Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática III LISTA DE MAT INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA

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1 Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática III LISTA DE MAT INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA 1. Seja A = {1, 3, 5, 7, 11}. Verifique quais das seguintes proposições são verdadeiras ou falsas. (a) 1 A; (b) 2 A; (c) 7 A; (d) 11 A. 2. Descreva, por extenso, todos os elementos de cada um dos seguintes conjuntos. (a) Conjunto das letras da palavra granada ; (b) Conjunto dos nomes dos meses que começam pela letra j; (c) Conjunto dos nomes dos poliedros regulares convexos; (d) Conjunto de todos os número naturais que são divisores de 20; (e) Conjunto de todos os número naturais primos maiores que 15 e menores que Descrever, por extenso, cada um dos seguintes conjuntos: (a) {x N x < 3}; (b) {x N x 2 < 18}; (c) {x N x é par}; (d) {x N 2x 5 < 6}; (e) {x Z x 2 3x = 0}; (f) {x N 4 < x < 9}; (g) {x Z x 2 = x}; (h) {x Z x < 3}; (i) {x Z + x = 1}. 4. Descrever, cada um dos seguintes conjuntos, pela propriedade comum que define seus elementos: (a) {3}; (b) {1, 2, 3,..., 9}; (c) {3, 6, 9,,..., 99}; (d) {2, 4, 6, 8,...}; (e) {5, 10, 15, 20,...}; (f) { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}. 5. Verificar quais dos seguintes conjuntos são vazios ou unitários. (a) {x N x + 8 = 5}; (b) {x Z 1 < x < 1}; (c) {x R x < 0}. 6. Representar, com a notação de conjunto, os seguintes intervalos: (a) ] 3, 5[; (b) [3, 8]; (c) [0, 4]; (d) ] 7, 2[; (e) ], 2]; (f) ] 1, [. 7. Representar, com a notação de intervalo, os seguintes conjuntos: (a) {x R 3 x < 1}; (g) {x R x 1} (b) {x R 1 x 2}; (h) {x R x > 1} (c) {x R 1 < x 3}; (i) {x R 3x < 9} (d) {x R 4 < x < 2}; (j) {x R x 1 < 3}; (e) {x R x < 3}; (k) {x R x > 2} (f) {x R x 2}. (l) {x R 5x 7 8} 1 (m) { } x R x 2 x + 3 < 0 (n) {x R x 2 4x+3 0}; (o) {x R x 2 5 > 0}.

2 8. Verificar as seguintes igualdades: (a) {x R (x + 2) 2 (x 2) 2 = 8} = {1}; (b) {x N x < 5} = {x N (x + 1) 2 < 28}; (c) {x Z + x < 1} = {x Z 6x 2 + 5x 4 = 0}; (d) {x N 8 < x 2 < 20} = {x N x 2 7x + 12 = 0}; (e) {x Z 2x 2 + x 6 = 0} = {x Z 3x 2 + 7x + 2 = 0}; 9. Dados os conjuntos (a) A = {1, 2,..., 8, 9}; (b) B = {2, 4, 6, 8}; (c) C = {1, 3, 5, 7, 9}; (d) D = {3, 4, 5}; (e) E = {3, 5}; determinar quais dos conjuntos dados pode substituir o conjunto X de modo que resultem verdadeiras as seguintes proposições: (a) X D e X B; (b) x C e X A; (c) X A e X C; 10. Mostrar que: (a) {x N 3 5x } {x N 3 x }; (b) {x N 1 x 3 100} {x N 1 x 2 100}. 11. Dado o conjunto A = {1, 2} e B = {1, 2, 3, 4}, determinar todos os conjuntos X B tais que A X B. 12. Provar que se A, então A =. 13. Sendo E = {a}, determinar P (P (E)). 14. Determinar P (P (P ( ))). 15. Dados os conjuntos (a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; (b) A = {1, 4, 5, 6}; (c) B = {1, 4, 6} calcular C E A, C E B e C A B. 16. Demonstrar que E = F se, e somente se, P (E) = P (F ). 17. Seja A = {, { }}. Verificar quais das seguintes proposições são verdadeiras ou falsas. (a) {{ }} A; (b) A; (c) { } A (d) {{ }} A (e) A (f) { } A 2

3 18. Dados os conjuntos (a) U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; (b) X = {1, 2, 3, 4, 5}; (c) Y = {1, 2, 3}; (d) Z = {4, 6, 8}. Calcular (a) X Y, X Z, Y Z; (b) U X, X Y, (Y Z) Z, (c) U (X Y Z); (d) X Y, X Z, Y Z (e) (X Y ), (X Z), (Y Z) ; (f) X (Y Z), (X Y ) (X Z). (g) X Y, X Z, Y Z; (h) X Y, X Z, Y Z (i) (X Y ), (X Z), (Y Z) ; (j) X (Y Z), (X Y ) (X Z). 19. Calcular, apresentando o resultado com notação de intervalo: (a) {x R x 2 4} {x R x [ 1, 2]}; (b) {x R 2 < x 3} {x R 5 < x 1} (c) {x R x 3 > 1} {x R x 3 < 8} (d) {x R x 2 4} {x R x [ 1, 2]}; (e) {x R 2 < x 3} {x R 5 < x 1} (f) {x R x 3 > 1} {x R x 3 < 8} 20. Construir os diagramas de VENN dos três conjuntos não vazios A, B e C tais que: (a) A B, C B e A C = ; (b) A B, C B e A C ; (c) A C, A C e B C = ; (d) A (B C), B C, C B e A C. 21. Determinar os elementos dos conjuntos A, B e E, sabendo que: (a) A, B E; (b) A B={b,c}; (c) C E A = {d, e, f}; (d) C E B = {a, e, f}. 22. Determinar os elementos dos conjuntos A, B, C e E, sabendo que: (a) A, B, C E; (b) C E (A B C) = {1, 8, 12} (c) B C = ; (d) A C = {5}; (e) A B = {2, 3, 4, 5, 7, 9}; (f) A C = {2, 3, 4, 5, 6, 10, 11}; (g) C E B = {1, 2, 5, 6, 8, 10, 11, 12}; 23. Demonstrar: Se A B e C D então (A C) B D e A C B D. 3

4 24. Demonstrar: P (E F ) = P (E) P (F ) e P (E) P (F ) P (E F ). 25. Verificar as igualdades (a) (A B) (B C) = A C; (b) (A C) (B C) = B C; (c) (A B) (A C) (A B ) = A (B C). 26. Simplificar as expressões: (a) (A B) (A B ) (b) (A B) (A B ) (c) (A (A B)) B (d) (A B) (A B ) (e) A ((A B ) (A B)) (f) ((A B) (C D)) (A B) B (g) ((A B) (C D)) (A B) A 27. Demonstrar (a) (A B) (A B) = (A B) (B A) = (b) (A B) (B A) = (A B) (A B) 28. Demonstrar: n(a B) = n(a) + n(b) n(a B). 29. Sejam E = {1, 3, 5, 7, 9} e F = {0, 2, 4, 6}. Determinar (a) os elementos das seguintes relações de E em F : i. R 1 = {(x, y) y = x 1}; ii. R 2 = {(x, y) x < y}; iii. R 3 = {(x, y) y = 3x}. (b) o domínio e imagem de R 1, R 2 e R Sejam E um conjunto com 5 elementos e R = {(a, b), (b, c), (c, d), (d, e)} uma relação sobre E. Determinar (a) os elementos de E. (b) o domínio e imagem de R. (c) Os elementos, domínio e imagem de R 1 ; (d) esquema de flechas de R. 31. Sendo R = {(x, y) 4x 2 + y 2 = 4} uma relação sobre R. Determinar (a) O gráfico cartesiano de R e R 1 ; (b) O domínio e imagem de R e R Seja R uma relação sobre o conjunto de N definida pela sentença x + 3y = 10. Determinar: (a) Os elementos de R e R 1 (b) O gráfico cartesiano de R e R 1 ; (c) O domínio e imagem de R e R 1. 4

5 33. Sejam E e F dois conjuntos finitos com m e n elementos, respectivamente. (a) Qual é o número de elementos de E F? (b) Qual é o número de relações de E em F? 34. Construir o gráfico cartesiano das relações sobre R definidas pelas seguintes sentenças: (a) x = 4 e y [ 2, 4]; (b) x 2 + y 2 = 25 e y 0; (c) x + y = 5 ou 2x y = 4; (d) x 4 e y 3; (e) x 3 e y 3; (f) x [ 3, 2] e y [1, 3]. 35. Seja R a relação em E = {1, 2, 3, 4, 5} tal que xry se, e somente se, x y é múltiplo de 2. (a) Quais são os elementnos de R. (b) Faça o diagrama de flechas para R. (c) R é reflexiva? Simétrica? Transitiva? 36. Verificar quais das seguintes relações em N são reflexivas. xry x + y = 12; xry mdc(x, y) = Verificar quais das seguintes relações em N são simétricas. xry x + 2y = 10; xry (x y) 2 > Verificar quais das seguintes relações em N são transitivas. xry x y; xry x + 2y = Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4} construir oito relações R i (i = 1, 2,..., 8) em A que verifiquem as condições da tabela abaixo R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 R 7 R 8 Reflexiva Sim Sim Sim Não Não Não Sim Não Simétrica Sim Sim Não Sim Não Sim Não Não Transitiva Sim Não Sim Sim Sim Não Não Não 5