Notas de Aulas 1 - Conjuntos Prof Carlos A S Soares

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1 Notas de Aulas 1 - Conjuntos Prof Carlos A S Soares 1 Preliminares Neste curso não temos a pretensão de apresentar a teoria de conjuntos e seus axiomas, tão somente pretendemos apresentar um pequeno esboço de forma a dispormos de uma linguagem razoável para o restante do curso Desta forma, quando nos referirmos a um conjunto estaremos pensando em uma coleção de objetos, ditos elementos do conjunto Seguindo a tradição, conjuntos serão indicados por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas Assumiremos, ainda, suficientemente conhecidas, as noções de conjuntos finitos e infinitos 11 Conjuntos numéricos e Relação de Pertinência Iniciamos destacando os chamados conjuntos numéricos, conjuntos estes que serão constantemente utilizados ao longo deste curso, quais sejam: 1 Conjunto dos números naturais 2 Conjunto dos números inteiros 3 Conjunto dos números racionais N = {1, 2, 3, } Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } Q = { } p ; p, q Z com q 0 q com a relação m n = p q mq = np 4 Conjunto dos números reais, representado por R 1

2 Lembramos que todo número real possui uma representação decimal e que os números racionais são exatamente aqueles números reais que possuem representação decimal finita ou periódica, as chamadas dizímas peíódicas Note que apresentamos os conjuntos N e Z listando seus elementos entre chaves, separados por vírgula Esta é uma forma muito simples e conveniente de representarmos um conjunto, principlamente se este for finito Já ao apresentarmos o conjunto dos números racionais, o fizemos através de uma propriedade que caracteriza seus elementos Geralmente, estas duas formas são as mais utilizadas para representarmos ou introduzirmos um conjunto Vejamos alguns exemplos Exemplo 11 (a) Seja A o conjunto de todos os números naturais ímpares Poderíamos ainda escrever A = {x N; x é ímpar } ou representar A = {1, 3, 5, 7, } Note que, sendo A um conjunto infinito, a representação listando seus elementos pode ser utilizada desde que não haja risco de ambiguidade, já que utilizamos as reticências (b) Seja B o conjunto de todas a retas no plano Neste caso é interessante ressaltar que, sendo os elementos deste conjunto B as retas no plano, temos que os elementos de B são ainda conjuntos, posto que cada reta é um conjunto de pontos no plano! Fixado um conjuto A, se x é um elemento deste conjunto, indicaremos, Note que x A (x pertence à A) x A x é elemento de A Ressaltamos que, se x não é elemento de um conjunto A, anotaremos, x / A Exemplo 12 (a) Claramente, temos 2 N Temos, ainda, 0 / N, mas 0 Z (b) Sabemos que o conjunto R possui números racionais e números irracionais e, portanto, temos, por exemplo, 2 / Q, π / Q, mas 2 R e π R É interessante observar que um conjunto pode ser elemento de um segundo conjunto! (c) Considere o conjunto A = {1, 2, {1}, {1, 2}} Note que os elementos de A são: 1, 2, {1}, {1, 2} e, portanto, A possui exatamente 4 elementos e podemos escrever 1 A, 2 A, {1} A e {1, 2} A Destacamos que {2} não é elemento de A e podemos escrever {2} / A (d) Seja o conjunto B = {x R, x 2 = 1} Sabemos que não existe número real que elevado ao quadrado seja igual a 1, logo, B é um conjunto que não possui elemento Nos referiremos a tal conjunto como conjunto vazio, isto é, vazio é o conjunto que não possui elemento IMPORTANTE: Salientamos que, neste curso, utilizaremos os símbolos,, ϕ ou análogos, unicamente para indicar o conjunto vazio e nunca o algarismo ou número 0(zero) 2

3 Exemplo 13 Considere um triângulo no plano, e seja A o conjunto das retas que passam pelos três vértices deste triângulo Então A = 12 A relação de Inclusão e o Conjunto das Partes Exemplo 14 Consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2}, C = {x Q; x 2 = 5} e D = {x R x 2 = 5} Observe que: 1) A possui exatamente 5 elementos, B possui dois elementos, C não possui elementos e D possui exatemente dois elementos Claramente, podemos escerever: 1 A, 5 D, C = 2) Os dois elementos de B são também elementos de A, que será indicado por B A ou A B Formalmente, temos a definição Definição 15 Diremos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se todo elemento de A é também elemento de B Neste caso, escreveremos A B(A está contido em B) ou B A(B contém A) Exemplo 16 É claro que N Z Q R Vale destacar os seguintes subconjuntos de R, chamados intervalos Sendo a < b, números reais, definimos: 1)[a, b] = {x R; a x b} 2)[a, b[= {x R; a x < b} 3)]a, b] = {x R; a < x b} 4)]a, b[= {x R; a < x < b} 5)], b] = {x R; x b} 6)], b[= {x R; x < b} 7)[a, [= {x R; a x} 8)]a, [{x R; a < x} 9)], [= R Exemplo 17 Considere os conjuntos A = {1}, B = {1, 2}, C = {{1}} e D = {{1}, 2} O conjunto A possui um único elemento, qual seja o número 1 O conjunto B possui dois elementos, sendo os números 1 e 2 Já o conjunto C possui também um único elemento, o conjunto {1} e o conjunto D possui dois elementos, quais sejam, {1} e 2 Observe que temos A B e C D os únicos caso de inclusão neste exemplo! Ressaltamos que se um conjunto A não é subconjunto de um conjunto B, isto é, se existe pelo menos um elemento em A que não está em B, escreveremos A B(A não está contido em B) ou B A(B não contém A) Exercício Resolvido 18 (Estude com cuidado!) Sejam A = {1, {1}, {1, }, { }} e B = {{1},, {1, }} 1) Quantos elementos possui A? Justifique! 3

4 2) Quantos elementos possui B? Justifique! 3) B A? Justifique! 4) A B? Justifique! 5) A e B possuem algum elemento comum? Justifique! 6) { } A? Justifique! 7) { } B? Justifique! 8) Exiba, se possível, um subconjunto de A com 3 elementos 9) Exiba, se possível,um subconjunto de B com 3 elementos Solução 19 1) A possui 4 elementos, quais sejam, 1, {1}, {1, }, { } 2) B possui 3 elementos, quais sejam, {1},, {1, } 3) B A pois B, mas / A 4) A B pois, por exemplo, 1 A, mas 1 / B 5) Sim, A e B possuem os elementos 1 e {1, } comuns 6) Não, pois não é um elemento de A 7) Sim, já que é um elemento de B, isto é, B 8) No item 1 já enumeramos as elementos de A, logo qualquer conjunto formado por 3 destes elementos satisfará o exercício, por exemplo, o conjunto {1, {1}, } 9) No item 2 observamos que B possui exatamente 3 elementos, logo o único subconjunto de B com 3 elementos é o próprio conjunto B Observação Qualquer que seja o conjunto A temos A 2 Qualquer que seja o conjunto A temos A A 3 Diremos que um conjunto A é subconjunto próprio de um conjunto B se A é subconjunto de B, mas não é todo o conjunto B Neste caso, escreveremos A B ou B A 4 É claro que dois conjuntos A e B são iguais (A = B), se todo elemento de A é elemento de B e todo elemento de B é elemento de A De outra forma, temos, A = B A B e A B (x A x B) 5 Se um conjunto A possui k elementos, escreveremos, card(a) = k ou n A = k 6 É possivel mostrar que se um conjunto A possui k elementos, então o total de subconjuntos de A, incluindo o conjunto vazio e o próprio A, é dado por 2 k Temos, ainda, que o total de subconjuntos de A com exatamente j elementos é dado por k! j!(k j)! 1 1 Lembramos que 0! = 1! = 1 e n! = n(n 1)(n 2) 32, n 2 N 4

5 Exemplo 111 Seja A = {1, 2, {1}, {1, 2}, } Como A possui 5 elementos, A possui um total de 2 5 5! subconjuntos Temos que A possui = 10 subconjuntos com 3 elementos 3!(5 3)! Finalizamos esta seção introduzindo o conjunto das partes de um conjunto A Definição 112 Fixado um conjunto A, indicaremos por P(A) o conjunto formado por todos os subconjuntos de A, denominado conjunto das partes de A Exemplo 113 1) Seja A = {1, 2} Os subconjuntos de A são, o próprio conjunto A e os conjuntos {1} e {2} Logo, P(A) = {, {1}, {2}, {1, 2}} 2) Sendo A = { }, determine P(P(A)) Observe que A possui dosi subconjuntos, quais sejam, e o próprio conjunto A Logo, P(A) = {, { }} Vemos, agora, que P(A) possui os seguintes subconjuntos:, { }, {{ }} e {, { }} e, portanto, temos P(P(A)) = {, { }, {{ }}, {, { }}} É interessante observar que independente do conjunto A nunca teremos P(A) = pois, teremos, pelo menos, P(A) Pelo item 6 da observação anterior, temos que, se car(a) = k, então car(p(a)) = 2 k Destacamos, ainda, que qualquer que seja o conjunto A, temos P(A) e P(A) Exemplo 114 Existe um conjunto finito A tal que card(p(a)) = 721? Como lembrado acima, temos que card(p(a)) = 2 card(a) e, portanto, se um conjunto A existe, devemos ter 2 card(a) = 721 Mas, temos, 2 9 = 512 < 721 < 2 10 = 1024 e, daí, um conjunto finito A satisfazendo card(p(a)) = 721 não existe 13 Exercícios 1) Sendo A = {1, 2, 4, 6, 9}, determine quais alternativas abaixo são verdadeiras ou falsas (a)4 A (b)4 A (c){2, 9} A (d){2, 9} A (e){4} A (f){4} A (g) A (h) A (i){2, 5} A (j){1, 2, 7} A (k)n Z (l){2, 1} A (m){2, 1} A (n){1, 2, 4, 9, 6}é subconjunto dea (o){1, 2, 4, 9, 6}é subconjunto próprio dea 2) Sendo A = {{2, 6}, {3, 4, 9}, {8}}, determine quais alternativas abaixo são verdadeiras ou falsas (a){2, 6} A (b){2, 6} A (c){8} A (d){8} A (e)2 A (f)8 A (g) A (h) A (i){{2, 6}, {3, 4, 9}} 5

6 3) Sendo B = {{3, 4}, {1, 2, 5}, }, determine quais alternativas abaixo são verdadeiras ou falsas (a) B (b) B (c){3, 4} B (d){{3, 4}, {1, 2, 5}} B 4) Sendo A = { }, determine quais alternativas abaixo são verdadeiras ou falsas (a) A (c) = { } (b) A (d)apossui um elemento 5) Sendo A = {, { }, {{ }}}, determine: (a) P(A) (b) Quantos elementos possui P(P(A))? Justifique! (c) Quantos subconjuntos próprios possui o conjunto A? Justifique! 6) (a) Exibir um exemplo, se possível, de um conjunto A finito tal que card(p(a)) < car(a) Se acredita que tal exemplo não existe, justifique! (b) Exibir um exemplo, se possível, de um conjunto A tal que card(p(a)) = 1024 Se acredita que tal exemplo não existe, justifique! (c) Exibir um exemplo, se possível, de um conjunto A tal que card(p(a)) = 1200 Se acredita que tal exemplo não existe, justifique! (d) Exibir um exemplo, se possível, de um conjunto A finito tal que card(p(a)) = car(a) Se acredita que tal exemplo não existe, justifique! 7) Sendo A = {{4, 6}, {1, 3, 5}, {9}} e B = {{8}, {3, 6} }, determine quais alternativas abaixo são verdadeiras ou falsas (a){4, 6} A (b){4, 6} A (c)4 A (d)9 A (e){9} A (f){9, } A (g) A (h) B (i) A (j) B (k){{4, 6}, {1, 5, 3}} A (l){{4, 6}} A (m){ } A { } B 2 Operações com conjuntos 21 União e intersecão Definição 21 Dados conjuntos dois A e B, definimos a interseção entre A e B como o conjunto cujos elementos são os elementos comuns aos conjuntos A e B Indicaremos tal conjunto por A B Em outras palavras, temos, A B = {x; x A e x B} 6

7 Definição 22 Dados conjuntos A e B, definimos a união entre A e B como o conjunto cujos elementos são todos os elementos que estão em pelos menos um dos conjuntos A ou B Indicaremos tal conjunto por A B Em outras palavras, temos, A B = {x; x A ou x B} Exemplo 23 Consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {{1}, 2, 3} Então, temos: A B = {2, 3} e A B = {1, {1}, 2, 3} Dois conjuntos A e B serão ditos disjuntos se A B = Não é difícil perceber que, sendo A e B conjuntos finitos, temos n A B = n A + n B n A B 22 Diferença e complementar Definição 24 Dados conjuntos A e B, definimos a diferença entre A e B como o conjunto cujos elementos são os elementos que estão em A mas não estão em B Indicaremos tal conjunto por A B ou A\B Em outras palavras, temos, A B = A\B = {x; x A e x / B} Exemplo 25 Consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {{1}, 2, 3} e C = {, {2}, 3} Então, temos: 1)A\B = {1} 2)B\A = {{1}} 3)B\C = {{1}, 2} 4)C\B = {, {2}} Observação 26 Se A B, então a diferença B A será dita o complementar de A em (relação a) B e, neste caso, tal conjunto será indicado por A B, isto é, A B = B\A A B Exemplo 27 Consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, {1}, 2, 3,, {2}} e C = {, {2}, 3} Então, temos: C B Como A B, teremos, A B = B\A = {{1},, {2}} Temos, ainda, C B e, portanto, = B\C = {1, {1}, 2} Note que C\A = {, {2}}, mas não podemos escrever A C = C\A, posto que A C sentido se A C só teria 23 Produto cartesianao Você, certamente, já está familiarizado com a noção de par ordenado e, daí, temos a definição Definição 28 Dados conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B como o conjunto cujos elementos são todos os pares ordenados onde a primeira coordenada é um elemento de A e a segunda é um elemento de B Indicaremos tal conjunto por A B Em outras palavras, temos, A B = {(x, y); x A e y B} 7

8 Ressaltamos que, muitas vezes, indicaremos o conjunto A A por A 2 Exemplo 29 Sendo A = {, { }}, teremos A A = {(, ), (, { }), ({ }, ), ({ }, { })} Ressaltamos que, se A e B são conjuntos finitos, então car(a B) = car(a)car(b) 24 Exercícios 1) Sendo A, B conjuntos tais que n A B = 38, n A B = 12 e n B = 15, determine n A 2) Os conjuntos A = {x N; 2 x 4} e B = {x R; x 2 5x + 6 = 0} são iguais? Justifique! 3) Sendo B = {x R; 0 < x < 5} e A = {x R; 1 < x 7}, determine: (a) A B (b) B A ( Se possível, use intervalos para escrever sua resposta! ) 4) Sendo A = [2, 5) e B = (3, 7), determine: (a) A B (b) A B (c) A B (d) C A R 5) Sejam: A = {x R; 3 x < 1} B = [ 1, 2) C = ( 2, 5 4 ) Determine: (a) A B C (b) (A B) C (c) (A B) C (d) B C 6) Os conjuntos A = {x R; x < 2} e B = {x R; x 2 < 2} são iguais? Justifique! 7) Determine: (a)[4, 7] [6, 9] (b)[4, 7] [6, 9] (c)[ 3, [ [ 8, 2] 8) Sejam A = {x R; 3 x < 1}, B = [ 1, 2[ e C =] 2, 5 [ Determine: 4 (a)a B C (b)(a B) C (c)(a B) C (d)b C 9) Sendo A = [ 1, 2], B = [ 2, 3 ], C =] 1, 3 ], determine: (a)a B C (b)(a B)\C 8

9 3 Conjunto universo e diagrama de Venn 31 Conjunto Universo Muitas vezes, quando trabalhamos con conjuntos, é conveniente considerarmos todos os conjuntos como subconjuntos de um conjunto maior U denominado conjunto universo Por exemplo, em geometria plana, podemos considerar como conjunto universo o plano, já que todos os objetos de estudo estão contidos no plano É claro que quando desenvolvemos uma teoria o conjunto universo deve ser especificado Quando o conjunto universo U está fixado e A U indicamos a diferença U A ou o complementar de A em U por A c ou A Bem entendido, A c ou A é o conjunto dos elementos do conjunto universo não estão em A Exemplo 31 Sendo U = N, A = {x; x N e 1 x 5} e B = {1, 2, 3, 4}, teremos: A c = {6, 7, }, B c = {x; x N e x 5} Exemplo 32 Sendo U = R, A = {x; x R e 1 x 5} e B = {1, 2, 3, 4}, teremos: A c =], 1[ ]5, [, B c = {x; x R e x 1, x 2, x 3, x 4} 32 Diagrama de Venn Para resolvermos certos exercícios pode ser conveniente utilizarmos os chamados Diagramas de Venn Neste tipo de diagrama os conjuntos são representados por regiões planas interiores a uma curva fechada não estrelaçada Ao utilizar estes diagramas é usual representa o conjunto universo, quando especificado, por um retângulo e, daí, todos os outros conjuntos estarão no interior deste retângulo Na figura a seguir, temos representados os conjuntos A, B e C subconjuntos do conjunto universo U A B C U 9

10 Abaixo, temos representados três conjuntos A, B e C e regiões 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 assinalando, respectivamente, os conjuntos A B C, (A B)\C, (B C)\A, (A C)\B, C\(A B), A\(B C) e B\(A C) Observe! A B C Note que (A B)\C = (A C)\B = (B C)\A = Exercícios 1) Analisando-se as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche, verificou-se que 68 receberam vacina Sabin, 50 receberam vacina contra sarampo e 12 não foram vacinadas Quantas dessas crianças receberam as duas vacinas? 2) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto U tais que: card(u) = 52 card(a) = 20 card(a C) = 8 card(a B C) = 3 card(b C) = 9 card(a B C) = 45 card(a B) = 7 card(b A) = 15 Determine: a)card(b) (b)card(a B) (c)card(c) (d)card(u (A B C)) 3) É verdade que para quaisquer dois conjuntos finitos A e B temos card(a B) = card(a) card(b)? Justifique! 4) Dê exemplo, se possível, de dois conjuntos finitos não vazios A e B tais que card(a B) = card(a) + card(b) Caso acredite não ser possível exibir tal exemplo, justifique! 10

11 5) Dê exemplo, se possível, de dois conjuntos finitos não vazios A e B tais que card(a B) = card(a) + card(b) e A B ϕ Caso acredite não ser possível exibir tal exemplo, justifique! 6) Em uma esscola, cujo total de alunos é 600, foi feita uma pesquisa sobre os refrigerantes que os alunos costumam beber Os resultados foram: 300 alunos bebebm o refrigerante A, 20 alunos bebem os refrigerantes A e B e 100 alunos não bebem A nem B Pergunta-se: (a) Quantos alunos bebem apenas o refrigerante A? (b) Quantos bebem apensa o refrigerante B? (c) Quantos bebem B? (d) Quantos bebem A ou B? 7) Sejam A,B,C conjuntos tais que: n A B C = 8, n A B = 15, n A C = 20, n B C = 24, n C = 50, n B = 60 e n A B C = 129 Determine: (a) n A (b) n B A (c) n C A (d) n A B (e) n (A B) C (f) n A C 8) Para cada item abaixo, repita o diagrama a seguir e sombreie as regiões pedidas A B C U (a) A C (b) A B C (c) A B (d) A (e) B c (f) (A B) (A C) (B C) (g) (B C) A (h) ((A B) C) 11

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