ELETRÔNICA DIGITAL Aula 4-Álgebra de Boole e Simplificações de circuitos lógicos

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Leandro Benke Figueiredo
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1 ELETRÔNICA DIGITAL Aula 4-Álgebra de Boole e Simplificações de circuitos lógicos Prof.ª Eng. Msc. Patricia Pedroso Estevam Ribeiro patriciapedrosoestevam@hotmail.com 08/10/2016 1

2 Introdução Os circuitos lógicos correspondem expressões booleanas, as quais representam problemas no mundo real, entretanto os circuitos gerados por tabelas verdade e expressões booleanas muitas vezes admitem simplificações, o que reduz o número de portas lógicas; essa redução diminui o grau de dificuldade na montagem e custo do sistema digital. 2

3 Variáveis e Expressões na Álgebra de Boole Através de postulados, propriedades, teoremas fundamentais e identidades da álgebra de Boole é possível a simplificação das expressões que representam os circuitos lógicos. 3

4 Variáveis e Expressões na Álgebra de Boole Existem apenas duas constantes booleanas 0 (zero) 1 (um) As variáveis booleaneas são representadas através de letras e podem assumir apenas dois valores: 0 e 1. Exemplos: A, B, C Expressão booleana é uma expressão matemática cujas variáveis são booleanas. Exemplos: S = A.B S = A+B.C 4

5 Postulados e Propriedades Na álgebra booleana há postulados (axiomas) a partir dos quais são estabelecidas várias propriedades. Existem várias propriedades da negação (complemento, inversor), adição (porta E) e soma (porta OU). Estas propriedades podem ser verificadas como equivalências lógicas. Para demonstrar cada uma, iremos utilizar as tabelas-verdade, constatando a equivalência. 5

6 Postulados da Complementação Este postulado, mostra como são as regras da complementação na álgebra de Boole. Chamaremos de A o complemento de A: Através do postulado da complementação, podemos estabelecer a seguinte identidade: 6

7 Postulados da Complementação Assim sendo, podemos escrever: O bloco lógico que executa o postulado da complementação é o inversor. 7

8 Postulado da Adição Este postulado, mostra como são as regras da adição dentro da álgebra de Boole. Podemos estabelecer as seguintes identidades: A + 0 = A. A pode ser 0 ou 1, vejamos então, todas as possibilidades: Se A = 0 -> = 0 Se A = 1 -> = 1 Notamos que o resultado será sempre igual à variável A. O bloco lógico que executa o postulado da adição é o OU. 8

9 Postulado da Adição A+1=1, vejamos todas as possibilidades: se A=0 -> 0+1=1 ; se A=1 -> 1+1=1 A+0=A, se A=0 -> 0+0=0 ; se A=1 -> 1+0=1 A+A=A, se A=0 ->0+0=0 ; se A=1 ->1+1=1, A + A = 1, se A=1 e A=0 -> 1+0=1 se A=0 e A=1 -> 0+1=1 ; Regra da Adição 9

10 Postulado da Multiplicação As regras da multiplicação booleana são: Podemos estabelecer as identidades: A.0=0 Podemos confirmar, verificando todas as possibilidades: Se A=0 -> 0.0=0 Se A=1 -> 1.0=0 Notamos que todo número multiplicado por 0 é 0. O bloco lógico que executa o postulado da multiplicação é o E. 10

11 Postulado da Multiplicação A.1=A, Analisando todas as possibilidades: se A=0 -> 0.1=0 ; se A=1 -> 1.1=1 A.A=A, se A=0 -> 0.0=0 ; se A=1 -> 1.1=1 A. A = 0, se A=1 e A=0 -> 1.0=0 se A=0 e A=1 -> 0.1=0 ; Regra da Multiplicação 11

12 Propriedades Propriedade Comutativa na adição: na multiplicação: Essa propriedade é valida tanto na adição, bem como na multiplicação 12

13 Propriedades Propriedade Associativa na adição: 13

14 Propriedades Propriedade Associativa na multiplicação: 14

15 Propriedades Propriedade Distributiva: 15

16 Teoremas de De Morgan Os teoremas de De Morgan são muito empregados na prática, em simplificações de expressões boolenas e, ainda, no desenvolvimento de circuito digitais. 16

17 Teoremas de De Morgan 1º Teoremas de De Morgan O complemento do produto é igual a soma dos complementos. Tabela Verdade A. B = A + B 17

18 Teoremas de De Morgan 2º Teoremas de De Morgan O complemento da soma é igual ao produto dos complementos. Este teorema é uma extensão do primeiro: A. B = A + B <- 1º teorema Rescrevendo assim: E chamando A de X e B de Y Tem-se o 2º teorema X. Y = X + Y, reescrevendo A. B = A + B 18

19 Teoremas de De Morgan 19

20 A + A.B=A Identidades auxiliares Utilizando a propriedade distributiva: A + A.B=A -> A.(1+B)=A E do postulado da soma, temos: 1+B=1, logo temos: A.(1+B)=A -> A.1=A A.1=A A + A.B=A 20

21 Identidades auxiliares (A+B).(A+C)=A+B.C (A+B).(A+C) = A.A + A.C + A.B + B.C -> Propriedade Distributiva = A + A.C + A.B + B.C -> Identidade A.A =A = A.(1+B+C)+B.C -> Propriedade Distributiva = A.1 + B.C -> Identidades 1+B+C=1 e A.1=A = A + B.C (A+B).(A+C) = A+B.C 21

22 A + A.B=A+B Identidades auxiliares 22

23 Resumo 23

24 Resumo A. (A+B) = A 24

25 Exercício Mostre, usando simplificação por postulados e propriedades, ou seja, por transformações algébricas que: A+A.B = A A.(A+B) = A 25

26 Solução 26

27 Exercício Mostre, usando simplificação por postulados e propriedades, ou seja, por transformações algébricas que: A + Ā.B = A + B (A+B).(A+C) = A + B.C 27

28 Solução 28

29 Solução 29

30 Simplificações de circuitos lógicos Utilizando o conceito da álgebra de Boole, podemos sim simplificar expressões e consequentemente circuito. Para efetuarmos estas simplificações, existem, basicamente, dois processos. O primeiro deles é a simplificação através de álgebra de Boole. Vamos simplificá-la, utilizando a álgebra de Boole. Primeiramente, vamos evidenciar o termo A: 30

31 Simplificações de circuitos lógicos 31

32 Simplificações de circuitos lógicos Esta expressão mostra a importância da simplificação e a consequente minimização do circuito, pois os resultados são idênticos aos valores assumidos pela variável A, assim sendo, todo o circuito pode ser substituído por um único fio ligado à variável A. 32

33 Exercícios 1- Simplifique as expressões booleanas, apresentadas a seguir: 33

34 Solução 34

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Postulado da complementação

Postulado da complementação ҧ ҧ ҧ Chamaremos A de o complemento de A 1) Se A = 0 A = 1 2) Se A = 1 A = 0 LOGO ഥA = A 1) Se A = 0, temos ҧ A = 1 ҧ ҧ A = 0 2) Se A = 1 temos ҧ A = 0 ҧ ҧ A = 1 Regras da adição