Pesquisa Operacional

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1 Pesquisa Operacional Método Simplex Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG março

2 1 Método Simplex Modelo de PL em forma de equação Referência Bibliográfica

3 Modelo de PL em forma de equação Os cálculos do Método Simplex são facilitados pela imposição de dois requisitos às restrições do problema: 1 Todas as restrições, com exceção das de não-negatividade, são equações com o lado direito não-negativo. 2 Todas as variáveis são não-negativas.

4 Modelo de PL em forma de equação Lembram-se do problema da Reddy Mikks? A Reddy Mikks produz tintas para interiores e exteriores com base em duas matérias-primas, M 1 e M 2. A tabela abaixo mostra as porcentagens de M 1 e M 2 na composição das tintas. % de matéria prima no produto tinta para tinta para disponibilidade exteriores interiores máxima diária (t) matéria-prima M 1 60% 40% 24 matéria-prima M 2 10% 20% 6 lucro por t ($1000) 5 4

5 Modelo de PL em forma de equação Problema da Companhia Reddy Mikks Uma pesquisa de mercado indica que a demanda diária por tinta para interiores ultrapassa a demanda diária por tinta para exteriores em no máximo 10 toneladas. A demanda máxima diária por tinta para interiores é de 20 toneladas. Quais as quantidades de tinta para interiores e de tinta para exteriores que devem ser produzidas de forma a se obter o lucro diário máximo?

6 Modelo de PL em forma de equação Conversão de desigualdades em equações com lado direito não-negativo: Modelo da Reddy Mikks: Maximizar z = 5x 1 + 4x 2 sujeito a: 0.6x x x x 2 6 x 1 + x 2 10 x 2 20 x 1, x 2 0

7 Modelo de PL em forma de equação Conversão de desigualdades em equações com lado direito não-negativo: Modelo da Reddy Mikks: Maximizar z = 5x 1 + 4x 2 sujeito a: 0.6x x x x 2 6 x 1 + x 2 10 x 2 20 x 1, x 2 0

8 Modelo de PL em forma de equação Conversão de desigualdades em equações com lado direito não-negativo: 0.6x x 2 24 Em restrições, deve-se inserir uma variável de folga: 0.6x x 2 + s 1 = 24, s 1 0

9 Modelo de PL em forma de equação Conversão de desigualdades em equações com lado direito não-negativo: Modelo da Reddy Mikks: Maximizar z = 5x 1 + 4x 2 sujeito a: 0.6x x x x 2 6 x 1 + x 2 10 x 2 20 x 1, x 2 0

10 Modelo de PL em forma de equação Conversão de desigualdades em equações com lado direito não-negativo: Modelo da Reddy Mikks: Maximizar z = 5x 1 + 4x 2 sujeito a: 0.6x x 2 + s 1 = x x 2 + s 2 = 6 x 1 + x 2 + s 3 = 10 x 2 + s 4 = 20 x 1, x 2, s 1, s 2, s 3, s 4 0

11 A Ozark Farms quer determinar qual a mistura que gera a ração de custo mínimo diário. Modelo de PL em forma de equação Lembram-se do problema da Ozark Farms? A Ozark Farms usa no mínimo 800 libras (lb) de ração especial por dia. Essa ração especial é uma mistura de milho e soja com a seguinte composição: lb de matéria-prima por lb de ração ração proteína fibra custo ($/lb) milho 0,09 0,02 0,30 soja 0,60 0,06 0,90 Os requisitos nutricionais de ração especial são de no mínimo 30% de proteína e de no máximo 5% de fibra.

12 Modelo de PL em forma de equação Minimizar z = 0, 3x 1 + 0, 9x 2 sujeito a: 1x 1 + 1x x 1 0.3x x x 2 0 x 1, x 2 0

13 Modelo de PL em forma de equação Minimizar z = 0, 3x 1 + 0, 9x 2 sujeito a: 1x 1 + 1x x 1 0.3x x x 2 0 x 1, x 2 0

14 Modelo de PL em forma de equação Conversão de desigualdades em equações com lado direito não-negativo: x 1 + x Em restrições, deve-se inserir uma variável de sobra: x 1 + x 2 s 1 = 800, s 1 0

15 Modelo de PL em forma de equação Conversão de desigualdades em equações com lado direito não-negativo: Minimizar z = 0, 3x 1 + 0, 9x 2 sujeito a: x 1, x 2, s 1, s 2, s 3 0 1x 1 + 1x 2 s 1 = x 1 0.3x 2 +s 2 = x x 2 s 3 = 0

16 Modelo de PL em forma de equação Conversão de desigualdades em equações com lado direito não-negativo: x 1 + x 2 3 Em restrições com lado direito negativo, deve-se: 1 - transformar a restrição em equação inserindo a variável adequada: x 1 + x 2 + s 1 = 3, s multiplicar a equação por 1: x 1 x 2 s 1 = 3

17 Modelo de PL em forma de equação Conversão de variáveis irrestritas em variáveis não-negativas: Suponha que uma empresa deseja decidir a cada período se ajusta o tamanho de sua mão de obra para mais ou para menos. Então, se a mão de obra do período i é x i, a mão de obra do período i + 1 é: x i+1 = x i + y i+1, onde y i+1 é o ajuste feito no período i + 1. y i+1 pode ser positiva (se houver contratações) ou negativa (se houver demissões).

18 Modelo de PL em forma de equação Conversão de variáveis irrestritas em variáveis não-negativas: x i+1 = x i + y i+1, y i+1 R Uma variável irrestrita pode ser expressa por duas variáveis não-negativas: y i+1 = t 1 t 2, t 1, t 2 0 se t 1 > t 2, então y i+1 > 0 se t 1 = t 2, então y i+1 = 0 se t 1 < t 2, então y i+1 < 0 Reescreva: x i+1 = x i + t 1 t 2, x i+1, x i, t 1, t 2 0

19 Em um problema com m equações consistentes e n variáveis, há 3 casos: 1 Se m > n, o problema tem uma solução. Exemplo: x 1 + x 2 = 3 x 1 x 2 = 1 x 1 + 8x 2 = 10 x 1 = 2 e x 2 = 1. 2 Se m = n, o problema tem uma solução. Exemplo: x 1 + x 2 = 3 x 1 x 2 = 1 x 1 = 2 e x 2 = 1. 3 Se m < n, o problema tem infinitas soluções. Exemplo: x 1 + x 2 = 5 x 1 = 2 e x 2 = 3, x 1 = 2.2 e x 2 = 2.8, x 1 = 0 e x 2 = 5, etc.

20 Em um sistema com m equações e n variáveis, com m < n: Se igualarmos n m variáveis a zero, o sistema pode ser resolvido e, se tiver uma solução única, sua solução é chamada de solução básica e corresponde a um ponto extremo (viável ou inviável) da região de soluções.

21 s 1 =0 s 2 =0 Figura : Solução de problema com duas variáveis pelo Método Gráfico.

22 (0,x 2,0,s 2 ) s 1 =0 (0,x 2,s 1,0) (x 1, x 2,0,0) s 2 =0 (0,0,s 1,s 2 ) (x 1,0,0,s 2 ) (x 1,0,s 1,0) Figura : Solução de problema com duas variáveis pelo Método Gráfico.

23 (0,x 2,0,s 2 ) s 1 =0 (0,x 2,s 1,0) (x 1, x 2,0,0) s 2 =0 (0,0,s 1,s 2 ) (x 1,0,0,s 2 ) (x 1,0,s 1,0) Figura : Solução de problema com duas variáveis pelo Método Gráfico.

24 (0,x 2,0,s 2 ) s 1 =0 (0,x 2,s 1,0) (x 1, x 2,0,0) s 2 =0 (0,0,s 1,s 2 ) (x 1,0,0,s 2 ) (x 1,0,s 1,0) Figura : Solução de problema com duas variáveis pelo Método Gráfico.

25 (0,x 2,0,s 2 ) s 1 =0 (0,x 2,s 1,0) (x 1, x 2,0,0) s 2 =0 (0,0,s 1,s 2 ) (x 1,0,0,s 2 ) (x 1,0,s 1,0) Figura : Solução de problema com três variáveis pelo Método Gráfico.

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36 Então, para qualquer valor de n e m, basta igualar n m variáveis a zero e calcular a solução do sistema de equações! As variáveis não nulas são chamadas de variáveis básicas. Quais variáveis que devem ser igualadas a zero? O Simplex considera todas as possibilidades e calcula todos os sistemas de equações.

37 Então, para qualquer valor de n e m, basta igualar n m variáveis a zero e calcular a solução do sistema de equações, considerando todas as possibilidades de combinação de variáveis básicas. Quantas possibilidades existem? ( n m ) = n! m!(n m!)

38 s 1 =0 s 2 =0 4 variáveis e 2 restrições

39 Quantas possibilidades existem? ( n m ) = n! m!(n m!) = 4! 2!(4 2)! = 12 2 = 6

40 (0,x 2,0,s 2 ) s 1 =0 (0,x 2,s 1,0) (x 1, x 2,0,0) s 2 =0 (0,0,s 1,s 2 ) (x 1,0,0,s 2 ) (x 1,0,s 1,0) 6 pontos de interseção de curvas de função.

41 Referência Esse material é totalmente baseado no livro: Hamdy A. TAHA, Pesquisa Operacional, 8 a edição, São Paulo: Pearson, 2008.