Matemática para Ciência de Computadores

Transcrição

1 Matemática para Ciência de Computadores 1 o Ano - LCC & ERSI Luís Antunes lfa@ncc.up.pt DCC-FCUP

2 Complexidade 2002/03 1 Fecho transitivo Teorema: o fecho transitivo de uma relação R é igual a relação de conectividade. Lema: Seja A um conjunto com n elementos, e seja R uma relação em A. Se existe um caminho de tamanho pelo menos 1 de a para b, então existe um caminho de tamanho menor ou igual a n.

3 Complexidade 2002/03 2 Fecho transitivo Definição: Seja A = [a ij ] uma m k matriz 0, 1 e B = [b ij ] uma k n matriz 0, 1. o produto Booleano de A por B, A B, é a matriz m n com c ij = (a i1 b 1j ) (a i2 b 2j )...(a ik b kj ) Teorema: Seja M R uma matriz 0, 1 de uma relação R num conjunto com n elementos. A matriz 0, 1 da relação R é dada por M R = M R M 2 R M 3 R... M n R

4 Complexidade 2002/03 3 Exercício Determine a matriz 0, 1 do fecho transitivo da relação R com M R = M 2 R = =

5 Complexidade 2002/03 4 Exercício M 3 R = M R M 2 R = = M R = =

6 Complexidade 2002/03 5 Realções de equivalência Definição: uma relação R num conjunto A é chamada relação de equivalência se é reflexiva, simétrica e transitiva. Exercício: Seja R uma relação no conjunto dos inteiros tal que arb se a = b ou a = b. Mostre que R é uma relação de equivalência. Seja R uma relação no conjunto dos números reais tal que arb sse a b é um inteiro. Mostre que R é uma relação de equivalência.

7 Complexidade 2002/03 6 Classes de equivalência Definição: Seja R uma relação de equivalência num conjunto A. O conjunto de todos os elementos que estão relacionados com um elemento a A é chamado de classe de equivalência de a ([a] R ). Exercício: Seja R uma relação no conjunto dos inteiros tal que arb se a = b ou a = b. R é uma relação de equivalência, determine a classe de equivalência de um determinado inteiro a.

8 Complexidade 2002/03 7 Classes de equivalência e partições Teorema: Seja R uma relação de equivalência num conjunto A. As seguintes afirmações são equivalentes: 1. arb, 2. [a] = [b], 3. [a] [b]. Teorema: Seja R uma relação de equivalência num conjunto A. As classes de equivalência em R formam uma partição em A. Dada uma partição {A i : i I} do conjunto A, existe uma relação de equivalência R que tem os conjuntos A i, i I, como as suas classes de equivalência.

9 Complexidade 2002/03 8 Ordens parciais Definição: Uma relação R num conjunto A é chamada de ordem parcial se é reflexiva, anti-simétrica e transitiva. Um conjunto A juntamente com uma relação parcial R é chamado um um conjunto parcialmente ordenado, poset, e é denotado por (A, R). Exercícios: Mostre que a relação maior ou igual ( ) é uma ordem parcial no conjunto dos inteiros. Mostre que a relação de divisibilidade é uma ordem parcial no conjunto dos naturais. Mostre que a relação é uma ordem parcial no conjunto das partes, P (A), de um conjunto A.

10 Complexidade 2002/03 9 Ordens Parciais Definição: os elementos a e b de uma ordem parcial (A, R) são comparáveis se arb ou bra, caso contrário são incomparáveis. Exemplo: Considere a seguinte ordem parcial (Z +, ), 3 e 9 são comparáveis? e 5 e 7? Definição: Se (A, R) é uma ordem parcial e todo o par de elementos de A são comparáveis, R é chamada uma relação de ordem total. Um conjunto totalmente ordenada é chamado uma cadeia. Exemplo: (Z, ) é uma ordem total? e (Z +, )?

11 Complexidade 2002/03 10 Diagramas de Hasse Ao representarmos uma ordem parcial sob a forma de um grafo dirigido, não é necessário especificar todos os ramos... alguns garantidamente tem que estar presentes. Em geral devemos: desenhar o grafo dirigido da relação Como a relação é reflexiva: retirar os ramos de um vértice para ele mesmo Como a relação é transitiva: retirar os ramos que podem ser obtidos por transitividade

12 Complexidade 2002/03 11 Colocar os vértices de partida abaixo dos de destino e retirar a direcção dos ramos.

13 Complexidade 2002/03 12 Exemplo Desenhe o diagrama de Hasse da seguinte ordem parcial {(a, b) : a divide b} em {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}. Desenhe o diagrama de Hasse da seguinte ordem parcial {(A, B) : A B} no conjunto das partes do seguinte conjunto S = {a, b, c}.

14 Complexidade 2002/03 13 Elementos minimal e maximal Definição: um elemento a é maximal na ordem parcial (A, R) se não existe um elemento b A tal que arb. Analogamente diz-se minimal se não existe um elemento b A tal que bra. Exercícios: 1. Determine o elemento minimal e maximal da seguinte ordem parcial {2, 4, 5, 10, 12, 20, 25}. 2. Seja A um conjunto. Determine se existe um elemento minimal e maximal na ordem parcial (P (A), ).