Análise e Síntese de Algoritmos

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1 Análise e Síntese de Algoritmos Algoritmos de Aproximação CLRS, Cap. 35 Resumo Algoritmos de aproximação Algoritmos, com complexidade polinomial, que calculam soluções aproximadas para problemas de optimização NPdifíceis i.e. problemas de optimização cuja formulação como problema de decisão é NP-completa 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 2 1

2 Algoritmos de Aproximação Motivação Definições Exemplos de algoritmos de aproximação Problemas de optimização cuja formulação de decisão é NPcompleta Problema da Cobertura de Vértices Problema do Caixeiro Viajante Problema da Mochila Problema da Cobertura de Conjuntos 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 3 Motivação Problemas NP-Completos Qualquer algoritmo existente demora no pior caso tempo exponencial no tamanho da instância Suporta conjectura P NP Problemas de decisão Formulação original requer resposta sim/não Problemas de optimização Formulação de decisão provada NP-completa Encontrar solução óptima é computacionalmente difícil Calcular (em tempo polinomial) solução aproximada! Mas estabelecer garantias quanto ao valor da solução calculada 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 4 2

3 Motivação Algoritmos de aproximação Algoritmos para problemas de optimização NP-completos (cujas formulações de decisão são NP-completas) Algoritmos de tempo polinomial Com garantias quanto ao máximo afastamento do valor calculado face à solução óptima 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 5 Definições Limite da razão p(n) Algoritmo de aproximação para um problema de optimização Para qualquer instância de tamanho n Custo da solução calculada, C Custo da solução óptima, C* max(c/c*, C*/C) p(n) maximização: 0 C C* minimização: 0 C* C p(n) /2007 Análise e Síntese de Algoritmos 6 3

4 O Problema da Cobertura de Vértices Definição: G=(V,E), grafo não dirigido Cobertura de vértices (VC): conjunto de vértices V tal que qualquer arco em G é incidente em pelo menos um dos vértices de V O problema VC opt consiste em calcular uma cobertura de vértices com o número mínimo de vértices 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 7 O Problema da Cobertura de Vértices Algoritmo de aproximação: VC-Approx(G) C = E = E[G] while E Seja (u, v) arco de E C = C { u, v } Remover de E qualquer arco incidente em u ou v return C Exemplo 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 8 4

5 O Problema da Cobertura de Vértices Teorema: VC-Approx é um algoritmo de aproximação com limite da razão 2 para o problema VC opt max(c/c*, C*/C) = C/C* 2 Prova: A: conjunto de arcos seleccionados pelo algoritmo Conjunto C é cobertura de vértices Ciclo iterado até todos os arcos de E estarem cobertos Por inspecção, nenhum par de arcos em A tem vértices comuns Também por inspecção, C = 2 A 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 9 O Problema da Cobertura de Vértices Cobertura dos arcos em A requer pelo menos um vértice incidente em cada um dos arcos de A Qualquer cobertura de vértices tem que cobrir arcos de A Válido também para C* A C* Conclusão: C = 2 A 2 C* 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 10 5

6 O Problema da Mochila Definição: Dados n objectos com pesos w 1, w 2,, w n e valores v 1, v 2,, v n, e uma mochila que pode transportar peso máximo W, o problema KNAPSACK opt consiste em identificar os objectos a transportar, que não excedem o peso máximo W, e que maximizam o valor dos objectos transportados 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 11 O Problema da Mochila Algoritmo Greedy: KNAP-Greedy(w,v,W) Ordenar w e v tal que v[i]/w[i] v[j]/w[j] para 1 i j n peso = 0; valor = 0 for i = 1 to n if peso + w[i] W valor += v[i] peso += w[i] return valor Problema Exemplo 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 12 6

7 O Problema da Mochila Algoritmo de Aproximação: KNAP-Approx(w,v,W) maior = max {v[i] : 1 i n} // Admite-se w[i] W, 1 i n return max {maior, KNAP-Greedy(w,v,W)} Exemplo 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 13 O Problema da Mochila Teorema: O algoritmo KNAP-Approx é um algoritmo de aproximação com limite da razão 2 para o problema KNAPSACK opt Prova: C*: solução óptima; C: solução retornada pelo algoritmo Escolher menor l tal que, l w i " W! i= 1 KNAP-Greedy(w,v,W) verifica, KNAP - Greedy(w, v, W) E, maior v l (por definição de maior) # l 1! " v i i= /2007 Análise e Síntese de Algoritmos 14 7

8 O Problema da Mochila Notando que max(x,y) (x+y)/2, obtemos: C = max(maior,knap- Greedy(w, v,w)) ( )! (maior + KNAP- Greedy(w, v,w)) / 2 ' l ) 1 $ l! % vl + ( vi " / 2 = ( vi / 2 = C' / 2 & i = 1 # i = 1! C * / 2 Definição de W e C : W '! w i C'! = l i= 1 Notar que W W e v 1 /w 1 v 2 /w 2 v l /w l Pelo que C C* C é a solução óptima para W = l v i i= /2007 Análise e Síntese de Algoritmos 15 O Problema do Caixeiro Viajante Definição: G=(V,E), grafo completo não dirigido, com função de pesos w Circuito: caminho que visita todos os vértices de G apenas uma única vez e que termina no vértice de onde começa Peso de um circuito: peso do caminho respectivo Problema do Caixeiro Viajante (TSP): Encontrar o circuito de menor peso em G Desigualdade triangular: w(t,v) w(t,u) + w(u,v) para quaisquer arcos (t,v), (t,u) e (u,v) de G 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 16 8

9 O Problema do Caixeiro Viajante Algoritmo de Aproximação: TSP-Approx(G,w) Seleccionar qualquer r V para vértice raiz Construir MST T a partir de r L = lista de vértices resultantes de visita de T em pré-ordem Definir circuito H que visita vértices de G pela ordem L return H Exemplo Visita de árvore que lista a raiz antes dos vértices de cada sub-árvore 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 17 O Problema do Caixeiro Viajante Teorema: O algoritmo TSP-Approx é um algoritmo de aproximação com limite da razão 2 para instâncias do problema TSP que verificam a desigualdade triangular Prova: H*: circuito com custo mínimo Provar: C(H) 2C(H*) T: MST de G W: travessia completa de T cada vértice u identificado se visitado pela primeira vez ou se travessia retorna a u W visita cada arco 2 vezes 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 18 9

10 O Problema do Caixeiro Viajante C(T) C(H*) T é MST de G e qualquer árvore abrangente pode ser obtida a partir de circuito por remoção de 1 arco C(W) = 2C(T) W atravessa cada arco 2 vezes Pelo que, C(W) 2C(H*) Ordem dos vértices visitados em W:,t,v,u,,u,v,t, Desigualdade triangular assegura que podemos apagar um vértice que o custo total não aumenta E.g.: com,t,v,u,,u,t, custo total não aumenta 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 19 O Problema do Caixeiro Viajante Repetir processo de remoção de vértices até cada vértice ser visitado apenas 1 vez Obtém-se ordem dos vértices após visita em pré-ordem Circuito resultante, H, visita todos os vértices de G e verifica: C(H) C(W) 2C(H*) Exemplo 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 20 10

11 O Problema da Cobertura de Conjuntos Definição: Uma instância (X,F) do problema de cobertura de conjuntos consiste de: Conjunto finito X Família de subconjuntos de X, F Tal que, X = S F S O problema da cobertura de conjuntos consiste em identificar um subconjunto C de F de menor tamanho e tal que X = S C S 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 21 O Problema da Cobertura de Conjuntos Algoritmo de Aproximação: SC-Approx(X,F) U = X C = while U Seleccionar S F que maximiza S U U = U - S C = C { S } return C Exemplo 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 22 11

12 O Problema da Cobertura de Conjuntos Teorema: O algoritmo SC-Approx tem limite da razão H(max{ S : S F}), com H(d) = 1 + 1/ /d, H(0) = 0 Prova: (ver CLRS) Colorário: SC-Approx tem limite da razão de ln X + 1 Prova: (ver CLRS) 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 23 Revisão Algoritmos de Aproximação Exemplos de algoritmos de aproximação para problemas NPdifíceis 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 24 12