Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática MAT Introdução à Álgebra 2015/I

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Eric Osório Cortês
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1 1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática MAT Introdução à Álgebra 2015/I Tópico: Produto Cartesiano 1. Dados os conjuntos M = {1, 3, 5} e N = {2, 4}, determinar o produto cartesiano M N e N M. Represente-os no plano cartesino. 2. Considerando os conjuntos A = {x Z ; 2 x 1} e B = {3, 4}, determinar A B e representá-lo graficamente. 3. Determinar o produto cartesiano dos conjuntos abaixo na forma gráfica. (a) [2, 5] {1} (b) {3, 4} [ 1, 3] (c) [1, 3] [2, 5] (d) ( 2, 1] [3, 5) 4. Determinar o conjunto A A, sabendo que ele possui 16 elementos e que (0, 3) e (5, 7) são dois elementos deste conjunto. Tópico: Relações, Relações Inversas e Compostas, Imagem Direta e Imagem Inversa 1. Determinar os elementos e construir o diagrama cartesiano das relações R de A em B: (a) A = {1, 2, 3, 4, }, B = {1, 3, 5} e xry x < y (b) A = {2, 3, 4, 5}, B = {3, 6, 7, 10} e xry x y (x divide y) 2. Dados os conjuntos A = { 1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a relação R = {(x, y) A B ; y = x + 1}, determinar: (a) os pares ordenados da relação R; (b) o conjunto domínio e o conjunto imagem; (c) o diagrama de sagital; (d) o gráfico cartesiano.

2 2 3. Dados os conjuntos M = { 3, 2, 1, 0, 1} e N = {1, 2, 3, 5, 6} e a relação R = {(x, y) M N ; y = x 2 + 1}, determinar: (a) os pares ordenados da relação R; (b) o conjunto domínio e o conjunto imagem; (c) o diagrama de sagital; (d) o gráfico cartesiano. 4. Descreva o conjunto dos elementos da relação inversa da relação R do exercício 2 e determine: (a) os pares ordenados da relação R 1 ; (b) o conjunto domínio e o conjunto imagem de R 1 ; (c) o diagrama de sagital de R 1 ; (d) o gráfico cartesiano de R Sejam R e S relações em IN (conjunto dos números naturais) definidas por: R = {(x, y) IN 2 / 2x + y = 10} e S = {(x, y) IN 2 / x + 3y = 12}. (a) Determinar os elementos de R e S. (b) Determinar o domínio e a imagem de R e S. (c) Determinar os elementos de R 1 e S Determine o domínio e a imagem das seguintes relações em A = {1, 2, 3, 4}: (a) xry x = 2y (b) xsy x = 2 (c) xt y x + y = 5 (d) xuy x < y 7. Construir os diagramas cartesianos das relações em IR definidas a seguir: (a) R 1 = {(x, y) IR 2 / x 2 + y 2 = 25 e y 0} (b) R 2 = {(x, y) IR 2 / 2x + y = 10 e 2x y = 4} (c) R 3 = {(x, y) IR 2 / x 3 e y 2} (d) R 4 = {(x, y) IR 2 / x + y < 3} 8. Sejam as relações em IR: S = {(x, y) IR 2 / y x 2 }, T } = {(x, y) IR 2 / y x + 2}, U = {(x, y) IR 2 / x 2 + y 2 25} e V = {(x, y) IR 2 / y 49 x2

3 3 (a) Construir os diagramas cartesianos das relações S T e U V. (b) Determinar o domínio e a imagem de S T e U V. 9. Seja R a relação de A = {1, 2, 3, 4} em B = {1, 3, 5} tal que xry x < y. Determine a relação composta R R Seja R a relação em IN definida por xry x + 2y = 12. Determine R R e R 1 R. 11. Dadas as relações U e V em IR, U = {(x, y) IR 2 / x 2 +2y = 5} e V = {(x, y) IR 2 / 2x y = 3}, determinar V U e U V. 12. Determinar todos os diagramas sagitais com três elementos de relações em A = {a, b}. 13. Determinar todos os diagramas sagitais com sete elementos de relações R em A = {a, b, c} que satisfazem as seguintes condições: (i) xrx para todo x A. (ii) Se xry, então yrx. 14. Seja R a relação de A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 21} em B = {1, 3, 5, 7, 11, 15} tal que xry x < y, determine: (a) R({1, 3, 5}) (b) R({21}) (c) R 1 ({7, 11, 15}) (d) R 1 ({1, 3, 5}) (e) R 1 ({1}) 15. Dadas as relações U e V em IR, U = {(x, y) IR 2 / x 2 1 = y} e V = {(x, y) IR 2 / x y = 1}, determine: (a) U([1, 2]) (b) V ([ 1, 1]) (c) V 1 ([ 3, 3]) (d) U 1 ([0, 1]) (e) U 1 ([ 1, 2]) (f) U 1 ([ 1, 0]) (g) U 1 ([ 2, 1])

4 4 Tópico: Propriedades das Relações 1. Verifique se as seguintes relações em IN são reflexivas: (a) xry x y (b) xsy x + y = Determinar os diagramas sagitais de todas as relações em A = {1, 2} que são reflexivas. 3. Indicar quais das seguintes relações em A = {1, 2, 3} são simétricas: (a) R 1 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3)} (b) R 2 = {(1, 1)} 4. Indicar quais das seguintes relações em IN são simétricas: (a) xry x y (b) xsy x + 2y = Determinar os diagramas sagitais de todas as relações em A = {1, 2, 3} que são reflexivas e simétricas. 6. Indicar quais das seguintes relações em A = {1, 2, 3} são antissimétricas: (a) R 1 = {(1, 1)} (b) R 2 = {(1, 2)} 7. Indicar quais das seguintes relações em IN são antissimétricas: (a) xry x y (b) xsy x < y (c) xt y x + 2y = Indicar quais das seguintes relações em A = {1, 2, 3} são transitivas: (a) R 1 = {(1, 2), (2, 2)} (b) R 2 = {(1, 1)} 9. Indicar quais das seguintes relações em IN são transitivas: (a) xry x y

5 5 (b) xsy x y (c) xt y x + 2y = Indicar as propriedades (reflexiva, simétrica, antissimétrica e transitividade) da relação em A = {1, 2, 3, 4} definida por R = {(1, 3), (2, 4)}. 11. Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4}, construir oito relações em A que verifiquem as condições da tabela a seguir: R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 R 7 R 8 Reflexiva Sim Sim Sim Não Não Não Sim Não Simétrica Sim Sim Não Sim Não Sim Não Não Transitiva Sim Não Sim Sim Sim Não Não Não 12. Mostrar que a relação R no conjunto das partes de E, P(E), definida por XRY X Y não é simétrica quando o conjunto E não é vazio. 13. Sejam R e S relações em A, sendo S reflexiva. Demonstrar que R S R e R R S. 14. Sejam R e S relações em A, sendo R reflexiva e S reflexiva e transitiva. Demonstrar que R S se, e somente se, R S = S. 15. Sejam R e S relações em A. Mostrar que as duas seguintes proposições são falsas, dando um contraexemplo para cada uma delas: (a) Se R e S são antissimétricas, então R S é antissimétrica. (b) Se R e S são transitivas, então R S é transitiva. Tópico: Relações de Ordem (a) Sejam X um conjunto e P = P(X) o conjunto de todas as partes de X. Se A P e B P, definimos a relação R por A R B A B. Mostre que R é uma relação de ordem em P. (b) Seja IN o conjunto dos números naturais, ordenado pela relação R dada por x R y x divide y. i. Determine quais dos seguintes pares de números naturais são comparáveis: A. 2 e 8 B. 18 e 24 C. 9 e 3 D. 5 e 15 E. 7 e 12 F. 18 e 6 ii. Diga se cada um dos subconjuntos de IN é ou não totalmente ordenado.

6 6 A. {2, 8, 24} B. {3, 7, 18} C. {3, 5, 15} D. {2, 4, 8, 32} E. {1, 2, 3,...} F. {7} (c) Seja A a família de todos os subconjuntos A dos números naturais IN, onde A tem a seguinte propriedade: A é finito e o máximo divisor comum dos elementos de A é 1. i. Diga se os seguintes subconjuntos de IN pertencem ou não a A. A. {2, 3, 8} B. {2, 5} C. {4, 6, 8} D. {2, 3, 5, 8} E. {2, 3, 4, 5,...} F. {2, 3} ii. Ordene A pela inclusão de conjuntos, isto é, X R Y X Y. (d) Se a Z e b Z, definimos a relação a R b se, e somente se, b a IN. Mostre que R é uma relação de ordem sobre Z. (e) Seja C o conjunto do números complexos e sejam x = a + bi e y = c + di dois elementos de C. Considere a relação R sobre C definida por x R y se, e somente se, a c e b d. i. Mostre que R é uma relação de ordem sobre C. ii. Decida: C é totalmente ordenado por R? (f) Considere a relação S sobre IN IN definida por (a, b) S (c, d) se, e somente se, a c e b d. i. Mostre que S é uma relação de ordem sobre IN IN. ii. Decida: IN IN é totalmente ordenado por S? (g) Prove que, se R é uma relação de ordem sobre A, então R 1 também é.

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