No exemplo há duas variáveis básicas: ST e LX. Serão agora representadas, em um gráfico bidirecional, tanto as restrições como a função objetivo.

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1 RESOLUÇÃO PELO MÉTODO GRÁFICO No exemplo há duas variáveis básicas: ST e. Serão agora representadas, em um gráfico bidirecional, tanto as restrições como a função objetivo. O modelo é: Maximizar: Sujeito a: Lucro = 30 x ST + 40 x ST x ST + 2 x 40 PLOTANDO AS RESTRIÇÕES Consideremos inicialmente a restrição ST + 2 x 40 (uma inequação). A equação correspondente é ST + 2 x = 40, cujo gráfico na qual mostramos apenas o primeiro diedro, visto que as variáveis somente podem receber valores positivos. 1 ST + 2 = 40 0 ST Equação: ST + 2 x = 40

2 1 ST + 2 < 40 0 ST Inequação: ST + 2 x 40 N a Geometria Analítica, representamos um ponto de um gráfico por (x,y) e, no presente gráfico, cada ponto do segmento de reta traçado representa um par de produto (Standard, Luxo) que utiliza exatamente 40 operários. Visto que nossa inequação prevê que podemos utilizar até 40 operários, podemos concluir que a região positiva abaixo do segmento de reta traçado contém os pontos, ou melhor, os pares de produção (Standard, Luxo) que, juntamente com os pontos de segmento de reta, atendem corretamente à inequação. No Gráfico acima mostramos esta conclusão. Utilizando o mesmo raciocínio, mostramos os Gráficos abaixo, para as restrições ST 24 e 16, respectivamente. ST = 24 24RR242 1 ST < 24 0 ST A Restrição ST 24

3 1 = 16 < ST 0 A Restrição 16 ST A REGIÃO DE SOLUÇÕES POSSÍVEIS Colocando todas as restrições em um único gráfico, ele toma o formato do Gráfico abaixo, na qual a interseção entre todas as restrições produziu a região hachurada. Seus pontos representam pares de produção (Standard, Luxo) que atendem a todas as restrições e, obviamente, qualquer ponto fora desta região não atende a todas as restrições. Uma região como esta recebe em Geometria o nome de região convexa simplex. Portanto, nosso problema pode ser compreendido como sendo o de procurar qual ponto da região simplex fornece o maior valor para o lucro. 1 Região Simplex ST

4 PLOTANDO A FUNÇÃO OBJETIVO A função objetivo Lucro = 30ST + 40 pode ser transformada em: 3 Lucro = ST Em um diedro (ST, ), esta equação representa um família de retas de parâmetro Lucro/40, ou seja, para cada valor de Lucro temos uma reta diferente. Ademais, todas as retas são paralelas entre si, pois possuem o mesmo coeficiente angular -3/4. No Gráfico abaixo temos algumas retas desta família, em que cada uma foi obtida dando-se um valor para o lucro. Portanto, qualquer ponto de uma mesma reta possui pontos ou pares de produção (Standard, Luxo) que fornecem o mesmo lucro. Esta família de retas é conhecida por retas iso-lucro. L = 800 Solução Ótima ST = 24 = 8 Lucro = R$ 1.040,00 1 L = L = ST Visualmente podemos observar que, quanto mais afastada da origem está uma destas retas, maior o valor do Lucro correspondente. Isto pode ser demonstrado facilmente analisando a equação em questão = -3/4ST + Lucro/40 semelhante á equação da reta y = ax + b, onde: a = -3/4 (coeficiente angular) b = Lucro/40 (coeficiente linear) Na equação da reta, o termo b representa o ponto de interseção da reta com o eixo y. Considerando uma família de retas paralelas entre si, quanto mais distante da origem está uma reta, maior o Lucro, maior será b e mais distante estará a reta da origem.

5 PROGRAMAÇÃO LINEAR: FORMA NORMAL Condições de não negatividade Toda variável ainda não restrita a ser não negativa é substituída pela diferença de duas novas variáveis não negativas. As restrições lineares são da forma n j = 1 a x ~ ij j b i onde ~ indica uma das relações,, = (não necessariamente a mesma para cada i). As constantes b 1 podem ser consideradas sempre não negativas. Exemplo A restrição 2x 1 3x 2 + 4x 3 - é multiplicada por 1 a fim de obter -2x 1 + 3x 2-4x 3, no qual o elemento do lado direito da relação é não negativo. VARIÁVEIS DE FOLGA E VARIÁVEIS DE EXCESSO Uma restrição linear de forma ij j i pode ser convertida em igualdade a x pela adição de uma nova variável não negativa ao lado esquerdo da desigualdade. Tal variável é numericamente igual à diferença entre os valores e à esquerda da desigualdade e é conhecida como variável de folga. Ela representa o desperdício acarretado pela parte do sistema modelada pela restrição em pauta. b Exemplo A restrição 4x 1 + x 2 + 3x 3 + x Uma restrição linear de forma 4x 1 + x 2 + 3x 3 + x 4 + x = ij j i pode ser convertida em igualdade a x subtraindo-se ao lado esquerdo da desigualdade uma nova variável, não negativa. Tal variável é numericamente igual à diferença entre os valores e à esquerda e a direita da desigualdade e é conhecida como variável de excesso. Ela representa um excesso das variáveis de entrada nesta parte do sistema modelada pela restrição em pauta. Exemplo A restrição 4x 1 + x 2 + 3x 3 + x b 4x 1 + x 2 + 3x 3 + x 4 - x =

6 GERAÇÃO DE SOLUÇÃO INICIAL VIÁVEL Condição de não negatividade para as restrições Transformar todas as restrições lineares em igualdades (introduzir variáveis de Folga e de Excesso onde necessário) Adicionar uma nova variável, chamada variável artificial, a esquerda de todas as restrições que não contenham variável de Folga Solução inicial não negativa para este novo conjunto de restrições As variáveis de Folga e Artificial, devem ser igual ao valor do lado direito da equação. Igualar a zero todas as outras variáveis, inclusive as variáveis de excesso. Exemplo - O conjunto de restrições x 1 + 2x 2 3 4x 1 + x 2 6 7x 1 + 8x 2 = 1 Transformado num sistema de equações adicionando-se a variável de folga x 3 no termo à esquerda da primeira restrição e subtraindo-se a variável de excesso x 4 do termo à esquerda da segunda restrição. O novo sistema é x 1 + 2x 2 + x 3 = 3 4x 1 + x 2 - x 4 = 6 7x 1 + 8x 2 = 1 Se agora as variáveis artificiais x e x 6 forem adicionadas respectivamente ao primeiro membro das duas últimas restrições do sistema de equações que não possuem variáveis de folga, o resultado será x 1 + 2x 2 + x 3 = 3 4x 1 + x 2 - x 4 + x = 6 7x 1 + 8x 2 + x 6 = 1 Uma solução não negativa correspondente a este último sistema de equações será: x 3 = 3, x = 6, x 6 = 1 e x 1 = x 2 = x 4 = 0

7 Exercícios: Defina a Solução Inicial Viável para os conjuntos de restrições abaixo: x 1 + 4x 2 2 2x 1 + x 2 6 x 1 + 2x 2 = 8 2x 1 + x 2-3 7x 1 + x 2 12 x 1 + 2x x 1 + 2x 2 8 x 1 + x 2 - x 1 + 3x 2 = 6 x 1 + 2x 2-3x 3-7 2x 1-2x 2 + 3x 3 8