CONSTRUÇÃO INTUITIVA DOS NÚMEROS INTEIROS. Resumo

Transcrição

1 CONSTRUÇÃO INTUITIVA DOS NÚMEROS INTEIROS Rosivaldo Antonio Gonçalves 1 Luiz Carlos Gabriel Filho 2 Resumo Neste trabalho vamos estudar de forma intuitiva o conjunto dos números naturais, que denotamos por Ν. Inicialmente estudamos as principais propriedades do conjunto dos números naturais, onde discutimos o fundamento para o entendimento do conjunto dos números inteiros, que denotamos por Ζ. Desta forma, identificamos a relação existente entre o conjunto dos números naturais Ν com o conjunto dos números inteiros Ζ. Palavras chave: Números naturais, números inteiros, operações, classes de equivalência. INTRODUÇÃO Entendemos por conjunto como um agregado ou coleção de elementos. Por exemplo, um conjunto de ovelhas, um conjunto de canetas etc. Em escavações arqueológicas foram descobertas pequenas tábuas, onde o homem na pré-história fazia registros da quantidade de animais de seu rebanho. Para cada animal do rebanho, o homem registrava um traço numa tábua ou pedaço de osso. Ou seja, para trinta animais o homem registrava trinta traçinhos na tábua. Da mesma maneira, o homem poderia corresponder trinta pedrinhas com trinta animais do rebanho. Assim, é provável que a primeira ideia que o homem pode ter tido no processo de contagem seja a noção de número natural, que hoje denotamos por Ν={1, 2, 3, 4,...}. Em seu processo evolutivo o homem procurou representar quantidades perceptíveis na natureza por símbolos. É possível que o homem tenha notado que quando um rebanho possuía mil animais era penoso representar mil traçinhos num pedaço de madeira. Assim, ouve uma evolução 1 Doutor em Matemática pela Universidade de Valência, Espanha. Departamento de Ciências Exatas/Unimontes. 2 Mestre em Matemática pela Universidade Federal de Viçosa. Departamento de Ciências Exatas/Unimontes.

2 nas formas de representar quantidades por símbolos. Em seu processo de socialização, algumas civilizações estabeleceram relações comerciais com outros povos. Os gregos com os persas, os romanos com os egípcios, os chineses com os indianos etc. Assim, quando uma pessoa realizava compras, muitas passaram a contrair dívidas, daí surgiu a ideia de saldo devedor. Por exemplo, na Roma antiga um saco de farinha valia 10 denários romanos, se um cidadão romano tivesse 9 denários romanos, ele levava o saco de farinha mais ficava devendo ao comerciante 1 denário romano. Assim, era dito que este cidadão ficou com saldo devedor, ou como dizemos hoje, com saldo negativo. Desta forma aos poucos foi introduzida a ideia de número inteiro na história como uma extensão da ideia. No início matemáticos rejeitavam esta ideia de números negativos, tais como resolver equações algébricas do tipo x+1=0 cuja solução é o número negativo -1. Hoje em dia, representamos o conjunto dos números inteiros por Ζ={...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}. 1-NÚMEROS NATURAIS O conjunto dos números naturais é bastante conhecido e, em geral, é representado da seguinte maneira Ν={1, 2, 3, 4,5,...} Tudo começa com o número que simbolizamos por 1, que representa a unidade. E a cada número temos o seu sucessor, isto é, o número que lhe segue. Alguns fatos importantes no conjunto dos números naturais é a possibilidade de dotá-lo de uma soma, que simbolizamos por (+), e produto, que representamos por ( ). Por exemplo, 2+2=4 e 3 3=9. A soma permite também uma ordenação em Ν, ou seja, para cada dois números naturais, podemos decidir qual deles precede o outro. Esta relação de precedência é simbolizada pelo sinal de menor (<). Assim, a < b se existe c de maneira que a+c=b. Por exemplo, 3 < 8, pois existe 5 de maneira que 3+5=8. Mas 12 não é menor que 7, pois não existe c Ν, tal que 12+c=7. Esta relação que ordena os números naturais possui a propriedade transitiva: Se a<b e b<c, então a<c. Por exemplo, 1<2 e 2<3, então 1<3. Dados dois números naturais a e b, verificamos apenas uma das três possibilidades, que chamamos de tricotomia, ou

3 seja a<b, a=b e b<a. Por exemplo, dados a=10 e b=1, temos que b<a, ou seja, 1<10. Quando escrevemos a>b, lemos a é maior que b. A relação de precedência nos motiva a considerar um par de números naturais que estão relacionados, da seguinte forma: (a,b) está relacionado com (c,d) quando a+d=b+c. Por exemplo, o par (1,3) está relacionado com o par (2,4), já que 1+4=2+3. Para dizer que dois pares de números naturais estão relacionados vamos utilizar o símbolo, para dizer que (a,b) está relacionado com (c,d). Assim, (a,b) (c,d) a+d=b+c. Dado um número natural a, o sucessor de a será também representado por a+1. Assim, quando somamos 2+3, deslocamos 2 de três posições para a direita. Assim, obtemos a seguinte sequência: 2, 2+1=3, 3+1=4, 4+1=5, Ou seja, o deslocamento de 2 de três posições para a direita resulta no número 5. Assim, dizemos que 2+3=5. Agora vamos deslocar o número 3 duas posições para a direita, que resulta na seguinte sequência, 3, 3+1=4, 4+1=5, Assim, temos também 3+2=5. Ou seja, 2+3=3+2=5. Este fato nos motiva a definir sobre o conjunto Ν a propriedade comutativa da adição: Dados quaisquer números naturais a e b, temos que a+b=b+a. Para somar três números a, b e c, podemos fazer o seguinte: somamos a e b, formando o número (a+b), depois somamos este número com c, obtendo o número (a+b)+c, ou então, podemos somar b e c, formando o número (b+c), e depois somamos este número com a, obtendo o número a+(b+c). Por exemplo, consideremos 2, 3 e 4. Assim, (2+3)+4=5+4=9 e 2+(3+4)=2+7=9. Portanto, (2+3)+4=2+(3+4). Isto nos motiva a definir sobre o conjunto Ν a propriedade associativa da adição: Quaisquer que sejam os números naturais a, b e c, temos (a+b)+c=a+(b+c). Podemos relacionar o conceito de ordem com a soma, que é o seguinte: Dados quaisquer números naturais a, b e c, temos: a<b a+c<b+c. Ou seja, se a for menor do

4 que b, quando deslocamos a de c posições para a direita, b também fica deslocado de c vezes para a direita. Por exemplo, 1<2, então 1+3<2+3, ou seja, 4<5. E se tivermos a<b e c<d, temos que a+c<b+d. Ou seja, quando deslocamos a de c vezes para a direita este número é menor do que b deslocado de d vezes para a direita, sempre que a<b e c<d. Por exemplo, 3<4 e 12<13, então, 3+12< <17. Até agora trabalhamos com o conceito e notamos que este conceito se relaciona com o conceito de ordem em Ν. Vimos alguns exemplos que mostram a relação entre estes conceitos. Agora vamos estudar sobre Ν a multiplicação, que vamos simbolizar por ( ). Mas o que é multiplicação? Quando escrevemos a b, levemos a vezes b, que pode ser os seguintes valores: a b=b, se a=1 e se a>1, a b significa somar a parcela b um número b de vezes. Por exemplo, 1 2=2, ou seja, a parcela 2 foi tomada apenas uma vez. E 2 2=2+2=4, quer dizer que multiplicar 2 por 2 equivale a somar o número 2 por ele mesmo duas vezes. E 3 2=2+2+2=6, onde multiplicar 3 por 2 significa somar 2 por ele mesmo três vezes. E 4 2= =8. Por outro lado, 2 3=3+3=6, ou seja, multiplicar 2 por três equivale a somar 3 por ele mesmo duas vezes. Assim, observamos que 2 3=3 2=6, e verificamos que 4 2=2 4=8. Ou seja, sobre os números naturais vale a propriedade comutativa da multiplicação: Dados quaisquer números naturais a e b, temos que a b=b a. A multiplicação entre números naturais pode ser estendida para mais números. Por exemplo, dados 2, 3 e 5, temos: 2 (3 5)=2 15=30. Por outro lado, (2 3) 5=6 5=30, ou seja, 2 (3 5)= (2 3) 5. Isto nos mostra que a multiplicação sobre Ν é associativa. Assim, dados quaisquer a, b e c números naturais, temos que a (b c)=(a b) c. Outro fato importante sobre os naturais é a propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição. Ou seja, dados a, b e c números naturais, temos c (a+b)=c a+c b e (a+b) c=a c+b c. Por exemplo, dados 2, 3 e 4, temos que 2 (3+4)=2 (7)=14, e =6+8=14. Assim, podemos escrever 2 (3+4)= E (3+4) 2= =6+8=14.

5 2-MÚLTIPLOS COMUNS E POTENCIAÇÃO EM Ν Dado um número k Ν, o definimos o conjunto dos múltiplos de k pelo conjunto: M(k)={1 k, 2 k, 3 k,..., n k,...} Por exemplo, M(1)={1, 2, 3,...}, que é o próprio Ν; M(2)={2, 4, 6,...}, que é o conjunto dos números naturais pares; três. M(3)={3, 6, 9,...}, que é o conjunto dos números naturais múltiplos de Agora, vamos escrever alguns números da sequência dos múltiplos de 3, que é: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48,... E a sequência dos múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80,... Observando as sequências acima, notamos que existem números que são simultaneamente múltiplos de 3 e de 5, que são: 15, 30, 45,... E entre os múltiplos comuns de 3 e 5, percebemos que existe um valor que é o menor, que neste caso é 15. Isto nos motiva a definir o mínimo múltiplo comum entre dois números naturais a e b, que denotamos por mmc(a,b). Assim, mmc(3,5)=15. Por outro lado, tomando a sequência dos múltiplos de 4, temos: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52,... Desta forma, mmc(3,4)=12 e mmc(4,5)=20. Isto quer dizer que o menor número natural que é múltiplo de 3 e 4 é 12 e o menor número natural múltiplo de 4 e 5 ao mesmo tempo é 20. Dados dois números naturais a e n qualquer, definimos a operação de potenciação da seguinte maneira: aⁿ=a, se n=1 e se n>1, aⁿ é igual ao produto de a n vezes. Por exemplo, 2²=2 2=4, 2³=2 2 2=8 etc. Além disso, a potenciação possui as

6 seguintes propriedades: 1ⁿ=1, por exemplo, 1²=1, 1³=1 1 1=1 etc. Além disso, temos aⁿ a =aⁿ+, (aⁿ) =aⁿ e (ab)ⁿ=aⁿ bⁿ. Dados 2, 3 e 4 temos: 3² 3³=9 27=243=3⁵=3²+³ 3² 3³=3²+³. (4 3)²= 12²=144=16 9=4² 3² (4 3)²=4² 3² 3-RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA E CLASSES DE EQUIVALÊNCIA Antes de estudar o conceito de números inteiros, vamos definir produto cartesiano e relação de equivalência. A partir destes dois conceitos, podemos compreender melhor a ideia de números inteiros. Um par ordenado é um elemento da forma (a,b), sendo que a primeira coordenada pertence a um conjunto X e a segunda coordenada a um conjunto Y. Dizemos que o par ordenado (a,b) é igual ao (c,d), se e somente se a=c e b=d. Assim, dados X e Y dois conjuntos não vazios, o produto cartesiano de X por Y, que indicamos por X Y, é o conjunto A={(x,y); x X e y Y }. Por exemplo, se X={1, 3, 5, 7} e Y={2, 3, 4}, então X Y={(1,2), (1,3), (1,4), (3,2), (3,3), (3,4), (5,2), (5,3), (5,4), (7,2), (7,3), (7,4)}. O produto cartesiano acima pode ser representado no plano cartesiano do seguinte modo: Produto Cartesiano entre os conjuntos X e Y. Fonte: Autores. Dados dois conjuntos X e Y, todo subconjunto S de X Y é chamado de relação de X em Y. Assim, quando X=Y, dizemos que S é uma relação sobre X. Assim, quando o par ordenado (a,b) pertence a S, dizemos que a se relaciona com b pela relação S. Por exemplo, dados X={1, 2, 3, 4} e Y={5, 7}, temos que X Y={(1,5), (1,7), (2,5),

7 (2,7), (3,5), (3,7), (4,5), (4,7)}. Assim, definimos a relação S sobre X Y da seguinte maneira: Dado (x,y) X Y, dizemos que x se relaciona com y, quando divididos por 2 deixam o mesmo resto. Assim obtemos S={(1,5), (1,7), (3,7)}. Notemos que S é um subconjunto de X Y, e indicamos este fato por S X Y, e lemos S está contido em X Y. Dizemos que a relação S sobre um dado conjunto X é uma relação de equivalência sobre X se ela cumpre as seguintes condições: a) (x,x) S, para todo x X (propriedade reflexiva); b) Se x e y são elementos de X tais que (x,y) S, então (y,x) S (propriedade simétrica); c) Se x, y e z são elementos de X tais que (x,y) S e (y,z) S, então (x,z) S (propriedade transitiva). Por exemplo, dado o conjunto X={1, 2, 3, 4,}, assim, X X={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}. Definimos sobre X a seguinte relação S: x está relacionado com y, quando divididos por 3 deixam o mesmo resto. Assim, S={(1,1), (1,4), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)}. Notemos que a relação S sobre X é uma relação de equivalência, pois (1,4) S (4,1) S. Além disso, S é uma relação reflexiva em transitiva. Dado o conjunto Y={a, b, c}, definimos sobre Y a seguinte relação R={(a,a), (b,b), (c,c), (a,c), (c,a)}. Claramente R é uma relação de equivalência sobre Y. Agora vamos definir o que é uma classe de equivalência. Para isto consideramos S uma relação de equivalência sobre um conjunto X. Dado x X, chamamos classe de equivalência determinado pelo elemento x, como o subconjunto C(x) X, constituído pelos elementos y, tais que x se relaciona com y, que denotamos por xry. Assim, C(x)={y X; yrx}, ou seja, C(x) é o conjunto de todos os y pertencentes a X, tais que y se relaciona com x. Nos exemplos acima temos, C(1)={1,4}, C(2)={2}, C(3)={3} e C(4)={4,1} e C(a)={a,c}, C(b)={b} e C(c)={c,a}.

8 ... O conjunto de todas as classes de equivalência a partir de uma relação S sobre um conjunto X, denotamos por X/S, que chamamos de conjunto quociente de X por S. Para os exemplos acima, temos X/S={{1,4}, {2}, {3}} e Y/R={{a,c}, {b}}. O conjunto quociente de X por uma relação S, nos motiva a definir uma partição sobre um conjunto. Para isto, seja X um conjunto não vazio. Dizemos que uma classe Κ de subconjuntos não vazios de X é uma partição de X, quando: 1. Dois membros quaisquer de Κ ou são iguais ou são disjuntos; 2. A união dos membros de Κ resulta no conjunto X. Por exemplo, dado o exemplo acima, X={1, 2, 3, 4,} para a relação S: dois elementos em X estão relacionados quando deixam o mesmo resto quando divididos por 3, mostramos que X/S={{1,4}, {2}, {3}}. Assim, uma partição do conjunto X é o conjunto Κ={{2}, {3}, {1,4}}. Notemos {2} {3} {1,4}= e {2} {3} {1,4}=X, ou seja, a união de cada elemento de Κ resulta no conjunto X e a interseção entre cada elemento de Κ é vazia. 4-NÚMEROS INTEIROS Muito bem, tendo visto estas definições e construído uma ideia intuitiva dos números naturais, vamos estudar o conjunto dos números inteiros, que denotamos pela letra Ζ. Vamos considerar o produto cartesiano Ν Ν, que geometricamente podemos representar por uma malha de pontos, como na figura abaixo: Produto Cartesiano Ν Ν. Fonte: Autores.

9 Em Ν Ν vamos definir a seguinte relação de equivalência: (a,b) (c,d) a+d=c+b, que lemos da seguinte forma: o par ordenado (a,b) está relacionado com o par (c,d) se, e somente se, a+d=c+b. Quando dois elementos estiverem relacionados o símbolo estará entre dois pares ordenados. Podemos mostrar que a relação acima é uma relação de equivalência: 1. (a,a) (a,a), pois a+a=a+a; 2. Se (a,b) (c,d) a+d=c+b c+b=a+d (c,d) (a,b); 3. Se (a,b) (c,d) então a+d=c+b e (c,d) (e,f) então c+f=e+d. Portanto, (a+d)+(c+f)=(c+b)+(e+d) (a+f)+(c+d)=(e+b)+(c+d). Como estamos sobre Ν, temos que a+f=e+b, ou seja (a,b) (e,f). Concluímos que a relação é reflexiva, simétrica e transitiva. Logo é uma relação de equivalência sobre Ν. Por exemplo, (1,3) (2,4), pois 1+4=2+3. Assim, sobre Ν definimos a seguinte classe de equivalência: [(a,b)]={(c,d) Ν Ν; a+d=c+b}, que lemos classe do par (a,b) Ν Ν é o conjunto de todos os pares ordenados (c,d) Ν Ν, tais que a+d=c+b. Por exemplo: [(1,3)]={(c,d) Ν Ν; 1+d=c+3}={(1,3), (2,4), (5,7), (10,12)... }, enfim, existem infinitos pares (c,d) Ν Ν, tais que 1+d=c+3. Diante disso, definimos o conjunto dos números inteiros como: Ζ=Ν Ν/ ={[(a,b)]; (a,b) Ν Ν]} Ou seja, o conjunto dos inteiros é definido como o conjunto quociente entre Ν Ν pela relação de equivalência acima definida. Assim, os inteiros é o conjuntos das classes de equivalência. Assim, temos: a) O número inteiro [(1,1)] chamamos de zero, que denotamos por 0;

10 b) Seja a classe [(a,b)], tal que a>b. Escrevemos K=a b Ν, ou seja, k Ν onde a=k+b. A classe assim definida, denotamos por K a b; c) Seja a classe [(c,d)], tal que c<d. Escrevemos K=d c Ν, isto é, v Ν, tal que v+c=d. A classe assim definida, denotamos por K; Observação: Segue do item a) que a classe do zero é aquela em que a primeira coordenada é igual a segunda coordenada, ou seja, ela é da forma [(a,a)]. A classe de um número positivo é aquela em que a primeira coordenada é maior do que a segunda, e a classe de um número negativo é aquela em que a primeira coordenada é menor do que a segunda coordenada. Sobre o conjunto Ζ definimos as operações de soma e multiplicação, que são: 1. A soma é uma função : Ζ Ζ Ζ, definida por: [(a,b)], [(c,d)] [(a,b)] [(c,d)]=[(a+c,d+b)]; 2. O produto é uma função : Ζ Ζ Ζ, definida por: [(a,b)], [(c,d)] [(a,b)] [(c,d)]=[(a c+b d, a d+c b)]. Por exemplo, dados [(1,3)] e [(6,1)]. Portanto, [(1,3)] [(6,1)]=[(7,4)], ou seja, ( 2)+5=3. Analisemos as seguintes classes: [(1,3)]={(c,d) Ν Ν; 1+d=c+3}={(1,3), (2,4), (5,7), (10,12),... } [(6,1)]={(a,b) Ν Ν; 6+b=a+1}={(6,1), (7,2), (8,3), (10,5),...} e [(7,4)]={(e,f) Ν Ν; 7+f=e+4}={(7,4), (6,3), (8,5), (23,20),...}. Notamos que para cada elemento da classe [(1,3)] a diferença entre a primeira coordenada e a segunda coordenada é o número negativo 2. E na classe [(6,1)], a diferença entre os elementos da primeira coordenada com os elementos da segunda coordenada é igual a 5. Como a soma das classes resulta na classe [(7,4)], concluímos que somar dois números inteiros equivale a fazer operações entre as classes que representam tal número.

11 Agora vamos analisar o produto de dois números inteiros a partir da definição de produto de classes acima definida. Por exemplo: [(1,4)] [(1,6)]=[( , )]=[(25,10)], que equivale a dizer que ( 3) ( 5)=15. Daqui percebemos a chamada regra de sinais, onde o produto de dois números negativos gera um inteiro positivo. Assim, podemos operar classes de equivalência e associar tal resultado à soma ou produto de inteiros. Segue abaixo mais alguns exemplos: [(2,3)] [(3,2)]=[( , )]=[(12,13)] ( 1) (1)= 1. [(3,2)] [(2,3)]=[( , )]=[(12,13)] (1) ( 1)= 1. [(1,1)] [(2,3)]=[( , )]=[(5,5)] (0) ( 1)= 0. [(1,1)] [(1,1)]=[( , )]=[(2,2)] (0) (0)= 0. [(1,3)] [(3,1)]=[(1+3,1+3)]=[(4,4)] ( 2)+(2)= 0. A partir das operações acima podemos ter uma intuição sobre regras de sinais. Além disso, operações definidas sobre os inteiros a partir do conceito de classes de equivalência satisfazem as seguintes relações: Soma: [(a,b)], [(c,d)], [(e,f)] Ν Ν/, temos que a) [(a,b)] [(c,d)]= [(c,d)] [(a,b)]; (comutatividade) b) ([(a,b)] [(c,d)]) [(e,f)]= [(a,b)] ([(c,d)] [(e,f)]) (associatividade) c) [(a,b)] Ν Ν/, [(1,1)] Ν Ν/, tal que [(a,b)] [(1,1)]=[(a,b)] (elemento neutro da adição) d) [(a,b)] Ν Ν/, [(b,a)] Ν Ν/, tal que [(a,b)] [(b,a)]=[(1,1)]. (inverso aditivo) Produto: [(a,b)], [(c,d)], [(e,f)] Ν Ν/, temos que a) [(a,b)] [(c,d)]= [(c,d)] [(a,b)]; (comutatividade)

12 b) ([(a,b)] [(c,d)]) [(e,f)]= [(a,b)] ([(c,d)] [(e,f)]) (associatividade) c) [(a,b)], [(2,1)] Ν Ν/, tal que [(a,b)] [(2,1)]=[(a,b)] (elemento neutro da multiplicação) d) ([(a,b)] [(c,d)]) [(e,f)]= [(a,b)] [(e,f)] [(c,d)] [(e,f)] (distributividade) As propriedades de soma e produto acima são facilmente verificadas. Por exemplo, vamos mostrar a propriedade b) para o produto. As outras propriedades seguem imediatamente a partir das definições de soma e produto. Notemos que ([(a,b)] [(c,d)]) [(e,f)]=([(a c+b d,a d+c b)]) [(e,f)]= [((a c+b d) e+ (a d+c b) f, (a c+b d) f+ e (a d+c b))]= [(a c e+ b d e+ a d f+ c b f, a c f+ b d f+ e a d+ e c b)]. (I) Além disso, [(a,b)] ([(c,d)] [(e,f)])= [(a,b)] ([(c e+d f,c f+e d)])= [(a (c e+d f)+ b (c f+e d),a (c f+e d)+(c e+d f) b)]= [(a c e+a d f+b c f+b e d, a c f+ a e d+ c e b+ d f b)]. (II) Por (I) e (II), temos que ([(a,b)] [(c,d)]) [(e,f)]= [(a,b)] ([(c,d)] [(e,f)]), ou seja, é válida a lei associativa em relação ao produto. Além disso, para o espaço Ν Ν/ são válidas as seguintes relações de ordem: a) [(a,b)]<[(c,d)] a+d<b+c; b) [(a,b)]>[(c,d)] a+d>b+c; c) [(a,b)]=[(c,d)] a+d=b+c. Para exemplificar as relações acima, sejam [(3,1)] e [(7,2)], temos que [(3,1)]<[(7,2)], pois 3+2<7+1 5<8. E [(1,2)]<[(2,2)], pois 1+2<2+2 3<4. Além disso, as relações acima estão associadas com o conceito de soma, do seguinte modo: Para quaisquer [(a,b)], [(c,d)] e [(e,f)] pertencentes a Ν Ν/, tais que [(a,b)] [(c,d)]

13 [(a,b)] [(e,f)] [(c,d)] [(e,f)]. Por exemplo, [(3,1)] [(7,2)] e seja [(4,5)] [(3,1)] [(4,5)] [(7,2)] [(4,5)] [(7,6)] [(11,7)], ou seja, Como mostramos acima, o conjunto dos inteiros é definido como o espaço quociente Ν Ν/, sendo que a relação de equivalência entre pares de Ν Ν é definida por: (a,b) (c,d) a+d=c+b. Assim, existe a classe do zero, que denotamos por 0, a classe dos números positivos (números naturais) e a classe dos números negativos. Assim, o conjunto dos números inteiros é descrito como Ζ={ 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,4,5, }. CONCLUSÃO Em nosso trabalho mostramos uma construção intuitiva dos números naturais, com suas propriedades fundamentais. Definimos soma e produto, e estudamos as conseqüências fundamentais destas operações sobre o conjunto dos números naturais. Introduzimos conceitos de relações, relações de equivalência, classes de equivalência e espaços quocientes. A partir daí, percebemos que o conjunto dos números inteiros é uma extensão dos números naturais, onde definimos sobre Ν Ν uma relação de equivalência, e observamos o comportamento de Ζ, que nos mostra a existência do zero, de números positivos e números negativos. Mostramos que operar números inteiros equivale a operar classes de equivalências relacionadas com tais números inteiros. A partir daí, obtemos respostas mais satisfatórias operações com sinais, que frequentemente é apresentada sem nenhuma explicação para os estudantes do ensino médio e fundamental. É normal os professores apresentarem os inteiros da seguinte forma: Representação de Ζ. Fonte: Autores. E depois são definidas operações, onde o produto de números com mesmos sinais resulta num número positivo e o produto de números com sinais opostos resulta num número negativo. Mas porque? Muitos professores desconhecem a fundamentação teórica fundamental para a compreensão dos inteiros. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BOYER, CARL B. História da Matemática. São Paulo. Editora Edgard Blücher Ltda. Tradução de Elza F. Gomide. Segunda edição, 1996.

14 DOMINGUES, HYGINO H. & IEZZI, GELSON. Álgebra Moderna. São Paulo, segunda edição, editora atual, GONÇALVES, ROSIVALDO ANTONIO, Notas de aula de fundamentos de Matemática GOMES, OLIMPIO RIBEIRO & SILVA, JHONE CALDEIRA. Estruturas Algébricas para Licenciatura: Introdução à teoria dos números, Brasília, edição do autor, HEFEZ ABRAMO, Iniciação à aritmética: Programa de iniciação científica OBMEP, 2009.