estrutura parcialmente (resp. totalmente) ordenada. Por abuso de linguagem, em tal caso diz-se mesmo que (A,R) é um conjunto parcialmente (totalmente) ordenado 27. O termo cpo é uma abreviatura de conjunto parcialmente ordenado (em inglês usa-se o termo poset que é uma abreviatura de "partially ordered set"). Associado a um cpo definem-se algumas noções importantes, como a seguir. (Saliente-se que nestas definições é irrelevante se consideramos que o conjunto A está "equipado", à partida, com uma ordem parcial lata p, e definimos p como a ordem parcial estrita que lhe está associada, ou se consideramos que A está equipado, à partida, com uma ordem parcial estrita p, e definimos p como a ordem parcial lata que lhe está associada.) Definição 3 : Seja (A, p ) um cpo e seja X um subconjunto qualquer de A. a) Diz-se que um elemento c de A é um minorante de X (com respeito à ordem parcial p em consideração) sse x X c p x Analogamente, diz-se que um elemento c de A é um majorante de X sse x X x p c b) Diz-se que X é minorado, ou limitado inferiormente (em A), sse X tiver pelo menos um minorante em A (i.e. sse c A x X c p x) 26 Ou, mais precisamente, estrutura relacional (ou sistema relacional). Voltaremos a abordar o conceito de estrutura à frente. 27 Quando a ordem parcial (total) R em questão está subentendida, o abuso pode ir mais longe, chamando-se ao próprio conjunto A de conjunto parcialmente (totalmente) ordenado. Por outro lado, um conjunto totalmente ordenado também se designa por conjunto linearmente ordenado. 81

20 Diz-se que X é majorado, ou limitado superiormente (em A) sse X tiver pelo menos um majorante em A (i.e. sse c A x X x p c) E diz-se que X é limitado (em A) sse X for minorado e majorado (i.e. sse c,d A x X c p x p d) c) Diz-se que um elemento c (de A) é um elemento minimal de X sse c X x X (x p c c=x) condição que é equivalente (demonstre!) a c X x X x p c Analogamente, diz-se que um elemento c (de A) é um elemento maximal de X sse c X x X (c p x c=x) condição que é equivalente a: c X x X x f c d) Diz-se que um elemento c (de A) é um mínimo de X sse c X x X c p x e diz-se que X admite mínimo sse existe um elemento c que é um mínimo de X. Analogamente, diz-se que um elemento c (de A) é um máximo de X sse c X x X x p c e diz-se que X admite máximo sse existe um elemento c que é um máximo de X. e) Diz-se que um elemento c de A é um ínfimo de X sse c é um minorante de X e qualquer outro minorante de X precede c de acordo com a ordem p : x X c p x d A( x X d p x d p c) e diz-se que X admite ínfimo (em A) sse existe um elemento c de A que é um ínfimo de X. Analogamente, diz-se que um elemento c de A é um supremo de X sse c é um majorante de X que precede qualquer outro majorante de X: x X x p c d A( x X x p d c p d) e diz-se que X admite supremo (em A) sse existe um elemento c de A que é um supremo de X. Em seguida ilustra-se as noções acabadas de definir, e fazem-se alguns comentários sobre o seu significado e sobre as relações existentes entre as diferentes noções. Seja (A, p ) um cpo e seja X um subconjunto de A. Então: Um minorante de X é um elemento de A que é "menor ou igual" (de acordo com a ordem p subjacente) que todos os elementos de X. Exemplo 3 : considerando a usual ordem nos reais (i.e. (A, p ) = ( R, )), então qualquer real não positivo (i.e. qualquer real negativo ou nulo) é um minorante do conjunto X = ]0,+ [; considerando a mesma ordem, qualquer real não positivo é (também) um minorante de [0,+ [; 82

21 considerando a ordem no conjunto A = {1,2,3} (das partes de {1,2,3}}, então o conjunto vazio é um minorante de qualquer subconjunto de A (repare-se que os subconjuntos de A são conjuntos formados por subconjuntos de {1,2,3}); considerando a (mesma) ordem no conjunto A = {1,2,3}, então o (sub)conjunto (de A) X={{2,3},{1,2,3}} tem como minorantes, {2}, {3} e {2,3}, e o conjunto X={{1,2},{2,3},{1,2,3}} tem como minorantes e {2}. Um elemento c (de A) é um elemento minimal de X sse c X e não existem elementos em X menores do que c. Exemplo 4 : considerando a usual ordem nos reais, então 0 é um elemento minimal do conjunto X = [0,+ [, e os conjuntos X = ]0,+ [ e X = ]-,0] não possuem elementos minimais; considerando a usual ordem nos naturais, que podemos descrever graficamente como se segue: então 0 é um elemento minimal do conjunto dos pares, bem como de N 0 ; considerando, agora, a relação inversa da anterior (que também é uma ordem parcial), isto é, considerando o cpo (A, p ) = ( N 0, ) (onde designa a usual relação "maior ou igual" nos naturais), que podemos descrever graficamente como se segue: X então 5 é um elemento minimal do conjunto X={1, 2, 3, 4, 5}, bem como do conjunto Y = {1, 3, 5}, e o conjunto dos pares não possui elementos minimais; considerando a ordem no conjunto A = {1,2,3}, então {2,3} é um elemento minimal de X={{2,3},{1,2,3}}, e quer {1,2}, quer {2,3}, são elementos minimais de X={{1,2},{2,3},{1,2,3}}. Um mínimo de X é um elemento de X que é "menor ou igual" que todos os elementos de X. Um subconjunto X de A pode não admitir mínimo (para uma dada ordem parcial p em A), mas se admitir este é único (ver exercícios à frente). Daí que quando c é um mínimo de um conjunto X se possa dizer que c é o mínimo de X. Podemos também dizer que o mínimo de X é o menor elemento de X, no sentido de que é um elemento de X que é menor ( p ) que todos os outros elementos de X. O mínimo de X (quando existe) denota-se por min(x), ou minx (deixando-se implícito qual o cpo (A, p ) onde se está a calcular tal mínimo, o qual, naturalmente, deverá ser evidente pelo contexto). É imediato (pelas definições) que o mínimo de X (quando existe) é um minorante de X e que qualquer minorante de X, que pertença ao próprio conjunto X, é um mínimo de X. Igualmente se pode verificar que 83