A PROPRIEDADE ERDÖS-PÓSA PARA MATRÓIDES*

Transcrição

1 A PROPRIEDADE ERDÖS-PÓSA PARA MATRÓIDES* JOSÉ EDER SALVADOR DE VASCONCELOS**, BRÁULIO MAIA JUNIOR*** estudos, Goiânia, v. 38, n. 3, p , jul./set O termo * Resumo: o número de cocircuitos disjuntos em uma matróide é delimitado pelo seu posto. Existem, no entanto, matróides de posto arbitrariamente grande que não contêm dois cocircuitos disjuntos. Considere, por exemplo, M(Kn) e Un, 2n. Além disso, a matróide bicircular B(Kn) pode ter posto arbitrariamente grande, mas não tem 3 cocircuitos disjuntos. Será apresentada uma prova, obtida por Jim Geelen e Kasper Kabell, para o seguinte fato: para cada k e n, existe uma constante c tal que, se M é uma matróide com posto no mínimo c, então M tem k cocircuitos disjuntos ou contém uma das seguintes matróides como menor Un;2n, M(Kn) ou B(Kn). Palavras-chave: Matróides. Cocircuitos. Posto. matróide significa falsa matriz ou matriz fraca e foi introduzido por Whitney (1935), abstratamente para tentar capturar a essência de dependência. Outros Recebido em: Aprovado em: ** Mestre em Matemática, Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Goiás, Álgebra e combinatória. salvadordevaconcelos@yahoo.com.br. *** Doutor em Matemática, Universidade Federal de Campina Grande, Álgebra e Combinatória, Bráulio@dme.ufcg.edu.br. 469

2 trabalhos pioneiros em teoria das matróides foram feitos por Birkhoff (1935), e MacLane (1936, 1938). O fato é que num espaço n-dimensional a família I dos conjuntos linearmente independentes satisfaz os axiomas da definição Encontrar cocircuitos disjuntos em uma matróide é uma ferramenta importante para que se tenha informações a respeito do seu posto, será provado (Lema ) que ao apagar um cocircuito de uma matróide, obtêm-se uma nova matróide cujo posto é uma unidade menor que o da anterior. Assim, se uma matróide tem k cocircuitos disjuntos, então ela tem posto no mínimo k. O presente trabalho apresenta uma generalização do resultado encontrado por Geelen e whittle (2003). Eles provaram o seguinte: Teorema Existe uma função tal que, se M é uma matróide sem menores U, ou M(Kn) e, então M tem k 2,q+2 cocircuitos disjuntos. Tal resultado foi motivado pelo Teorema de Erdös-Pósa, mostrado por Erdös e Pósa (1962), em que afirmam: 470 Teorema Existe uma função tal que, se o tamanho de um circuito de cobertura minimal de G é pelo menos c(k), então G tem k circuitos disjuntos. Em contra partida existem matróides de posto arbitrariamente grande, mas que não contém dois cocircuitos disjuntos. O intuito deste trabalho, portanto, é determinar entre aquelas que têm cocircuito disjuntos, qual seria o limite inferior para esse número (de cocircuitos disjuntos). O primeiro capítulo apresenta a teoria básica a ser usada, direta ou indiretamente, no trabalho. No segundo capítulo são apresentados o resultado principal e a teoria reunida e desenvolvida por Geelen e Kabell, (?) no artigo estudos, Goiânia, v. 38, n. 3, p , jul./set

3 The Erdös-Pósa property for matroids circuits (5), que serve como base para esta dissertação, para demonstrar o resultado principal. Finalmente, no apêndice A, apresenta-se uma prova para a circularidade das matróides Ur;n, com n>2r-1 e M(Kn). Além disso, será demonstrada a prova que a matróide bicircular B(Kn) não tem três cocircuitos disjuntos. INTRODUÇÃO A TEORIA DAS MATRÓIDES Definição estudos, Goiânia, v. 38, n. 3, p , jul./set Uma matróide é um par ordenado consistindo de um conjunto finito e uma coleção de subconjuntos de satisfazendo os seguintes axiomas: I1) ; I2) e então ; I3) Se e estão em com <, então existe um elemento de tal que. Além da axiomatização de matróides, dada na Definição 1.3.1, pode-se definir uma matróide através da sua coleção de circuitos ou através da sua coleção de bases. Observação (i) Um circuito constituído por um único elemento é dito um laço; (ii) Um circuito contendo três elementos é dito um triângulo. Observe que a é um laço se, e somente se, a não está contido em nenhum conjunto independente. Sejam M e N matróides, uma bijeção um isomorfismo entre as matróides M e N quando é é 471

4 independente em M se, e somente se é independente em N. BASES, CIRCUITOS, RESTRIÇÃO E POSTO Nesta seção serão consideradas formas alternativas para definir matróides através das suas famílias de bases, circuitos ou através do seu posto. A partir de agora, quando não for especificado representará um grafo e uma matróide. O próximo resultado fornece uma axiomatização de matróides através da sua família de circuitos. A partir dele pode-se definir uma matróide como sendo o par onde é um conjunto e uma família de subconjuntos de satisfazendo o Teorema Uma demonstração para esse resultado (Teorema 1.4.1) pode ser vista em (13). 472 Teorema A coleção C dos circuitos de uma matróide M tem as seguintes propriedades: C1) ; C2) ; C3) Se com e, então existe tal que. Reciprocamente, se existe um conjunto e uma família de subconjuntos de satisfazendo os axiomas acima, então existe uma única matróide com conjunto básico e família de circuitos. Essa matróide terá a seguinte família de independentes: estudos, Goiânia, v. 38, n. 3, p , jul./set

5 O próximo resultado caracteriza matróides em termos da sua coleção de bases. A prova pode ser vista em (13). Teorema Seja uma coleção de subconjuntos de um conjunto finito. Então é a coleção de bases de uma matróide em se, e somente se, satisfaz as seguintes condições: B1) é não vazio; B2) Se são membros de e, então existe um elemento, tal que. Segue imediatamente do item I 3) da Definição que, assim como em espaços vetoriais, todas as bases de uma matróide M tem a mesma cardinalidade, isto é são equicardinais. estudos, Goiânia, v. 38, n. 3, p , jul./set Definição A carnalidade de uma base de chamada o posto de e será denotado por Definição Dado um subconjunto pode-se definir uma estrutura de matróide com conjunto básico e cuja família de independentes é constituída pelos in- dependentes de M que estão contidos em. Essa matróide é chamada a restrição de a e denotada por. As Definições e permitem definir a seguinte função, chamada função posto de M : 473

6 Teorema Uma função matróide M com conjunto básico seguintes propriedades: P1) é a função posto de uma se, e somente se, satisfaz as P2) S e, então P3) Para todos FECHO, GERADORES, DUAIS, MENORES E SIMPLICIDADE 474 Se M é uma matróide e, o conjunto é chamado de fecho ou gerado de em. Se diz-se que é um subconjunto fechado de M. A família dos conjuntos fechados de será denotada por Se diz-se que é gerado por e que é um gerador de. Quando um conjunto gera diz-se que gera, neste caso. O conjunto dos geradores de será denotado por. Teorema Se é uma matróide, para todos os subconjuntos F1) F2) Se, então ; F3) ; em particular,. estudos, Goiânia, v. 38, n. 3, p , jul./set

7 Teorema Seja a família de bases de uma matróide sobre, então é a família de base de uma matróide sobre E, chamada matróide dual de. Teorema (ortogonalidade) Se é uma matróide, é um circuito e um cocircuito de. Então. Proposição estudos, Goiânia, v. 38, n. 3, p , jul./set Um subconjunto é um circuito de M se, e somente se, é minimal não vazio com a seguinte propriedade: para todo cocircuito C * de. Definição Seja defini-se a deleção de em por e denota-se M \ T. Define-se também a contração de em por e denota-se por Também é denotado M/ (E T ) por. Proposição Sejam M uma matróide e E(M) o conjunto básico de M. Se X e Y são subconjuntos disjuntos de E(M), então: 475

8 i) ; ii) ; iii) ; Definição Sejam M uma matróide e, com. Uma matróide do tipo é dita um menor de. Os menores são estruturas fundamentais em uma matróide. Tais estruturas foram introduzidas por Tutte (1958), e alguns dos mais celebres resultados para matróides fazem referência aos menores. Teorema Os independentes, dependentes e circuitos de M \ T são respectivamente os independentes, dependentes e os circuitos de M que evitam T,, e os geradores de são os subconjuntos de que geram em. Teorema Sejam M uma matróide, e uma base de, então: i) Se, ; ii) Seja a família de independentes de. Então, estudos, Goiânia, v. 38, n. 3, p , jul./set

9 iii) Seja B(M/T) a família de bases de M/T. Então, B(M/T) = {B E T ; B BT B} = {B E T ; existe Bt B(M T ) com B Bt B} iv) A família de circuitos de,, é a coleção dos membros minimais e não vazios de ; v) S e, entaõ é a união dos circuitos de Corolário Se M é uma matróide e então, a menos que f seja um laçoo., se f não é um colaço,. estudos, Goiânia, v. 38, n. 3, p , jul./set Definição Quando H E(M) é fechado e r(h) = r(m) 1 dizemos que H é um hiperplano de M. O conjunto dos hiperplanos de M será denotado por. O teorema seguinte caracteriza as famílias de cocircuitos e a função coposto de uma matróide. Teorema Valem as seguintes propriedades para as famílias de cocircuitos e a função coposto: (i) ; 477

10 (ii) (iii). Lema Seja uma matróide com conjunto básico e um cocircuito de. Então. Demonstração: Seja M uma matróide e um cocircuito de, temos como é um cocircuito, é um hiperplano de M. Assim, e portanto, 478 Teorema As seguintes afirmações são verdadeiras a respeito de uma matróide M: 1) é o conjunto dos membros minimais não vazios de 2) 3) é o conjunto dos subconjuntos próprios maximais de da forma, onde ; 4). estudos, Goiânia, v. 38, n. 3, p , jul./set

11 Definição estudos, Goiânia, v. 38, n. 3, p , jul./set Seja M uma matróide, diz-se que dois elementos estão em paralelo (são paralelos) quando se de é um circuito em. Diz-se que é uma classe em paralelo de, é maximal com a propriedade que cada dois elementos distintos estão em paralelo em M. Define-se, ainda, uma classe em série de M como sendo uma classe em paralelo de uma classe em série ou em paralelo que possui um só elemento é dita trivial. Quando dois elementos de pertencem a mesma classe em série, estes elementos estão em série paralelo e dita cosimples se Isto é, se não possui colaços ou elementos em série. Dada uma matróide é simples. podemos associar a ela outra matróide, denotada por, obtida da própria através da deleção de seus laços e da deleção de todos, exceto um, elementos de cada classe em paralelo. A matróide assim obtida é chamada a simplificação de. Analogamente, definimos a cosimplificação de M por,. Isto é, é obtida de através da deleção de seus colaços e pela contração de todos, exceto um, elementos de cada classe em série. Teorema estão em série se, e so- Seja M uma matróide, mente se, e são tais que para todo circuito de. A PROPRIEDADE ERDÖS-PÓSA PARA MATRÓIDES Introdução O número de cocircuitos disjuntos em uma matróide é limitado pelo seu posto. Existem, contudo, matróides com posto arbitraria- 479

12 mente grande que não contem dois cocircuitos disjuntos; considere, por exemplo, e. A matróide bicircular, a ser definida mais adiante, tem posto arbitrariamente grande, para n arbitrariamente grande, e não tem 3 cocircuitos disjuntos. Será provado que para cada e existe uma constante tal que se é uma matróide sem menores, ou, então tem cocircuitos disjuntos ou. O teorema a seguir é o resultado principal deste trabalho, cujo objetivo, a partir de agora, é reunir elementos que possibilitem a prova deste resultado. Teorema Existe uma função tal que, se é uma matróide sem menores, ou e, então tem cocircuitos disjuntos. Aqui, é a matróide ciclo de e é a matróide bicircular de que será definida a seguir. Definição Seja um grafo. Definamos uma matróide em, onde é uma base de B (G) e, para cada aresta de, deixe livre na reta gerada por. Agora definamos e chamemos da matróide bicircular de. O Teorema é uma generalização do Teorema 2.1.8, como tem um menor, para grande ele é, em certo sentido, o melhor possível. C a d a u m a d a s f a m í l i a s estudos, Goiânia, v. 38, n. 3, p , jul./set e

13 estudos, Goiânia, v. 38, n. 3, p , jul./set , tem posto não limitado, mas têm um número limitado de cocircuitos disjuntos. Por isso, essas famílias devem ser excluídas (para algum grande posto fixado), para a propriedade Erdös-Pósa fazer sentido. O Teorema principal faz isso ao considerar somente matróides que não tem essas famílias de matróides como menores. Além disso, pode-se afirmar que é necessária a menção a essas três famílias, quando se excluí as famílias de menores. Isto é, nenhuma das famílias satisfaz que os membros de posto suficientemente grandes contêm um membro de grande posto de uma das outras famílias como um menor. Em outras palavras, se faz necessário excluir cada uma das famílias citadas. Considere primeiro. Para é não uniforme, e para, assim é. Assim, a remoção da família uniforme é necessária. Considere agora. Para, contém um menor, e para, assim também é (vimos acima para e, para basta observar que ). Por isso, nenhuma dessas pode ser gráfica, e então a remoção da família gráfica é necessária. Considere. Pode-se mostrar que se é um grafo e é uma aresta de, então. Segue que qualquer menor, sem laços, de uma matróide bicircular é bicircular. As matróides e não são bicirculares (assim, também não é bicircular ). Então, a remoção da família bicircular também é necessária. A definição seguinte diz respeito a uma estrutura de um grafo cuja cardinalidade delimita o número de circuitos disjuntos no grafo, o circuito de cobertura. 481

14 Definição Um circuito de cobertura de um grafo tal que não tem circuitos. é um conjunto Lema O número máximo de (arestas) circuitos disjuntos em um grafo é delimi- tado pelo comprimento mínimo de um circuito de cobertura. 482 Demonstração: Com efeito, se G tem k circuitos disjuntos, então para que o subgrafo não tenha circuitos, deve conter pelo menos uma aresta de cada circuito de. De acordo com Erdös e Pósa (1962) o número máximo de circuitos disjuntos está qualitativamente relacionado com o tamanho mínimo de um circuito de cobertura, através do seguinte teorema, chamado Teorema de Erdös-Posá. Teorema (Erdös-Pósa) Existe uma função tal que, se o tamanho de um circuito de cobertura minimal de é pelo menos, então tem circuitos disjuntos. Lema Seja M uma matróide. Um conjunto intercepta cada circuito de M se, e somente se, é independente. Então, um circuito de cobertura minimal de é uma base de. estudos, Goiânia, v. 38, n. 3, p , jul./set

15 Demonstração: Seja tal que para todo circuito de M,. Se fosse dependente, então E(M) X conteria um circuito e este não interceptaria X. Reciprocamente, se é tal que é independente, suponha que existe um circuito de tal que. Neste caso, contradizendo o fato de ser independente. Logo, para todo. O Teorema de Erdös-Pósa foi generalizado para matróides por Geelen, Gerards, e Whittle (2003) no trabalho Disjoint cocircuits in matroids with larg rank [6] gerando o seguinte resultado: Teorema estudos, Goiânia, v. 38, n. 3, p , jul./set Existe uma função tal que, se é uma matróide se menores, ou e, então tem cocircuitos disjuntos. Para facilitar a referência às matróides que não tem cocircuitos disjuntos daremos uma definição para essas matróides. Definição Diz-se que uma matróide é circular se ela não tem dois cocircuitos disjuntos. Lema Uma matróide M é circular se cada cocircuito em M é um conjunto gerador de M. 483

16 Demonstração: Suponha primeiro que M não tenha dois cocircuitos disjuntos e seja C * um cocircuito qualquer de M. Se C * não gera M, então rm (C*) r(m ) 1 e daí, C * está contido em um hiperplano. Seja H esse hiperplano e tome o cocircuito D = E(M) H, que naturalmente não intercepta C *. Uma contradição. Reciprocamente, suponha que cada cocircuito de M é um conjunto gerador de M e seja C * um cocircuito de M. Sabemos que, C * = E(M) H onde H é um hiperplano de M. Assim, se existe um cocircuito D* de M tal que C * D* =, então D* H e daí rm (D*) r(m ) 1, donde D* não pode ser gerador de M. Contrariando o fato de cada cocircuito gerar M. NÚMERO DE COBERTURA Teorema (Kung) Seja q > 1 um inteiro, e seja uma matróide simples 484 sem menor. Então A geometria projetiva mostra que o limite é padrão se q é uma potência de primo. Para limitar o número de matróides de posto r, é necessário restringir o comprimento das linhas, ou pode haver muitos elementos arbitrários em uma matróide de posto 2. Como estaremos excluindo uma matróide uniforme de posto superior, precisamos de uma nova medida de comprimento, para assegurar um análogo do Teorema de Kung (8). estudos, Goiânia, v. 38, n. 3, p , jul./set

17 Definição Seja a um inteiro positivo. Uma -cobertura de uma matróide M é uma coleção de subconjuntos de, com e. Para todo. O comprimento da -cobertura é. O comprimento mínimo de uma -cobertura de M é denotado por τa(m) e dito o número -cobertura de M. Se, então define-se. Note que, para uma matróide,, onde denota a simplificação de M. Se tem posto não nulo, então (basta tomar a cobertura. Nosso primeiro Lema limita no caso. Lema estudos, Goiânia, v. 38, n. 3, p , jul./set Seja. Se é uma matróide de posto, sem menor, então. O próximo resultado limita quando não tem restrição. Lema Seja b > a 1. Se M é uma matróide sem restrição Ua+1,b, então. 485

18 Lema Seja b > a 1. Se M é uma matróide sem menor Ua+1,b, então. Definição Seja um inteiro positivo. A matróide é chamada -simples, se é simples e não tem restrição para. Equivalentemente, é -simples se ela não tem laços e não tem restrição Uk,2k para k = 1, 2, 3,, a. bem definida, a menos de isomorfismo. Para matróides -simples, o comprimento é proporcional a. Lema Existe uma função de valores inteiros σ(a) tal que, se e é - simples, então. Lema Existe uma função de valores inteiros σ2(a, b) tal que, se e M é uma matróide sem laços e não tem restrição Uk,b para, então Definição Seja M uma matróide. A deficiência do posto de um conjunto de elementos é o número. estudos, Goiânia, v. 38, n. 3, p , jul./set

19 Denotamos por a deficiência de posto máxima entre os cocircuitos de. Para dizemos que é -circular se. Lema (1) Uma matróide M é circular se, e somente se, Γ(M) = 0, isto é, M é 0-circular. (2) A condição de ser -circular é preservada sobre contrações. ERDÖS-PÓSA PROPERTY FOR MATROIDS estudos, Goiânia, v. 38, n. 3, p , jul./set Abstract: the number of disjoint cocircuits in a matroid is bounded by its rank. There are, however, matroids of rank arbitrarily large that do not contain two disjoint cocircuits. Consider, for example, M (kn) and Un,2n. Moreover, the bicircular matroid B(kn) may have arbitrarily large rank but do not have 3 disjoints cocircuits. We show a proof obtained by Jim Geelen and Kasper Kabell to the following fact: for every k and n, there is a constant c such that if M is a matroid with rank at least c, then M has k disjoint cocircuits or M contains one of the following matroids as a minor Un,2n, M (kn) or B(kn). Keywords: Matroids. Cocircuits. Rank. Minor. Referências BIRKHOFF, G. Abstract linear dependence and lattices. American Journal of Math- ematics, v. 57, n. 4, p , WHITNEY, H. On the abstract properties of linear dependence. American Journal of Mathematics, ss., p , GEELEN, J. The Erdos-Posa property for matroid circuits. GEELEN, J. GERARDS, F. Disjointwith large.journal of Combinatorial Theory, Series B, v. 87, p J.P.S. Graph Structure Theory, Amer. Math.Soc., Providence, ss., p ,

20 ERDŐS, P.; POSA, J. L. On the maximal number of disjoint circuits of a graph. Publ. Math. Debrecen, v. 9, p. 3-12, MACLANE, S. A lattice formulation for transcendence degrees and p-bases. Duke Math. J, v. 4, n. 3, p , MACLANE, S. Some interpretations of abstract linear dependence in terms of pro- jective geometry. American Journal of Mathematics, v. 58, n. 1, p , TUTTE, W. T. A homotopy theorem for matroids, I. Transactions of the American Mathematical Society, ss., p , estudos, Goiânia, v. 38, n. 3, p , jul./set