A Topologia de um Problema de Decisão

Transcrição

1 Orientador: Thomas Kahl Universidade do Minho Dep. Matemática Pura - FCUP Porto, 30 de Setembro 2009

2 O Problema de Karp Complexos Simpliciais Versão Topológica do Problema A Topologia do Problema Resultados Parciais Conclusões

3 O Problema de Karp Complexos Simpliciais Versão Topológica do Problema A Topologia do Problema Resultados Parciais Conclusões

4 Grafos Grafo G = (V, E) com E {{v, w} v, w V } exemplo V = {1, 2, 3, 4} E = { {1, 4}, {2, 4}, {2, 3}, {3, 4} }

5 Grafos Isomorfismo de Grafos bijecção de vértices preservando arestas =

6 Propriedades de Grafos Propriedade P P(Graphs/ =) = 2 Graphs/ = exemplos de propriedades ser planar K 4 K 5? ser bipartido k-colorível, completo, hamiltoniano, euleriano,...

7 Propriedades Monótonas Subgrafo de Extensão (Spanning Subgraph) S é subgrafo de extensão de G (S G) se V S = V G E S E G Monotonia P diz-se monótona se for fechada para subgrafos de extensão: G P S G = S P

8 Problema de Decisão Problema Decidir se um grafo G com n (fixo) vértices satisfaz P. Input: G G n = {(V, E) V = n} Output: G P Procedimento: Grafo de input pode ser observado com questões do tipo {u, v} E? Algoritmo pode ser representado como árvore de decisão.

9 Complexidade Seja A um algoritmo que decide P. Q(P, A, G) é o número de perguntas feitas quando o input é G Complexidade A complexidade de uma propriedade P é definida como: c(p) := inf A sup G Q(P, A, G)

10 Complexidade Seja A um algoritmo que decide P. Q(P, A, G) é o número de perguntas feitas quando o input é G Complexidade A complexidade de uma propriedade P é definida como: c(p) := inf A sup G Q(P, A, G) Propriedades Triviais c( ) = c(g n ) = 0 Estas propriedades são triviais (nunca ou sempre satisfeitas).

11 Evasividade Os evasores de um algoritmo A são os grafos G tais que Q(P, A, G) = ( n 2). Evasividade P diz-se uma propriedade evasiva se c(p) = ( n 2). (existem evasores para qualquer algoritmo)

12 Evasividade Os evasores de um algoritmo A são os grafos G tais que Q(P, A, G) = ( n 2). Evasividade P diz-se uma propriedade evasiva se c(p) = ( n 2). (existem evasores para qualquer algoritmo) Conjectura de Karp (início 70s) Toda a propriedade monótona não trivial é evasiva

13 O Problema de Karp Complexos Simpliciais Versão Topológica do Problema A Topologia do Problema Resultados Parciais Conclusões

14 Simplexos 0-dim (S 1 ) 1-dim (S 2 ) 2-dim (S 3 ) 3-dim (S 4 )

15 Complexos Simpliciais Geometricamente... colagem de simplexos ao longo de faces

16 Complexos Simpliciais Abstractos Abstractamente... A é um conjunto de pontos / vértices. Chama-se complexo simplicial (abstracto) a tal que P(A) X Y X = Y monotonia!

17 O Problema de Karp Complexos Simpliciais Versão Topológica do Problema A Topologia do Problema Resultados Parciais Conclusões

18 Tradução do Problema universo G n S ( n 2) arestas de grafo vértices de complexos propriedade P 2 Gn/ = monótona S ( n 2) input G G n σ S ( n 2) grafo face observação {u, v} E? x σ?

19 Tradução do Problema exemplo: grafos (1, 3)-bipartidos P = {G G } G 4

20 Tradução do Problema exemplo: grafos (1, 3)-bipartidos P = {G G } G

21 Tradução do Problema exemplo: grafos (1, 3)-bipartidos P = {G G } G

22 Tradução do Problema exemplo: grafos (1, 3)-bipartidos P = {G G } G

23 Tradução do Problema exemplo: grafos (1, 3)-bipartidos P = {G G } G

24 Tradução do Problema exemplo: grafos (1, 3)-bipartidos P = {G G } G

25 Generalização Uma generalização natural... Conjectura de Andrea-Rosenberg Sejam S n um complexo simplicial não trivial (, S n ) Γ um subgrupo de Aut( )( S n ) que actua transitivamente sobre os n vértices. Então é evasivo (necessárias n questões). Uma acção τ : G X X de um grupo G sobre X é transitiva se x, y X. g G. τ(g, x) = y

26 O Problema de Karp Complexos Simpliciais Versão Topológica do Problema A Topologia do Problema Resultados Parciais Conclusões

27 1 a Observação Observação S n S n+1 S n+2... Evasividade de S n depende somente de, não do universo de inputs S n (ou seja, do número n de potenciais vértices). S n

28 1 a Observação Observação S n S n+1 S n+2... Evasividade de S n depende somente de, não do universo de inputs S n (ou seja, do número n de potenciais vértices). S n S n+t t pontos questões obrigatórias

29 Colapsibilidade face livre: face não-maximal F contida numa única face maximal M, com dim F = dim M 1 exemplo colapso elementar: remoção de face livre F e de M F.

30 Colapsibilidade face livre: face não-maximal F contida numa única face maximal M, com dim F = dim M 1 exemplo colapso elementar: remoção de face livre F e de M F.

31 Colapsibilidade face livre: face não-maximal F contida numa única face maximal M, com dim F = dim M 1 exemplo colapso elementar: remoção de face livre F e de M F.

32 Colapsibilidade face livre: face não-maximal F contida numa única face maximal M, com dim F = dim M 1 exemplo colapso elementar: remoção de face livre F e de M F.

33 Colapsibilidade face livre: face não-maximal F contida numa única face maximal M, com dim F = dim M 1 exemplo colapso elementar: remoção de face livre F e de M F.

34 Colapsibilidade face livre: face não-maximal F contida numa única face maximal M, com dim F = dim M 1 exemplo colapso elementar: remoção de face livre F e de M F.

35 Colapsibilidade face livre: face não-maximal F contida numa única face maximal M, com dim F = dim M 1 exemplo colapso elementar: remoção de face livre F e de M F. Colapsabilidade é colapsável se pode ser transformado num ponto por uma sequência de colapsos elementares.

36 Colapsibilidade face livre: face não-maximal F contida numa única face maximal M, com dim F = dim M 1 exemplo colapso elementar: remoção de face livre F e de M F. Colapsabilidade é colapsável se pode ser transformado num ponto por uma sequência de colapsos elementares.

37 Colapsibilidade face livre: face não-maximal F contida numa única face maximal M, com dim F = dim M 1 exemplo colapso elementar: remoção de face livre F e de M F. Colapsabilidade é colapsável se pode ser transformado num ponto por uma sequência de colapsos elementares.

38 2 a Observação: Evasividade e Colapsibilidade Kahn, Saks, Sturtevant [83] Não evasivo = Colapsável 1 decomposição n. ev. = x V ( ). lk (x), del (x) n. ev. 2 indução lk (x), del (x) colapsáveis = colapsável.

39 Link e Deletion Link lk (x) = {σ x / σ σ {x} } Deletion del (x) = {σ x / σ}

40 1. Decomposição não evasivo = A. σ. Q(, A, σ) < n (máximo n 1 questões). σ S n x σ?

41 1. Decomposição não evasivo = A. σ. Q(, A, σ) < n (máximo n 1 questões). σ S n x σ? σ \ {x} lk (x) S n 1 σ \ {x} del (x) S n 1

42 1. Decomposição não evasivo = A. σ. Q(, A, σ) < n (máximo n 1 questões). σ S n x σ? σ \ {x} lk (x) S n 1 máximo n 2 questões (não evasivo) σ \ {x} del (x) S n 1 máximo n 2 questões (não evasivo)

43 1. Decomposição não evasivo = A. σ. Q(, A, σ) < n (máximo n 1 questões). σ S n x σ? σ \ {x} lk (x) S n 1 máximo n 2 questões (não evasivo) σ \ {x} del (x) S n 1 máximo n 2 questões (não evasivo) A decomposição atinge eventualmente um caso trivial

44 2. Indução O caso base (simplexo) é óbvio. Agora, temos: lk (x) colapsável pelas faces livres F 1,..., F n. F 1 {x},..., F n {x}, {x} são faces livres que colapsam em del (x). del (x) é colapsável. Logo, é colapsável.

45 O Problema de Karp Complexos Simpliciais Versão Topológica do Problema A Topologia do Problema Resultados Parciais Conclusões

46 Karp para potências de primos Karp para potências de primos A conjectura de Karp é válida para n = V = p α, com p primo.

47 Demonstração: Karp para potências de primos resultado clássico de acções sobre espaços topológicos Oliver (versão fraca) Se é colapsível, Γ um grupo que actua sobre e H tq H p-grupo; H Γ (subgroupo normal); Γ/H cíclico. Então Γ Γ = {x γ Γ. γ x = x} conjunto de pontos fixos por todos os γ Γ

48 Demonstração: Karp para potências de primos Objectivo (contra-recíproco): Se n = p α e não evasivo = = S n 1 encontrar Γ, H nas condições do teorema, provando que há um ponto fixo (já que é colapsável). 2 existe de um ponto fixo = = S n.

49 1 GF(p α ) corpo finito. Γ = {x ax + b a GF (p α ), b GF (p α )} H = {x x + b b GF(p α )} H = p α, portanto é p-grupo. (x ax + b) a é um homomorfismo entre Γ e GF (p α ). H é o núcleo, logo H Γ. Γ/H = GF (p α ) pelo que é cíclico.

50 2 Γ = {x ax + b a GF (p α ), b GF (p α )} A acção de Γ é duplamente transitiva nos vértices do grafo: x 1, x 2, y 1, y 2 V. γ Γ. (γx 1, γx 2 ) = (y 1, y 2 ) Portanto, é transitiva nas arestas do grafo (vértices de ).

51 2 Γ = {x ax + b a GF (p α ), b GF (p α )} A acção de Γ é duplamente transitiva nos vértices do grafo: x 1, x 2, y 1, y 2 V. γ Γ. (γx 1, γx 2 ) = (y 1, y 2 ) Portanto, é transitiva nas arestas do grafo (vértices de ). Existe um ponto fixo x numa face de. Logo, uma face σ (com x σ ) é invariante sob Γ.

52 2 Γ = {x ax + b a GF (p α ), b GF (p α )} A acção de Γ é duplamente transitiva nos vértices do grafo: x 1, x 2, y 1, y 2 V. γ Γ. (γx 1, γx 2 ) = (y 1, y 2 ) Portanto, é transitiva nas arestas do grafo (vértices de ). Existe um ponto fixo x numa face de. Logo, uma face σ (com x σ ) é invariante sob Γ. Como Γ actua transitivamente, σ tem de ser {1,..., n}. Logo = S n.

53 Andrea-Rosenberg para potências de primos Conjectura de Andrea-Rosenberg Sejam S n um complexo simplicial não trivial (, S n ) Γ um subgrupo de Aut( )( S n ) que actua transitivamente sobre os n vértices. Então é evasivo (necessárias n questões).

54 Andrea-Rosenberg para potências de primos Conjectura de Andrea-Rosenberg Sejam S n um complexo simplicial não trivial (, S n ) Γ um subgrupo de Aut( )( S n ) que actua transitivamente sobre os n vértices. Então é evasivo (necessárias n questões). Andrea-Rosenberg para potências de primos A conjectura de A-R é válida para n = p α, com p primo. Atenção: Temos A-R = Karp, mas NÃO A-R(p α ) = Karp(p α )

55 A Característica de Euler χ = Vértices Arestas + Faces

56 A Característica de Euler Característica de Euler χ = Vértices Arestas + Faces χ( ) = ( 1) d d = d=0 onde d = {σ dim σ = d}. Invariante Colapsos elementares preservam χ. (removem-se duas faces em dimensões consecutivas). Em particular, se colapsável, χ( ) = χ( ) = 1.

57 Demonstração: A-R para potências de primos Seja O a órbita de uma face σ com k vértices: O = {γ σ γ Γ} Como Γ S n, todas as faces em O têm k vértices.

58 Demonstração: A-R para potências de primos Seja O a órbita de uma face σ com k vértices: O = {γ σ γ Γ} Como Γ S n, todas as faces em O têm k vértices. Cada vértice está no mesmo número (m) de faces de O. Definimos O x = {σ O x σ}. Dados x, y V ( ), y = γ x para um γ Γ (transitividade) γo x = {γσ σ, x σ} τ := γσ = {τ γ 1 τ O, x γ 1 τ} = {τ τ O, (y =)γx τ} = O y O x = {σ 1,..., σ m } }{{} m elementos γ {γσ 1,..., γσ m } = O }{{} y m elementos

59 Demonstração: A-R para potências de primos Seja O a órbita de uma face σ com k vértices: O = {γ σ γ Γ} Como Γ S n, todas as faces em O têm k vértices. Cada vértice está no mesmo número (m) de faces de O. O.k = nm = p α m Como k < n (já que S n ), temos p O (O tamanho de cada órbita é um múltiplo de p)

60 Demonstração: A-R para potências de primos Cada d é união disjunta de órbitas de faces de dimensão d. d = r d Oi d i=0

61 Demonstração: A-R para potências de primos Cada d é união disjunta de órbitas de faces de dimensão d. d = r d Oi d i=0 χ( ) = d ( 1) d d = d ( 1) d i O d i

62 Demonstração: A-R para potências de primos Cada d é união disjunta de órbitas de faces de dimensão d. d = r d Oi d i=0 χ( ) = d ( 1) d d = d ( 1) d i O d i d ( 1) d i 0 mod p 0 mod p 1

63 O Problema de Karp Complexos Simpliciais Versão Topológica do Problema A Topologia do Problema Resultados Parciais Conclusões

64 Conclusões/Outras Direcções Forman A teoria de Morse discreta: visão quantitativa. evaders(a, ) 2 dim H (, F) A conjectura de Karp foi provada para outros casos particulares (restringindo o tipo de propriedades ou características do complexo) propriedades comuns como ter determinado subgrafo propriedades fechadas para menores (remoção e contracção de arestas) complexos sem faces de dimensão > 3

65 Conclusões/Outras Direcções Forman A teoria de Morse discreta: visão quantitativa. evaders(a, ) 2 dim H (, F) A conjectura de Karp foi provada para outros casos particulares (restringindo o tipo de propriedades ou características do complexo) propriedades comuns como ter determinado subgrafo propriedades fechadas para menores (remoção e contracção de arestas) complexos sem faces de dimensão > 3 O problema pode ser generalizado para sistemas de conjuntos (funções booleanas), mas sem monotonia a propredade não se verifica para n p α Este tipo de abordagem topológica pode ser utilizado noutros problemas de natureza combinatórica.

66 Questões...?