Minicurso Introdução a Problemas de Otimização

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1 Miicurso Itrodução a Problemas de Otimização Adriaa Cristia Cherri Departameto de Matemática - Faculdade de Ciêcias Uiversidade Estadual Paulista - Campus de Bauru adriaa@fc.uesp.br Adréa Carla Goçalves Viaa Departameto de Computação - Faculdade de Ciêcias Uiversidade Estadual Paulista - Campus de Bauru viaa@fc.uesp.br Bauru - SP 27 a 31 de agosto de 2012

2 XXIV Semaa da Liceciatura em Matemática Bauru SP, de agosto de Itrodução A área que estuda problemas de otimização é chamada de Programação Matemática. Esta deomiação idetifica uma ampla classe de problemas. Otimizar sigifica ecotrar a melhor maeira de fazer algo, dada uma medida do que é ser melhor. Sempre que ecurtamos um camiho para gahar tempo, ecoomizamos para comprar algo, tomamos decisão com base em ivestimetos, estamos iteressados a melhor forma de aplicarmos ossos recursos. Resolver um problema de otimização, sigifica procurar a solução de um problema de forma a se maximizar algo ou a miimizar algo. Uma ifiidade de problemas do cotidiao podem ser classificados como problemas de Otimização Combiatória. Algus deles são: Corte de Materiais Uma fábrica de peças de mármore vede peças, sob ecomeda, que são produzidas cortado-se placas grades em pedaços meores. Uma placa grade pode ser cortada de diversas maeiras e sempre haverá um desperdício de mármore oriudo dos pedaços que sobram após o corte das peças desejadas. Esses pedaços ão podem ser aproveitados para produzir peças úteis. O objetivo aqui é descobrir a melhor maeira de cortar as placas de modo que o desperdício seja miimizado. Este é um problema de corte em duas dimesões (corte bidimesioal) que também se aplica a vidro, metal, madeira etc. Há problemas de corte em uma dimesão (por exemplo, rolos de papel) e em três dimesões (por exemplo, corte de blocos de espuma para produção de colchões). Empacotameto Os problemas de empacotameto podem ser ecarados como o iverso dos problemas de corte. Aqui a ideia é arrumar a melhor maeira de agrupar um cojuto de ites de modo que o espaço total ecessário para guardá-los seja miimizado. Em certos casos, o espaço dispoível para o armazeameto é predetermiado e o objetivo é guardar o maior úmero de ites possível. Por exemplo, uma compahia de mudaças deseja ecotrar a melhor maeira arrumar os móveis detro dos seus camihões de modo a realizar a mudaça com um úmero míimo de viages. Desigação de mão-de-obra Dado um cojuto de tarefas a realizar e um cojuto de fucioários, um empresário deseja ecotrar a melhor maeira de alocar seus fucioários às tarefas de forma que todas as tarefas sejam cumpridas e os gastos com mão-de-obra sejam miimizados. Além disso, há restrições trabalhistas e restrições operacioais da empresa que afetam a forma com que a alocação pode ser feita. Os custos podem estar relacioados com a quatidade de operários evolvidos e/ou com o úmero de horas-extra que o empresário terá de pagar. Por exemplo, uma compahia aérea, é preciso decidir quais viages serão destiadas a quais pilotos e aida obedecer a regras do tipo: um piloto ão pode trabalhar mais de 8 horas seguidas sem descasar; a cada três dias seguidos de trabalho todo piloto deve ter um dia de descaso etc. Escaloameto de tarefas Em certas fábricas, um produto fial é criado a partir da execução de pequeas tarefas. Essas tarefas possuem regras de precedêcia etre si e particularidades que exigem um ou outro tipo de máquia para sua execução. Com isso, dado um cojuto de ites a produzir, desejase descobrir, para cada máquia da fábrica, a ordem em que as tarefas devem ser processadas de forma a miimizar o tempo de produção. Localização de Facilidades Dado um cojuto de clietes que precisam ser atedidos e um cojuto de possíveis locais para istalação de facilidades, deseja-se determiar quais os melhores locais para istalação das facilidades de forma que todos os clietes sejam atedidos a um custo míimo. Por exemplo, os clietes podem ser um cojuto de casas e as facilidades a istalar podem ser 2

3 XXIV Semaa da Liceciatura em Matemática Bauru SP, de agosto de 2012 postos de proto-socorro. O custo pode estar relacioado com a distâcia das casas ao proto-socorro mais próximo. Distribuição de Bes de Cosumo Dado um cojuto de fregueses que precisam receber mercadorias, a fábrica tem que decidir a quatidade de carga a ser colocada em cada camihão e quais camihões irão ateder quais clietes. Além disso, é preciso otimizar as rotas dos veículos e, em algus casos, levar em cosideração a evetual ecessidade de reabastecimeto da carga por parte de algus camihões. Por exemplo, os clietes podem ser bares e a fábrica pode ser uma fábrica de bebidas. Projeto de Circuitos Itegrados Ates que um circuito itegrado seja impresso a placa, é preciso decidir em que lugares serão colocados os chips e por ode passarão as ligações etre os compoetes. O objetivo é miimizar os gastos com as ligações etre compoetes e também miimizar as distâcias etre compoetes que se comuicam com maior frequêcia. Plaejameto de Produção Dado um horizote de demada por produtos, um fabricate de determiado item de cosumo precisa decidir quato deve produzir por mês de forma a ateder toda a demada e aida miimizar os custos. Existe um limite o poder de estocagem e um preço a ser pago por quatidade de produto estocada. Além disso, os produtos podem ter data de validade e atrasos a etrega de mercadoria podem ser tolerados (gerado custo adicioal) ou ão. Para ecotrar a solução para estes e outros problemas modelos matemáticos devem ser elaborados para que possam ser resolvidos com o auxílio de computadores. O objetivo pricipal deste texto cosiste em apresetar uma visão geral de problemas de otimização liear. São apresetados algus problemas clássicos com seus respectivos modelos matemáticos e métodos solução. 2. Modelagem de problemas As seguites etapas são utilizadas para a elaboração de um modelo matemático: 3

4 XXIV Semaa da Liceciatura em Matemática Bauru SP, de agosto de 2012 Não há um algoritmo para se escrever um modelo matemático. Etretato, algumas etapas podem auxiliar a sua costrução: Passo fudametal: ouvir aquele que lida com o problema real e eteder como obtém suas soluções; Passo 1: descobrir o que deve ser determiado: variáveis do problema; Passo 2: descobrir o que é dispoível: dados do problema; Passo 3: reproduzir os camihos que levam a uma solução: equações/iequações. Um modelo matemático apreseta a seguite estrutura: Miimizar f ( x ) c x c x c x fução objetivo a x a x a x b a x a x a x b restrições ( ou ) am1 x1 a m2x2 a m x b m x 1 0, x 2 0, x 0. codição das variáveis x, x,..., x ) que satisfaz todas as restrições é chamado de solução factível. ( 1 2 A fução objetivo idica se uma decisão é preferível a outras. As restrições limitam as decisões que devem ser tomadas e a codição das variáveis defiem o tipo de variável do problema. 3. Problemas de otimização liear Nesta seção, apresetamos algus problemas clássicos de otimização liear com seus respectivos modelo matemáticos. Problema da Mistura Uma mistura é produzida a partir de igredietes que possuem os compoetes desejados o ovo produto, satisfazedo determiadas especificações. Os compoetes e os custos de cada igrediete são cohecidos. OBJETIVO: determiar as quatidades de cada igrediete que será utilizada para obter uma mistura com a composição especificada e com o meor custo possível. Dados do problema: : úmero de igredietes; m: úmero de compoetes; a : fração do compoete i o igrediete j; b i : fração do compoete i a mistura; c j : custo uitário do igrediete j. Variáveis de decisão: x j : quatidade do igrediete j a ser usada em uma uidade da mistura. 4

5 XXIV Semaa da Liceciatura em Matemática Bauru SP, de agosto de 2012 Formulação matemática: miimizar f (x 1, x 2,..., x ) = c 1 x 1 + c 2 x c x a 11 x 1 + a 12 x a 1 x b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2 x b 2... a m1 x 1 + a m2 x a m x b m x 1 + x x = 1 x 1 0, x 2 0,..., x 0 Exemplo: Mistura de ração Uma agroidústria deve produzir um tipo de ração para um determiado aimal. A ração é produzida pela mistura de farihas de 3 igredietes básicos: farihas de osso, de soja e de peixe. Cada um dos igredietes cotém diferetes quatidades de dois utrietes ecessários para uma dieta utricioal balaceada: proteía e cálcio. O utricioista especifica as ecessidades míimas desses utrietes em 1 kg de ração. Cada igrediete é adquirido o mercado com custo uitário. Os dados são apresetados a tabela: Igredietes Nutrietes Osso Soja Peixe Ração Proteía Cálcio Custos ($/kg) Objetivo: Determiar em que quatidades os igredietes devem ser misturados de modo a produzir 1 kg de ração que satisfaça às restrições utricioais com o míimo custo. Variáveis de decisão (1 kg de mistura) x osso : quatidade de fariha de osso x soja : quatidade de fariha de soja x peixe : quatidade de fariha de peixe Custo da mistura: f(x osso, x soja, x peixe ) = 0.56 x osso x soja x peixe Quatidade de proteía (1 kg de mistura): 0.2x osso x soja x peixe 0.3 Quatidade de cálcio (1 kg de mistura): 0.6x osso x soja x peixe 0.5 Soma dos igredietes: 1 kg de mistura: x osso + x soja + x peixe = 1 Formulação matemática: miimizar f(x osso, x soja, x peixe ) = 0.56 x osso x soja x peixe 0.2 x osso x soja x peixe x osso x soja x peixe 0.5 x osso + x soja + x peixe = 1 x osso 0; x soja 0; x peixe 0 5

6 XXIV Semaa da Liceciatura em Matemática Bauru SP, de agosto de 2012 Solução ótima: x osso = 0.5; x soja = 0; x peixe = 0.5 Fução objetivo: f(0.5, 0, 0.5) = 0.51 Problemas de Trasporte O problema cosiste em trasportar produtos dos cetros de produção (origes) aos mercados cosumidores (destios); As quatidades dispoíveis em cada cetro de produção e as quatidades demadadas em cada mercado cosumidor são cohecidas. O trasporte deve ser efetuado respeitado-se as limitações de oferta em cada origem e atededo à demada de cada destio. OBJETIVO: trasportar o produto dos cetros de produção aos mercados cosumidores de modo que o custo total de trasporte seja o meor possível. Dados: m: úmero de origes; : úmero de destios; a i : oferta do produto a origem i; b j : demada do produto o destio j; c : custo de trasportar uma uidade do item da origem i ao destio j. Variáveis de decisão: x quatidade de ites trasportada da origem i para o destio j. As quatidades trasportadas ão podem ser egativas! Logo, restrições x 0, para i = 1,..., m e j = 1,...,, fazem parte do modelo. c x é o custo para se realizar o trasporte da origem i para o destio j. O custo total de trasporte, que deve ser miimizado, é dado por: mi f ( x Sujeito a : j1 i1 x m x x 11, x 12 a, i b,,..., x j m ) i1 j1 i 1,..., m j 1,..., 0, iteiro, i 1,..., m; j 1,...,. m c x 6

7 XXIV Semaa da Liceciatura em Matemática Bauru SP, de agosto de 2012 Exemplo: Trasporte de bebidas Cosidere uma compahia distribuidora de bebidas que possui: Dois cetros de produção (m = 2): Araraquara e São José dos Campos; Três mercados cosumidores ( = 3): São Paulo, Belo Horizote e Rio de Jaeiro. c custo uitário do trasporte de uma uidade de produto de cada cetro de produção i a cada mercado cosumidor j. Variáveis de decisão: x quatidade do produto a ser eviada do cetro i ao mercado j (uma uidade pode ser um egradado cotedo dezeas de garrafas, ou um palete com ceteas de garrafas) Os custos de custos de trasporte, demadas e capacidades de produção são dados abaixo: Formulação matemática miimizar f(x 11,..., x 23 ) = 4x x x x x x 23 x 11 + x 12 + x x 21 + x 22 + x x 11 + x 21 = 500 x 12 + x 22 = 400 x 13 + x 23 = 900 x 11 0; x 12 0; x 13 0; x 21 0; x 22 0; x 23 0 Solução ótima: x 11 = 500; x 12 = 300; x 13 = 0; x 21 = 0; x 22 = 100; x 23 = 900. Fução objetivo: f(500, 300, 0, 0, 100, 900) = 6900 Problema de Desigação (Caso particular do problema de trasporte) Supoha que tarefas precisam ser atribuídas a pessoas. Cada pessoa deve executar uma úica tarefa e todas as tarefas devem ser executadas. Cada pessoa i tem um iteresse em efetuar cada tarefa j, dado por p. Queremos fazer a alocação de modo que a soma dos iteresses seja maximizada. O Problema de Desigação evolve a determiação de! possíveis soluções. 7

8 XXIV Semaa da Liceciatura em Matemática Bauru SP, de agosto de 2012 Exemplo: para um problema com 5 trabalhadores e 5 tarefas o úmero de soluções possíveis é igual a 5! = 120. para um problema com 10 trabalhadores e 10 tarefas o úmero de soluções possíveis é igual a 10! = Variáveis de decisão x = 1, se o idividuo i for desigado para a realização da tarefa j. x = 0, caso cotrário. max f ( x, x,..., x ) p x j1 i x 1, i 1,..., x 1, j 1,..., i1 j1 x {0, 1}, i 1,..., ; j 1,...,. cada trabalhador é desigado a uma só tarefa cada tarefa é executada apeas por um trabalhador Problemas de Corte O problema cosiste em produzir ites (peças pequeas), a partir do corte de um objeto (peça grade). OBJETIVOS: miimizar a perda de material dos objetos cortados, miimizar a quatidade de objetos cortados, miimizar o custo de cortar os objetos, maximizar o lucro, etre outros. 8

9 Dados: L : tamaho do objeto; m : úmero de tipos de ites; l i : comprimeto de um tipo de item i; b i : quatidade de um determiado tipo de item i; a j : vetor associado a um padrão de corte. a j = (a 1j, a 2j,..., a mj ) quatidade de peças do tipo 1 o padrão de corte j Variáveis de decisão: x j : úmero de barras cortadas coforme o padrão de corte j Padrão de corte: Problema!!! Como gerar um padrão de corte? Quatas vezes devemos cortar cada padrão? Um vetor = ( 1, 2,..., m ) T represeta um padrão de corte se e somete se o seguite sistema é satisfeito: l l l m m L 1 0, 2 0,..., m 0 e iteiros Como escrever a formulação que miimiza o úmero de barras utilizadas, dado que sabemos todos os padrões de corte possíveis? O problema de corte pode ser formulado como: mi f ( x, x,..., x 1 2 ) x a11 a12 a1 a 21 a 22 a 2 x1 x2 x a a a m1 m2 m x 0, j 1,...,. j 1 x... x 2 b1 b 2 bm Exemplo: Problema de corte Uma idústria de papel produz bobias jumbo de L = 400 cm de largura. Os jumbos devem ser cortados em bobias meores (ites) as larguras e quatidades apresetadas a tabela coforme a solicitação dos diversos clietes:

10 XXIV Semaa da Liceciatura em Matemática Bauru SP, de agosto de 2012 Possíveis padrões de corte: Padrão de corte 1: a 1 = ( ) Padrão de corte 2: a 2 = ( ) Padrão de corte 3: a 3 = ( ) Padrão de corte 4: a 4 = ( ) Padrão de corte 5: a 5 = ( ) Padrão de corte 6: a 6 = ( ) mi f ( x, x,..., x 1 2 ) x x1 x 2 x x 0, j 1,...,. j 1 x... x x x x Solução factível: (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ) = ( ) Fução objetivo: = 12 Problemas de Plaejameto da Produção O problema de plaejameto e programação da produção de produtos pode ser o mais variado possível Mix de Produção (fabricação de diversos produtos) Seleção de processos (vários produtos com vários processos alterativos) Dimesioameto de lotes (diversos produtos para variados clietes com diferetes datas de etrega) OBJETIVO: Miimizar os custos de produção dos diferetes produtos em diversas situações Mix de produção (plaejameto estocástico) O problema cosiste em decidir quais produtos e quato fabricar de cada produto em um período. A capacidade limitada de produção (maquias, recursos humaos, capital, armazeagem, etc) e os diversos produtos que a empresa pode fabricar são cohecidos. O objetivo cosiste em determiar quais produtos e quato deve ser fabricado de cada produto de modo a maximizar o lucro da empresa. Dados: C i : capacidade do recurso i dispoível o período; a : quatidade do recurso i utilizado para a produção de uma uidade do produto j; l j : lucro da empresa para produzir o item j; d j : produção míima do produto j que deve ser realizada o período; v j : produção máxima do produto j que deve ser realizada o período; 10

11 XXIV Semaa da Liceciatura em Matemática Bauru SP, de agosto de 2012 Variáveis de decisão: x j : quatidade de cada produto j a ser produzida em um período do plaejameto Objetivo Maximizar o lucro da empresa F(x) = maximizar f(x 1,..., x ) = l 1 x 1 + l 2 x l x Modelo Matemático Maximizar z = l 1 x 1 + l 2 x l x a i1 x 1 + a i2 x a i x C i d j x j v j j = 1,..., i = 1,..., m Exemplo Um fabricate de geladeiras precisa decidir quais modelos deve produzir em uma ova fábrica recetemete istalada. O departameto de marketig verificou que o próximo mês podem ser vedidas o máximo1.500 uidades do modelo luxo e uidades o modelo básico. A empresa dispõe de uma força de trabalho de homes-hora por mês. Cada modelo de luxo requer 10 homes-hora e cada modelo básico requer 8 homes-hora para ser motado. Além disso, uma mesma liha de motagem é compartilhada pelos dois modelos. Cosidere que a capacidade de produção desta liha seja de geladeiras por mês. O lucro uitário do modelo de luxo é de R$ 100,00 e do modelo básico é de R$ 50,00. Deseja-se determiar quato produzir de cada modelo de modo a maximizar o lucro da empresa. Variável de decisão x j : quatidade de geladeiras do tipo j, j = luxo, básico Maximizar f(x luxo, x básico ) = 100x luxo + 50x básico 10x luxo + 8x básico x luxo + x básico x luxo e 0 x básico A visualização de soluções de um problema matemático, quado possível e mesmo que limitada a um deseho o R 2, pode ser bastate útil para melhorar ossa ituição sobre o problema em estudo. Na Seção 4 apresetamos a resolução gráfica de um problema. 4. Resolução Gráfica Como vimos, resolver um problema de otimização liear cosiste em ecotrar uma solução ótima para o problema. Por coveiêcia, cosideramos o problema de otimização liear com duas variáveis e a forma de desigualdade. 11

12 XXIV Semaa da Liceciatura em Matemática Bauru SP, de agosto de 2012 Exemplo 4.1: maximizar f(x 1, x 2 ) = x 1 + 2x 2 x1 x2 4 x1 2 Região factível S x2 3 x1 0, x2 0 Desehado uma região factível As soluções factíveis de um problema sempre devem satisfazer todas as restrições do problema. Cosiderado o Exemplo 4.1, represetamos iicialmete os potos o plao (x 1, x 2 ) que satisfazem as codições de ão-egatividade, isto é, primeiro quadrate do plao. Para represetar os potos o plao (x 1, x 2 ) que também satisfazem a restrição x 1 + x 2 4, idetificamos os potos que satisfazem a igualdade x 1 + x 2 = 4. Esta equação é uma reta o plao, sedo seus coeficietes, o vetor (1, 1) T, perpedicular à reta. Em seguida, idetificamos os potos que satisfazem x 1 + x 2 < 4. Para idetificar este cojuto, observe que este vetor (1, 1) T apota o setido em que x 1 + x 2 cresce. Portato, os potos o plao a partir da reta opostos àqueles para o qual o vetor (1, 1) T apota são tais que x 1 + x 2 < 4. A reuião dos potos tais que x 1 + x 2 = 4 e x 1 + x 2 < 4 jutamete com as restrições de ão-egatividade é o que queremos cosiderar. A Figura 4.1 ilustra esta represetação. Figura 4.1: Região defiida por x 1 + x 2 4, x 1 0, x 2 0. De modo semelhate, desehamos as regiões dos potos que satisfazem x 1 2 e x 2 3. A itersecção de todas as regiões defie a região factível represetada a Figura 4.2. Figura 4.2: Região factível S. 12

13 XXIV Semaa da Liceciatura em Matemática Bauru SP, de agosto de 2012 Determiado a solução ótima x* A fução objetivo f(x 1, x 2 ) = x 1 + 2x 2, defiida o cojuto S, pode assumir ifiitos valores. ' ' T T Por exemplo, a solução factível x' ( x1 x2) (0,0) a fução objetivo vale f = f(x ) = 0 e todos os potos do plao (x 1, x 2 ) que atribuem este mesmo valor à fução objetivo estão a reta x 1 + 2x 2 = 0. Esse cojuto de potos é chamado de curva de ível e esta represetado a Figura 4.3 pela reta tracejada f = 0. Ao defiir a região factível, o vetor dos coeficietes (1, 2) T (vetor gradiete) é perpedicular à reta x 1 + 2x 2 = 0 (uma curva de ível) e apota o setido em que a fução cresce. Com isso, podemos visualizar a Figura 4.3 que qualquer poto de S atribui valor maior que zero à fução f. Como queremos maximizar f, podemos cocluir, graficamete, que a solução factível x' (0,0) T ão é uma solução ótima. Figura 4.3: Determiado a solução ótima x* (Problema de maximização). Quado aalisamos a solução factível x'' (2,0) T, a fução objetivo f = 2. Como o vetor gradiete ão se altera, essa reta é paralela à f = 0. Cotiuado o procedimeto de idetificar potos que atribuem valores maiores à fução objetivo, chegamos a um extremo * * T T x* ( x1 x2) (1,3), para o qual f(x*) = 7. A curva de ível x 1 + 2x 2 = 7 os permite observar que todos os potos de S atribuem valores meores que 7 à fução objetivo. Portato, a solução x* que satisfaz todas as restrições simultaeamete e maximiza f(x) existe e é úica: x1 1 x* x 2 3 No Exemplo 4.1 desejamos maximizar f(x), desta forma, procuramos potos factíveis que estivessem do lado apotado pelo vetor gradiete, partido da curva de ível f(x)=f '. Etretato, se o objetivo fosse miimizar f(x), aplicamos o mesmo procedimeto, porém, buscado potos o setido cotrário ao do vetor gradiete. A solução ótima da Figura 4.3 é uma solução factível muito especial, chamada vértice ou poto extremo. Na região factível ilustrada, é possível otar que os vértices são determiados pela itersecção de pelo meos duas retas que defiem a froteira da região factível (observe que x i = 0 é uma equação de reta). Assim, temos que os vértices são soluções de sistemas de equações lieares. Observe que se o vetor gradiete da fução objetivo for modificado, outro vértice pode ser uma solução ótima. Propriedade 4.1: Se um problema de otimização liear tem uma solução ótima, etão existe um vértice ótimo. 13

14 XXIV Semaa da Liceciatura em Matemática Bauru SP, de agosto de 2012 No Exemplo 4.2, a região factível do problema é limitada e apreseta uma úica solução ótima. Etretato, várias outras possibilidades podem ocorrer: ão existêcia de solução ótima, solução ótima degeerada, ifiitas soluções ótimas, etre outras. A resolução gráfica de problema de otimização liear com dimesões maiores que dois é igualmete possível. Nesta seção, observamos que uma solução ótima, se houver, pode ser pesquisada etre os vértices. Assim, se formos capazes de sair de um vértice para outro melhor, podemos repetir isso um úmero fiito de vezes até ecotrar um vértice ótimo. É assim que trabalha o método simplex, um dos mais utilizados métodos para a resolução de problemas de otimização liear. Uma breve revisão deste método é apresetada a próxima seção. 5. Técicas Utilizadas Problemas de Otimização Combiatória precisam ser trasformados em modelos cocretos para que possam ser resolvidos com o auxílio de computadores. Como já vimos, é preciso aplicar métodos mais iteligetes do que a simples eumeração de todas as possíveis soluções. Atualmete, temos utilizado as seguites técicas a resolução de diversos problemas de otimização: Programação Liear e Programação Iteira Essas técicas já são bastate cohecidas o campo da Otimização, tedo suas origes a década de 40. A Programação Liear cosiste em expressar um problema em termos de variáveis cotíuas e um cojuto de restrições lieares sobre essas variáveis otimizado uma fução liear. Dada uma fução objetivo que descreve basicamete como é calculado o "custo" a ser miimizado, aplica-se um algoritmo (ormalmete o Simplex) que resolve o problema de forma eficiete. Na vida real, etretato, é muito comum que as variáveis precisem assumir valores iteiros e ão cotíuos. Por exemplo, para resolver um problema em que se precisa decidir quatos empregados serão atribuídos a uma determiada tarefa, gostaríamos de obter como resposta um úmero iteiro e ão O que são 5.78 empregados? 5 ou 6? Por icrível que pareça, quado se impõe a restrição de que as variáveis assumam valores iteiros o problema pode ficar muito mais difícil. E a ideia atural de simplesmete arredodar os valores em sempre traz bos resultados. É aí que etra a Programação Iteira. Ela se baseia fudametalmete em relaxar, de alguma forma, o problema origial e resolvê-lo aos poucos até que se cosiga ecotrar a melhor solução possível, com o requerimeto adicioal de que a resposta seja dada em fução de úmeros iteiros. Programação por Restrições Técica mais recete que começou a gahar força a década de 80. Teve suas origes o campo da Iteligêcia Artificial, mais especificamete o ramo da Programação Lógica. Em termos simplificados, cosiste em um mecaismo de iferêcia lógica auxiliado por um resolvedor de restrições que são impostas sobre as variáveis do problema em questão. A modelagem dos problemas é facilitada por se tratar de uma liguagem declarativa baseada em implicações lógicas. Restrições complexas podem ser escritas de forma clara e cocisa. Tem obtido bastate sucesso em problemas de porte idustrial. Algoritmos Híbridos Há problemas em que em Programação (Liear) Iteira em Programação por Restrições coseguem obter êxito. Em certos casos, as fraquezas ieretes a cada uma dessas duas técicas colaboram para que seja muito difícil ecotrar uma solução. Desse modo, tora-se ecessário que se combiem os potos fortes de cada uma, criado o que se chamam Algoritmos Híbridos. Tratam-se de algoritmos cooperativos ode Programação Iteira e Programação por Restrições ajudam-se mutuamete. Vários tipos de itegrações são possíveis, dado origem a algoritmos bastate iteressates e eficietes. 14

15 XXIV Semaa da Liceciatura em Matemática Bauru SP, de agosto de 2012 Métodos Heurísticos Nem sempre é possível ecotrar a melhor solução de um problema de otimização em tempo razoável. Nesses casos, uma solução relativamete boa pode já ser suficiete para a aplicação que se tem em mãos. Os Métodos Heurísticos são algoritmos que ão garatem ecotrar a solução ótima de um problema, mas são capazes de retorar uma solução de qualidade em um tempo adequado para as ecessidades da aplicação. Referêcia Bibliográfica [1] Areales, M., Armetao, V., Morabito, R., Yaasse, H., (2007). Pesquisa Operacioal. Rio de Jaeiro: Elsevier. Editora Campus, 523p. [2] 15