Notas de Aulas 1 - Conjuntos Prof Carlos A S Soares

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1 Notas de Aulas 1 - Conjuntos Prof Carlos A S Soares 1 Preliminares e relação de pertinência Nestas notas não temos a pretensão de apresentar a teoria de conjuntos e seus axiomas, tão somente pretendemos apresentar um pequeno esboço de forma a dispormos de uma linguagem razoável para o restante do curso Desta forma, quando nos referirmos a um conjunto estaremos pensando em uma coleção de objetos, ditos elementos do conjunto Seguindo a tradição, conjuntos serão indicados por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas Exemplo 1 (a) Seja A o conjunto de todos os números naturais ímpares (b) Seja B o conjunto de todas a retas no plano 11 Representação de um conjunto Podemos representar um conjunto de várias formas Vejamos as mais usuais: 1) Enumerando seus elementos, isto é, dispor seus elementos entre chaves separados por vírgula Se houver risco de ambiguidade separamos os elementos pot ponto e vírgula Vejamos alguns exemplos Exemplo 2 A = {1, 2, 3, 4, 5} É interessante observar que um conjunto pode ser elemento de um segundo segundo! Exemplo 3 Observe com cuidado este exemplo Considere o conjunto A = {1, 2, {1}, {1, 2}} Note que os elementos de A são 1, 2, {1} e {1, 2} 1

2 12 Conjuntos numéricos Lembramos que os conjuntos mais importantes ao longo do nosso serão os chamados conjuntos numéricos, quais sejam: 1) Conjunto dos números naturais = N = {1, 2, 3, } 2) Conjunto dos números inteiros = Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } 3) Conjunto dos números racionais = Q =conjunto dos números que podem ser representados na forma p/q com p, q Z e q 0=conjuntos dos números que possuem representação decimal finita ou dizímas 4) Conjunto dos números reais=r Vale destacar os seguintes subconjuntos de R, chamados intervalos Sendo a < b, números reais, definimos: 1)[a, b] = {x R; a x b} 2)[a, b) = {x R; a x < b} 3)(a, b] = {x R; a < x b} 4)(a, b) = {x R; a < x < b} 5)(, b] = {x R; x b} 6)(, b) = {x R; x < b} 7)[a, ) = {x R; a x} 8)(a, ){x R; a < x} 9)(, ) = R 13 Relação de partinência Fixado um conjuto A, se x é um elemento deste conjunto, indicaremos, x A (x pertence à A) Note que x A x é elemento de A Exemplo 4 Considere o conjunto Então temos, por exemplo, {1, 2} A A = {1, 2, {1}, {1, 2}} Observação 5 Sugiro estudar bem os exemplos trabalhados em sala sobre este tópico! Lembremos que utilizamos o símbolo para indicar o conjunto vazio, isto é, o conjunto que não possui elementos Exemplo 6 Considere um triângulo no plano, e seja A o conjunto das retas que passam pelos três vértices deste triângulo Então A = 2

3 2 Subconjuntos relação de inclusão Definição 7 Diremos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se todo elemento de A é também elemento de B Neste caso, escreveremos A B ou B A Exemplo 8 Seja A = {, { }} Então {{ }} A pois { } é um elemento de A Observação 9 Novamente sugiro estudar bem os exemplos trabalhados em sala sobre este tópico! Salientamos que: 1 Qualquer que seja o conjunto A temos A 2 Qualquer que seja o conjunto A temos A A 3 Dois conjunto A e B são iguais se, e somente se, A B e B A 4 Se três conjuntos A, B, C são tais que A B e b C, teremos A C 21 Observação 1 Diremos que um conjunto A é subconjunto próprio de um conjunto B se A é subconjunto de B, mas não é todo o conjunto B Neste caso, escreveremos A B ou B A 2 É claro que dois conjuntos A e B são iguais (A = B), se todo elemento de A é elemento de B e todo elemento de B é elemento de A De outra forma, temos, A = B A B e A B (x A x B) 3 Se um conjunto A possui k elementos, escreveremos, card(a) = k ou n A = k 4 É possivel mostrar que se um conjunto A possui k elementos, então o total de subconjuntos de A, incluindo o conjunto vazio e o próprio A, é dado por 2 k Temos, ainda, que o total de subconjuntos de A com j elementos é dado por k! j!(k j)! Exemplo 10 Seja A = {1, 2, {1}, {1, 2}, } Como A possui 5 elementos, A possui um total de 2 5 5! subconjuntos Temos que A possui = 10 subconjuntos com 3 elementos 3!(5 3)! 22 Conjunto das partes de um conjunto Definição 11 Fixado um conjunto A, indicaremos por P(A) o conjunto formado por todos os subconjuntos de A Enfatizo que foram estudados exemplos suficientes em sala sobre este tópico e, portanto, sugiro estudá-los com calma! É interessante observar que independente do conjunto nunca teremos P(A) = pois, teremos, pelo menos, P(A) Pelo item 3 da observação acima, temos que, se car(a) = k, então car(p(a)) = 2 k 3

4 3 Exercícios 1) Sendo A = {1, 2, 4, 6, 9}, determine quais alternativas abaixo são verdadeiras ou falsas (a)4 A (b)4 A (c){2, 9} A (d){2, 9} A (e){4} A (f){4} A (g) A (h) A (i){2, 5} A (j){1, 2, 7} A (k)n Z (l){2, 1} A (m){2, 1} A (n){1, 2, 4, 9, 6}é subconjunto dea (o){1, 2, 4, 9, 6}é subconjunto próprio dea 2) Sendo A = {{2, 6}, {3, 4, 9}, {8}}, determine quais alternativas abaixo são verdadeiras ou falsas (a){2, 6} A (b){2, 6} A (c){8} A (d){8} A (e)2 A (f)8 A (g) A (h) A (i){{2, 6}, {3, 4, 9}} 3) Sendo B = {{3, 4}, {1, 2, 5}, }, determine quais alternativas abaixo são verdadeiras ou falsas (a) B (b) B (c){3, 4} B (d){{3, 4}, {1, 2, 5}} B 4) Sendo A = { }, determine quais alternativas abaixo são verdadeiras ou falsas (a) A (c) = { } (b) A (d)apossui um elemento 5) Sendo A = {, { }, {{ }}}, determine: (a) P(A) (b) Quantos elementos possui P(P(A))? Justifique! (c) Quantos subconjuntos próprios possui o conjunto A? Justifique! 6) (a) Exibir um exemplo, se possível, de um conjunto A tal que card(p(a)) < car(a) Se acredita que tal exemplo não existe, justifique! (b) Exibir um exemplo, se possível, de um conjunto A tal que card(p(a)) = 1024 Se acredita que tal exemplo não existe, justifique! (c) Exibir um exemplo, se possível, de um conjunto A tal que card(p(a)) = 1200 Se acredita que tal exemplo não existe, justifique! (d) Exibir um exemplo, se possível, de um conjunto A tal que card(p(a)) = car(a) Se acredita que tal exemplo não existe, justifique! 7) Sendo A = {{4, 6}, {1, 3, 5}, {9}} e B = {{8}, {3, 6} }, determine quais alternativas abaixo são verdadeiras ou falsas 4

5 (a){4, 6} A (b){4, 6} A (c)4 A (d)9 A (e){9} A (f){9, } A (g) A (h) B (i) A (j) B (k){{4, 6}, {1, 5, 3}} A (l){{4, 6}} A (m){ } A { } B 4 Operações com conjuntos 41 União e intersecão Definição 12 Dados conjuntos A e B, definimos a interseção entre A e B como o conjunto cujos elementos são os elementos comuns aos conjuntos A e B Indicaremos tal conjunto por A B Em outra palavras, temos, A B = {x; x A e x B} Definição 13 Dados conjuntos A e B, definimos a união entre A e B como o conjunto cujos elementos são todos os elementos que estão em pelos menos um dos conjuntos A ou B Indicaremos tal conjunto por A B Em outras palavras, temos, A B = {x; x A ou x B} Novamente, sugerimos estudar os exemplos feitos em sala! 42 Diferença e complementar Definição 14 Dados conjuntos A e B, definimos a diferença entre A e B como o conjunto cujos elementos são os elementos que estão em A mas não estão em B Indicaremos tal conjunto por A B ou A\B Em outras palavras, temos, A B = A\B = {x; x A e x / B} Observação 15 Se A B, então a diferença B A será dita o complementar de A em (relação a) B e, neste caso, tal conjunto será indicado por A B Exemplos suficientemente estudados em sala! 43 Produto cartesianao Você, certamente, já está familiarizado com a noção de par ordenadoe, daí, temos a definição 5

6 Definição 16 Dados conjuntos A e B, definimos o produto cartesiano entre A e B como o conjunto cujos elementos são todos os pares ordenados onde a primeira coordenada é um elemento de A e a segunda é um elemento de B Indicaremos tal conjunto por A B Em outra palavras, temos, A B = {(x, y); x A e y B} Ressaltamos que, muitas vezes, indicaremos o conjunto A A por A 2 Exemplo 17 Sendo A = {, { }}, teremos A A = {(, ), (, { }), ({ }, ), ({ }, { })} 5 Conjunto universo e diagrama de Venn 51 Conjunto Universo Muitas vezes, quando trabalhamos con conjuntos é conveniente considerarmos todos os conjuntos como subconjuntos de um conjunto maior U denominado conjunto universo Por exemplo, em geometria plana, podemos considerar como conjunto universo o plano, já que todos os objetos de estudo estão contidos no plano Salientamos que quando desenvolvemos uma teoria o conjunto universo deve ser especificado Quando o conjunto universo U está fixado e A U indicamos a diferença U A ou o complentar de A em U por A c ou A Exemplo 18 Sendo U = N, A = {x; x N e 1 x 5} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, teremos: A c = {0, 6, 7, }, B c = {x; x N e x > 5} 52 Diagrama de Venn Para resolvermos certoa exercícios pode ser conveniente utilizarmos os chamados Diagramas de Venn Neste tipo de diagrama os conjuntos são representados por regiões planas interiores a uma curva fechada não estrelaçada Ao utilizar estes diagramas é usual representa o conjunto universo, quando especificado, por um retângulo e, daí, todos os outros conjuntos estarão no interior deste retângulo Vide figura abaixo A B C U 6

7 6 Exercícios 1) Sendo A, B conjuntos tais que n A B = 38, n A B = 12 e n B = 15, determine n A 2) Os conjuntos A = {x N; 2 x 4} e B = {x R; x 2 5x + 6 = 0} são iguais? Justifique! 3) Sendo B = {x R; 0 < x < 5} e A = {x R; 1 < x 7}, determine: (a) A B (b) B A ( Se possível, use intervalos para escrever sua resposta! ) 4) Sendo A = [2, 5) e B = (3, 7), determine: (a) A B (b) A B (c) A B (d) C A R 5) Sejam: A = {x R; 3 x < 1} B = [ 1, 2) C = ( 2, 5 4 ) Determine: (a) A B C (b) (A B) C (c) (A B) C (d) B C 6) Os conjuntos A = {x R; x < 2} e B = {x R; x 2 < 2} são iguais? Justifique! 7) Analisando-se as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche, verificou-se que 68 receberam vacina Sabin, 50 receberam vacina contra sarampo e 12 não foram vacinadas Quantas dessas crianças receberam as duas vacinas? 8) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto U tais que: card(u) = 52 card(a) = 20 card(a C) = 8 card(a B C) = 3 card(b C) = 9 card(a B C) = 45 card(a B) = 7 card(b A) = 15 Determine: a)card(b) (b)card(a B) (c)card(c) (d)card(u (A B C)) 9) É verdade que para quaisquer dois conjuntos finitos A e B temos card(a B) = card(a) card(b)? Justifique! 10) Dê exemplo, se possível, de dois conjuntos finitos não vazios A e B tais que card(a B) = card(a) + card(b) Caso acredite não ser possível exibir tal exemplo, justifique! 11) Dê exemplo, se possível, de dois conjuntos finitos não vazios A e B tais que card(a B) = card(a) + card(b) e A B ϕ Caso acredite não ser possível exibir tal exemplo, justifique! 7

8 12) Em uma esscola, cujo total de alunos é 600, foi feita uma pesquisa sobre os refrigerantes que os alunos costumam beber Os resultados foram: 300 alunos bebebm o refrigerante A, 20 alunos bebem os refrigerantes A e B e 100 alunos não bebem A nem B Pergunta-se: (a) Quantos alunos bebem apenas o refrigerante A? (b) Quantos bebem apensa o refrigerante B? (c) Quantos bebem B? (d) Quantos bebem A ou B? 13) Sejam A,B,C conjuntos tais que: n A B C = 8, n A B = 15, n A C = 20, n B C = 24, n C = 50, n B = 60 e n A B C = 129 Determine: (a) n A (b) n B A (c) n C A (d) n A B (e) n (A B) C (f) n A C 14) Para cada item abaixo, repita o diagrama a seguir e sombreie as regiões pedidas A B C U (a) A C (b) A B C (c) A B (d) A (e) B c (f) (A B) (A C) (B C) (g) (B C) A (h) ((A B) C) 8

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