Relações Binárias, Aplicações e Operações

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1 Relações Binárias, Aplicações e Operações MAT II Pouya Mehdipour 19 de outubro de 2018 Pouya Mehdipour 19 de outubro de / 7

2 Referências ALENCAR FILHO, E. Teoria Elementar dos Conjuntos, Nobel, DOMINGUES, H.H. & IEZZI, G. Álgebra Moderna. 4a Edição. Atual Editora, Pouya Mehdipour 19 de outubro de / 7

3 Relações Binárias Chama-se relação binária a qualquer conjunto de pares ordenados. Mais explicitamente: Sejam E e F dois conjuntos não vazios. Uma relação binária R de E em F, é qualquer subconjunto de E F (produto cartesiano), isto é, R é um conjunto tal que: R (E F ). Se R é uma relação binária, em vez de dizer que o par (a, b) pertence a R, diz-se também que o elemento "a"está na relação R com o elemento "b"e escreve-se, arb. ((x, y) R x R y.) Obs 1: Se F = E, diz-se que R é uma relação binária em F. Obs 2: Existem relações Trinária,..,n-ária também. Domínio/Imagem/Inversa de R: Domínio de R: D R = {x y; x R y, } Imagem de R: I R = {y x; x R y, } Inversa ou recíproca de R: R 1 = {(y, x) x R y; } (portanto: y R 1 x x R y). Obs 3: Pode representar os relações pelo diagrama Carteziano, diagrama sagital ou tabela de dupla entradas. Exemplo 1: Determinem os pares ordenados da relação R; o conjunto domínio e o conjunto imagem e a relação R 1 : 1- Sejam A = { 2, 1, 0, 3}, B = {2, 4, 5} e R = {(x, y) A B x y < 2, } 2- Sejam R a relação de "x 2 + y 2 = 1"em R. Pouya Mehdipour 19 de outubro de / 7

4 Operaçãoes com relações Sobre relações R e S de A em B, efetuam-se operações usuais de interseção, união, complementação, diferença e diferença simétrica. Isto é, determinam se-: R S, R S, C A BR, R S, R S. Exemplo 2: sejam A = {x Z x é par 4}, B = {x Z x é impar < 6} e relações: R = {(2, 1), (4, 3), (0, 1)} e S = {(0, 1), (4, 1), (4, 3), (2, 1)}, encontrem R S, R S, C A BR, C A BS R S, R S. Relação Identidade: Dado um conjunto A, chama-se a relação identidade em A ou relação Idêntica em A, Id A = {(x, x) x A.} Obs 3: O conjunto Id A é em fato o que se chama Diagonal de A A. Exercíxio 1:Encontrem domínio e imagem da Relação R = {(x, y) R R 4x 2 + 9y 2 = 36.} Exercíxio 2: Demonstrem seguintes propriedades para uma relação R: 1- D R = I R 1 e I R = D R 1; 2- (R 1 ) 1 = R. Exercíxio 3: Seja A = { 1, 0, 1, 2} determinem a relação Id A. Exercíxio 4: Prove, por indução, que se A tem m elementos e B tem n elementos, (m, n N), A B tem mn elementos. Pouya Mehdipour 19 de outubro de / 7

5 Composição de Relações Seja A,B,C três conjuntos não vazios, e R e S respectivamente sejam relações definidas sobre A B e B C. Chama-se Relação Composta das relações R e S: S R = {(x, y) A C z, (z B (x, z) A B (z, y) B C)}. Exemplo 3: sejam A = {x N x é par 4}, B = {x N x é impar < 6} e C = {x Z x primo} e relações: R = {(2, 1), (4, 3), (0, 1), (2, 3)}, S = {(3, 3), (5, 3), (1, 5)}. Então S R vai ser... Exercíxio 5: Seja X = {x x [ 3, 0]} e a relação R = {(x, y) R R 4x 2 + 9y 2 = 36.} e R = {(x, y) R R 9x 2 + 4y 2 = 36.} encontrem a R R. Exercíxio 6: seja A = {1, 3, 4}, B = {2, 3, 5}, C = {3, 6, 8, 11}, e S = {(x, z) A B x + z > 5}, R = {(z, y) B C z y}. Encontrem R S. Pouya Mehdipour 19 de outubro de / 7

6 Propriedades de Relações Cmpostas/Numero das Relações sobre Conjuntos - Teorema 1: Quaisquer que sejam os relações R de A em B e S de B em C, (R S) 1 = S R 1. - Teorema 2: Qualquer que seja a relação R de A em B, R Id A = R, e Id B R = R. - Teorema 3: Quaisquer que sejam os relações R de A em B e S de B em C e T de C em D, (T S) R = T (S R). Número de Relações entre dois conjuntos finitos Seja A um conjunto com m elementos e B um conjunto com n elementos. Como produto cartesiano A B tem mn elementos e qualquer subconjunto dele pode criar uma relação de A em B, então existe 2 mn relações distintos entre A e B. Em particular se A = B, numero das relações possiveis em A, é 2 m2. Exemplo 4: Seja A = {1, 2, 5} e B = {a, c}. Então número de relações distintas entre A e B são 2 ( 2 3) = 64. Qual número de relações distinta em B? Exercíxio 7: Seja A = { 1, 0, 1} e R em A:R = {(x, y) : x é divisivel por y.} qual é número dos elementos de R? Quantas relaçõe distintas pode definir em A? Pouya Mehdipour 19 de outubro de / 7

7 Propriedades das Relações Seja A um conjunto não vazio e R uma relação em A, podemos explorar as seguintes propriedade: Reflexividade: Para a A, pode ser que a R a ou que "a"não esteja em relação com o próprio "a". Se a R a para todos os elementos a A, dizemos que R é uma relação reflexiva. Simetria: Se a R b então pode ser que b R a ou não. Se para todo par (a, b) R tivermos que a R b também implica que b R a, diremos que R é simétrica. Anti-simetria: Se a b, a R b então pode ser que b R a ou não. Se para todo par (a, b) R tivermos que a R b implica que (b, a) / R, diremos que R é anti-simétrica. Transitividade: Se arb e brc, pode acontecer que arc ou que (a, c) / R. Se, para todo par (a, b) R e para todo par (b, c) R tivermos que (a, c) R, diremos que R é transitiva. Pouya Mehdipour 19 de outubro de / 7